稍复杂的分数除法应用题教学反思

<<稍复杂的分数除法应用题>>教学反思

稍复杂的分数除法应用题教学是小学数学教学中的一个重点也

是一个难点。我认为：学生很难理解的重要原因是：问题情境中的单位“1”找不到，题中的数量关系列不出来。（评；这是我多年教学经验的结果）.为了让学生明白题中的单位“1”是谁，及如何找关键句列数量关系，我在新授前出示几个分率句，让学生找单位“1”及数量关系。在学生熟练后，我便出示教材例2，让学生自己去找单位“１”并列式，结果发现大部分同学能找到单位1，但找不到题中的数量关系。于是我用画线段图、举例等方法才艰难把这道题讲完。

课后，我反复思考学生为什么不理解例2的题意，找不到例2的数量关系。症结在哪里？于是，我又叫了几个成绩一般的学生来做几个同样的练习，结果发现学生虽然能找到单位1，但不知道单位1在题中有什么作用？另外学生对“美术组比航模组多1/5”这句话不理解。有同学把1/5看成具体的量，也有同学理解成美术组的1/5等等。

鉴于上述情况我对这一节课重新设计了一遍。把这节课的重点放在审题和列数量关系上。在导入中我设计了这样3个分率句：

1、一条路修了4/7

2、苹果个数的1/2相当于桃子

3、男生的人数比女生多1/3

让学生把每个分率句读上几遍，再细细体会每句话的意思，并理清量与量之间的关系，(评：重点是理解什么是单位1,及量与量之间的关系)。然后再出示：六（１）班男生有32人，男生的人数比女生

的人数比女生多1/3，女生有多少人？这时，学生很快就体会到把女生看成“1”或1倍的量，男生就比1倍的量多了1倍的1/3，合起就是1又１/3，根据女生人数×1又1/3=男生人数这个关系列出方程或算术方法，在练习过程中也很顺利。

通过再上《稍复杂的分数除法应用题》让我认识到：备课我们不仅要备教材、备教法，更要考虑到学生的学情。教师要根据学生的实际情况确定教学内容，分配教学时间，不能用套公式样的方法让学生解决分数除法应用题，这样虽然能提高学生的分数，但学生思维受到了抑制。课堂是以学生为主体的舞台，忽略学生的学情必然会导致教学的失败。

数学人教版六年级下册《式与方程的整理与复习》教学反思

《式与方程的整理和复习》教学反思 庆云小学孙惠琴 本节课的主要目标是帮助学生比较系统地掌握有关方程的基础知识，会解学过的方程，并能用方程解决生活中的简单问题。并从中体会方程的应用价值，从中获得价值体验。这节课主要体现以下优点点： １、突出复习的整体结构。复习中采用提纲的方式，突出复习内容的整体结构。这个整体结构不但呈现了复习的全部内容，还沟通了这些内容的内在联系，使复习的内容更加系统化。提纲还反映了知识的整体与部分的关系，学生按照这样的线索进行复习，把每块复习的知识装入提纲这样的知识系统中，能有效提高学生对这些内容的掌握水平。 ２、突出学生在整理知识过程中的主体作用。课前布置预习作业，通过学生完成预习作业来整理“式与方程”的知识，虽然有部分学生不能完整地整理所学知识，但仍可对某部分知识进行简单的整理，通过这种整理知识的方式，引导学生思考这些知识之间的联系，在学生有自己的一些想法的基础上，教师再综合学生整理的知识形成一个较为完整的复习内容，这样突出学生在整理知识过程中的主体作用，不仅能调动学生的学习积极性，还能加深学生对知识的理解，增强复习效果。 上完这节课，我觉得有如下不足之处： 我在课前检查预习作业时，发现大部分同学能完整地整理所学知识，甚至有些同学还有较独特的见解。但也有些同学不能完整地整理所学知识，主要体现在两个问题，一是学生举例用字母表示数时，有学生书写不规范，如a+b=b+a,有些学生只写a+b；二是有些学生会解方程但不知是应用什么知识，也就是知其然而不知其所以然。因此我想在课堂上汇报的过程中让学生进行讨论交流，大家取长补短。但是课堂中没有达到自己的预期目标，整堂课显得较沉闷，多数同学没有主动交流的欲望，甚至有些同学课堂纪律散漫。自己花了不少精力和时间设计的一堂课却出现这样的状况！自己琢磨一番觉得有以下原因：一是内容涵量较大，课堂节奏跳跃较大，有些问题也没有充分的时间给学生思考；二是采用生本理念教学模式，但是自己对生本理念其实还存在很多的困惑。 改进的措施及今后的设想： 1、自己要不断学习新课标的理念，用新课标理念指导自己备课上课。 2、教学设计一定要考虑学生的实际情况，要从学生的已有经验出发，不能以自己的经验代替学生实际情况。

