6一元二次方程根的应用

解应用题的步骤

(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；

(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；

(3)找出相等关系，并用它列出方程；

(4)解方程求出题中未知数的值；

(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．

（20-40分钟）

传播、循环问题与一元二次方程

【典题导入】【亮点题】

【例1】有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．

（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？

（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？

【方法提炼】

传播问题应用公式a （1＋x ）n

=A ，a 表示传播之前的人数，x 表示每轮每人传播的人数，

一元二次方程的应用

考点1

n 表示传播的天数或轮数，A 表示最终的总人数． 【小试牛刀】 练1、要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21

场比赛，则参赛球队的个数是（ ）

A ．5个

B ．6个

C ．7个

D ．8个

练2、晨怡学校有4名学生参加黄冈市2012年12月15日语数英三科测评，另一兄弟

学校有n 名学生参加测这次测评，考试结束后，两校学生和双方各一名领队老师一起照了一

张合影，然后每个学生又单独照了一张，按大家的要求，老师对摄影师说：“合影照要每人

一张，学生之间还要相互交换相片，即每个学生除了自己的一张照片外，还要有其他每个学

生的一张照片．”这样，摄影师共冲洗了112张相片，则n= ．

数式问题与一元二次方程 【典题导入】【亮点题】

【例2】我们知道，32＋42=52

，这是一个由三个连续正整数组成，且前两个数的平方和

等于第三个数的平方的等式，是否还存在另一个“由三个连续正整数组成，且前两个数的平

方和等于第三个数的平方”的等式？试说出你的理由．

【方法提炼】留空，引导学生自己思考总结

有关数字的应用题，大致可以分为三类，及即一般数目关系问题、连续数问题、数字排

列问题．

①一般数目关系问题，数目关系比较简单，利用加、减、乘、除、和、差、积、商、倍

数、余数、大、小、等于以及算律、算序等，就可以根据题目所给的条件列出方程．

②连续数问题，有三种：连续整数、连续偶数、连续奇数，掌握它们的表示法是解决这

类应用题的关键．

③数字排列问题，例如：三位数=百位上的数字×100＋十位上的数字×10＋个位数字．

【小试牛刀】

练3、三个连续自然数的平方和比它们的和的8倍还多2，则三个自然数的平方和为（ ）

A ．77

B ．149

C ．194

D ．245

练4、一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数

为（ ）

A ．25

B ．36

C ．25或36

D ．－25或－36

增长率问题与一元二次方程 考点2

考点3

【典题导入】【亮点题】

【例3】（2014?江苏南京）某养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2．6万元，设可变成本平均的每年增长的百分率为x．

（1）用含x的代数式表示第3年的可变成本为万元．

（2）如果该养殖户第3年的养殖成本为7．146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x．

【方法提炼】

在增长率问题中，要理解a（1＋x）n=b（其中a是原来的量，x是平均增长率，n是增长的次数，b是增长到的量）的含义．原来的量经过一次增长后达到a（1＋x）；在这个基础上，再增长一次即经过第二次增长后达到a（1＋x）（1＋x）= a（1＋x）2；在这个基础上，再增长一次即经过第三次增长后达到a（1＋x）（1＋x）（1＋x）= a（1＋x）3；…；依次类推．解增长率问题公式：a（1±x）n=b．

【小试牛刀】

练5、（2014?湖北宜昌）在“文化宜昌?全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．（1）求2014年全校学生人数；

（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）．

①求2012年全校学生人均阅读量；

②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2．5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．

考点4

利润问题与一元二次方程

【典题导入】【亮点题】

【例4】某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设第二个月单价降低x元．

（1）填表：（不需化简）

时间第一个月第二个月清仓时

单价（元）80 40

销售量（件）200

（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？

【方法提炼】

有关利润问题常用的关系式有：利润=售价－成本，利润=成本×利润率，利润率=（售价一成本）÷成本，售价=成本×（1＋利润率）．

【小试牛刀】

练6、（2014?江苏徐州）为了倡导节能低碳的生活，某公司对集体宿舍用电收费作如下规定：一间宿舍一个月用电量不超过a千瓦时，则一个月的电费为20元；若超过a千瓦时，则除了交20元外，超过部分每千瓦时要交

