文档库 最新最全的文档下载
当前位置:文档库 › 第十九章 量子力学基础( I ) 作业参考答案(2015)

第十九章 量子力学基础( I ) 作业参考答案(2015)

第十九章 量子力学基础( I ) 作业参考答案(2015)
第十九章 量子力学基础( I ) 作业参考答案(2015)

()

一. 选择题

[ D ]1.(基础训练1)在加热黑体过程中,其最大单色辐出度(单色辐射本领)对应的波长由0.8 μm 变到0.4 μm ,则其辐射出射度(总辐射本领)增大为原来的 (A) 2倍. (B) 4倍. (C) 8倍. (D) 16倍. [ ]

提示: 由维恩位移定律:T m λ=b ,∴m λ∝

T 1,即1221

m m T

T λλ= 又由斯特藩-玻耳兹曼定律,总辐射出射度:

0400

()()M T M T d T λλσ∞

==?

444022140112()0.8

()(16()0.4

M T T M T T λλ∴==== [ D ]2.(基础训练4)用频率为ν 的单色光照射某种金属时,逸出光电子的最

大动能为E K ;若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时,则逸出光电子的最大

动能为:

(A) 2 E K . (B) 2h ν - E K . (C) h ν - E K . (D) h ν + E K .

提示: 根据爱因斯坦光电效应方程:2

012

m h mv A ν=+,

式中h ν为入射光光子能量,0A 为金属逸出功,2

12

m mv 为逸出光电子的最大初动能,即E K 。

所以有:0k h E A ν=+及'

02K h E A ν=+,两式相减即可得出答案。

[ C ]3.(基础训练5)要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线,至少应向基态氢原子提供的能量是

(A) 1.5 eV . (B) 3.4 eV . (C) 10.2 eV . (D) 13.6 eV .

提示: 根据氢原子光谱的实验规律,莱曼系:2

1

1

(1)R n νλ

=

=-

最长波长的谱线,相应于2n =,至少应向基态氢原子提供的能量12E E h -=ν,又因为26.13n

eV E n -

=,所以l h E E h -=ν=???? ??---2216.1326.13eV eV =10.2 eV

[ C ]4.(基础训练6)根据玻尔的理论,氢原子在n =5轨道上的动量矩与在第一激发态的轨道动量矩之比为 (A) 5/4. (B) 5/3. (C) 5/2. (D) 5. [ ] 提示: 玻尔轨道角动量L n = ,第一激发态2n =,52:5:2L L ∴=

[ D ]5.(自测提高2)当照射光的波长从4000 ?变到3000 ?时,对同一金属,在光电

效应实验中测得的遏止电压将: [ ] (普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ,基本电荷e =1.60

×10-19 C)

(A) 减小0.56 V . (B) 减小0.34 V . (C) 增大0.165 V . (D) 增大1.035 V .

提示: 由爱因斯坦光电效应方程:2

012

m h mv A ν=+,其中,212a

m eU mv =,可得:0a c

h eU A λ=+, 1.035a a hc U U V e λλλλ

'-'-=='

[ D ]6.(自测提高6)电子显微镜中的电子从静止开始通过电势差为U 的静电场加速后,其德布罗意波长是 0.4 ? ,则U 约为 (A) 150 V . (B) 330 V . (C) 630 V . (D) 940 V . [ ]

提示:

2

12m v e U =,德布罗意波长:h h p mv λ==,2

()9422h U V me

λ∴== 二. 填空题

1.(基础训练12)光子波长为λ,则其能量=c

h

λ;动量的大小 =h λ;质量=

h

c λ

2.(基础训练13)在X 射线散射实验中,散射角为φ 1 = 45°和φ 2 =60°的散射光波长改变量之比?λ1:?λ2 =__0.586___.

提示: 00(1c o s )h

m c

λλλ??=-=-,

1212:(1c o s ):(1c o s

)

λλ????=-- 3. (基础训练16)在光电效应实验中,测得某金属的遏止

电压|U a |与入射光频率ν的关系曲线如图所示,由此可知该金属的红限频率ν0=14

510?Hz ;逸出功A =__2__eV .

提示: 由爱因斯坦光电效应方程:2

012

m h mv A ν=+,其中,2

12

a m eU mv =,可得:0a h eU A ν=+,红限频率:00A h ν=,对应最大初动能为零,

即加速电压为零时的频率,逸出功:

34142000 6.631051033.1510 2.07A h J eV

ν--==???=?=

|1014 Hz)

-2

4. (基础训练19)在B =1.25×10-

2 T 的匀强磁场中沿半径为R =1.66 cm 的圆轨道运动的α

粒子的德布罗意波长是___12

9.9810

m -?___.

提示: mv BqR = ,

12

9.9810h h h m p mv BqR

λ-====? 5. (自测提高11)已知基态氢原子的能量为-13.6 eV ,当基态氢原子被 12.09 eV 的光子激发后,其电子的轨道半径将增加到玻尔半径的___9___倍.

提示: 1n h E E ν=-213.6(13.6)eV n =---,解得3n =,轨道半径2

119n r n r r ==

6. (自测提高14)氢原子基态的电离能是 __13.6__eV .电离能为+0.544 eV 的激发态氢原子,其电子处在n =__5__ 的轨道上运动.