(2)稍复杂的分数除法应用题.doc

（2）稍复杂的分数除法应用题 教学目标：1、通过教学, 使学生在理解分数除法意义及掌握分数乘法应用题解题思路的基础上，掌握已知一个数的几分之几是多少求这个数的稍复杂分数除法应用题的解题思路和方法，能比较熟练地解答一些简单的实际问题。2、通过教学，培养并提高学生的分析、判断、探索能力及初步的逻辑思维能力。教学重点：弄清单位“1”的量，会分析题中的数量关系。教学难点：分析题中的数量关系。教学过程：一、复习小红家买来一袋大米，重40千克，吃了，还剩多少千克？1、指定一学生口述题目的条件和问题，其他学生画出线段图。2、学生独立解答。3、集体订正。提问学生说一说两种方法解题的过程。4、小结：解答分数应用题的关键是找准单位“1”，如果单位“1”的具体数量是已知的，要求单位“1”的几分之几是多少，就可以根据分数乘法的意义，直接用乘法计算。二、新授1、教学补充例题：小红家买来一袋大米，吃了，还剩15千克。买来大米多少千克？（1）吃了是什么意思？应该把哪个数量看作单位“1”？（2）引导学生理解题意，画出线段图。吃了剩下15千克？千克“1”（3）引导学生根据线段图，分析数量关系式：买来大米的重量－吃了的重量=剩下的重量（4）指名列出方程。解：设买来大米x千克。 x－ x=152、教学例2（1）出示例题，理解题意。（2）比航模组多是什么意思？引导学生说出：是把航模组的人数看作单位“1”，美术组少的人数占航模组的（2）学生试画出线段图。（3）根据线段图，结合题中的分率句，列出数量关系式：航模小组人数＋美术小组比航模小组多的

人数＝美术小组人数（4）根据等量关系式解答问题。解：设航模小组有χ人。χ＋χ＝25 （1＋）χ＝25χ＝25÷ χ＝20三、小结1、今天我们学习的这两道应用题，它们有什么共同点？（今天我们学习的这两道应用题，题里的单位“1”都是未知的数量，都可以列方程来解，这样顺着题意列出方程思考起来比较方便。）2、用方程解答稍复杂的分数应用题的关键是什么？（关键是找准单位“1”，再按照题意找出数量间的相等关系列出方程）四、练习练习十第4、、14题。 2019-05-02 教学目标：1、通过教学, 使学生在理解分数除法意义及掌握分数乘法应用题解题思路的基础上，掌握已知一个数的几分之几是多少求这个数的稍复杂分数除法应用题的解题思路和方法，能比较熟练地解答一些简单的实际问题。2、通过教学，培养并提高学生的分析、判断、探索能力及初步的逻辑思维能力。教学重点：弄清单位“1”的量，会分析题中的数量关系。教学难点：分析题中的数量关系。教学过程：一、复习小红家买来一袋大米，重40千克，吃了，还剩多少千克？1、指定一学生口述题目的条件和问题，其他学生画出线段图。2、学生独立解答。3、集体订正。提问学生说一说两种方法解题的过程。4、小结：解答分数应用题的关键是找准单位“1”，如果单位“1”的具体数量是已知的，要求单位“1”的几分之几是多少，就可以根据分数乘法的意义，直接用乘法计算。二、新授1、教学补充例题：小红家买来一袋大米，吃了，还剩15千克。买来

六年级下册数学教案及教学反思式与方程苏教版

式与方程教案 教学目标： 1.使学生进一步理解用字母表示数的作用和等式的性质，体会用字母表示数的简洁性，渗透初步的代数思想。在比较中进一步加深对方程、方程的解及解方程的区别、方程与等式的关系的理解。 2.使学生进一步掌握“ax±b=c”、“ax×b=c”、“ax÷b=c”、“ax±bx=c”等形式的方程解法，培养学生自觉检验的良好习惯。教学重点、难点：用字母表示数和解简易方程。 教学设计： 一、复习用字母表示数 1、组织学生讨论交流用字母表示数的例子 （1）用字母表示常见的数量关系。 （2）用字母表示常见的运算定律。 （3）用字母表示常见的计算公式。 2、讨论用字母表示数时要注意些什么？（通过举例说明） 小结：如1和字母相乘，1是不用写的，数字和字母相乘，字母和字母相乘，乘号要省略，数字要写在字母的前面，a的平方表示两个a相乘，而2a表示2乘a。 3、完成书本练习与实践第1题 （1）根据第一个数，分别用含有a的式子表示其它的数。并算一算它们的和是多少？ （2）根据四个数的和，可以计算出其余3个数分别是多少？

二、复习方程和等式的区别和解方程。 1、出示复习题：下列等式，哪些是方程，哪些不是方程?并说明理由。 18+25=435x+4x+8=35x-2 4×3－18÷3 = 63x+5＝7a+4 我们知道含有未知数的等式叫做方程。方程的特征是：它含有未知数，同时又是—个等式。 提问：方程与等式有什么联系和区别？ 指出：方程一定是等式，但等式不一定是方程。可以用集合图表示给学生看。 2、举例说说什么是等式的性质？利用等式的性质可以做什么？ 3、解方程 完成书本第2题，可以有选择性的分小组完成，再补充几题： 3x-6+4=16x+0.25x=101+0.25x=10 三、补充练习 （一）填空 1、在（）里写出含有字母的式子。 （1）3个x相加的和（），3个x相乘的积（）。 （2）一批煤有a吨，烧了8天，平均每天烧m吨，还剩（）吨。 （3）一个圆柱底面半径为r，高为h，它的体积v=（）。 （4）小明今年a岁，小华今年b岁，经过x年后，两人相差（）

北师大版6年级数学分数除法应用题较复杂的分数应用题

11 分数除法应用题练习卷 1.超市运进水果，第一批运进320千克，第二批运进400千克，这两批运进的水果重量占超市现在所有水果的 3 2 ，超市现在一共有水果多少千克？ 2.一条铁路，修完900千米后，剩余部分比全长的4 3 少300千米，这条铁路全长多少千米？ 3.修路队修一条路，第一天修了全长的5 1 ，第二天修了1000米。这时已修的米数占全长的15 8 。这条路全长多少千米？ 4.电脑公司要修一批电脑，已经修了这批电脑的3 1 ，再修24台就正好 修了这批电脑的一半。这批电脑有多少台？ 5.一筐萝卜卖掉 51 以后，又卖出6千克，这时卖出的正好是剩下的2 1。这筐萝卜原有多少千克？ 6.筑路队三天修好一条马路，第一天修了全长的41，第二天修了全长的5 2 ，第一天比第二天少修90米，这条马路全长多少米？ 7.工厂进了一批原料，第一个星期用去总数的 5 2 ，第二个星期用去总数的9 4 ，这时用去的比剩下的多31吨，这批原料共有多少吨？