100

a

元．某宿舍3月份用电80千瓦时，交电费35元；4月份用电45千瓦时，交电费20元．

（1）求a的值；

（2）若该宿舍5月份交电费45元，那么该宿舍当月用电量为多少千瓦时？

面积问题与一元二次方程

【典题导入】【亮点题】

【例5】为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召，我市某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形空地，建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草．如图所示，要使种植花草的面积为532m2，那么小道进出口的宽度应为多少米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）

【方法提炼】

几何图形一般从面积（或体积）相等方面找等量关系，有关的面积（或体积）公式：①考点5

面积公式：S 长方形=ab ， S 正方形=a 2，S 圆=2R π，S 三角形=12ah ；②体积公式：V 长方体=abh ，V 正方体=a 3，V 圆柱=2R h π，V 圆锥=13

2R h π． 求解不规则图形的面积问题，通常做法是：把不规则图形转化成规则图形，找出变化

前后面积之间的关系，然后列出方程求解．

【小试牛刀】

练7、（2014?南京联合体一模）如图，某市近郊有一块长为60米，宽为50米的矩形

荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，其中阴影部分为通道，通道的宽度均相等，

中间的三个矩形（其中三个矩形的一边长均为a 米）区域将铺设塑胶地面作为运动场

地．

（1）设通道的宽度为x 米，则a= （用含x 的代数式表示）；

（2）若塑胶运动场地总占地面积为2430平方米．请问通道的宽度为多少米？

几何问题与一元二次方程

【典题导入】【亮点题】

【例6】如图，要建造一个直角梯形的花圃．要求AD 边靠墙，CD ⊥AD ，AB ：CD=5：4，

另外三边的和为20米．设AB 的长为5x 米．

（1）请求出AD 的长（用含字母x 的式子表示）；

（2）若该花圃的面积为50米2

，且周长不大于30米，求AB 的长． 【方法提炼】

【方法总结】本题依托梯形的面积公式、梯形的周长公式的运用，通过面积、勾股定理

构造一元二次方程求解，同时运用一元一次不等式，确立一元二次方程的解是否合符实际意

义．

【小试牛刀】

练8、（2015?江苏苏州模拟）如图，矩形ABCD ，AB=6cm ，AD=2cm ，点P 以2cm/s 的速

度从顶点A 出发沿折线A→B→C 向点C 运动，同时点Q 以1cm/s 的速度从顶点C 出发向点D

运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．

（1）问两动点运动几秒，使四边形PBCQ 的面积是矩形ABCD 面积的9

4； （2）问两动点经过多长时间使得点P 与点Q 之间的距离为5？若存在，求出运动

所需的时间；若不存在，请说明理由．

考点6

（20-40分钟）

1．（2014?天津市）要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）

A．1

2

x（x＋1）=28 B．

1

2

x（x－1）=28

C．x（x＋1）=28 D．x（x－1）=28

2．已知平面中有n个点，A，B，C三个点在一条直线上，A，D，E，F四个点也在一条直线上，除些之外，再没有三点共线或四点共线，以这n个点作直线，那么一共可以画出38条不同的直线，这时n等于（）

A．9 B．10 C．11 D．12

3．一名跳水运动员从10m高台上跳水，他每一时刻所在高度h（单位：m）与所用时间t（单位：s）的关系是h=－5（t－2）（t＋1），则该运动员从起跳到入水所用的时间是（）A．5 s B．2 s C．3 s D．1 s

4．（2014?湖北武汉元月调考）为了宣传环保，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播，他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发倡议书，每个好友转发倡议书之后，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，依此类推，已知经过两轮传播后，共有111人参与了传播活动，则n= ．

5．一个两位数，个位与十位上的数字之和为8，把这个两位数的个位数字与十位数字对调，得到一个新的两位数，所得的新两位数与原数的乘积为1855，则原两位数是．6．（2014?浙江湖州模拟）甲型H1N1流感传染能力很强．若有一人患这种流感，经过两轮传染后共有64人患流感，则每轮传染中平均一人传染了人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经过三轮传播，将共有人患流感．

