圆锥曲线过定点问题

圆锥曲线过定点问题

一、小题自测

1. 无论k 取任何实数，直线 （1 4k ）x （2 3k ）y （2

14k ） 0必经过一个定点，则这个定点的坐标

为

2 2 2. 已知直线l : 2ax by a b 0 ；圆C : x y 2x10，则直线I 与圆C 的位置关系为 .

二、几个常见结论：

满足一定条件的曲线上两点连结所得的直线过定点或满足一定条件的曲线过定点，这构成了过定点问题。

1、 过定点模型： 代B 是圆锥曲线上的两动点，

M 是一定点，其中 ，分别为MA,MB 的倾斜角，则有 下面的结论： uur uuir

①、MA MB 为定值 直线AB 恒过定点；

②、k MA k MB 为定值 直线AB 恒过定点； ③、 （0 ） 直线AB 恒过定点.

2、 抛物线中的过定点模型： 代B 是抛物线y 2px （p 0）上的两动点，其中

，分别为OA,OB 的倾

斜角，则可以得到下面几个充要的结论： 为DA,DB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论: 2 ac 直线AB 恒过定点（一^ 2,0）.

2 a b 三、方法归纳：

★参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量 x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，

那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于

x , y 的方程 组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。

★特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。

★关系法：对满足一定条件曲线上的两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直 OA OB k OA k OB 3、椭圆中的过定点模型: 1 - 2

x 2 代B 是椭圆一2 a 直线AB 恒过定点（2p,0）. 2 y 2 1（a b 0）上异于右顶点 b 2 D 的两动点，其中 分别

DA DB k °A k °B 1

线（或曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识求解。

圆锥曲线中的定值定点问题教学提纲

圆锥曲线中的定值定 点问题

2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 的离心率为2, 点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：四边形ABNM 的面积为定值. 22 221x y a b +=

3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程 （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.

<圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析 试题解析： 【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2.

圆锥曲线新题型及定点问题分析

高三冲刺讲义：《圆锥曲线新题型及定点问题分析》 圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容合热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力、计算能力要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化思想与划归思想的应用。定点问题与定值问题是这类题目的典型代表，下面我们就着重研究这些2类问题； 在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取值不同时，曲线本身的性质不变，或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值定点问题。圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值定点问题，她涵盖两类问题，一是懂曲线景观定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题。在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应有赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形。 所以在圆锥曲线的综合性问题里，定点定值问题往往是我们学习的一个难点.对于这类问题的学习，通常有两种处理方法: ①从特殊人手，求出定点或定值，再证明这个点(值)与变量无关. ②直接推理、计算，并在计算中消去变量，从而得到定点(定值). 而第二个方法又是我们深入且归纳的重点方法，其中又包括： 1、通过定义代入化简； 2、通过平面几何知识或三角知识代入； 3、通过韦达定理化简； 下面我们就来介绍这些题型： 题型一：通过代入化简得定值 例1：已知),(00y x P 为椭圆122 22=+b y a x 上的一点，其中21F F 、为椭圆的左右焦点； 求证：0101,x a c a PF x a c a PF -=+ =。 证明：02 020 222 2 020 2 2 012)(x a c a x a c a x a b b c cx x y c x PF +=??? ? ? +=-+++=++= 同理得证：01x a c a PF - = 题型二：通过平面几何知识化简得到 例2：已知椭圆E 的方程为22 143 x y +=，右焦点为F ，直线l 与圆223x y +=相切于点Q ，且Q 在y 轴的右侧，设直线l 交椭圆E 于不同两点1122(,),(,)A x y B x y . （1）若直线l 的倾斜角为 4 π ，求直线l 的方程； （2）求证：||||AF AQ +=||||BF BQ +. 提示：用代入法转化AF ，2114 33x y - =