22 8.牛师傅计划做一批零件，第一天做了计划的 74，第二天又做了余下的5 3 ，这时还剩42个零件没做。牛师傅计划做多少个零件？ 9.一批木料，先用去总数的 72，又用去剩下的5 2 ，这时用去的比剩下的多10立方米，这批木料共有多少立方米？ 10.食堂原有一批大米，吃了5 2 后，有运进170千克，这时大米的总重量比原来还多了 6 1 ，原来食堂有大米多少千克？ 11.玩具店开业当天卖出玩具9 4 ，第二天又新进150件新玩具，这时玩具总数比原来却少了6 1 。玩具店原来有玩具多少件？ 12.某家具店要生产一批沙发，第一周生产了64套，第二周生产了86套，两周共生产了这批沙发总数的 10 3 。家具厂还要生产多少套沙发？ 13.服装厂第一车间有工人150人，第二车间的工人数是第一车间的5 2 ，两个车间的人数正好是全厂工人总数的 6 5 ，全厂有工人多少人？ 14.一根钢筋截去8米后，所剩部分比原长的5 3 还多2米。这根钢筋原长多少米？ 15.学校植树，第一天完成了计划的 83，第二天完成了计划的12 5，第三天植

《式与方程》教学反思

《式与方程》教学反思 单位：南莫镇邓小年级：六（下）学科：数学时间：5月20日本节课的主要目标是帮助学生用方程解决生活中的简单问题。并从中体会方程的应用价值，从中获得价值体验。本节课主要重视知识的运用能力，强化用方程解决实际问题的思维模式。具体如下： 1、强化学生读题。通过读题，培养学生认真审题的意识。读题，也是理解的开始，只有读清楚了，才能更好地理解题目的重点词句，才能准确找出已知数与未知数之间的数量相等关系，而找出已知数与未知数之间的数量相等关系是解稍复杂方程的关键。同时强化学生用方程的思维模式去思考。 2、数形结合，帮助学生理解应用题。要求学生通过画线段图或者示意图来理解题意，找出题目的等量关系并列出等量关系式，并且坚定地执行画线段图或者示意图这两种方式来理解应用题目，提高学生理解能力。充分体现了新课标提倡的三维目标，关注学生的情感、态度和价值观的培养，但本节课还没有完全到位，重视不够。 3、交流、落实方法——最后师生共同提升、点拨和补充。这样的设计，体现了“充分尊重学生，全面依靠学生”的教学理念。把对应用题的分析、理解、提升的过程还给学生，教师只起到一个引导者、组织者、合作者的作用。教学的设计体现了层次性和趣味性。同时也适合不同程度的学生，让学生在不同层次、不同类型的题目中得到锻炼，提高解题能力。第93页的第九题让学生合作、交流找出规律后进行游戏活动，趣味性较浓厚，参加活动的学生很积极，让学生感受用方程的方法解决问题的乐趣，拓展“学生的思维”、“以学定教”的教学理念。 4、突出等量关系的复习，提高学生用方程解答稍复杂的应用题的能力。用方程解稍复杂的应用题关键突出表现在等量关系上，所以整堂课都在强调学生找题中的等量关系，就是抓住用方程解答稍复杂的应用题的关键所在，把提高学生解决问题的能力的培养落到实处。

六年级较复杂的分数除法应用题

六年级较复杂的分数除法应用题 知道一个数的几分之几是多少；用列方程计算比较简便。 例1、通源物流公司有一批货物准备运往广州；第一天运了弓;第二天运了2；还有12吨。这批货物一共有多少吨？ 5 思路点拨：因为“第一天运了3；第二天运了 - ”;因此;还剩下 7 5 1-3-2 =—；剩下这批货物的—是12吨。 7 5 35 35 3 2 解：设这批货物共有x吨;第一天运-X吨;第二天运-X吨。 7 5 3 2 x- x- — x=12 7 5 -x=12 35 X=70 答： |： _ :开心演练： 1、小伟看一本书；她星期一看了这本书的-;星期二看了这本书的-; 3 2 星期三看完最后的41页。这本书共有多少页？ 2、有人问毕达哥拉“尊敬的毕达哥拉斯;你的弟子有多少？”我的半的弟子在探索数的奥秘；丄的弟子在追求着自然界的哲理；-的 4 7 弟子终日沉默寡言深入思考；除此之外；还有三个是女弟子；这就是我的

全部的弟子。”毕达哥拉斯共有多少个弟子? 例2、为了庆祝“十一”国庆节同学们做了一些绸花；第一小组做了5；第二小组做了1多10朵；第三小组做了30朵。同学们一共做多少朵绸花？ 思路点拨：把“同学们一共做多少朵绸花”看作单位“T；那么;第一小组做了-x朵;第二小组做了( - x+10)朵。 5 3 解：设同学们一共做x朵绸花。 2 1 X —— x—( — x+10)=30 5 3 1： _ :开心演练： - 3、郭师傅加工一批零件；第一天做了?第二天做了-还多20个;这时 6 还剩360个没有完成。这批零件有多少个? 1 4、晶晶有一些邮票；她把其中的1多6张送给萱萱；把其中的5少8张 6 送给了小青；自己还留下40张。晶晶原有多少张邮票？ 1 5、一只空水缸;早晨放满了水；白天用去其中的5;傍晚又用去29升;