7．（2014?湖北鄂州）近几年，我国经济高速发展，但退休人员待遇持续偏低．为了促进社会公平，国家决定大幅增加退休人员退休金．企业退休职工李师傅2011年月退休金为1500元，2013年达到2160元．设李师傅的月退休金从2011年到2013年年平均增长率为x，可列方程为（）

A．2016（1－x）2=1500

B．1500（1＋x）2=2160

C．1500（1－x）2=2160

D ．1500＋1500（1＋x ）＋1500（1＋x ）2=2160

8．某商场有一种工艺品，一件工艺品进价为100元，标价为135元售出，每天可售出100

件，根据销售统计，一件工艺品每降低1元出售，则每天可多售出4件，要使顾客尽量得

到优惠，且每天获得利润为3596元，每件工艺品需降价（ ）

A ．4元

B ．6元

C ．4元或6元

D ．5元 9．（2014?鄂州二模）某方便面厂10月份生产方便面100吨，这样1至10月份生产量恰好

完成全年的生产任务，为了满足市场需要，计划到年底再生产231吨方便面，这样就超额

全年生产任务的21%，则11、12月的月平均增长率为（ ）

A ．10%

B ．31%

C ．13%

D ．11% 10．（2014?湖北武汉调考）武汉市某中学标准化建设规划在校园内的一块长36米，宽20

米的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的人行道，使其中两条与

AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草（如图所示），若使

每一块草坪的面积都为96平方米，设人行道的宽为x 米，下列

方程：①（36－2x ）（20

－x ）=96×6，②2×20x ＋（36－2x ）x =36×20－96×6，③（18－x ）（10－2x ）=14

×96×6，其中正确的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个

11．（2015?贵州遵义模拟）如图，矩形ABCD 的周长是20cm ，以AB ，AD 为边向外作正方形

ABEF 和正方形ADGH ，若正方形ABEF 和ADGH 的面积之和68cm 2

，那么矩形ABCD 的面积是

（ ）

A ．21cm 2

B ．16cm 2

C ．24cm 2

D ．9cm 2

12．（2014?江苏宿迁）一块矩形菜地的面积是120m 2，如果它的长减少2m ，那么菜地就变成

正方形，则原菜地的长是 m ． （5分钟）

课后作业可以在练习题里选，题量根据学生接受能力而定，建议完成时间控制30分钟以内

1.（2014?江苏镇江模拟）通过对苏科版九（上）教材一道习题的探索研究，“在一次聚会中，有45个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了多少次手？”

对这个问题，我们可以作这样的假设：第1个学生分别与其他44个学生握手，可握44次手；第2个学生也分别与其他44个学生握手，可握44次手；…依此类推，第45个学生与其他44个学生握手，可握44次手，如此共有45×44次握手，显然此时每两人之间都

按握了两次手进行计算的．因此，按照题意，45个人每两人之间握一次手共握了

244

45

=990次手．像这样解决问题的方法我们不妨称它为“握手解法”．

（1）若本次聚会共有n个人，每两个参加聚会的人都互相握了一次手，一共握了次手．

请灵活运用这一知识解决下列问题．

（2）一个QQ群中有若干好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条信息，这样共有756条信息，这个QQ群中共有多少个好友？

（3）已知一条直线上共有5个点，那么这条直线上共有几条线段？

（4）利用（3）的结论解决问题：已知由边长为1的正方形拼成如图所示的矩形ABCD，图中共有①多少个矩形？②多少个正方形？

2．（☆☆2012?山东潍坊）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大

数与最小数的积为192，则这9个数的和为（）

A．32 B．126 C．135 D．144

3．某旅店一楼的客房比二楼少一间，各个客房的床位同这层的房间数相同，现有36人入住，底楼都住满了，二楼也只剩下一间空房，则二楼的房间有（）

A．5间 B．6间 C．7间 D．4间

4．（☆☆☆）某书的页码是连续的自然数1，2，3，4，…9，10…，当将这些页码相加时，某人把其中一个页码加了两次，结果和为2006，加了两次的是第（）页．

A．10 B．20 C．43 D．53

5．（☆☆☆）在一次象棋比赛中，实行单循环赛制（即每个选手都与其他选手比赛一局），每局胜者记2分，负者记0分，如果平局，两个选手各记1分．某位同学统计了比赛中全部选手的得分总和为110分，则这次比赛中共有名选手参赛．