高考数学专题复习-圆锥曲线定值定点问题

圆锥曲线问题的解题规律可以概括为： “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好，选准突破口，一点破译全局活。 定点、定直线、定值专题 已知直线l ： y=x+，圆O ：x 2+y 2=5，椭圆E ：过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值． 2．过点作不与y 轴垂直的直线l 交该椭圆于M 、N 两点，A 为椭圆的左顶点，试判断∠MAN 的大小是否为定值，并说明理由． 3．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2 ）是椭圆，（a ＞b ＞0）上的两点，已知向量=（，），=（，），且，若椭圆的离心率，短轴长为2，O 为坐标原点： （Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k 的值； （Ⅲ）试问：△AOB的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由． 4．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的倍，且椭圆 C经过点M． （1）求椭圆C的标准方程； （2）过圆O：上的任意一点作圆的一条切线l与椭圆C交于A、B两点．求证：为定值． 5．已知平面上的动点P（x，y）及两定点A（﹣2，0），B（2，0），直线PA，PB的斜率分别是k1，k2且． （1）求动点P的轨迹C的方程； （2）设直线l：y=kx+m与曲线C交于不同的两点M，N． ①若OM⊥ON（O为坐标原点），证明点O到直线l的距离为定值，并求出这个定值 ②若直线BM，BN的斜率都存在并满足，证明直线l过定点，并求出这个定点．

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。

圆锥曲线定值定点问题【最新】

圆锥曲线问题的解题规律可以概括为: “联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布范围，曲线定义不能忘，引参、用参巧解题，分清关系思路畅、数形结合关系明，选好, 选准突破口，一点破译全局活。 定点、定直线、定值专题 （2012*荷泽一模〉已知直线1：y=x+AZ&. I.!a|O：x-+y-=5.椭圆E：牛+牛二i过圆O上任 意一点P作椭换1E的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之枳为宦值. 2. （2012?自贡三模）：过点0）作不打y轴垂直的直线1交该椭于M、 5 4 N两点，A为椭圆的左顶点-试判断ZMAN的大小是否为怎值，并说明理由? 2 2 3.（2013?川山二模〉设A（XI，yi）. B （x?, y2> 是椭PilA;+^=b（a>b：>0）上的两点, 己知向量二（:丄竺），二（二2竺）.且W恳二0?若椭圆的离心率巴出.短轴长为2, ba ba 2 O为坐标原点： （I）求椭岡的方程： （11 ）若直线AB过椭鬪的焦点F （0, C）, Cc为半焦距），求直线AB的斜率k的值：（llf）试问：△AOB的iflf枳是否为怎值？如果是，请给予证明；如果不是.请说明理由. 4.已知椭鬪C的中心在原点，傑点在X轴上，长轴长是短轴长的近倍.且椭圆C经过点M（2, V2）. （1）求椭鬪C的标准方程：

(2》过鬪0： 二3卜的任意一点作圆的一条切线椭鬪C 交于A 、B 两点.求证: 3 5.已知平面上的动点P(x, y)及两定点A ( -2, 0), B (2, 0).直线PA. PB 的斜率分 ki* k2 且k J ? k 2= - 求动点P 的轨迹C 的方程： 设直线h 戸kx+m 仃曲线C 交于不同的两点M. N ? ②若直线BM. BN 的斜率都存在并满足kBM.kBif-亍 证明直线I 过定点，并求出这个 富点. 2 2 - 6. (2011>新疆模拟)已知椭圆C ；青+丫5二1(a>b>0)的离心率为丄，以原点为圆心，椭 a D 2 圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+V6=0相切. (I )求椭圆C 的方程； (II)设P(4, 0), A. B 是椭圆C 上关于X 轴对称的任意两个不同的点，连接PB 交椭圆 C 于另一点E,证明直线AE 与X 轴相交于窪点Q ： 7.已知椭圆Q 的离心率为2,它的一个焦点和抛物线y2=-4x 的焦点重合. (1)求椭鬪Q 的方程； 2 + y ― 1 (a>b>0)上过点(xo ，yo>的切线方程为 X2 ygy 2 —+ ~72 a b ① 过直线1： x=4上点M 引椭圜Q 的两条切线，切点分别为A, B.求证：直线AB 恒过是 点C ； ② 是否存在实数入使得iAq+|BC|=x>jACHpC!>若存在，求出入的值：若不存在，说明理由? 2 c 过椭圆c ：刍+y2=i 的右焦点F 作直线I 交椭圆C fA 、B 两点，交y 轴于M 点，若 5 亦二X 1万，旋二X 2丽，求证：入1+入2为定值. 别是 (1) (2) ①若OM 丄ON <0为坐标原点).证明点O 到直线I 的距离为定值，并求出这个定值 =1-