《认识等式与方程》教学反思

《认识等式与方程》教学反思 《认识等式与方程》教学反思 10月27日，我有幸参加了xx市教育局小学教研室组织的数学“同课异构”活动，此次活动分别由焦xx老师和王xx老师讲五年级上册的的《认识等式与方程》一课，聆听了杜主任的精彩点评。这次活动，我深刻地感受到小学数学课堂教学的生活化、艺术化，特别是这两位老师对同一教材都有独到的见解，设计风格完全不同，但都突出了方程的本质。 一、创设的情境，目的明确，为教学服务。 两位老师的教学过程都紧紧围绕着教学目标，非常具体，有新意和启发性。特别之处xx 老师在炫我两分钟这一环节采用讲生活中的小故事，让学生体会数学来源于生活并运用于生活，激发学生学习兴趣。不但激发了他们了学习的欲望，而且兴趣也被调动起来，于是在自然、愉快的气氛中享受着学习，这便是情境所起的作用。 二、是重视数学语言表达 一方面教师语言精练、言简意赅，另一方面重视培养学生用数学语言表达信息，并注意规范学生的语言。尤其是xx老师这节课很好的得到了呈现。 三、教师注重评价 xx老师的这节课采用的是的隐性评价，教师的加分或奖励由组长进行记录，然后课下在进行汇总，给每个小组加分，这种形式的评价避免在课上浪费时间；而xx老师则采用显性评价，随加随记的方式，这也有利于各小组在落后的情况下勇于追赶其他小组；虽然形式不同，但都有利于激励学生积极发言、深入思考。 四、立足学情、深度挖掘教材 两位老师都能立足学情、深挖教材深度，xx老师在课上小研究设计上没局限于教材，而在天平左侧设计了一个未知的小苹果，让学生充分想象，用不同的图形、字母等来表示，让学生深刻理解了未知数的真正含义；而xx老师在这个环节充分发挥多媒体作用，制作了一个非常形象的课件，让学生深刻理解了等式、不等式、方程，再通过分类进一步加深它们之间的关系；这两位老师的课堂不仅让学生吃了“方程”这顿大餐，也让听课的老师极为震撼。 两位老师分别进行了说课，理论联系实际让我们再次感受“感悟数学本质，经历数学建模”的理念。通过今天的学习，我觉得，在讲台这个不大的舞台上，只要有孩子们，有我们教师的不断学习、不断耕耘，那么这个舞台一定是最绚丽的。

较复杂的分数除法应用题及答案

7 较复杂的分数除法应用题 知道一个数的几分之几是多少，用列方程计算比较简便。 例1、通源物流公司有一批货物准备运往广州，第一天运了 X=70 二开心演练： 1、小伟看一本书，她星期一看了这本书的-，星期二看了这本书的 3 星期三看完最后的41页。这本书共有多少页？ 2、有人问毕达哥拉斯：“尊敬的毕达哥拉斯，你的弟子有多少？” 的一半的弟子在探索数的奥秘 ；-的弟子在追求着自然界的哲理； 4 的弟子终日沉默寡言深入思考；除此之外，还有三个是女弟子，这就 是我的全部的弟子。”毕达哥拉斯共有多少个弟子? 7，第二 天运了 2 ，还有12吨。这批货物一共有多少吨？ 5 思路点拨：因为“第一天运了 3 ，第二天运了 - ”， 7 5 2 =—，剩下这批货物的一是12吨。 5 35 35 设这批货物共有X 吨，第一天运3x 吨，第二天运 3 2 — X- -x ——x=12 7 5 因此, 还剩下 1-3 7 解: 2 —X 吨。 答: “我

精选文档 例2、为了庆祝“十一”国庆节，同学们做了一些绸花，第一小组做了2，第二小组做了1多10朵，第三小组做了30朵。同学们一共做多少朵绸花？思路点拨：把“同学们一共做多少朵绸花”看作单位“ 1”，那么，第一小组做了l x朵，第二小组做了（討10）朵。 解：设同学们一共做x朵绸花。 X —2x—( -x+10)=30 5 3 二开心演练: 1 3、郭师傅加工一批零件'第一天做了5，第二天做了1还多20个, 这时还剩360个没有完成。这批零件有多少个? 1 4、晶晶有一些邮票，她把其中的6多6张送给萱萱，把其中的5少8 张送给了小青，自己还留下40张。晶晶原有多少张邮票? 1 5、一只空水缸，早晨放满了水，白天用去其中的5，傍晚又用去29 升，这时，水缸的水比半缸多1升。求早上放人水多少升? 2

五年级-分数除法应用题、较复杂的分数应用题-练习卷

1 / 5 分数除法应用题练习卷 1.超市运进水果，第一批运进320千克，第二批运进400千克，这两批运进的水果重量占超市现在所有水果的 3 2 ，超市现在一共有水果多少千克？ 2.一条铁路，修完900千米后，剩余部分比全长的4 3 少300千米，这条铁路全长多少千米？ 3.修路队修一条路，第一天修了全长的 5 1 ，第二天修了1000米。这时已修的米数占全长的15 8 。这条路全长多少千米？ 1.电脑公司要修一批电脑，已经修了这批电脑的3 1 ，再修24台就正好修了这批电脑的一半。这批电脑有多少台？ 2.一筐萝卜卖掉 51 以后，又卖出6千克，这时卖出的正好是剩下的2 1。这筐萝卜原有多少千克？ 3.筑路队三天修好一条马路，第一天修了全长的41，第二天修了全长的5 2 ，第一天比第二天少修90米，这条马路全长多少米？ 1.工厂进了一批原料，第一个星期用去总数的 5 2 ，第二个星期用去总数的9 4 ，这时用去的比剩下的多31吨，这批原料共有多少吨？ 2.牛师傅计划做一批零件，第一天做了计划的 7 4 ，第二天又做了余下的53， 这时还剩42个零件没做。牛师傅计划做多少个零件？