提示: 电离能是指电子从基态激发到自由状态所需的能量.

∴氢原子基态的电离能E =1E E -∞=2

213.613.613.61eV eV

eV ??

-

--= ?∞??

E =n E E -∞ 即 +0.544 eV=

2

6.13n

eV

三. 计算题

1. (基础训练21)波长为λ0 = 0.500 ?的X 射线被静止的自由电子所散射,若散射线的波长变为λ = 0.522 ?,试求反冲电子的动能E K .

解: 根据能量守恒:22

00

h m c h mc νν+=+ ∴反冲电子获得动能:2

02c m mc E K -=ννh h -=0λ

λc h

c

h

-=0

J

161068.1-?=

2.(自测提高20)质量为m e 的电子被电势差U 12 = 100 kV 的电场加速,如果考虑相对论效应,试计算其德布罗意波的波长.若不用相对论计算,则相对误差是多少?(电子静止质量

m e =9.11×10-31 kg ,普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s ,基本电荷e =1.60×10-19 C)

解: 考虑相对论效应,则动能2

2c m mc E e K -==12eU ,2

2

1c

u m m e -=

2

1??? ??-===c u u m h m u h p h e λ=)

2(21212c m eU eU hc e +=3.71m 1210-?

若不用相对论计算,则2

2

1

u m e =12eU , u m h p h e =

=

'λ=12

2eU m h

e =3.88m 1210-? 相对误差: λ

λ

λ-'=4.6﹪

3. (自测提高21)氢原子发射一条波长为λ =4340 ?的光谱线.试问该谱线属于哪一谱线系?氢原子是从哪个能级跃迁到哪个能级辐射出该光谱线的?(里德伯常量R =1.097×107 m -1 )

解: 由里德伯公式:221

11(

)R k n

ν

λ

==- ,由已知:2

2111

()0.21R k n λ=-= 当2,5k n ==时,

22111

()0.2125

R λ=-=,所以该谱线属于巴尔末系。

4.(自测提高26)在氢原子中,电子从某能级跃迁到量子数为n 的能级,这时轨道半径改

变q 倍,求发射的光子的频率.

解:设始态能级量子数为 k , 则轨道半径由r k 变为r n , 且r k = qr n .

由 22

02m e

h k r k π=ε 2分 可得 22qn k = 1分

光子的频率 )1

1(22k n Rc -=ν

即 )1

1()1(2222q n

Rc k n n Rc -=-=ν 2分

5. (自测提高28)氢原子激发态的平均寿命约为10-8 s ,假设氢原子处于激发态时,电子作圆轨道运动,试求出处于量子数n =5状态的电子在它跃迁到基态之前绕核转了多少圈.( m e

= 9.11×10-31 kg ,e =1.60×10-19 C ,h =6.63×10-34 J ·s ,ε 0=8.85×10-12 C 2·N -1·m -2 )

解:电子作一次圆周运动所需时间(即周期T )为

ω

π

=

2T ①

令激发态的平均寿命为 τ = 10-

8 s ,故电子在τ内从激发态跃迁到基态前绕核的圈数为

T

N τ

=

电子作圆周运动的周期T可由下面二式求出

r m r

e 2

2

024v =πε ③ π=22h

r m ωn ④

可求出 3

332041

2n

h n me ?π=εω ⑤ 由①、②、⑤可得 T N τ

=3

7

3332041054.614n

n h n me ?=?=ετ 当n = 5 N = 5.23×105

第1章 量子力学基础-习题与答案

一、是非题 1. “波函数平方有物理意义, 但波函数本身是没有物理意义的”。对否 解:不对 2. 有人认为,中子是相距为10-13 cm 的质子和电子依靠库仑力结合而成的。试用测不准关系判断该模型是否合理。 解:库仑吸引势能大大地小于电子的动能, 这意味着仅靠库仑力是无法将电子与质子结合成为中子的,这个模型是不正确的。 二、选择题 1. 一组正交、归一的波函数123,,,ψψψ。正交性的数学表达式为 a ,归一性的 表达式为 b 。 () 0,() 1i i i i a d i j b ψψτψψ** =≠=?? 2. 列哪些算符是线性算符------------------------------------------------------ (A, B, C, E ) (A) dx d (B) ?2 (C) 用常数乘 (D) (E) 积分 3. 下列算符哪些可以对易-------------------------------------------- (A, B, D ) (A) x ? 和 y ? (B) x ?? 和y ?? (C) ?x p 和x ? (D) ?x p 和y ? 4. 下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx (C) e -ikx (D) 2 e kx - (1) 哪些是 dx d 的本征函数;-------------------------------- (B, C ) (2) 哪些是的22 dx d 本征函数;-------------------------------------- (A, B, C ) (3) 哪些是22dx d 和dx d 的共同本征函数。------------------------------ (B, C ) 5. 关于光电效应,下列叙述正确的是:(可多选) ------------------(C,D ) (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大,则光电子的动能越大 6. 提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是:------------------------------( A )

