2018届北师大版九年级数学下册教案：3.3 垂径定理1
*3.3 垂径定理
1．理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点) 2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点)
一、情境导入
如图①某公园中央地上有一些大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm 的砖塞在球的两侧(如图②所示)，他量了下两砖之间的距离刚好是80cm ，聪明的你能算出大石头的半径吗？
二、合作探究
探究点一：垂径定理
【类型一】 利用垂径定理求直径或弦的长度
如图所示，⊙O 的直径AB 垂直弦
CD 于点P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的长是( )
A ．23cm
B ．32cm
C ．42cm
D ．43cm
解析：∵直径AB ⊥DC ，CD ＝6，∴DP ＝3.连接OD ，∵P 是OB 的中点，设OP 为x ，则OD 为2x ，在Rt △DOP 中，根据勾股定理列方程32＋x 2＝(2x )2，解得x ＝ 3.∴OD ＝23，∴AB ＝4 3.故选D.
方法总结：我们常常连接半径，利用半径、弦、垂直于弦的直径造出直角三角形，
然后应用勾股定理解决问题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题
【类型二】 垂径定理的实际应用
如图，一条公路的转弯处是一段
圆弧(图中的AB ︵
)，点O 是这段弧的圆心，C 是AB ︵
上一点，OC ⊥AB ，垂足为D ，AB ＝300m ，CD ＝50m ，则这段弯路的半径是________m.
解析：本题考查垂径定理，∵OC ⊥AB ，AB ＝300m ，∴AD ＝150m.设半径为R ，根据勾股定理可列方程R 2＝(R －50)2＋1502，解得R ＝250.故答案为250.
方法总结：将实际问题转化为数学问题，再利用我们学过的垂径定理、勾股定理等知识进行解答．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题
【类型三】 垂径定理的综合应用
如图，已知圆O 的直径AB 垂直
于弦CD 于点E ，连接CO 并延长交AD 于点F ，且CF ⊥AD .(1)请证明：点E 是OB 的中点；(2)若AB ＝8，求CD 的长．
解析：(1)要证明E 是OB 的中点，只要求证OE ＝12OB ＝1
2OC ，即∠OCE ＝30°；(2)
在直角△OCE 中，根据勾股定理可以解得
CE 的长，进而求出CD 的长．
(1)证明：连接AC ，如图，∵直径AB 垂直于弦CD 于点E ，∴AC ︵＝AD ︵
，∴AC ＝AD .∵过圆心O 的直线CF ⊥AD ，∴AF ＝DF ，即CF 是AD 的垂直平分线，∴AC ＝CD ，∴AC ＝AD ＝CD ，即△ACD 是等边三角形，∴∠FCD ＝30°.在Rt △COE 中，OE ＝12OC ，∴OE ＝12
OB ，∴点E 为OB 的中点； (2)解：在Rt △OCE 中，AB ＝8，∴OC ＝OB ＝1
2AB ＝4.又∵BE ＝OE ，∴OE ＝2，∴
CE ＝OC 2－OE 2＝16－4＝23，∴CD ＝2CE ＝4 3.
方法总结：解此类题一般要把半径、
弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题
探究点二：垂径定理的推论
【类型一】 利用垂径定理的推论求角的度数
如图所示，⊙O 的弦AB 、AC 的
夹角为50°，M 、N 分别是AB ︵、AC ︵
的中点，则∠MON 的度数是( )
A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．130°
解析：已知M 、N 分别是AB ︵、AC ︵
的中点，由“平分弧的直径垂直平分弧所对的弦”得OM ⊥AB 、ON ⊥AC ，所以∠AEO ＝∠AFO ＝90°，而∠BAC ＝50°，由四边形内角和定理得∠MON ＝360°－∠AEO －∠AFO －∠BAC ＝360°－90°－90°
－50°
＝130°.故选D.
变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题．
【类型二】 利用垂径定理的推论求边的长度
如图，点A 、B 是⊙O 上两点，AB
＝10cm ，点P 是⊙O 上的动点(与A 、B 不重合)，连接AP 、BP ，过点O 分别作OE ⊥AP 于E ，OF ⊥PB 于F ，求EF 的长．
解析：运用垂径定理先证出EF 是△ABP 的中位线，然后运用三角形中位线性质把要求的EF 与AB 建立关系，从而解决问题．
解：在⊙O 中，∵OE ⊥AP ，OF ⊥PB ，∴AE ＝PE ，BF ＝PF ，∴EF 是△ABP 的中位线，∴EF ＝12AB ＝1
2×10＝5(cm)
．
方法总结：垂径定理虽是圆的知识，但
也不是孤立的，它常和三角形等知识综合来解决问题，我们一定要把知识融会贯通，在解决问题时才能得心应手．
变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第2题
【类型三】
动点问题
如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB
＝8cm ，P 是弦AB 上的一个动点，求OP 的长度范围．
解析：当点P 处于弦AB 的端点时，OP 最长，此时OP 为半径的长；当OP ⊥AB 时，OP 最短，利用垂径定理及勾股定理可求得此时OP 的长．
解：作直径MN ⊥弦AB ，交AB 于点D ，由垂径定理，得AD ＝DB ＝1
2AB ＝4cm.又
∵⊙O 的直径为10cm ，连接OA ，∴OA ＝5cm.在Rt △AOD 中，由勾股定理，得OD
＝OA2－AD2＝3cm.∵垂线段最短，半径最长，∴OP的长度范围是3cm≤OP≤5cm.
方法总结：解题的关键是明确OP最长、最短时的情况，灵活利用垂径定理求解．容易出错的地方是不能确定最值时的情况．
三、板书设计
垂径定理
1．垂径定理
2．垂径定理的推论
垂径定理是中学数学中的一个很重要的定理，由于它涉及的条件结论比较多，学生容易搞混淆，本节课采取了讲练结合、动手操作的教学方法，课前布置所有同学制作一张圆形纸片，课上利用此纸片探索、体验圆是轴对称图形，并进一步利用圆的轴对称性探究垂径定理，环环相扣、逐层深入，激发学生的学习兴趣，收到了很好的教学效果.