中考数学24题几何证明
重庆中考数学第24题专题训练
【典题1】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E为AB延长线上一点，连接ED，与BC交于点H．过E作CD的垂线，垂足为CD上的一点F，并与BC交于点G．已知G为CH的中点，且∠BEH=∠HEG．（1）若HE=HG，求证：△EBH≌△GFC；
（2）若CD=4，BH=1，求AD的长．
（1）证明：∵HE=HG，
∴∠HEG=∠HGE，
∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，
∴∠BEH=∠FGC，
∵G是HC的中点，
∴HG=GC，
∴HE=GC，
∵∠HBE=∠CFG=90°．
∴△EBH≌△GFC；
（2）解：过点H作HI⊥EG于I，
∵G为CH的中点，
∴HG=GC，
∵EF⊥DC，
HI⊥EF，
∴∠HIG=∠GFC=90°，
∠FGC=∠HGI，
∴△GIH≌△GFC，
∵△EBH≌△EIH（AAS），
∴FC=HI=BH=1，
∴AD=4-1=3．
【典题2】已知，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°．分别以AB、AC为边，向形外作等边△ABD和等边△ACE．
（1）如图1，连接线段BE、CD．求证：BE=CD；
（2）如图2，连接DE交AB于点F．求证：F为DE中点．
证明：（1）∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，即∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
AC=AE ∠DAC=∠BAE AD=AB ，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴DC=BE；
（2）如图，作DG∥AE，交AB于点G，
由∠EAC=60°，∠CAB=30°得：∠FAE=∠EAC+∠CAB=90°，
∴∠DGF=∠FAE=90°，
又∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴∠ABC=60°，
又∵△ABD为等边三角形，∠DBG=60°，DB=AB，
∴∠DBG=∠ABC=60°，
在△DGB和△ACB中，
∠DGB=∠ACB ∠DBG=∠ABC DB=AB ，
∴△DGB≌△ACB（AAS），
∴DG=AC，
又∵△AEC为等边三角形，∴AE=AC，
∴DG=AE，
在△DGF和△EAF中，
∠DGF=∠EAF ∠DFG=∠EFA DG=EA ，
∴△DGF≌△EAF（AAS），
∴DF=EF，即F为DE中点．
【典题3】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F （1）求证：BF=AD+CF；
（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．
（1）证明：如图（1），延长AD交FE的延长线于N
∵∠NDE=∠FCE=90°
∠DEN=∠FEC
DE=EC
∴△NDE≌△FCE
∴DN=CF
∵AB∥FN，AN∥BF∴四边形ABFN是平行四边形
∴BF=AD+DN=AD+FC
（2）解：∵AB∥EF，
∴∠ABN=∠EFC，即∠1+∠2=∠3，
又∵∠2+∠BEF=∠3，
∴∠1=∠BEF，∴BF=EF，
∵∠1=∠2，∴∠BEF=∠2，
∴EF=BF，
又∵ BC+AD=7+1
∴ BF+CF+AD=8
而由（1）知CF+AD=BF
∴ BF+BF=8
∴2BF=8，
∴BF=4，∴BF=EF=4
【典题4】在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=CD,∠ABC=60°,延长AD到E,使DE=AD,延长DC到F，使DC=CF,连接BE、BF和EF.
⑴求证：△ABE≌△CFB;
⑵如果AD=6,tan∠EBC的值.