量子力学作业习题

第一章量子力学作业习题 [1] 在宏观世界里,量子现象常常可以忽略.对下列诸情况,在数值上加以证明: ( l )长l=lm ,质量M=1kg 的单摆的零点振荡的振幅; ( 2 )质量M=5g ,以速度10cm/s 向一刚性障碍物(高5cm ,宽1cm )运动的子弹的透射率; ( 3 )质量M= 0.1kg ,以速度0.5m/s 运动的钢球被尺寸为1×1.5m2时的窗子所衍射. [2] 用h,e,c,m(电子质量), M (质子质量)表示下列每个量,给出粗略的数值估计: ( 1 )玻尔半径(cm ) ; ( 2 )氢原子结合能(eV ) ; ( 3 )玻尔磁子;( 4 )电子的康普顿波长(cm ) ; ( 5 ) 经典电子半径(cm ) ; ( 6 )电子静止能量(MeV ) ; ( 7 )质子静止能量( MeV ) ; ( 8 )精细结构常数;( 9 )典型的氢原子精细结构分裂 [3]导出、估计、猜测或背出下列数值,精确到一个数量级范围内, ( 1 )电子的汤姆逊截面;( 2 )氢原子的电离能;( 3 )氢原子中基态能级的超精细分裂能量;( 4 )37Li ( z=3 )核的磁偶极矩;( 5 )质子和中子质量差;( 6 )4He 核的束缚能;( 7 )最大稳定核的半径;( 8 )Π0 介子的寿命;( 9 )Π-介子的寿命;( 10 )自由中子的寿命. [4]指出下列实验中,哪些实验表明了辐射场的粒子性?哪些实验主要证明能量交换的量子性?哪些实验主要表明物质粒子的波动性?简述理由. ( 1 )光电效应;( 2 )黑体辐射谱;( 3 ) Franck – Hertz实验;( 4 ) Davisson -Ger - mer 实验;散射. [5]考虑如下实验:一束电子射向刻有A 、B 两缝的平板,板外是一装有检测器阵列的屏幕,利用检测器 能定出电子撞击屏幕的位置.在下列各种情形下,画出入射电子强度随屏幕位置变化的草图,给出简单解释. ( 1 ) A 缝开启,B缝关闭; ( 2 ) B 缝开启,A 缝关闭; ( 3 )两缝均开启. [6]验算三个系数数值:(1 2 ;(3)hc

第22章量子力学基础教案

第二十二章量子力学基础知识 1924年德布罗意提出物质波概念。1926年薛定谔给出物质波的波函数基本动力学方程—薛定谔方程, 玻恩对波函数统计解释。1927年海森堡提出著名的不确定关系。 海森堡、狄拉克、薛定谔各建立矩阵力学、新力学和波动力学, 形成了完整的量子力学理论。--------------------------------------------------------------------------- 教学要求: * 了解实物粒子的波动性及实验,理解物质波的统计意义; * 能用德布罗意关系式计算粒子的德布罗意波长; * 了解波函数统计意义及其标准化条件和归一化条件,

会简单计算粒子的概率密度及归一化常数; * 理解不确定关系并作简单的计算; * 了解薛定谔方程及一维定态薛定谔方程 * 了解一维无限深势阱中粒子的波函数求解步骤, 学会用波函数求概率密度和发现粒子的概率。 教学内容: §22-1 波粒二象性 §22-2 波函数 §22-3 不确定关系 §22-4 薛定谔方程(简略,一维定态薛定谔方程) §22-5 一维无限深势阱中的粒子 §22-6 势垒隧道效应 * §22-7 谐振子 * 教学重点: 实物粒子的波粒二象性及其统计意

义; 概率密度和发现粒子的概率计算; 实物粒子波的统计意义—概率波; 波函数的物理意义及不确定关系。 作业 22-01)、22-03)、22-05)、22-07)、 22-09)、22-11)、22-13)、22-15)、 22-17)、22-18)、 ---------------------------------- --------------------------------- §22-1 波粒二象性 1924年,法国德布罗意在博士论文中提出:“整个世 纪以来,在辐射理论方面,比起波动的研究方法来, 是过于忽略了粒子的研究方法;那么在实物理论上, 是否发生了相反的错误,把粒子的图象想象得太多, 而过于忽略了波的图象?”德布罗意根据光与实物的

量子力学答案完整版周世勋第三版

找了好久才找到的,希望能给大家带来帮助 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比, 即 m λ T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ, (1) 以及 c v =λ, (2) λρρd dv v v -=, (3) 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下: 011511 86' =? ?? ? ? ??-?+--?=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ? 011 5=-?+--kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 第一章绪论

这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知 E=hv , λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2 c E e μ<<动),那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子,那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 6 1051.0?,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有 p h = λ nm m m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.12296 6 2=?=????= ==--μμ 在这里,利用了 m eV hc ??=-61024.1 以及 eV c e 621051.0?=μ 最后,对 E c hc e 2 2μλ= 作一点讨论,从上式可以看出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。

量子力学作业答案

第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ, (1) 以及 c v =λ, (2) λρρd dv v v -=, (3) 有 ,1 18)() (5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλλρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下: 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5