2 / 5 3.一批木料，先用去总数的 72，又用去剩下的5 2 ，这时用去的比剩下的多10立方米，这批木料共有多少立方米？ 1.食堂原有一批大米，吃了5 2 后，有运进170千克，这时大米的总重量比原来还多了 6 1 ，原来食堂有大米多少千克？ 2.玩具店开业当天卖出玩具9 4 ，第二天又新进150件新玩具，这时玩具总数比原来却少了6 1 。玩具店原来有玩具多少件？ 1.某家具店要生产一批沙发，第一周生产了64套，第二周生产了86套，两周共生产了这批沙发总数的 10 3 。家具厂还要生产多少套沙发？ 2.服装厂第一车间有工人150人，第二车间的工人数是第一车间的5 2 ，两个车间的人数正好是全厂工人总数的 6 5 ，全厂有工人多少人？ 3.一根钢筋截去8米后，所剩部分比原长的5 3 还多2米。这根钢筋原长多少米？ 4.学校植树，第一天完成了计划的83，第二天完成了计划的12 5，第三天植树55棵，结果超过计划的 4 1 ，学校计划植树多少棵？ 5.欣欣原有一些糖果，吃了 4 3 后，妈妈又给她买来14颗，这时的糖果总数是原来

较复杂的分数除法应用题与答案

较复杂的分数除法应用题 知道一个数的几分之几是多少，用列方程计算比较简便。 例1、通源物流公司有一批货物准备运往广州，第一天运了3，第二天运了 -，还有12吨。这批货物一共有多少吨？ 5 思路点拨：因为第一天运了 -，第二天运了 - ”，因此，还剩下 7 5 1-3-2=-，剩下这批货物的-是12吨。 7 5 35 35 解：设这批货物共有x吨，第一天运3x吨，第二天运-X吨。 7 5 X-3X-?X=12 7 5 -X=12 35 X=70 答： 「_ ：开心演练： 1、小伟看一本书，她星期一看了这本书的3，星期二看了这本书的 1，星期三看完最后的41页。这本书共有多少页？ 2 2、有人问毕达哥拉斯：尊敬的毕达哥拉斯，你的弟子有多少？我的一半的弟子在探索数的奥秘；-的弟子在追求着自然界的哲 4 理；1的弟子终日沉默寡言深入思考；除此之外，还有三个是女弟7

子，这就是我的全部的弟子。”毕达哥拉斯共有多少个弟子？例2、为了庆祝十一”国庆节，同学们做了一些绸花，第一小组做了 -,第二小组做了1多10朵，第三小组做了30朵。同学们一共做多 5 3 少朵绸花？ 思路点拨：把同学们一共做多少朵绸花”看作单位1 ”，那么，第一—i 小组做了-x朵，第二小组做了 ( -x+10)朵。 5 3 解：设同学们一共做x朵绸花。 2 1 X—— x—( — x+10)=30 5 3 1： _ :开心演练： 1 3、郭师傅加工一批零件，第一天做了5，第二天做了1还多20 个, 6 这时还剩360个没有完成。这批零件有多少个？ 1 4、晶晶有一些邮票，她把其中的1多6张送给萱萱，把其中的5少 6 8张送给了小青，自己还留下40张。晶晶原有多少张邮票？ 1 5、一只空水缸，早晨放满了水，白天用去其中的5，傍晚又用去29

曲线与方程的教学反思

“曲线与方程”的教学反思 上海曹杨二中桂思铭（200062） 一、对教学设计的再思考 本内容包含“曲线与方程”和“求曲线的方程”。前一小节引入“曲线的方程”和“方程的曲线”概念,并通过概念的简单应用，使学生初步理解概念；后一小节给出求轨迹方程的一般步骤和方法，通过求轨迹方程帮助学生进一步理解、掌握曲线方程的概念. 在先前的教学设计中，主要考虑贯彻教材编写意图问题，注重利用学生在学习“直线的方程”“圆的方程”中建立的已有经验，通过适当的问题引导学生学习，这样的安排充分注意了学生已有的认知基础，有利于学生主动构建概念。我认为这样的设计对学生理解概念、发展能力都有积极意义，但做好这一点必须有充足的时间让学生进行归纳、思考、总结. 从实际的教学情况来看,在概念的引入上是比较成功的,学生在课堂中的表现和教学设计的预设比较一致,这是设计中值得肯定的一面. 先前的设计的不足主要是没有充分重视轨迹方程的求解过程.要完整地体现教材的编写意图,在重视概念形成发展过程的同时还需要重视习题内容的处理.我们来看教材中的一个习题(37页练习3): 如图,已知点的坐标是,过点的直线与轴交于点,过点与直线垂直的直 线与轴交于点.设点是线段的中点，求点的轨迹方程. 这个问题的解答途径主要有两种: （1）用和有公共的斜边这一特性,得出点到定点及的距离相同,得出所求的轨迹就是线段的垂直平分线,因此可以利用例2的方法来求解; （2）引入一个参数,设直线的斜率为,然后根据已有的知识将点的坐标用来表示,最后消去参数.