知识总结圆锥曲线之动弦过定点的问题

题型三：动弦过定点的问题 圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。 例题4、已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且在x 轴上的顶点分别为 A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程； （II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。 分析：第一问是待定系数法求轨迹方程；第二问中，点A 1、A 2的坐标都知道，可以设直线PA 1、PA 2的方程，直线PA 1和椭圆交点是A 1(-2,0)和M ，通过韦达定理，可以求出点M 的坐标，同理可以求出点N 的坐标。动点P 在直线:(2)l x t t =>上，相当于知道了点P 的横坐标了，由直线PA 1、PA 2的方程可以求出P 点的纵坐标，得到两条直线的斜率的关系，通过所求的M 、N 点的坐标，求出直线MN 的方程，将交点的坐标代入，如果解出的t>2，就可以了，否则就不存在。 解：（I ）由已知椭圆C 的离心率2 c e a = =，2a =,则得1c b ==。 从而椭圆的方程为2 214 x y += （II ）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，直线1A M 的斜率为1k ,则直线1A M 的方程为1(2)y k x =+， 由122 (2)44 y k x x y =+??+=?消y 整理得222121(14)161640k x k x k +++-= 12x -和是方程的两个根，

圆锥曲线的定点、定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；

圆锥曲线中的定点和定值问题的解题方法

寒假文科强化（四）：圆锥曲线中的定点和定值问题的解答方法 【基础知识】 1、对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决. 2、在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算推理求出其结果；另一种是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，然后再进行一般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的.如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效. 题型一 ：定点问题 法一：特殊探求，一般证明； 法二：设该直线（曲线）上两点的坐标，利用点在直线（曲线）上，建立坐标满足的方程（组），求出相应的直线（曲线），然后再利用直线（曲线）过定点的知识加以解决。 例1 设点A 和B 是抛物线?Skip Record If...?上原点以外的两个动点，且?Skip Record If...?，求证直线?Skip Record If...?过定点。 解：取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程； 再取?Skip Record If...?写出直线?Skip Record If...?的方程；最后求出两条直线 的交点，得交点为?Skip Record If...?。 设?Skip Record If...?，直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?， 由题意得?Skip Record If...?两式相减得 ?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?， ?Skip Record If...?直线?Skip Record If...?的方程为?Skip Record If...?，整理得?Skip Record If...? ① 又?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...??Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...? O A B

圆锥曲线定值定点问题

圆锥曲线定值定点问题 摘要：求解定点和定值问题的基本思想是一致的，定值是证明求解的一个量与 参数无关，定点问题是求解的一个点（或几个点）的坐标，使得方程的成立与参 数值无关。解这类试题时要会合理选择参数，使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标。 关键词：定点定值参数 定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问 题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所 影响的一个点，就是要求的定点。解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。 突破策略一：直接法 已知两点A（-2,0），B（2,0），动点P在y轴上的投影是Q，且2PA·PB=|PQ|2。 1.求动点P的轨迹C的方程； 2.过点F（1,0）作互相垂直的两条直线交轨迹C于点G，H，M，N，且E1，E2分别是GH，MN的中点。求证：直线E1E2恒过定点。 （1）解：设点P的坐标为（x,y），则点Q的坐标为（0,y）。 ∵2PA·PB=|PQ|2，∴2[（-2-x）（2-x）+y2]=x2。 ∴点P的轨迹方程为＋=1。 （2）证明: 当两直线的斜率都存在且不为0时，设lGH：y=k（x-1），G（x1,y1），H （x2,y2），lMN：y=-（x-1），M（x3,y3），H（x4,y4），联立方程，得 （2k2+1）x2-4k2x+2k2-4=0,∴△>0恒成立，∴，∴GH中点E1的坐标为（,）。同理，MN中点E2的坐标为（ ,），∴KE1E2=。lE1E2 的方程为y- =（x- ）,即y=[x-- ]，化简得y=（x-）,∴lE1E2过点（,0）。 当两直线的斜率分别为0和不存在时，lE1E2的方程为y=0，也过点（，0）。 综上所述，lE1E2过点（,0）。 对点训练：略。 突破策略二：逆推法 设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y2=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P 满足NP=2NM。 1.求点P的轨迹方程。 2.设点Q在直线x=-3上，且OP·PQ=1。 证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型