如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 1.4 利用玻尔——索末菲的量子化条件,求: (1)一维谐振子的能量; (2)在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。 已知外磁场H=10T ,玻尔磁子124109--??=T J M B ,试计算运能的量子化间隔△E ,并与T=4K 及T=100K 的热运动能量相比较。 解 玻尔——索末菲的量子化条件为 ?=nh pdq 其中q 是微观粒子的一个广义坐标,p 是与之相对应的广义动量,回路积分是沿运动轨道积一圈,n 是正整数。 (1)设一维谐振子的劲度常数为k ,谐振子质量为μ,于是有 2 22 12kx p E +=μ 这样,便有 )2 1(22kx E p - ±=μ 这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动和沿着负方向运动,一正一负正好表示一个来回,运动了一圈。此外,根据 221 kx E = 可解出 k E x 2± =± 这表示谐振子的正负方向的最大位移。这样,根据玻尔——索末菲的量子化条件,有 ?? -+ + - =--+-x x x x nh dx kx E dx kx E )2 1 (2)()21(222μμ

第十三章 量子力学基础2作业答案

(薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ C ]1. (基础训练 10)氢原子中处于2p 状态的电子,描述其量子态的四个量子数(n ,l ,m l ,m s )可能取的值为 (A) (2,2,1,2 1 -). (B) (2,0,0,21). (C) (2,1,-1,2 1 -). (D) (2,0,1,21). ★提示:2p 电子对应的量子数n = 2; l = 1,只有答案(C )满足。 [ C ]2. (基础训练11)在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性,而不能提高激光束的单色性. (B) 可提高激光束的单色性,而不能提高激光束的方向性. (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性. [ D ]3. (自测提高7)直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验. (B) 卢瑟福实验. (C) 戴维孙-革末实验. (D) 斯特恩-革拉赫实验. [ C ]4. (自测提高9)粒子在外力场中沿x 轴运动,如果它在力场中的势能分布如图19-6所示,对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子,若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0,0 < x a 三个区域发现粒子的概率,则有 (A) ρ1 ≠ 0,ρ2 = ρ3 = 0. (B) ρ1 ≠ 0,ρ2 ≠ 0,ρ3 = 0. (C) ρ1 ≠ 0,ρ2 ≠ 0,ρ3 ≠ 0. (D) ρ1 = 0,ρ2 ≠ 0,ρ3 ≠ 0. ★提示:隧道效应。 二. 填空题 1. (基础训练17)在主量子数n =2,自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中,能够填充的最大电子数是___4___. ★提示:主量子数n =2的L 壳层上最多可容纳228n =个电子(电子组态为2622s p ),如 仅考虑自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态,则能够填充的电子数为上述值的一半。 图 19-6

第19章 量子力学简介(1)作业答案

(黑体辐射、光电效应、康普顿效应、玻尔理论、波粒二象性、波函数、不确定关系) 一. 选择题 [ C ]1.(基础训练2)下面四个图中,哪一个正确反映黑体单色辐出度M B λ(T )随λ 和T 的变化关系,已知T 2 > T 1. 【提示】(1)黑体的辐射度(即曲线下的面积)满足: 4 0()M T T σ=,所以0()M T 随温度的增高而迅速增 加。 (2)单色辐出度最大值所对应的波长m λ满 足:m T b λ=,所以,随着T 的升高,m λ向短波方向移动。 [ D ]2.(基础训练4)用频率为ν 的单色光照射某种金属时,逸出光电子的最大动能为E K ;若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时,则逸出光电子的最大动能为: (A) 2 E K . (B) 2h ν - E K . (C) h ν - E K . (D) h ν + E K . 【提示】设金属逸出功为A ;设频率为2ν 的单色光照射金属时,逸出光电子的最大动能为 'K E ;则根据爱因斯坦光电效应方程,有: k h E A ν=+ 2'k h E A ν=+ 两式相减即可得出答案。 [ C ]3.(基础训练5)要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线,至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV . (B) 3.4 eV . (C) 10.2 eV . (D) 13.6 eV . 【提示】赖曼系中最长波长的谱线,来自21E E →的跃迁,所以至少应使基态氢原子先 吸收一个光子的能量h ν跃迁到E 2能级,然后向下跃迁发出谱线。所以有 212213.613.610.221eV eV h E E eV ν???? =-=- --= ? ?? ???

量子力学初步-作业(含答案)

量子力学初步 1. 设描述微观粒子运动的波函数为(),r t ψ ,则ψψ*表示______________________________________;(),r t ψ 须满足的条件是_______________________________; 其 归 一 化 条 件 是 _______________________________. 2. 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍,则粒子在空间的分布概率将_______________________________. (填入:增大D 2倍、增大2D 倍、增大D 倍或不变) 3. 粒子在一维无限深方势阱中运动(势阱宽度为a ),其波函数为 ()()30x x x a a πψ= << 粒子出现的概率最大的各个位置是x = ____________________. 4. 在电子单缝衍射实验中,若缝宽为a =0.1 nm (1 nm = 10-9 m),电子束垂直射在单缝面上,则衍射的电子横向动量的最小不确定量y p ?= _________N·s. (普朗克常量h =6.63×10-34 J·s) 5. 波长λ= 5000 ?的光沿x 轴正向传播,若光的波长的不确定量λ?= 10-3 ?,则利用不确定关系式x p x h ??≥可得光子的x 坐标的不确定量至少为_________. 6. 粒子做一维运动,其波函数为 ()00 x Axe x x x λψ-≥= ≤ 式中λ>0,粒子出现的概率最大的位置为x = _____________. 7. 量子力学中的隧道效应是指______________________________________ 这种效应是微观粒子_______________的表现. 8. 一维无限深方势阱中,已知势阱宽度为a ,应用测不准关系估计势阱中质量为m 的粒子的零点能量为____________. 9. 按照普朗克能量子假说,频率为ν的谐振子的能量只能为_________;而