6．（2014?江苏淮北模拟）如图，每个大正方形是由边长为1的小正方形组成．观察如图图形，完成下列填空：

（1）猜想：当n为奇数时，图n中黑色小正方形的个数为，当n为偶数时，图n 中黑色小正方形的个数为；

（2）在边长为偶数的正方形中，白色小正方形的个数是黑色小正方形个数的4倍，求这个正方形的边长．

7．某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一

（1）甲运动4s后的路程是多少？

（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间？

（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间？

设备维护费5万元，从今年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．

（1）求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；

（2）购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去就设备维护费或新设备购进费）

10．（2014?湖北随州）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0．1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．

（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；

（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价－进价）

11．（2014?安徽安庆模拟）某市2012年国内生产总值（GDP）比2011年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计今年比2012年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（）

A．12%＋7%=x%

B．（1＋12%）（1＋7%）=2（1＋x%）

C．12%＋7%=2?x%

D．（1＋12%）（1＋7%）=（1＋x%）2

12．（2015?湖北黄冈二模）某厂把500万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润，在不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率比第一年的利润率增加了8%，这样第二年净得利润112万元，为求第一年的利润率，可设它为x，则解得第一年的利润率是（）A．10% B．11% C．12% D．13%

13．（2014?山东泰安）某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0．5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）

A．（3＋x）（4－0.5x）=15

B．（x＋3）（4＋0.5x）=15

C．（x＋4）（3－0.5x）=15

D．（x＋1）（4－0.5x）=15

14．随着青奥会的临近，青奥特许商品销售逐渐火爆．甲、乙两家青奥商品专卖店一月份销售额分别为10万元和15万元，三月份销售额甲店比乙店多10万元．已知甲店二、三月份销售额的月平均增长率是乙店二、三月份月平均增长率的2倍，那么乙店这两个月的月平均增长率是．

15．燃放烟花爆竹是中国春节的传统民俗，可注重低碳、环保、健康的市民让今年的烟花爆竹遇冷．在江北区北滨路一烟花爆竹销售点了解到，某种品牌的烟花2013年除夕每箱进价100元，售价250元，销售量40箱．而2014年除夕当天和去年当天相比，该店的销售量下降了4a%（a为正整数），每箱售价提高了a%，成本增加了50%，其销售利润仅为去年当天利润的50%．则a的值为．

16．某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0．1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0．5万元；销售量在10部以上，每部返利1

万元．

（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为

（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润＋返利）

18．（2014?江苏宿迁）一块矩形菜地的面积是120m2，如果它的长减少2m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是 m．

19．（2015?江苏苏州模拟）如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围

墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB

利用的围墙长度超过6m）．

20．（2014?山西省）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？

（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？

4

22．（2014?湖北咸宁）用一条长为40 cm的绳子围成一个面积为a cm2的长方形，a的值不．可能

．．为（）

A．20 B．40 C．100 D．120

23．（2014?江岸区模拟）如图，要设计一幅宽20cm，长30cm的图案，其中有两横两竖的

彩条，横竖彩条的宽度比为2：1，如果要使彩条所占面积是图案面积的19

75

，则竖彩条宽

度为（）

A．1cm B．2cm C．19cm D．1cm或19cm

24．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为（）

A．2?B．2＋C．2＋D?2

25．（2014?黑龙江牡丹江）现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得．

26．（2014?天桥区三模）如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的．如果AB=8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为．

27．（2014?江苏淮安）用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？

（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．

AQP x

一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.