2017届高三第一轮复习专题训练之 圆锥曲线中的定点定值问题的四种模型 定点问题是常见的出题形式，化解这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。直线过定点问题通法，是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的一次函数关系式，代入直线方程即可。技巧在于：设哪一条直线？如何转化题目条件？圆锥曲线是一种很有趣的载体，自身存在很多性质，这些性质往往成为出题老师的参考。如果大家能够熟识这些常见的结论，那么解题必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中几种常见的几种定点模型： 模型一：“手电筒”模型 例题、（07山东）已知椭圆C ：13 42 2=+y x 若直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标。 解：设1122(,),(,)A x y B x y ，由22 3412 y kx m x y =+??+=?得222 (34)84(3)0k x mkx m +++-=， 22226416(34)(3)0m k k m ?=-+->，22340k m +-> 2121222 84(3) ,3434mk m x x x x k k -+=-?=++ 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -?=+?+=+++=+ 以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D 且1AD BD k k ?=-， 1212122 y y x x ∴?=---，1212122()40y y x x x x +-++=， 222222 3(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++， 整理得：22 71640m mk k ++=，解得：1222,7 k m k m =-=- ，且满足22 340k m +-> 当2m k =-时，:(2)l y k x =-，直线过定点(2,0),与已知矛盾； 当27k m =- 时，2:()7l y k x =-，直线过定点2(,0)7 综上可知，直线l 过定点，定点坐标为2 (,0).7 ◆方法总结：本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P 做相互垂直的直 线交圆锥曲线于AB ，则AB 必过定点)) (,)((2 222022220b a b a y b a b a x +-+-。（参考百度文库文章：“圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”） ◆模型拓展：本题还可以拓展为“手电筒”模型：只要任意一个限定AP 与BP 条件（如=?BP AP k k 定值，=+BP AP k k 定值），直线AB 依然会过定点（因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型）。（参考优酷视频资料尼尔森数学第一季第13节） 此模型解题步骤： Step1：设AB 直线m kx y +=，联立曲线方程得根与系数关系，?求出参数范围； Step2：由AP 与BP 关系（如1-=?BP AP k k ），得一次函数)()(k f m m f k ==或者； Step3：将)()(k f m m f k ==或者代入m kx y +=，得定定y x x k y +-=)(。 ◆迁移训练 练习1：过抛物线M:px y 22 =上一点P （1,2）作倾斜角互补的直线PA 与PB ，交M 于A 、B 两点，求证：直线AB 过定点。（注：本题结论也适用于抛物线与双曲线）

圆锥曲线中的定值定点问题

2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2 2 22:10x y C a b a b +=>> 的离心率为2,点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：22 221x y a b +=过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：四边形ABNM 的面积为定值.

3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程 （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.

<圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析 试题解析： 【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22 ,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.

32c e a ==． 从而四边形ABNM 的面积为定值． 【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

圆锥曲线中的定值定点问题

圆锥曲线中的定值定点 问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

2019届高二文科数学新课改试验学案(10) ---圆锥曲线中的定值定点问题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>> 点(在C 上. （I ）求C 的方程； （II ）直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A ,B ,线段AB 中点为M , 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 2.已知椭圆C ：22 221x y a b +=过点A （2,0），B （0,1）两点. （I ）求椭圆C 的方程及离心率； （Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ， 求证：四边形ABNM 的面积为定值. 3.椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12 ，其左焦点到点()2,1P （I ）求椭圆C 的标准方程 （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于,A B 两点（,A B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆 过椭圆C 的右顶点。求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标. <圆锥曲线中的定值定点问题>答案 1.【答案】（I ）22 22184 x y +=（II ）见试题解析

试题解析： 【名师点睛】本题第一问求椭圆方程的关键是列出关于22,a b 的两个方程,通过解方程组求出22,a b ,解决此类问题要重视方程思想的应用；第二问是证明问题,解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题. 2.