量子力学教程课后习题答案

量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ, (1) 以及 c v =λ, (2) λρρd dv v v -=, (3) 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下: 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4.97,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知 E=h v , λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2c E e μ<<动),那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子,那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 61051.0?,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有 p h = λ

第一章 量子力学基础知识

《结构化学基础》 讲稿 第一章 孟祥军

第一章 量子力学基础知识 (第一讲) 1.1 微观粒子的运动特征 ☆ 经典物理学遇到了难题: 19世纪末,物理学理论(经典物理学)已相当完善: ? Newton 力学 ? Maxwell 电磁场理论 ? Gibbs 热力学 ? Boltzmann 统计物理学 上述理论可解释当时常见物理现象,但也发现了解释不了的新现象。 1.1.1 黑体辐射与能量量子化 黑体:能全部吸收外来电磁波的物体。黑色物体或开一小孔的空心金属球近似于黑体。 黑体辐射:加热时,黑体能辐射出各种波长电磁波的现象。 ★经典理论与实验事实间的矛盾: 经典电磁理论假定:黑体辐射是由黑体中带电粒子的振动发出的。 按经典热力学和统计力学理论,计算所得的黑体辐射能量随波长变化的分布曲线,与实验所得曲线明显不符。 按经典理论只能得出能量随波长单调变化的曲线: Rayleigh-Jeans 把分子物理学中能量按自由度均分原则用到电磁辐射上,按其公式计算所得结果在长波处比较接近实验曲线。 Wien 假定辐射波长的分布与Maxwell 分子速度分布类似,计算结果在短波处与实验较接近。 经典理论无论如何也得不出这种有极大值的曲线。 ? 1900年,Planck (普朗克)假定: 黑体中原子或分子辐射能量时作简谐振动,只能发射或吸收频率为ν, 能量为 ε=h ν 的整数倍的电磁能,即振动频率为 ν 的振子,发射的能量只能是 0h ν,1h ν,2h ν,……,nh ν(n 为整数)。 ? h 称为Planck 常数,h =6.626×10-34J ?S ? 按 Planck 假定,算出的辐射能 E ν 与实验观测到的黑体辐射能非常吻合: ●能量量子化:黑体只能辐射频率为 ν ,数值为 h ν 的整数倍的不连续的能量。 能量波长 黑体辐射能量分布曲线 () 1 /81 3 3 --= kt h c h e E ννπν

第十九章 量子力学基础2(答案)

第十九章 量子力学基础(Ⅱ) (薛定谔方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 一. 选择题 [ C ]1.(基础训练10)氢原子中处于2p 状态的电子,描述其量子态的四个量子数(n ,l ,m l ,m s )可能取的值为 (A) (2,2,1,21?). (B) (2,0,0,21 ). (C) (2,1,-1,21?). (D) (2,0,1,2 1 ). 【提示】p 电子:l =1,对应的m l 可取-1、0、1, m s 可取 21或2 1?。 [ C ]2.(基础训练11)在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性,而不能提高激光束的单色性. (B) 可提高激光束的单色性,而不能提高激光束的方向性. (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性. (D) 既不能提高激光束的方向性也不能提高其单色性. [ D ]3.(自测提高7)直接证实了电子自旋存在的最早的实验之一是 (A) 康普顿实验. (B) 卢瑟福实验. (C) 戴维孙-革末实验. (D) 斯特恩-革拉赫实验. [ C ]4.(自测提高9)粒子在外力场中沿x 轴运动,如果它在力场中的势能分布如附图所示,对于能量为 E < U 0从左向右运动的粒子,若用 ρ1、ρ2、ρ3分别表示在x < 0,0 < x a 三个区域发现粒子的概率,则有 (A) ρ1 ≠ 0,ρ2 = ρ3 = 0. (B) ρ1 ≠ 0,ρ2 ≠ 0,ρ3 = 0. (C) ρ1 ≠ 0,ρ2 ≠ 0,ρ3 ≠ 0. (D) ρ1 = 0,ρ2 ≠ 0,ρ3 ≠ 0. 【提示】隧道效应 二. 填空题 1.(基础训练17)在主量子数n =2,自旋磁量子数2 1 =s m 的量子态中,能够填充的最大电子数是_________. 【提示】L 壳层:n =2,能够填充的最大电子数是2n 2=8。考虑到本题m s 只取2 1 ,此时能够填充的最大电子数是4。 2.(基础训练20)在下列给出的各种条件中,哪些是产生激光的条件,将其标号列下:(2) (3 ) (4) (5). (1)自发辐射.(2)受激辐射.(3)粒子数反转.(4)三能极系统.(5)谐振腔. x O U (x )U 0 a