解：（1）证明：连结CE，
在△BAE与△FCB中，
∵ BA=FC，∠A=∠BCF，， AE=BC，
∴△BAE≌△FCB；
（2）延长BC交EF于点G，作AH⊥BG于H，作AM⊥BG，∵△BAE≌△FCB，
∴∠AEB=∠FBG，BE=BF，
∴△BEF为等腰三角形，
又∵AE∥BC，
∴∠AEB=∠EBG，
∴∠EBG=∠FBG，
∴BG⊥EF，
∵∠AMG=∠EGM=∠AEG=90°，
∴四边形AMGE为矩形，
∴AM=EG，
在Rt△ABM中，A
B D
E
C
F
AM=AB ?sin60°=6× 23 =33 ， ∴EG=AM=33，
BG=BM+MG=6×2+6×cos60°=15，
∴tan ∠EBC=531533==BG
EG
【典题5】已知：AC 是矩形ABCD 的对角线，延长CB 至E ，使CE=CA ，F 是AE 的中点，连接DF 、CF 分别交AB 于G 、H 点（1）求证：FG=FH ；（2）若∠E=60°，且AE=8时，求梯形AECD 的面积．
（1）证明：连接BF
∵ABCD 为矩形
∴AB ⊥BC AB ⊥AD AD=BC
∴△ABE 为直角三角形
∵F 是AE 的中点
∴AF=BF=BE
∴∠FAB=∠FBA
∴∠DAF=∠CBF
∵ AD=BC, ∠DAF=∠CBF ,AF=BF ,
∴△DAF ≌△CBF
∴∠ADF=∠BCF
∴∠FDC=∠FCD
∴∠FGH=∠FHG
∴FG=FH ；
（2）解：∵AC=CE ∠E=60°
∴△ACE 为等边三角形
∴CE=AE=8
∵AB ⊥BC
∴BC=BE=CE
21=4
∴根据勾股定理AB=34
∴梯形AECD 的面积=21×(AD+CE)×CD=21
×(4+8)×34=324
【典题6】如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD=90°，且CD=2AD ，tan ∠ABC=2，过点D 作DE ∥AB ，
交∠BCD 的平分线于点E ，连接BE ．
（1）求证：BC=CD ；
（2）将△BCE 绕点C ，顺时针旋转90°得到△DCG ，连接EG ．求证：CD 垂直平分EG ；
（3）延长BE 交CD 于点P ．求证：P 是CD 的中点．
证明：（1）延长DE 交BC 于F ，
∵AD ∥BC ，AB ∥DF ，
∴AD=BF ，∠ABC=∠DFC ．
在Rt △DCF 中，
∵tan ∠DFC=tan ∠ABC=2， ∴CF CD =2， 即CD=2CF ，
∵CD=2AD=2BF ，
∴BF=CF ，
∴BC=BF+CF=21CD+21
CD=CD ．
即BC=CD ．
（2）∵CE 平分∠BCD ，
∴∠BCE=∠DCE ，
由（1）知BC=CD ，
∵CE=CE ，
∴△BCE ≌△DCE ，
∴BE=DE ，
由图形旋转的性质知CE=CG ，BE=DG ，
∴DE=DG ，
∴C ，D 都在EG 的垂直平分线上，
∴CD 垂直平分EG ．
（3）连接BD ，
由（2）知BE=DE ，
∴∠1=∠2．
∵AB ∥DE ，
∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．
∵AD ∥BC ，∴∠4=∠DBC ．
由（1）知BC=CD ，
∴∠DBC=∠BDC ，∴∠4=∠BDP ．
又∵BD=BD ，∴△BAD ≌△BPD(ASA)
∴DP=AD ．
∵AD=21CD ，∴DP=21
CD ．
∴P 是CD 的中点．
【典题7】如图，直角梯形ABCD 中，∠DAB=90°，AB ∥CD ，AB=AD ，∠ABC=60度．以AD 为边在直角梯形
ABCD 外作等边三角形ADF ，点E 是直角梯形ABCD 内一点，且∠EAD=∠EDA=15°，连接EB 、EF ．
（1）求证：EB=EF ；
（2）延长FE 交BC 于点G ，点G 恰好是BC 的中点，若AB=6，求BC 的长．
（1）证明：∵△ADF 为等边三角形，
∴AF=AD ，∠FAD=60°
∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB
∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF ，
∵AE 为公共边
∴△FAE ≌△BAE
∴EF=EB
（2）过C 作CQ ⊥AB 于Q ，
∵CQ=AB=AD=6，
∵∠ABC=60°，
∴BC=6÷ 23 =34．
【典题8】已知，矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE=BD ，F 为DE 的中点，连结AF 、CF.求证：
(1)∠ADF=∠BCF ；
(2) AF ⊥CF.