这两种方法学生都比较陌生,前一种解法的“平面几何味道”很浓,有一个转化的过程;后一种解法主要是用参数方程的思想,学生没有接触过,没有可以模仿的例题,独立解决有困难,需要教师的铺垫与归纳. 同样，学生独立完成教科书上的习题也有一定的难度。因此，课堂教学中，通过例题有效地帮助学生体会到“曲线与方程”中蕴含的数学思想和方法是非常重要的任务. 鉴于上述分析,应将求轨迹方程的方法列入教学的重点和难点,但一个课时无法完成教学任务，需要增加一个课时. 二、对教学设计的调整 基于上面的思考，现将教学设计作一个调整，将本节内容改成两节课完成，两节课的内容安排如下： 第一课 2.1.1曲线与方程的全部内容加上2.1.1求曲线的方程例2; 第二课 例3结合作业分析,归纳几种主要的求轨迹方程的方法. 下面是修改后的教学设计: (1) 课前预习 在上课前一天布置学生复习回顾下列内容，并思考：从中可以归结出哪些观点？ 片断1 数学2第三章中直线与方程的章头语： ……通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法。 ……建立直线方程.然后通过方程,研究直线的有关性质……. 片断2 第四章 圆与方程的章头语 ……建立圆的方程.通过圆的方程,研究直线与圆、圆与圆的位置关系. 片断3 数学2中第97页的思考栏目 （1）平面直角系中的每一条直线都可以用一个关于、的二元一次方程来表示吗？ （2）每一个关于、的二元一次方程都能表示一条直线吗？ (二)概念导入 1．通过投影呈现上述片断，让学生回答从中可以得出哪些主要信息? (从上述片断中可以提炼出观点:①解析几何主要是通过方程来研究几何问题;②二元一次方程和直线间具有一一对应关系;③片断3也提供了建立方程和曲线联系的途径;④更一般的,可以先建立曲线的方程，通

较复杂分数除法应用题练习

比较复杂分数除法应用题专题练习 姓名： ____________ 、判断单位1 ”是否同的一般分数除法应用题 1 1 1.某校三年级有学生240人，比四年级多一，比二年级少-，二、四年级各有多少学生？（用等量关系列 4 5 示计算） 在甲港上船的有多少人 ？（先画线段再列式解答） 3 3.学校六年级开设数学和科技两个兴趣小组 ，数学组人数占两个组总人数的 ，科技小组人数占两个小组 5 4 总人数的-，两个小组都参加的有 12人，参加数学小组和科技小组的各有多少人 ？（先画线段再列式解 答） 2?—艘客轮从甲港开往乙港，途中有 船 .卜 客 旅,又有48人上船，这是船上的旅客是原来的 17 花，问:

1 1 4.有一堆苹果，吃了 —后又买来了 324个，这是这堆苹果的个数比原来的多 —，原来这堆苹果有多少个？ 4 5 （先画线段再列式解答） 子全长多少米？（先画线段再列式解答） 1 5 6?—车西瓜，第一次卖出3,然后又添进去40千克，第二次卖出车中西瓜的 9，第三次又卖出180千 3 9 克，这时车中还有西瓜 60千克，原来这车西瓜重多少千克 ？（先画线段再列式解答） 、单位1 ”不同，找不变的量作并转化成同一个单位 1 5.一根绳子，第一次剪去全长的 3 ，第二次剪去的是剩下的 5 2 多10米，如果两次已将绳子剪完，这根绳

1?袋里有若干个皮球，其中花皮球占 —,后来又往袋中放入 6个花皮球，这是花皮球占总个数的 -,求 12 2 现在袋里有多少个皮球 ？ 17 ，后来又载了多少棵苹果树？ 2?果园里有苹果树 、梨树共800棵，其中苹果树占 3 ，后来又载了一些苹果树 5 ，这样，苹果树占总棵树的 3. 有甲乙两个粮库，原来甲粮库存粮的质量是乙粮库的 5 7，如果从乙粮库运12吨到甲粮库，那么甲粮库 存粮的质量就是乙粮库的 甲、乙粮库原来各存粮多少吨

较复杂的分数除法应用题及答案

For personal use only in study and research; not for commercial use 较复杂的分数除法应用题 知道一个数的几分之几是多少，用列方程计算比较简便。 例1、通源物流公司有一批货物准备运往广州，第一天运了7 3，第二天运了5 2，还有12吨。这批货物一共有多少吨？ 思路点拨：因为“第一天运了7 3，第二天运了5 2”，因此，还剩下 1-73-5 2= 356，剩下这批货物的35 6 是12吨。 解：设这批货物共有x 吨，第一天运73x 吨，第二天运5 2 x 吨。 x-73x-5 2 x=12 35 6x=12 X=70 答： 开心演练： 1、小伟看一本书，她星期一看了这本书的3 1，星期二看了这本书的2 1，星期三看完最后的41页。这本书共有多少页？ 2、有人问毕达哥拉斯：“尊敬的毕达哥拉斯，你的弟子有多少？”“我的一半的弟子在探索数的奥秘 ；4 1 的弟子在追求着自然界的哲理；7 1的弟子终日沉默寡言深入思考；除此之外，还有三个是女弟子，这就是

我的全部的弟子。”毕达哥拉斯共有多少个弟子？ 例2、为了庆祝“十一”国庆节，同学们做了一些绸花，第一小组做了5 2 ，第二小组做了3 1多10朵，第三小组做了30朵。同学们一共做多少朵绸花？ 思路点拨：把“同学们一共做多少朵绸花”看作单位“1”，那么，第一小组做了52x 朵，第二小组做了（3 1x+10）朵。 解：设同学们一共做x 朵绸花。 X —52x —（3 1x+10）=30 开心演练： 3、郭师傅加工一批零件，第一天做了51 ，第二天做了6 1 还多20个， 这时还剩360个没有完成。这批零件有多少个？ 4、晶晶有一些邮票，她把其中的6 1 多6张送给萱萱，把其中的51 少8 张送给了小青，自己还留下40张。晶晶原有多少张邮票？