11第十九章量子力学基础2作业答案.doc

3.(自 提高16)有一种原子,在基态时 =1和〃 =2的主壳层都填满电子, 3s 次壳层也 作业+—(第十九章 量子力学简介(II)) (薛定谱方程、一维无限深势阱、隧道效应、能量和角动量量子化、电子自旋、多电子原子) 电子组态 [C ]1.(基础训练10)氢原子中处于2p 状态的电子,描述其量子态的四个量子数(〃,I, 可能 取的值为 (A ) (2, 2, 1, ")? (B ) (2, 0, 0, O (C ) (2, 1, -1, 少 (D ) (2, 0, 1, 1 【提示】P 电子:Z=b 对应的叫可取一1、0、1,风可取上或一 2 2 2.(基础训练17)在主量子数// =2,自旋磁量子数=上的量子态中,能够填充的最大电 2 子数是 4 . 【提示】主量子数〃 =2的L 克层上最多可容纳2^=8个电子(电子组态为2$22p6),如 仅考虑自旋磁量子数=-的量子态,则能够填充的电子数为上述值的一半。 2 填满电子,而3p 壳层只填充一半.这种原子的原子序数是_15 ,它在基态的电子组态为 “2 2s? 2I )6 3S 2 31)3 . 4.(自测提高17)在下列各组量子数的空格上,填上适当的数值,以便使它们可以描述原子 中电子的状态: 1 I (1) n =2, / = 1 ,如=一1, in.=—. 2 n 1 (2) (2) n =2, / =0, nil = 0 , in,=—. ------ 2 If 1 (3) 〃 =2, / =1? mi — m s =—或-—. 2 2 【提示】/的取值:0,1,2,……(〃-1); 叫的取值:0,±1,±2,……±/; 的取值:±1 激光 [C ]5,(基础训练11)在激光器中利用光学谐振腔 (A) 可提高激光束的方向性,而不能提高激光束的单色性. (B) 可提高激光束的单色性,而不能提高激光束的方向性. (C) 可同时提高激光束的方向性和单色性.

量子力学练习题

一. 填空题 1.量子力学的最早创始人是 ,他的主要贡献是于 1900 年提出了 假设,解决了 的问题。 2.按照德布罗意公式 ,质量为21,μμ的两粒子,若德布罗意波长同为λ,则它们的动量比p 1:p 2= 1:1;能量比E 1:E 2= 。 3.用分辨率为1微米的显微镜观察自由电子的德布罗意波长,若电子的能量E= kT 2 3(k 为 玻尔兹曼常数),要能看到它的德布罗意波长,则电子所处的最高温度T max = 。 4.阱宽为a 的一维无限深势阱,阱宽扩大1倍,粒子质量缩小1倍,则能级间距将扩大(缩小) ;若坐标系原点取在阱中心,而阱宽仍为a ,质量仍为μ,则第n 个能级的能 量E n = ,相应的波函数=)(x n ψ() a x a x n a n <<=0sin 2πψ和 。 5.处于态311ψ的氢原子,在此态中测量能量、角动量的大小,角动量的z 分量的值分别为E= eV eV 51.13 6.132 -=;L= ;L z = ,轨道磁矩M z = 。 6.两个全同粒子组成的体系,单粒子量子态为)(q k ?,当它们是玻色子时波函数为 ),(21q q s ψ= ;玻色体系 为费米子时 =),(21q q A ψ ;费米体系 7.非简并定态微扰理论中求能量和波函数近似值的公式是 E n =() ) +-'+'+∑ ≠0 2 0m n n m mn mn n E E H H E , )(x n ψ = () ) () +-'+ ∑ ≠00 2 0m m n n m mn n E E H ψ ψ , 其中微扰矩阵元 ' mn H =()() ?'τψψ d H n m 00?; 而 ' nn H 表示的物理意义是 。该方法的适用条件是 本征值, 。

第一章 量子力学基础和原子结构

第一章 量子力学基础和原子结构 一、填空题 1、若用波函数ψ来定义电子云,则电子云即为_________________。 2、氢原子s ψ1在 r =a 0和 r =2a 0处的比值为_____________。 3、有两个氢原子,第一个氢原子的电子处于主量子数 n =1 的轨道, 第二个氢原子的电子处于n =4 的轨道。 (1)原子势能较低的是______, (2) 原子的电离能较高的是____。 4、设氢原子中电子处在激发态 2s 轨道时能量为E 1, 氦原子处在第一激发态 1s 12s 1时的2s电子能量为E 2,氦离子He + 激发态一个电子处于 2s 轨道时能量为E 3, 请写出E 1,E 2,E 3的从大到小顺序。_____________。 5、对氢原子 1s 态: (1) 2ψ在 r 为_______________处有最高值 (2) 径向分布函数 224ψr π在 r 为____________处有极大值; (3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_____________。 6、H 原子(气态)的电离能为 13.6 eV, He +(气态)的电离能为 _______ eV。 二、选择题 1、波长为662.6pm 的光子和自由电子,光子的能量与自由电子的动能比为何值? (A )106:3663 (B )273:1 (C )1:C (D )546:1 2、一电子被1000V 的电场所加速.打在靶上,若电子的动能可转化

