应用数理统计思考题1

思考题

1． 设3621,,,X X X 是来自正态总体)5,40(2

N 的样本,求样本均值在38与43之间的概率。

2．设),(~2

σμN X , 其中0,>σμ是未知参数, 设n X X X ,,,21 是X 的样本, 求2

,σμ的最大似然估计量.

3．设某种元件的使用寿命X 的概率密度为

???<≥=--.,

0,

,);()(θθλθθλx x e x f x

其中0,0>>λθ为未知参数。求参数λθ,的最大似然估计量λ

θ?,?。 解 似然函数),,2,1(,)(1

)(n i x e L i

x n n

i i =≥∑==--θλθθλ

得

取对数时当,0)(,),,2,1(0>=≥θL n i x i

∑=--=n

i i x n L 1

)(ln )(ln θλλθ，

因为

)(,02)

(ln θθ

θL n L 故>=??单调增加。由于θ满足),,2,1(n i x i =≤θ，因此当θ取n x x x ,,,21 中的最小值时，)(θL 取最大值，所以θ的最大似然估计值为 ),,min(?21n

x x x =θ，θ的最大似然估计量为 ),,,min(?21n X X X =θ。

由

,0)(ln =+-=??θλ

λθn x n n

L 得 θ

λ?1?-=x ，所以λ的最大似然估计量为

121

?min(,,,)

n X X X X λ

=-

4．设X 的分布律为

θ

-θθ

213

21k

p X ，其中参数0>θ未知，今有样本

2,1,1,3,2,2,1,2,2,3,1,2,3,1,1,1

试求θ的矩估计和最大似然估计。

解 下面x 与X 符号不区分。

（1）矩估计。θ-=θ-?+θ?+θ?=33)21(321Ex

令θ-==33Ex x ()125

162833116211331331?=

??

? ??-=??? ??+++-=-=θ

? x （2）最大似然估计。313

16

1

)21(}{)(θ-θ

===

θ∏=i i

x X P L

令0)3213()21()(2

12

=θ-θ-θ=θ'L 得0=θ或

21或32

13

，前两者不符合题意 故取32

13

?=θ

5．设由来自正态总体)9.0,(~2

μN X ，容量为9的简单随机样本计算得样本均值5=X ，求未知参数μ的置信度为0.95的置信区间。

[解] ???? ?

?σ

±

α2/Z n X ???

? ???±=96.199

.05()588

.05±= 或 )588.5 , 412.4(

6．设2

2

,),,(~σμσμN X 未知，X 的样本为457，482，493，471，510，446，435，418，394，469.求2

,σμ的95%置信区间。

解 2

2

22.35,50.4575,05.0%951,10===-=α=s x n (1) 2622.2)9(025.0)12==-αt t n , μ的95%置信区间为

()69.482 , 31.4322622.21022

.3550.457)1(2

=???

? ???±=???? ??-±αn t n s x (2) 023.19)9(,70.2)9()1(2

025.02

975.02

12=χ=χ=-χα-n 2σ的95%置信区间为

()84.4134 , 87.58670.222.359 , 023

.1922.359)1()1( )1()1(222122222=???? ????=???? ??-χ--χ-αα-n s n n s n ，

7．在一批木材中随机抽取36根, 测量其小头直径, 算得平均值2.14=x cm. 设木材的小头直径

)2.3,(~2μN X , 问该批木材的平均小头直径能否认为在14cm 以上？（显著性水平05.0=α）

解 这是一个单边检验问题, 检验假设

14:0≤μH , 14:1>μH .

选取检验统计量 n

X U σ14

-=

, 该假设检验问题的拒绝域为ασz n

x u ≥-=

14

. 现在36=n ,

2.3=σ, 2.14=x , 因而375.036

2

.3142.14=-=

u ．由05.0=α，查标准正态分布表得，

645.105.0==z z α, 所以645.1375.0<=u , 接受原假设14:0≤μH , 即不能认为这批木材的小

头直径在14cm 以上.

8．用热敏电阻测温仪间接测量地热勘探井底温度（单位: C ）, 设测量值),(~2

σμN X , 现在重复测量7次, 测得温度如下

112.0 113.4 111.2 112.0 114.5 112.9 113.6

而温度的真值6.1120=μ, 试问用热敏电阻测温仪间接测量温度有无系统偏差？（)05.0=α.

解 检验假设

6.112:0=μH , 6.112:1≠μH .

选取统计量 n

S

X t 6.112-=

, 当0H 成立时)1(~-n t t . 该假设检验问题的拒绝域为

)1(6.1122-≥-=

n t n

s

x t α.

由05.0=α, 7=n , 得4469.2)6()1(025.02==-t n t α. 由样本算得8.112=x , 136.1=s , 统计量t 的值为

4659.07

136

.16.1128.112=-=

t ,

显然4469.24659.0||<=t , 从而在显著性水平05.0=α下, 所以接受原假设6.112:0=μH , 即

可以认为用热敏电阻测温仪间接测量温度无系统偏差.

9.设),,(??),,,(??21222111n n X X X X X X θθθθ==是参数θ的两个相互独立的无偏估计量，且0)?(3)?(21>=θθD D 。令2

1??θθb a Y +=， 确定b a ,使Y 为θ的无偏估计量，并且在一切这样的线性估计类中Y 最有效。

10. 某厂生产的螺钉长度),(~2σμN X ，规定合格品的标准长度为5.50，标准差不超过0.09。现在从该厂生产的一批螺钉中随机地抽取6个，测得长度的平均值46.5=x ，标准差0802.0=s 。问是这批螺钉是否合格？（05.0=α）。

11. 某农科所为了试验某种有机肥料的用量x （单位：公斤）对谷物产量y （单位：公斤）的影响进行了科学试验，试验结果如下表

假设谷物产量y 对肥料用量x 满足线性关系式

()2,~0,y x N αβεεσ=++。

（1）试用最小二乘法求谷物产量y 对施肥量x 的线性回归方程； （2）求2

σ的估计值；

（3）对线性模型的线性假设进行显著性检验；()0.05α=

（4）求当肥料用量为50公斤时，谷物产量的置信水平为95%的预测区间。