数学北师大版六年级下册式与方程教学反思

《式与方程》教学反思 钟巧玲也不记得这是自己的第几次公开课，但是在印象当中关于方程的公开课上了三次了，当然面对例外的学生上出来的效果也不一样，这是一节复习课，相对新授课复习课的效果会稍差一些，而且设计的难度也会增大。在这我也做了很多前期准备工作，包括请教有经验的老师怎样把数学方法、数学思想渗透在课堂中，在教学设计中怎样发挥小组合作的作用等等……这节课上完后，自我感觉学生总体表现优良，小组合作优良，但有些设计不够好，还需要细加斟酌。但在设计上还是有一定优势的，主要体现在以下几点： 一、本节课的教学目标明确：1.回顾和整理有关代数的初步知识，再次经历用字母或含有字母的式子表示数或者数量关系的过程，进一步体会方程的意义和思想，能用等式的性质解简单的方程。 2.能用方程表示简单情境中的等量关系，能用方程解决简单的实际问题。 二、教学思路清撤，思路大致如下： （一）创设情境，引出方程（提出假设并验证假设） 1、创设淘气摆小棒的情境，并提出问题“你发现了什么规律？” 2、学生把自己发现的规律说出来，学生提出用字母“3n+1”表示所用小棒数的设想，根据学生设想顺势引导学生交流你发现规律的依据是什么？小结：在这里，“3n+1”表示摆出的图形个数与所需小棒数之间的规律。 3、提出问题“如果摆出的图形用了100根小棒，你知道淘气摆出的正方形的个数是多少吗？”学生在此可能会有几种解决策略： （1）（100-1）/3；（2）（100-4）/3+1；（3）3n+1=10重点强调第三种算法，由此引出方程，并顺势引导学生复习解方程的过程。 （二）算法比较，体现用方程解决问题的价值 1、给出关于“分数除法”的问题情境，让学生小组交流自己的算法； 2、小组汇报交流结果； 3、引导学生比较算法的是非，让学生通过对比发现用方程来解决“分数除法”问题更好理解。 4、重点强调用方程解决问题大凡步骤。（1）

五年级 分数除法应用题、较复杂的分数应用题 练习卷

分数除法应用题练习卷 1.超市运进水果，第一批运进320千克，第二批运进400千克，这两批运进的水果重量占超市现在所有水果的 ，超市现在一共有水果多少千克？ 2.一条铁路，修完900千米后，剩余部分比全长的 少300千米，这条铁路全长多少千米？ 3.修路队修一条路，第一天修了全长的 ，第二天修了1000米。这时已修的米数占全长的 。这条路全长多少千米？ 1.电脑公司要修一批电脑，已经修了这批电脑的 ，再修24台就正好修了这批电脑的一半。这批电脑有多少台？ 2.一筐萝卜卖掉 以后，又卖出6千克，这时卖出的正好是剩下的 。这筐萝卜原有多少千克？ 3.筑路队三天修好一条马路，第一天修了全长的 ，第二天修了全长的

，第一天比第二天少修90米，这条马路全长多少米？ 1.工厂进了一批原料，第一个星期用去总数的 ，第二个星期用去总数的 ，这时用去的比剩下的多31吨，这批原料共有多少吨？ 2.牛师傅计划做一批零件，第一天做了计划的 ，第二天又做了余下的 ，这时还剩42个零件没做。牛师傅计划做多少个零件？ 3.一批木料，先用去总数的 ，又用去剩下的 ，这时用去的比剩下的多10立方米，这批木料共有多少立方米？ 1.食堂原有一批大米，吃了 后，有运进170千克，这时大米的总重量比原来还多了 ，原来食堂有大米多少千克？ 2.玩具店开业当天卖出玩具

，第二天又新进150件新玩具，这时玩具总数比原来却少了 。玩具店原来有玩具多少件？ 1.某家具店要生产一批沙发，第一周生产了64套，第二周生产了86套，两周共生产了这批沙发总数的 。家具厂还要生产多少套沙发？ 2.服装厂第一车间有工人150人，第二车间的工人数是第一车间的 ，两个车间的人数正好是全厂工人总数的 ，全厂有工人多少人？ 3.一根钢筋截去8米后，所剩部分比原长的 还多2米。这根钢筋原长多少米？ 4.学校植树，第一天完成了计划的 ，第二天完成了计划的 ，第三天植树55棵，结果超过计划的 ，学校计划植树多少棵？ 5.欣欣原有一些糖果，吃了 后，妈妈又给她买来14颗，这时的糖果总数是原来的

稍复杂分数除法练习题

1、停车场有小轿车132辆，比货车多 65，停车场有货运车多少辆？ 2、某品牌手机降价 6 1后，售价是1250元，原来售价多少元？ 3、2010年我国进行第6次人口普查，阳光小区受高等教育人数是1640人，比第5次多31，第5次人口普查时，阳光小区受高等教育人数是多少？ 4、王阿姨家有菊花72盆，菊花比月季花少 81，王阿姨家有月季花多少盆？ 5、王阿姨家有菊花72盆，月季花比菊花少8 1，王阿姨家有月季花多少盆？ 6、连一连。 商城有 自行车200辆， ，电动车有多少辆？ 1） 自行车比电动车多 41 ａ 200×（1－4 1 ） 2）电动车比自行车多41 ｂ 200÷（1＋4 1） 3）自行车比电动车少41 ｃ 200×（1＋4 1 ） 4）电动车比自行车少41 ｄ 200÷（1－41）