证明：（1）在矩形ABCD 中，
∵∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠DCE=90°，
在Rt △DCE 中，
∵F 为DE 中点，
∴DF=CF ，
∴∠FDC=∠DCF ，
∴∠ADC+∠CDF=∠BCD+∠DCF ，
即∠ADF=∠BCF ；
（2）连接BF ，
∵BE=BD ，F 为DE 的中点，
∴BF ⊥DE ，
∴∠BFD=90°，即∠BFA+∠AFD=90°，
在△AFD 和△BFC 中 AD=BC ∠ADF=∠BCF CF=DF ，
∴△ADF ≌△BCF ，
∴∠AFD=∠BFC ，
∵∠AFD+∠BFA=90°，
∴∠BFC+∠BFA=90°，
即∠AFC=90°，
∴AF ⊥FC ．
【典题9】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，AB=BC ，AD
与BC 延长线交于点F ，G 是DC 延长线上一点，AG ⊥BC 于E ．
（1）求证：CF=CG ；
（2）连接DE ，若BE=4CE ，CD=2，求DE 的长． 解答：（1）证明：连接AC ，
∵DC ∥AB ，AB=BC ，
∴∠1=∠CAB ，∠CAB=∠2，
∴∠1=∠2；
∵∠ADC=∠AEC=90°，AC=AC ，
∴△ADC ≌△AEC ，
∴CD=CE ；
∵∠FDC=∠GEC=90°，∠3=∠4，
∴△FDC ≌△GEC ，
∴CF=CG ．
（2）解：由（1）知，CE=CD=2，
∴BE=4CE=8，
∴AB=BC=CE+BE=10，
∴在Rt △ABE 中，AE= AB 2-BE 2 =6，
∴在Rt △ACE 中，AC= AE 2+CE 2 =102
由（1）知，△ADC ≌△AEC ，
∴CD=CE ，AD=AE ，
∴C 、A 分别是DE 垂直平分线上的点，
∴DE ⊥AC ，DE=2EH ；（8分）
在Rt △AEC 中，S △AEC =21 AE ?CE=21
AC ?EH ，
∴EH=AC CE
AE ? =10226? =5103
∴DE=2EH=2×5103=510
6
【典题10】如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AB 上两点，且BE=BF ，过点B 作AE 的垂线交AC 于点G ，过点G 作CF 的垂线交BC 于点H 延长线段AE 、GH 交于点M ．
（1）求证：∠BFC=∠BEA ；
（2）求证：AM=BG+GM ．
证明：（1）在正方形ABCD 中，AB=BC ，∠ABC=90°，
在△ABE 和△CBF 中，
AB=BC ∠ABC=∠ABC BE=BF ，
∴△ABE ≌△CBF （SAS ），
∴∠BFC=∠BEA ；
（2）连接DG ，在△ABG 和△ADG 中，
AB=AD ∠DAC=∠BAC=45° AG=AG ，
∴△ABG ≌△ADG （SAS ），
∴BG=DG ，∠2=∠3，
∵BG ⊥AE ，
∴∠BAE+∠2=90°，
∵∠BAD=∠BAE+∠4=90°，
∴∠2=∠3=∠4，
∵GM⊥CF，
∴∠BCF+∠1=90°，
又∠BCF+∠BFC=90°，
∴∠1=∠BFC=∠2，
∴∠1=∠3，
在△ADG中，∠DGC=∠3+45°，
∴∠DGC也是△CGH的外角，
∴D、G、M三点共线，
∵∠3=∠4（已证），
∴AM=DM，
∵DM=DG+GM=BG+GM，
∴AM=BG+GM．
【典题11】直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°，AB=BC，M为BC边上一点．（1）若∠DMC=45°，求证：AD=AM．（2）若∠DAM=45°，AB=7，CD=4，求BM的值．（1）证明：作AF⊥CD交延长线于点F．
∵∠DMC=45°，∠C=90°
∴CM=CD，
又∵∠B=∠C=∠AFD=90°，AB=BC，
∴四边形ABCF为正方形，
∴BC=CF，
∴BM=DF，
在Rt△ABM和Rt△AFD中，AB=AF，∠B=∠AFD=90°，BM=DF，
∴△ABM≌△AFD，
∴AD=AM．
（2）解：把Rt△ABM绕点A顺时针旋转90°，使AB与AE重合，得Rt△AFN．
∵∠DAM=45°，
∴∠BAM+∠DAF=45°，
由旋转知∠BAM=∠NAF，∴∠DAF+∠NAF=45°，
即∠DAM=∠DAN，
由旋转知AM=AN，
∴△ADM≌△ADN，
∴DM=DN，
设BM=x，
∵AB=BC=CF=7，
∴CM=7-x
又∵CD=4，
∴DF=3，BM=FN=x，
∴MD=DN=3+x，
在Rt △CDM 中，（7-x ）2+42=（3+x ）2
， 解得：x=514 ∴BM 的值为514
．
答：BM 的值为514
．
【典题12】如图，AC 是正方形ABCD 的对角线，点O 是AC 的中点，点Q 是AB 上一点，连接CQ ，DP ⊥CQ 于点E ，交BC 于点P ，连接OP ，OQ ；
求证：
（1）△BCQ ≌△CDP ；
（2）OP=OQ ．
证明：∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠B=∠PCD=90°，BC=CD ，
∴∠2+∠3=90°，
又∵DP ⊥CQ ，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠1=∠3，
在△BCQ 和△CDP 中，
∠B=∠PCD BC=CD ∠1=∠3 ．
∴△BCQ ≌△CDP ．
（2）连接OB ．
由（1）：△BCQ ≌△CDP 可知：BQ=PC ，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC ，
而点O 是AC 中点，
∴BO=21AC=CO ，∠4=21
∠ABC=45°=∠PCO ，
在△BCQ 和△CDP 中， BQ=CP ∠4=∠PCO BO=CO
∴△BOQ ≌△COP ，
∴OQ=OP ．