最新2020届高三广州一模理科数学试题及参考答案

2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合{|01,},{|2,}R R M x x x N x x x =<<∈=<∈，则（ ）

A ．M

N M =

B ．M N N =

C ．M N M =

D ．R M

N =

2．若复数z 满足方程2

20z +=，则3z =（ ） A

．±

B

．-

C

．- D

．±

3．若直线10kx y -+=与圆2

2

2410x y x y ++-+=有公共点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[3,)-+∞

B ．(,3]-∞-

C ．(0,)+∞

D ．(,)-∞+∞

4．已知:12p x +>，:23q x <<，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件

5．设函数1

()2cos 2

3f x x π??=- ???，若对任意R x ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小

值为（ ） A ．

2

π

B ．π

C ．2π

D ．4π

6．已知直三棱柱111ABC A B C -的体积为V ，若,P Q 分别在11,AA CC 上，且1111

,33

AP AA CQ CC ==，则四棱锥B APQC -的体积为（ ） A ．1

6

V

B ．29

V

C ．13

V

D ．79

V

A

B

C

C 1

B 1

A 1

P Q

7．为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：

可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ） A ．

514

B ．

914

C ．

37

D ．

47

8．已知直线:2l y x =-与x 轴的交点为抛物线2

:2(0)C y px p =>的焦点，直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，则AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为（ ） A ．8 B ．6 C ．5 D ．4

9．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1251

,43

a a a =+=，若48()N n n S a n *+∈≥，则n 的最小值为（ ） A ．8

B ．9

C ．10

D ．11

10．已知点00(,)P x y 是曲线3

2

:1C y x x =-+上的点，曲线C 在点P 处的切线方程与直线811y x =-平行，则（ ） A ．02x = B ．043

x =-

C ．02x =或043

x =-

D ．02x =-或043

x =

11．已知O 为坐标原点，设双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲

线C 上位于第一象限上的点，过点2F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为A ，若122b F F OA =-，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．

5

4

B ．

43

C ．

53

D ．2

12．已知函数221,0

()1,0

x x x f x x x x ?--+

点123,,,,m x x x x ，则123()()()()m f x f x f x f x ++++=（ ）

A ．4042

B ．4041

C ．4040

D ．4039

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．

13．如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 ，表面积为 ．

14．在251(1)ax x x ??+

- ???

的展开式中，3

x 的系数是15，则实数a = ． 15．已知单位向量1e 与2e 的夹角为3

π

，若向量122e e +与122e ke +的夹角为56π，则实数k 的值为

．

16．记数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知

1cos sin ()22

n n a a n n n n ππ

*++=-∈N ，且20191009m S +=-，10a m >，则

119

a m

+的最小值为 ． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）

ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c

．已知c =

sin sin sin sin ab C

a A

b B

c C

=+-

（1）求角C 的大小； （2）求2b a +的最大值． 18．（本小题满分12分）

随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：

（1）以这训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；

（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y 的分布列及数学期望()E Y ． 19．（本小题满分12分）

如图1，在边长为2的等边ABC △中，,D E 分别为边,AC AB 的中点．将AED △沿DE 折起，使得

AB AD ⊥，AC AE ⊥，得到如图2的四棱锥A BCDE -，连结BD ，CE ，且BD 与CE 交于点H ． （1）求证：AH ⊥平面BCDE ； （2）求二面角B AE D --的余弦值．

E C

H

B

D

A

图1

图2

20．（本小题满分12分） 已知

M

过点A

，且与22:(16N x y ++=内切，设M 的圆心M 的轨迹为曲线C ．

（1）求曲线C 的方程；

（2）设直线l 不经过点(2,0)B 且与曲线C 相交于,P Q 两点．若直线PB 与直线QB 的斜率之积为1

2

-，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出此定点坐标；若不过定点，请说明理由． 21．（本小题满分12分） 已知函数3

21()(4)6,()1ln 3x f x x e

x x g x a x x -?

?=-+-=--- ??

?．

（1）求函数()f x 在(0,)+∞上的单调区间；

（2）用max{,}m n 表示,m n 中的最大值，()f x '为()f x 的导函数．设函数()max{(),()}h x f x g x '=，若()0h x ≥在区间(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：

111

11

ln 3()12

313N n n n n n n

*++++

+>∈++-．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分． 22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy

中，曲线1C 的参数方程为31

2x t

y t

=+??

=+?（t 为参数），曲线2C 的参数方程为

x y θ

?=??

?=?

（θ为参数且3,22ππ

θ??∈ ???

）． （1）求曲线1C 和2C 的普通方程；

（2）若,A B 分别为曲线12,C C 上的动点，求AB 的最小值． 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分） 已知函数()36,R f x x x a a =-+-∈．

（1）当1a =时，解不等式()3f x <；

（2）若不等式()114f x x <-对任意34,2

x ??∈--???

?