. 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ，

， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以，

所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得

一元二次方程及其应用练习题

一元二次方程及其应用 一、选择题 1（2015?酒泉）今年来某县加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年投入3500万元．假设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（） A．2500x2=3500 B．2500（1+x）2=3500 C．2500（1+x%）2=3500 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3500 2．（2015?安徽）我省2013年的快递业务量为亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展，2014年增速位居全国第一．若2015年的快递业务量达到亿件，设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（）A．（1+x）= B．（1+2x）= C．（1+x）2= D．（1+x）+（1+x）2= 3．（2015?日照）某县大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造，2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）A．20% B．40% C．-220% D．30% ( 1. （2016·湖北随州）随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是（） A．20（1+2x）= B．（1+x）2=20 C．20（1+x）2= D．20+20（1+x）+20（1+x）2= 2. （2016·江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（） A．2B．1C．﹣2D．﹣1 3. （2016·辽宁丹东）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为． 4.（2016·四川攀枝花）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（）A．﹣1或4 B．﹣1或﹣4 C．1或﹣4 D．1或4 5．（2016·广西桂林）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（） A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5 ] 6.（2016·贵州安顺）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（） A．b=﹣3B．b=﹣2C．b=﹣1D．b=2 8. （2016·云南省昆明市）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．无法确定 9.(2016河北3分）a，b，c为常数，且（a-c）2>a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．有一根为0

一元二次方程根的分布情况归纳总结

一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00??? -??? ->??f 综 合结论（不讨论 a ） ()00200b a a f ?>???-?? ()0 0200 b a a f ?>???->???>?? ()00

分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0??? -??? ->??k f 综 合结论（不讨论 a ） ()020b k a a f k ?>??? - ?? ()0 20 b k a a f k ?>??? - >???>?? ()0

(完整版)一元二次方程知识点及其应用

一、相关知识点 1．理解并掌握一元二次方程的意义 未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 （1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02 =++c bx ax 才是一元二次方程。 （2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程 3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程 二．解法 1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如n x =2 或)0()(2 ≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未 知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2 的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等； 当042 =-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为a b x x 221- ==；

北师大 版九年级数学上册 2.6应用一元二次方程同步练习

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯 2.6 应用一元二次方程 一．选择题 1．参加足球联赛的每两支球队之间都要进行两场比赛，共要比赛110场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（） A．x（x+1）＝110B．x（x﹣1）＝110 C．x（x+1）＝110D．x（x﹣1）＝110 2．如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为（） A．35×20﹣35x﹣20x+2x2＝600 B．35×20﹣35x﹣2×20x＝600 C．（35﹣2x）（20﹣x）＝600 D．（35﹣x）（20﹣2x）＝600 3．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一季度投放1万辆单车，计划第三季度投放单车的数量比第一季度多4400辆，设该公司第二、三季度投放单车数量的平均增长率为x，则所列方程正确的是（） A．（1+x）2＝4400B．（1+x）2＝1.44 C．10000（1+x）2＝4400D．10000（1+2x）＝14400 4．某机械厂七月份生产零件50万个，九月份生产零件72万个．设该厂八九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（） A．500（1+x）2＝72B．50（1+x）＝72 C．50（1+x）2＝72D．50（1+2x）＝72 5．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（） A．x（x+1）＝1035B．x（x﹣1）＝1035

一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用 ◆课前热身文档设计者： 设计时间 ： 文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word 精品文档，可以编辑修改，放心下载 1．如果2是一元二次方程x 2 ＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x = B ．2x =- C ．1222x x ==-， D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.2 16(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断， 注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接

1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2 ≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二 次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2 ()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解. （3）公式法：一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 221,2 4(40)2b b ac x b ac a -±-=-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. ◆典例精析 例1（湖南长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程， 原方程成立，即06332 =--k 成立，解得k=1。故选A 。 例2（湖北仙桃）解方程：2 420x x ++= 【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解. 【答案】2 42x x +=-

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

一元二次方程的起源和应用

一元二次方程的起源与应用 一年七班 唐梦雷 一、定义：（quadratic equation of one variable ）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 二、 起源 在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。 埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。 希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。 公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。 在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令 a 、b 、c 为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数学家们为了解三次方程而开始应用复数根。 韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解外，还给出根与系数的关系。 我国《九章算术．勾股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。 三、一元二次方程的广泛应用 例1：下列关于x 的方程，哪些是一元二次方程？ （1）35 22=+x ；（2）062=-x x ；（3）5=+x x ；（4）02=-x ； （5）12)3(22+=-x x x ；（6）2273x x = ；（7）312=+ x x ；（8）522=+y x 注意点： ①二次项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③是整式方程；④只含有一个未知数． 例1:当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