圆锥曲线专题——定值定点问题(附解析)

第1页（共15页） 圆锥曲线专题——定值定点问题 1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1 2 ，以原点O 为圆心，椭圆的短半轴长为 半径的圆与直线0x y -+=相切． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程； （Ⅱ）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A 、B 两点，且2 2OA OB b k k a =-，判断AOB ?的面 积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由． 【解答】 解：（1）椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切， ∴b == 又222a b c =+，1 2 c e a = =， 解得24a =，23b =， 故椭圆的方程为22 143 x y +=． ()II 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22 14 3y kx m x y =+?? ?+=??化为222(34)84(3)0k x mkx m +++-=， △22226416(34)(3)0m k k m =-+->，化为22340k m +->． ∴122 834mk x x k +=-+，21224(3)34m x x k -=+． 222 2 121212122 3(4) ()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -=++=+++=+， 3 4 OA OB k k =-，

第2页（共15页） ∴ 121234y y x x =-，12123 4 y y x x =-， 22222 3(4)34(3)34434m k m k k --=- + +，化为22 243m k - =， ||AB = = 又114d = =- = ， 1 ||2 S AB d === 22 === （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过F 作直线l 与椭圆交于A 、B 两点，问：在x 轴上是否存在点P ，使PA PB 为定值，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由． 【解答】解：（ 1）由题意知1c =，过F 且与x 轴垂直的弦长为3， 则223b a =，即222() 3a c a -=，则2a =，b ∴椭圆E 的标准方程为22143 x y +=； （2）假设存在点P 满足条件，设其坐标为(,0)t ， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，当l 斜率存在时，设l 方程为(1)y k x =-， 联立22 (1) 3412 y k x x y =-??+=?，整理得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，△0>恒成立．

圆锥曲线中的定点,定值问题

圆锥曲线中的定点，定值问题 《学习目标》： 1. 探究直线和椭圆，抛物线中的定点定值问题 2. 体会数形结合，转化与化归的思想 3. 培养学生分析问题，逻辑推理和运算的能力 活动一 根深蒂固： 题根：已知AB 是圆O 的直径，点P 是圆O 上异于A,B 的两点，k 1，k 2是直线PA,PB 的斜率，则k 1k 2= -1. 问题1 这是一个师生都很熟悉的结论，这个结论能否类比推广到其它一些圆锥曲线呢？ 问题2 如图，点P 是椭圆x 2 4＋y 2 ＝1上除长轴的两个顶点外的任一点，A,B 是该椭圆长轴的2个端点，则直线PA,PB 的斜率之积为______. 问题 3 椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 长轴的两个顶点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线斜率之积为______ ． 问题4 .证明： 设 A 、B 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A,B 的任一点，直线PA,PB 的斜率为k 1，k 2,则k 1k 2 为2 2b a -

活动二 根深叶茂： 问题5（2012年南通二模卷）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交 点为D.若cos∠F 1BF 2＝725，则直线CD 的斜率为__________． 问题6：（2011年全国高考题江苏卷18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12 42 2=+y x 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k 。 （1）略 （2）略 （3）对任意k>0，求证：PA ⊥PB