成立，求实数a 的取值范围．

2020年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

理科数学参考答案

1．答案：A

解析：{|01,},{|2,}{|22,},M x x x N x x x x x x M N ?≠=<<∈=<∈=-<<∈∴R R R ，

M N M ∴=．

2．答案：D

解析：2233

20,2,(z z z z +=∴=-===±．

3．答案：D

解析：圆的标准方程为2

2

(1)(2)4x y ++-=，圆心为(1,2)C -，半径2r =，直线10kx y -+=过定点

(0,1)P

，因为CP r =<，所以直线与圆恒有公共点，所以实数k 的取值范围是(,)-∞+∞．

4．答案：B

解析：由12x +>，得12x +<-或12x +>，解得3x <-或1x >， 因为{|23}{|3x x x x ?≠<<<-或1}x >，所以p 是q 的必要不充分条件． 5．答案：C

解析：由题可知1x 是函数()f x 的最小值点，2x 是函数()f x 的最大值点．所以12x x -的最小值为函数

()f x 半个周期，1

4,22

T T ππ==．

6．答案：B

解析：设底面正三角形的边长为a ，直三棱柱的高为h

，则2

4

V a h =

，

所以2112332189

B APQ

C V ah a a h V -??=??== ???． 7．答案：

C

解析：从10位同学中选取5人，共有5

10252C =种不同的选法，若每个宣传小组至少选派1人，则共有 2111112122332233223672108C C C C C C C C +=+=种不同的选法，则所求概率为

1083

2527

=． 8．答案：A

解析：依题可知抛物线的焦点坐标为(2,0)F ，所以4p =，将2y x =-代入2

8y x =，得

21240x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，AB 中点00(,)M x y ，则1212x x +=，12

062

x x x +=

=， 则点M 到准线2x =-的距离为6(2)8--=． 9．答案：C

解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则251225543a a a d d +=+=

+=，解得23d =． 所以112(1)21

(1)333n n n a a n d --=+-=+=，21()123

n n n a a S n +==，由48n n S a +≥，化简得：

28200n n --≥，(2)(10)0n n +-≥，10n ≥，即n 的最小值为10．

10．答案：B

解析：令2

328y x x '=-=，得2

3280x x --=，(34)(2)0x x +-=，解得4

x =-

或2x =， 当2x =时，5y =，此时(2,5)M 11．答案：C

解析：延长2F A 交1PF 于点B ，因为

PA 是12F PF ∠的平分线且2PA F B ⊥，

可得2PB PF =，且2AB AF =， 所以OA 是12F BF △的中位线， 所以()11111

222

OA BF PF PB =

=-=又由122b F F OA =-，可得22b c =-所以223850c ac a -+=，2

385e e -+=12．答案：B

解析：()1f x x x x =-+，所以()()sin(2020)1sin(2020)F x f x x x x x x ππ=--=--为奇函数，

所以

1

0m

i

i x

==∑，显然(1)(0)(1)0F F F -===，当01x ≤≤时，由2()sin(2020)0F x x x x π=--=，

得2

sin(2020)x x x π-=，在同一坐标系中作出2

(01)y x x x =-<≤和sin(2020)(01)y x x π=<≤的

图象，sin(2020)y x π=的最小正周期1

1010

T =， 在每个区间112100910100,

,,,,10101010101010101010?

?????

???????

??

内各有2个零点， 所以两函数在区间(0,1]内共有2020个交点，即()F x 在(0,1]内共有2020个零点，由对称性，()F x 在[1,0)-内也有2020个零点，

又(0)0F =，所以4041m =，所以4041

1231

()()()()(1)4041m i f

x f x f x f x x x x =+++

+=-+=∑．

13

．答案：

3，3π（第1个空2

分，第二个空3分）

解析：该几何体是一个圆锥，其底面半径1r =，高h =

母线长2l =，体积2133

V r h π==，表面积2

3S r rl πππ=+=． 14．答案：5 解析：252525

11(1)(1)(1)ax x ax x x x x

?

?+

-=?-+?- ???， 而25(1)x -的展开式中含2x 的项为42425(1)5C x x -=，含4

x 的项为322345()(1)10C x x -=-，

所以251(1)ax x x ??+

- ??

?

的展开式中，3

x 的系数是51015a -=，解得5a =． 15．答案：10-

解析：不妨取121(1,0),,

2e e ?==

?

?，设122(2,a e e =+=，12222k b e ke ??

=+=+ ?

???

， 则3

4cos ,k k

a b a b a b

++?=

=

=?，两边平方，并整理得2

219100k k +-=， (10)(21)0k k +-=，解得10k =-或12k =

，又因为5

402

k +<，所以10k =-． 16．答案：16 解析：当2n =时，得

23231,22a a a a +=-∴+=-；当4n =时，得45451,44

a

a

a a +=+=， 23452a a a a ∴+++=，