为光能,则相应的光波应落在什么区域? (A) X光区(约10-10m) (B)紫外区(约10-7m) (C)可见光区(约10-6m)(D)红外区(约10-5m 3、普通阴极管管径为10-2m数量级.所加电压可使电子获得105ms-1速度,此时电子速度的不确定量为十万分之一,可用经典力学处理.若以上其它条件保持不变则阴极管的管径在哪个数量级时必须用量子力学处理? (A)约10-7m (B)约10-5m (C)约10-4m (D)约10-2m 4、下列条件不是品优函数的必备条件的是 (A)连续(B)单值(C)归一(D)有限或平方可积 5、己知一维谐振子的势能表达式为V=kx2/2,则该体系的定态薛定谔方程应当为 6、粒子处于定态意味着 (A)粒子处于概率最大的状态 (B)粒子处于势能为0的状态 (C)粒子的力学量平均值及概率密度分布都与时间无关的状态

作业10量子力学基础( I ) 作业及参考答案

() 一. 选择题 [ C]1.(基础训练2)下面四个图中,哪一个 正确反映黑体单色辐出度 M Bλ (T)随λ 和T的变化关 系,已知T2 > T1. 解题要点: 斯特藩-玻耳兹曼定律:黑体的辐 射出射度M0(T)与黑体温度T的四次方成正比,即 . M0 (T)随温度的增高而迅速增加 维恩位移律:随着黑体温度的升高,其单色辐出度最大值所对应的波长 m λ向短波方向移动。 [ D]2.(基础训练4)用频率为ν 的单色光照射某种金属时,逸出光电子的最大动能 为E K;若改用频率为2ν 的单色光照射此种金属时,则逸出光电子的最大动能为: (A) 2 E K.(B) 2hν - E K.(C) hν - E K.(D) hν + E K. 解题要点: 根据爱因斯坦光电效应方程:2 1 2m h mv A ν=+, 式中hν为入射光光子能量, A为金属逸出功,2 1 2m mv为逸出光电子的最大初动能,即 E K。所以有:0 k h E A ν=+及' 2 K h E A ν=+,两式相减即可得出答案。 [ C]3.(基础训练5)要使处于基态的氢原子受激发后能发射赖曼系(由激发态跃迁 到基态发射的各谱线组成的谱线系)的最长波长的谱线,至少应向基态氢原子提供的能量是 (A) 1.5 eV.(B) 3.4 eV.(C) 10.2 eV.(D) 13.6 eV. 解题要点: 根据氢原子光谱的实验规律,莱曼系: 2 11 (1 R n ν λ ==- 式中,71 1.09677610 R m- =?,称为里德堡常数,2,3, n= 最长波长的谱线,相应于2 n=,至少应向基态氢原子提供的能量1 2E E h- = ν, 又因为 2 6. 13 n eV E n - =,所以l h E E h- = ν=?? ? ? ? ? - - - 2 21 6. 13 2 6. 13eV eV =10.2 eV [ A]4.(基础训练8)设粒子运动的波函数图线 分别如图19-4(A)、(B)、(C)、(D)所示,那么其中确定粒 子动量的精确度最高的波函数是哪个图? 解题要点: 根据动量的不确定关系: 2 x x p ???≥ (B) x (A) x (B) x (C) x (D)

量子力学习题.(DOC)

量子力学习题 (三年级用) 山东师范大学物理与电子科学学院 二O O七年

第一部分 量子力学的诞生 1、计算下列情况的Broglie d e -波长,指出那种情况要用量子力学处理: (1)能量为eV .0250的慢中子 () 克2410671-?=μ .n ;被铀吸收; (2)能量为a MeV 的5粒子穿过原子克2410646-?=μ.a ; (3)飞行速度为100米/秒,质量为40克的子弹。 2、两个光子在一定条件下可以转化为正、负电子对,如果两光子的能量相等,问要实现这种转化,光子的波长最大是多少? 3、利用Broglie d e -关系,及园形轨道为各波长的整数倍,给出氢原子能 量可能值。

第二部分 波函数与Schr?dinger 方程 1、设()() 为常数a Ae x x a 222 1 -= ? (1)求归一化常数 (2).?p ?,x x == 2、求ikr ikr e r e r -=?=?1121和的几率流密度。 3、若() ,Be e A kx kx -+=? 求其几率流密度,你从结果中能得到什么样的 结论?(其中k 为实数) 4、一维运动的粒子处于 ()? ? ?<>=?λ-0 00x x Axe x x 的状态,其中,0>λ求归一化系数A 和粒子动量的几率分布函数。 5、证明:从单粒子的薛定谔方程得出的粒子的速度场是非旋的,即求证 0=υ?? 其中ρ= υ/j 6、一维自由运动粒子,在0=t 时,波函数为 ()()x ,x δ=?0 求: ?)t ,x (=?2

第三部分 一维定态问题 1、粒子处于位场 ()00 0000 ??? ?≥?=V x V x V 中,求:E >0V 时的透射系数和反射系数(粒子由右向左运动) 2、一粒子在一维势场 ?? ???>∞≤≤<∞=0 000x a x x V ) x ( 中运动。 (1)求粒子的能级和对应的波函数; (2)若粒子处于)x (n ?态,证明:,/a x 2= () .n a x x ?? ? ??π-=-2222 6112 3、若在x 轴的有限区域,有一位势,在区域外的波函数为 如 D S A S B D S A S C 22211211+=+=

