4.3单位圆与诱导公式
§4.3 三角函数的诱导公式(一)
班级：__________姓名：__________ 编制人：赵海莉
一、教材分析
（一）学习目标
1.利用三角函数的定义、单位圆及对称性推导出几组特殊角之间的三角函数关系，即诱导公式二、三、四，并会利用诱导公式进行化简、求值、证明。
2. 通过自主、合作、探究掌握公式的内涵及结构特征.
3.通过公式的推导与应用提升观察能力、分析归纳能力、领会数形结合的数学思想和化归的思想。（二）重难点
1．能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他诱导公式．(难点)
2．能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简与证明问题．(重点)
3．各种诱导公式的特征．(易混点)
二、教学过程：
（一）基础初探
1．设α为任意角，终边上的点P的坐标为(x,y)，则π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系及对称P
1
的坐标.
2.诱导公式一～四
(1)公式一：sin(α＋2kπ)＝__________，cos(α＋2kπ)＝________，tan(α＋2kπ)＝________，其中k∈Z.
(2)公式二：sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝________，tan(π＋α)＝________.
(3)公式三：sin(－α)＝________，cos(－α)＝________，tan(－α)＝________.
(4)公式四：sin(π－α)＝________，cos(π－α)＝________，tan(π－α)＝________.
3.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)tan 210°＝
3
3.()
(2)对于诱导公式中的角α一定是锐角．()
(3)由公式三知cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)．()
(4)在△ABC中，sin(A＋B)＝sin C．()
(5)任意角α与-α的终边与单位圆的交点关于x轴对称. ()
(6)任意角α与π-α的终边与单位圆的交点关于y轴对称. ()
（二）核心突破
1.核心探究
问题1:比较公式一和公式二，你能得出什么结论？
问题2：.在正切函数的诱导公式中，α可以是任意角吗？
问题3：α与α+k π(n ∈Z )的三角函数值的关系如何？利用诱导公式能否直接写出sin(k π＋α)的值？
问题4：公式一～四都叫做诱导公式，他们分别反映了2k π＋α（k ∈Z ），π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，你能概括一下这四组公式的共同特点和规律吗？
2. 核心点击
在处理k π±α，k ∈Z 时，需要注意什么，如何理解“符号看象限”？
（三） 题组冲关
1.求值
（1） 已知角求三角函数值
例1 求值：sin315°sin （-1260°）+cos570°sin （-840°）
（2） 给式求值
例2 已知cos(
-α)=，求cos(+α)-sin 2(α-)的值.
变式训练：已知方程sin （α-3π）=2cos （α-4π），求
的值
（3）.给值求值
例3 已知tan （π+α）=3，求
的值
2. 化简 例4 化简
6π3365π6π)sin()cos(2)2cos(5)sin(ααπαπαπ--+-+-)
2sin()cos(4)sin(3)cos(2απααπαπ-+-+--3222cos sin (2)cos(2)322cos ()cos()θπθπθπθθ+-+--+++-
3. 证明恒等式
例5 若k ∈Z ，求证：
=-1
点评：当三角函数的角中含有k π（k ∈Z ）时，不能直接应用诱导公式变形，需对k 分奇偶整数（或设k=2n 和k=2n+1，n ∈Z ）进行讨论，
（四）分层训练、巩固拓展
A 层
1.用公式求下列三角函数值
（1）0240cos =__________ （2）π6
5sin =__________； (3) tan （－30°）=_________ （4）01320cos =__________
2. (A) 23- (B)21- (C) 21 (D) 23 B 层：
1.已知3sin()5
a π+=，那么sin(2)a π-的的值为______. 2. 已知cos(π＋x )＝3
1，则cos(π－x ) =_________. 3. 在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若sin α=13
，则sin β=_________:
（五）总结提升，课后延伸
1．总结四个公式的特点和记忆方法。
2.总结运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简与证明问题的基本思路。
三、课后作业
A 层
1. sin(-)的值为( ) A. B.- C. D.-
2. tan600°的值是( )
A.-
B.
C.
D. 3.sin 585°的值为( )
A ．－22 B.22 C ．－32 D.32
4. =.________
]
)1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ-++++-k k k k cos300?=6
17π212
12323333
33-30750sin
5.在ABC ?
中，若cos 2A =，则sin()___A π-=
若sin 2
A =，则cos(2)_____A π-=
B 层
1.设cos(π+α)=(π＜α＜),那么sin(2π-α)的值是 ( )
A.-
B.
C.-
D.
2. 已知a∈R ,函数f(x)=sinx-a,x∈R 为奇函数,则a 等于( )
A.0
B.1
C.-1
D.±1
3.若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈? ????
－π2，0，则cos(π＋α)的值为( )
A.53 B ．－5
3 C ．±5
3 D ．以上都不对
4. 已知cos(π6＋θ)＝33，则cos(5π6－θ)＝________.
5.的值是则已知0080tan ,)100cos(k =-=
6.求值：2sin(－1110o) －sin960o+＝
C 层 【延伸探究】
1.设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β∈R ，且ab ≠0，α
≠k π(k ∈Z )．若f (2019)＝5，则f (2020)等于( )
A ．4
B ．3
C ．－5
D ．5
2.化简.
3.设tan(α＋8
7π)＝m .求证：sin(157π＋α)＋3cos(α－13
7π)sin(20π7－α)－cos(α＋227π)＝m ＋3
m ＋1
.
23
23π
212323
21
)210cos()225cos(2?-+?-)(cos )tan()
3(sin )cos()4cos(32παπαπαπαπα--++++