圆锥曲线的定点问题

圆锥曲线的定点问题 内容概述 圆锥曲线有关定点问题，它涉及到圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系，同时又与三角函数、函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系，解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整性, 学会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质(定点、定值等)，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用． 例题示范 例1．（2017年高考数学全国I 卷理科第20题） 已知椭圆C ：22 221x y a b +=()0a b >>，四点()111P ，，()201P ， ，31P ?- ?? ，41P ? ?? 中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程； （2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点． 解：（1）2 214 x y += （2）①当斜率不存在时，设()():A A l x m A m y B m y =-，，，， 22112 1A A P A P B y y k k m m m ----+= +==-，得2m =，此时l 过椭圆右顶点，不存在两个交点故不满足． ②当斜率存在时，设():1l y kx b b =+≠()()1122A x y B x y ，， ， 联立22440y kx b x y =+??+-=? ，整理得()222 148440k x kbx b +++-=122814kb x x k -+=+2122 4414b x x k -?=+ 则22121211P A P B y y k k x x --+=+()()212121 12x kx b x x kx b x x x +-++-=222 288881444 14kb k kb kb k b k --++= -+()()() 811411k b b b -= =-+-，又1b ≠21b k ?=--，此时64k ?=-，存在k 使得0?>成立． ∴直线l 的方程为21y kx k =--，当2x =时，1y =-，所以l 过定点()21-， ． 评析：动直线l 过定点问题，基本思路为：设动直线方程(斜率存在)为y kx t =+，由题设条件将t 用k 表示为t mk =，得()y k x m =+，故动直线过定点(,0)m -． 例2．在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15 92 2 =+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F .设过点(,)T t m 的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(2 2y x N ，其

4 圆锥曲线中的定点定值问题(教师版)

第四讲 圆锥曲线中得定点定值问题 一、直线恒过定点问题 例1、 已知动点在直线上,过点分别作曲线得切线, 切点为、, 求证:直线恒过一定点,并求出该定点得坐标; 解:设, ,)(2 141121点切线过，的抛物线切线方程为过点E x x x x y A -=-整理得: 同理可得: 8,2082,2121221-=?=+∴=--∴x x a x x ax x x x 的两根是方程 ,又 ,、 例2、已知点就是椭圆上任意一点,直线得方程为, 直线过Ｐ点与直线垂直,点M(-１,0)关于直线得对称点为N,直线PN 恒 过一定点Ｇ,求点Ｇ得坐标、 解:直线得方程为,即 设关于直线得对称点得坐标为 则,解得 直线得斜率为 从而直线得方程为: 即 从而直线恒过定点 二、恒为定值问题 例３、已知椭圆两焦点、在轴上,短轴长为,离心率为,就是椭圆在第一 象限弧上一点,且,过P 作关于直线F 1P 对称得两条直线ＰＡ、PB 分别交椭 圆于A 、B 两点。 (1)求P 点坐标; (2)求证直线ＡB 得斜率为定值; 解:(１)设椭圆方程为,由题意可得 ,所以椭圆得方程为 则,设 则 点在曲线上,则 从而,得,则点得坐标为。 (2)由(１)知轴,直线PA 、PB 斜率互为相反数, 设ＰＢ斜率为,则ＰB 得直线方程为: 由 得 设则

同理可得,则 所以直线AB得斜率为定值、 例4、已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点 , 求证:为定值。 解: 将代入中得 , , 所以 、 课后作业: １、在平面直角坐标系中,已知椭圆、如图所示,斜率为且不过原点得直线交椭圆于,两点,线段得中点为, 射线交椭圆于点,交直线于点、 (Ⅰ)求得最小值; (Ⅱ)若?,求证:直线过定点; 解:(Ⅰ)由题意:设直线, 由消y得:, 设A、B,AＢ得中点E,则由韦达定理得: =,即,, 所以中点E得坐标为, 因为O、Ｅ、D三点在同一直线上, 所以,即, 解得, 所以＝,当且仅当时取等号, 即得最小值为２。 (Ⅱ)证明:由题意知:n〉0,因为直线OＤ得方程为, 所以由得交点Ｇ得纵坐标为, 又因为,,且?,所以, 又由(Ⅰ)知: ,所以解得,所以直线得方程为, 即有, 令得,y=0,与实数k无关, 所以直线过定点(—1,0)、 2、已知点为曲线上得一点, 若,就是否存在垂直轴得直线被以为直径得圆截得得弦长恒为定值?若 存在,求出直线得方程;若不存在, 请说明理由。