一元二次方程根的差别式

典型例题一 例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?，方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?，则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根， 01+∴m ，即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明：上述证明中，判定02>?用到了01

分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. （2）0≠a ， ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数， 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. （3）0≠a ， ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?， ∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定?的符号. 当0=c 时，0=?，方程有两个相等的实数根； 当a 、c 异号时，0>?，方程有两个不相等的实数根； 当a 、c 同号时，0

【教学设计】2.6.应用一元二次方程(第一课时)教学设计(北师大版九年级数学上册)

第二章一元二次方程 6．应用一元二次方程（一） 一、学生知识状况分析 学生已经学习了一元二次方程及其解法，对于方程的解及解方程并不陌生，对于实际问题的应用，虽然在七、八年级学生已经进行了有关的训练，但还是有一定的难度。 由于本节内容针对的学习者是九年级上学期的学生，已经具备了一定的生活经验和初步的解一元二次方程的经验，乐意并能够与同伴进行合作交流。 二、教学任务分析 本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。显然，这个任务并非某个教学活动所能达成的， 而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。为此，本节课的教学目标是：知识目标：通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般过程。 能力目标： 1、经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型； 2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力； 情感态度价值观：④在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力

三、教学过程分析 本课时分为以下五个教学环节： 第一环节：回忆巩固，情境导入；第二环节: 做一做， 探索新知；第三环节：练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第 五环节：布置作业。 第一环节；回忆巩固，情境导入 问题吗？ ①在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动 的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端 滑动的距离和它相等呢？ ②如果梯子长度是13米，梯子顶 端下滑的距离与梯子 底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少? 分组讨论: ① 怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理 来列方程？ ② 涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底 是多少。 活动目的：以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材，以前面所学的勾股定理中 边长的关系 为切入点，用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望， 用学生已有的知 识为支点，进一步让学生体会数形结合的思想。 活动的实际效果：大部分学生能够联系以前学过的勾股定理的三边关系对上 述问题进行 思考，能够在老师的引导下主动地探究问题，取得了比较理想的效果， 而且也调动了学生的学习热情，激发了学生的思维，为后面的探索奠定了良好的 基础。 活动内容：提出问题：还记得本章开始时梯子下滑的 C1) (2) E ?1 ni n

一元二次方程根与系数关系及应用题(讲义及答案)

一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义） 一、知识点睛 1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________， 这两个式子称为_____________，数学史上称为___________． 注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有： ①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）； 1人患了流感，经过两轮传染． 经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证． 二、精讲精练 1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12 x x ?的值分别是（ ） A ．7，4 B ．72-，2 C ．72，2 D ．7 2，-2 2. 若x 1=23-是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则 该方程的另一个根x 2=_________，a =________． 3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范 围是____________________． 4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是25， 则m =________． 5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设 平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．2289(1)256x -= B ．2256(1)289x -= C ．289(12)256x -= D ．256(12)289 x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将 达到8 840元/米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则 每轮传染中平均一个人传染了________________个人．

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） a

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n

一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用 ◆课前热身 1．如果2是一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x = B ．2x =- C ．1222x x ==-， D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.216(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型:

考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后 再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接 1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x 的一元二次方程， 就可用直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方

一元二次方程应用题归纳集锦

《一元二次方程》应用题的几种类型 一．传播问题：公式：(a+x)n =M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后 得病总人数 1.有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传 染中平均一个人传染了几个人？ 2.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目 的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出多 少小分支？ 二、循环问题又可分为单循环问题1/2n(n-1)， 双循环问题n(n-1)和复杂循环问题1/2n(n-3) 3．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比 赛，共有多少个队参加比赛？ 4.参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手66次,有多少 人参加聚会? 5.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比 赛，共有多少个队参加比赛？ 6.初三毕业晚会时每人互相送照片一张,一共要90张照片,有多少 人? 7.一个正多边形，它共有20条对角线，问是几边形？ 三、平均率问题 M=a(1±x)n， n为增长或降 低次数 , M为最后产量，a为基数，x为 平均增长率或降低率