量子力学习题答案

量子力学习题答案 1.2 在0k 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解:由德布罗意波粒二象性的关系知: E h =ν; p h /=λ 由于所考虑的电子是非相对论的电子(26k e E (3eV)c (0.5110)-μ? ),故: 2e E P /(2)=μ 69 h /p h / hc / 1.2410/0.7110 m 0.71nm --λ====?=?=1.3氦原子的动能是E=1.5kT ,求T=1K 时,氦原子的德布罗意波长。 解:对于氦原子而言,当K 1=T 时,其能量为 J 10 2.07K 1K J 10 381.12 32 323 1 23 ---?=????= = kT E 于是有 一维谐振子处于2 2 /2 ()x x Ae α ψ-=状态中,其中α为实常数,求: 1.归一化系数; 2.动能平均值。 (22 x e dx /∞-α-∞ = α?) 解:1.由归一化条件可知: 22 * 2x 2 (x)(x)dx A e dx 1 A /1 ∞∞-α-∞ -∞ ψψ===α=? ? 取相因子为零,则归一化系数1/21/4A /=απ 2.

2222 2 2 22 2 2 22 22 22 22 2 * 2x /2 x /22 2 2 x /2 x /2 2 2 x /2 2x /2 2 222x 2x /2 2 2 24 2x 2T (x)T (x)dx A e (P /2)e dx d A e ()e dx 2dx d A e (xe )dx 2dx A {xe (xe )dx} 2A x e dx A 22∞∞-α-α-∞-∞ ∞-α-α-∞∞-α-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ ∞-α-∞ = ψψ=μ=- μ =- -αμ=- -α- -αμ = α = μμ ? ?? ? ? ? =(= = 22 2 2 2 2 4 x 22 24 x x 2 2 22 24 21()xd(e ) 21A (){xe e dx}221A ()2442∞-α-∞ ∞ ∞-α-α-∞ -∞ α- α =α- -- μααα- - μ α μ μ α ? ? 若αT 4 ω= 解法二:对于求力学量在某一体系能量本征态下的平均值问题,用F-H 定理是 非常方便的。 一维谐振子的哈密顿量为: 2 2 22 d 1H x 2dx 2 =- + μωμ 它的基态能量01E 2 = ω 选择 为参量,则: 0dE 1d 2 = ω ; 2 2 2 d H d 2d 2()T d dx 2dx =- = - = μμ d H 20 0T d = 由F-H 定理知: 0dE d H 210 T d d 2= ==ω 可得: 1T 4 = ω

第一章量子力学基础和原子轨道报告

第一章 量子力学基础与原子结构 一、单项选择题(每小题1分) 1.一维势箱解的量子化由来( ) ① 人为假定 ② 求解微分方程的结果 ③ 由势能函数决定的 ④ 由微分方程的边界条件决定的。 2.下列算符哪个是线性算符( ) ① exp ② ▽2 ③ sin ④ 3.指出下列哪个是合格的波函数(粒子的运动空间为 0+)( ) ① sinx ② e -x ③ 1/(x-1) ④ f(x) = e x ( 0 x 1); f(x) = 1 ( x 1) 4.基态氢原子径向分布函数D(r) ~ r 图表示( ) ① 几率随r 的变化 ② 几率密度随r 的变化 ③ 单位厚度球壳内电子出现的几率随r 的变化 ④ 表示在给定方向角度上,波函数随r 的变化 5.首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是( ) ①薛定谔 ② 狄拉克 ③ 海森堡 ③波恩 6.立方势箱中22 810m a h E <时有多少种状态( ) ① 11 ② 3 ③ 7 ④ 2 7.立方势箱在22 812m a h E ≤的能量范围内,能级数和状态数为( ) ①5,20 ② 6,6 ③ 5,11 ④ 6,17 8.下列函数哪个是22 dx d 的本征函数( ) ① mx e ② sin 2x ③ x 2+y 2 ④ (a-x)e -x 9.立方势箱中22 87m a h E <时有多少种状态( ) ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 10.立方势箱中22 89m a h E <时有多少种状态( ) ① 11 ② 3 ③ 4 ④ 2 11.已知x e 2是算符x P ?的本征函数,相应的本征值为( ) ① i h 2 ② i h 4 ③ 4ih ④ πi h

高等量子力学习题汇总

第一章 1、简述量子力学基本原理。 答:QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量,描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?);2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值;3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下:ψψi i i i i a C a C ==∑,;而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系:[]0?,?=j i x x ,[]0?,?=j i p p ,[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中,微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中,一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出: ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系,在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子,服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念? 答:()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ,结果波函数()t x ,ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ,这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量; (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知:P 为极化矢量,P=<ψ|σ|ψ>,其中ψ=C 1α+C 2β,它的三个分量为: 求证: 答案:设:C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2

量子力学教程周世勋_课后答案

量子力学课后习题详解 第一章 量子理论基础 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即 m λ T=b (常量); 并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 183 3 -?=πρ, (1) 以及 c v =λ, (2) λρρd dv v v -=, (3) 有 ,1 18)() (5 -?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλ λλρλ ρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。但要注意的是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就是要求的,具体如下: 011511 86 '=???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ

? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ,则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=,经过验证,此解正是所要求的,这样则有 xk hc T m = λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。 1.2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系,可知 E=hv , λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子(2 c E e μ<<动),那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子,那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ,远远小于电子的质量与光速平方的乘积,即eV 6 1051.0?,因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式,这样,便有 p h = λ

相关文档
相关文档 最新文档