圆锥曲线的定点、定值和最值问题

圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 立目标函数，研究变量的最值问题及变量的取值范围问题，注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值. 一、主要知识及主要方法： 1.在几何问题中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题一种思路是进行一般计算 般性证明或计算，即将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的。如果试题以客观题形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线） 上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征 选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例 2】已知椭圆221 42x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ；

例说圆锥曲线中证明(求)直线过定点的问题

对圆锥曲线中证明（求）直线过定点的问题探讨 漆绍杰 在圆锥曲线中直线与圆锥曲线相结合的问题是较为复杂的问题，其中有一类问题是证明（求）直线过一定点，对于这一类问题如何去思考呢？它们的共同的解题思路是怎样的呢？下面让我们一起来探讨一下。 既然直线过一定点，说明此直线的斜率是不定的，这使我们联想到过定点的直线系方程，过一定点),(00y x P 的直线系方程可以写成的)(00x x k y y -=-，那么我们先可写出直线的方程，再根据方程判断直线过哪一个定点。下面通过具体例子来说明。 例1：已知抛物线22(0)y px p =>上有两动点,A B 及一个定点00(,)M x y ，F 为抛物线的焦点，且∣AF ∣，∣MF ∣，∣BF ∣成等差数列。（1）求证线段AB 的垂直平分线经过一定点0(,0)Q x p +；（2）若∣MF ∣4=，∣OQ ∣6=（O 为坐标原点），求此抛物线的方程。 分析：（1）设1122(,),(,)A x y B x y ，∵∣AF ∣，∣MF ∣，∣BF ∣成等差数列，结合定义得1201202()222 p p p x x x x x x + ++=+?+=，由此可设弦AB 的中点坐标为0(,)x b 。22121212121222()AB y y p p y y p x x k x x y y b --=-?= ==-+， 弦AB 的 中垂线方程为： 00()()b b y b x x y x x p p p -=- -?=---，故弦AB 的中垂线过定点0(,0)p x +。（2）略。 例2：在双曲线22 11213 y x -= 的一支上有不同的三点1122(,), (,)A x y B C x y 与 焦点(0,5)F 的距离成等差数列。（1）求12y y +的值。（2）证明线段AC 的垂直平分线经过一定点，并求该定点的坐标。 分析：（1）∵∣AF ∣，∣BF ∣，∣CF ∣成等差数列，则结合定义得 12122(6)12ey a ey a e a y y -+-=-?+=，

圆锥曲线过定点问题

圆锥曲线过定点问题 一、小题自测 1. 无论k 取任何实数，直线 （1 4k ）x （2 3k ）y （2 14k ） 0必经过一个定点，则这个定点的坐标 为 2 2 2. 已知直线l : 2ax by a b 0 ；圆C : x y 2x10，则直线I 与圆C 的位置关系为 . 二、几个常见结论： 满足一定条件的曲线上两点连结所得的直线过定点或满足一定条件的曲线过定点，这构成了过定点问题。 1、 过定点模型： 代B 是圆锥曲线上的两动点， M 是一定点，其中 ，分别为MA,MB 的倾斜角，则有 下面的结论： uur uuir ①、MA MB 为定值 直线AB 恒过定点； ②、k MA k MB 为定值 直线AB 恒过定点； ③、 （0 ） 直线AB 恒过定点. 2、 抛物线中的过定点模型： 代B 是抛物线y 2px （p 0）上的两动点，其中 ，分别为OA,OB 的倾 斜角，则可以得到下面几个充要的结论： 为DA,DB 的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论: 2 ac 直线AB 恒过定点（一^ 2,0）. 2 a b 三、方法归纳： ★参数无关法：把直线或者曲线方程中的变量 x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点， 那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，这样就得到一个关于 x , y 的方程 组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点。 ★特殊到一般法：根据动点或动直线、动曲线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关。 ★关系法：对满足一定条件曲线上的两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，可设直 OA OB k OA k OB 3、椭圆中的过定点模型: 1 - 2 x 2 代B 是椭圆一2 a 直线AB 恒过定点（2p,0）. 2 y 2 1（a b 0）上异于右顶点 b 2 D 的两动点，其中 分别 DA DB k °A k °B 1