8.某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为 600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总 收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营 总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万 元？ 存n年的本息和=本金×（1+年利率）n，即本 金×（1+a%）n 四、商品销售问题常用关系式：售价—进价 =利润 一件商品的利润×销售量=总利润 单价×销售量=销售额利润率= 利润 ÷进价 9. 某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的 销售量P(件)与每件的销售价X(元)满足关系：P=100-2X销售 量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每 件商品的售价应定为多少元？每天要售出这种商品多少件？ 10. 某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可 售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000 元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 11. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元， 为了扩大销售量增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售2件，如果商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

一元二次方程根的两个特性及简单运用

一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数（包括常数项）决定的。因此，一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读，再填空解题： (1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x 1=6, x 2 =-2，则x 1 +x 2 =4，x 1 ·x 2 =-12； (2)方程2x2-7x+3=0的根是：x 1= 1 2 , x 2 =3，则x 1 +x 2 = 7 2 ，x 1 ·x 2 = 3 2 ； (3)方程3x2+6x-2=0的根是：x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = ， x 1·x 2 = ； 根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0且a、b、c为常数）的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。 解析：方程3x2+5x-2=0的根是：x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -，x1·x2= 2 3 -。 能猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数） 的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下： 根据求根公式可知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c 为常数）的两根为： a ac b b x 2 4 2 1 - + - =， a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商．

2.6.应用一元二次方程(第一课时)教学设计

第二章元二次方程 一、学生知识状况分析 学生已经学习了一元二次方程及其解法，对于方程的解及解方程并不陌生, 对于实际问题的应用，虽然在七、八年级学生已经进行了有关的训练，但还是有 定的难度。 由于本节内容针对的学习者是九年级上学期的学生，已经具备了一定的生活经验和初步的解一元二次方程的经验，乐意并能够与同伴进行合作交流。 二、教学任务分析 本节课的主题是发展学生的应用意识，这也是方程教学的重要任务。但学生应用意识和能力的发展不是自发的，需要通过大量的应用实例，在实际问题的解决中让学生感受到其广泛应用，并在具体应用中增强学生的应用能力。因此，本节教学中需要选用大量的实际问题，通过列方程解决问题，并且在问题解决过程中，促进学生分析问题、解决问题意识和能力的提高以及方程观的初步形成。 然，这个任务并非某个教学活动所能达成的，而应在教学活动中创设大量的问题解决的情境，在具体情境中发展学生的有关能力。为此，本节课的教学目标是: 知识目标: 通过分析问题中的数量关系，建立方程解决问题，认识方程模型的重要性, 并总结运用方程解决实际问题的一般过程。 能力目标: 1经历分析和建模的过程，进一步体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效的数学模型; 2、能够利用一元二次方程解决有关实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，进一步培养学生分析问题、解决问题的意识和能力； 情感态度价值观：④在问题解决中，经历一定的合作交流活动，进一步发展学生合作交流的意识和能力。

三、教学过程分析 本课时分为以下五个教学环节：第一环节：回忆巩固，情境导入；第二环节: 做一做，探索新知；第三环节：练一练，巩固新知；第四环节：收获与感悟；第五环节：布置作业。 第一环节；回忆巩固，情境导入活动内容：提出问题：还记得本章开始时梯子下滑的 问题吗? ①在这个问题中，梯子顶端下滑1米时，梯子底端滑动 的距离大于1米，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端 滑动的距离和它相等呢？②如果梯子长度是13米，梯 子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少? 分组讨论: ①怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程? ②涉及到解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底 是多少。 活动目的：以学生所熟悉的梯子下滑问题为素材，以前面所学的勾股定理中边长的关系为切入点，用熟悉的情境激发学生解决问题的欲望，用学生已有的知识为支点，进一步让学生体会数形结合的思想。 活动的实际效果：大部分学生能够联系以前学过的勾股定理的三边关系对上述问题进行思考，能够在老师的引导下主动地探究问题，取得了比较理想的效果, 而且也调动了学生的学习热情，激发了学生的思维，为后面的探索奠定了良好的基础。

浅谈一元二次方程的应用

浅谈一元二次方程的应用 姓名：宋永安 年级：2011 级 专业：数学应用 指导教师：王元会

浅谈一元二次方程的应用 (宋永安，2011级，数学应用本科) 文章摘要：一元二次方程在初中教学内容中，站着举足轻重的地位，学好一元二次方程，是学好二次函数不可或缺的捷径，也是学好高中数学的奠基工程。因此，本文将从函数入手，着重探讨一下一元二次方程的概念、形式、解法以及应用，以求对于一元二次方程有个深入的解析。 关键词：函数一元二次方程应用 一元二次方程是在学习《一元一次方程》、《二元一次方程》和分式方程等基础之上学习的，它也是一种数学建模的方法。学好一元二次方程，是学好二次函数不可或缺的捷径，也是学好高中数学的奠基工程。应该说，一元二次方程是初中教学的重点内容。 一、函数 1、函数的概念 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。 1755欧拉首次给出了函数变量定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面的变量变化时，前者的这些量也随之变化，则将前面的变量称之为后一些变量的函数.由此演变为目前的函数的“变量说”，黎曼在1851定义：“我们假定z是一个变量，如果对它的每一个值，都有未知量W的

每一个值与之对应，则称W 是Z 的函数.1939年，布尔巴基学派主借用了笛卡儿积建立关系，进而定义函数： (1)对A 中每一个元素x ，存在y B ∈，使(),x y F ∈； (2)若()1,x y F ∈且()2,x y F ∈，则12y y =.数F 记作：:F A B →. 分别称以上函数的定义为变量说、对应说和关系说. 2、函数概念的核心思想 数学的核心是研究关系，即数量关系、图形关系和随机关系.数研究的是两个变量之间的数量关系：一个变量的取值发生了变化，另一个变量的取值也发生变化，这就是函数表达的数量之间的对应关系.中有三点是重要的，一是变量的取值是实数；二是因变量的取值是唯一的；三是必须借助数字以外的符号表示函数. 函数的表达方式一般有三种：解析式法，表格法，图像法. 解析式是最常用的方法，适用于表示连续函数或者分段函数.析式有利于研究函数性质，构建数学模型，但对初学者来说也是抽象的.表法适用于表达变量取值是离散的情况.用图像法可以直观地表述函数的形态，有利于分析函数的性质，但作图是比较困难的，用何种方法来表达函数因题而异. 3、中学数学研究的函数性质 数学中研究函数主要是研究函数的变化特征.学阶段主要研究函数的周期性，也涉及奇偶性；在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性，也讨论某些函数的奇偶性. (1)函数的周期性 周期性反映了函数变化周而复始的规律.中学阶段学习函数的一个基本的性质.期函数是刻画周期变化的基本函数模型，使我们集中研究函数在一个周期里的变化，了解函数在整个定义域内的变化情况. (2)函数的奇偶性 函数的奇偶性也是我们在中学阶段学习函数时要研究的函数的性质，但它不是最基本的性质.偶性反应了函数图形的对称性质，可以帮助我们用对称思想来研究函数的变化规律. (3)函数的单调性

一元二次方程的根

初中数学竞赛专题选讲(初三.1) 一元二次方程的根 一 、内容提要 1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的. 根公式是：x=a ac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0) 2. 根的判别式 ① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是： b 2－4a c ≥0. ② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是： b 2－4a c 是完全平方式?方程有有理数根. ③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根?p 2－4q 是整数的平方数. 3. 设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么 ① ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)； ② x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=a ac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)； ③ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=a c (a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4. 方程整数根的其他条件 整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0?x 1=0 ， a+b+c=0?x 1=1 ， a －b+c=0?x 1=－1. 二、例题 例1. 已知：a, b, c 是实数，且a=b+c+1. 求证：两个方程x 2+x+b=0与x 2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根. （1990年泉州市初二数学双基赛题） 证明 （用反证法） 设 两个方程都没有两个不相等的实数根， 那么△1≤0和△2≤0. 即?? ???++=≤-≤ ③ ② ①－1040412c b a c a b 由①得b ≥ 41，b+1 ≥4 5代入③，得 a －c=b+1≥45， 4c ≤4a －5 ④ ②＋④：a 2－4a+5≤0， 即（a －2）2+1≤0，这是不能成立的. 既然△1≤0和△2≤0不能成立的，那么必有一个是大于0.