7、粮站运走一批大米后，剩下500㎏，运走的是原来的83，粮站原有大米多少㎏？ 8、一条公路已修好全长的 74，离终点还差18㎞，已修好多少㎞？ 9、食堂有一袋大米，第一周用去这袋大米的 41，第二周用去这袋大米的52，还剩下70千克，这袋大米有多少千克？ 10、.三（1）班男生人数是全班人数的 53，三（1）班人数是全年级的31，三（1）班男生有30人。三年级学生共有多少人？ 11、有一仓库水泥，上午运走了 31，下午运走了41，这时仓库还剩下100吨。仓库原来有水泥多少吨？ 12、有个养殖场，鸡的数量是鸭的 54，鸭的数量是鹅的76，鸡有2400只，鸭、鹅各有几只？ 13、如果甲数比乙数多61，那么乙数比甲数少几分之几？

稍复杂的分数除法应用题

稍复杂的分数除法应用题 教学目标： 1、通过教学, 使学生在理解分数除法意义及掌握分数乘法应用题解题思路的基础上，掌握 已知一个数的几分之几是多少求这个数的稍复杂分数除法应用题的解题思路和方法，能比较熟练地解答一些简单的实际问题。 2、通过教学，培养并提升学生的分析、判断、探索水平及初步的逻辑思维水平。 教学重点： 弄清单位“1”的量，会分析题中的数量关系。 教学难点：分析题中的数量关系。 教学过程： 一、复习 小红家买来一袋大米，重40千克，吃了，还剩多少千克？ 1、指定一学生口述题目的条件和问题，其他学生画出线段图。 2、学生独立解答。 3、集体订正。提问学生说一说两种方法解题的过程。 4、小结：解答分数应用题的关键是找准单位“1”，如果单位“1”的具体数量是已知的， 要求单位“1”的几分之几是多少，就能够根据分数乘法的意义，直接用乘法计算。二、新授 1、教学补充例题：小红家买来一袋大米，吃了，还剩15千克。买来大米多少千克？ （1）吃了是什么意思？应该把哪个数量看作单位“1”？ （2）引导学生理解题意，画出线段图。

（3）引导学生根据线段图，分析数量关系式：买来大米的重量－吃了的重量=剩下的重量（4）指名列出方程。解：设买来大米X千克。 x－x=15 2、教学例2 （1）出示例题，理解题意。 （2）比航模组多是什么意思？引导学生说出：是把航模组的人数看作单位“1”，美术 组少的人数占航模组的 （2）学生试画出线段图。 （3）根据线段图，结合题中的分率句，列出数量关系式： 航模小组人数＋美术小组比航模小组多的人数＝美术小组人数 （4）根据等量关系式解答问题。解：设航模小组有χ人。 χ＋χ＝25 （1＋）χ＝25 χ＝25÷ χ＝20 三、小结 1、今天我们学习的这两道应用题，它们有什么共同点？（今天我们学习的这两道应用题， 题里的单位“1”都是未知的数量，都能够列方程来解，这样顺着题意列出方程思考起来比较方便。）

最新较复杂的分数除法应用题及答案

最新较复杂的分数除法应用题及答案 知道一个数的几分之几是多少，用列方程计算比较简便。 例1、通源物流公司有一批货物准备运往广州，第一天运了7 3，第二天运了5 2，还有12吨。这批货物一共有多少吨？ 思路点拨：因为“第一天运了73，第二天运了5 2”，因此，还剩下 1-73-52=356，剩下这批货物的35 6 是12吨。 解：设这批货物共有x 吨，第一天运73x 吨，第二天运5 2 x 吨。 x-73x-5 2 x=12 35 6x=12 X=70 答： 开心演练： 1、小伟看一本书，她星期一看了这本书的3 1，星期二看了这本书的2 1，星期三看完最后的41页。这本书共有多少页？ 2、有人问毕达哥拉斯：“尊敬的毕达哥拉斯，你的弟子有多少？”“我的一半的弟子在探索数的奥秘 ；4 1 的弟子在追求着自然界的哲理； 7 1的弟子终日沉默寡言深入思考；除此之外，还有三个是女弟子，这就是我的全部的弟子。”毕达哥拉斯共有多少个弟子？ 例2、为了庆祝“十一”国庆节，同学们做了一些绸花，第一小组做了52，第二小组做了3 1多10朵，第三小组做了30朵。同学们一共做多少朵绸花？ 思路点拨：把“同学们一共做多少朵绸花”看作单位“1”，那么，第一小组做了52x 朵，第二小组做了（3 1x+10）朵。

解：设同学们一共做x 朵绸花。 X —52x —（3 1x+10）=30 开心演练： 3、郭师傅加工一批零件，第一天做了51 ，第二天做了6 1 还多20个， 这时还剩360个没有完成。这批零件有多少个？ 4、晶晶有一些邮票，她把其中的6 1 多6张送给萱萱，把其中的51 少8 张送给了小青，自己还留下40张。晶晶原有多少张邮票？ 5、一只空水缸，早晨放满了水，白天用去其中的51 ，傍晚又用去29 升，这时，水缸的水比半缸多1升。求早上放人水多少升？ 在有些分数应用题中，两个几分之几的单位“1”并不一样，我们必须分开处理。我们来尝试解决这样的问题。 例3、小猴在摘桃子，第一天摘了桃子总数的3 1，第二天摘了剩下的3 1，还剩下16个桃子，树上原来共有多少个桃子？ 思路点拨：“第一天摘了桃子总数的3 1 ”就是说还留下单位“1”的 32，“第二天摘了剩下的31”也就是摘了单位“1”的32的3 1。 解：设树上原来共有x 个桃子。 X —31x —（1-31）×3 1 x=16 X=36 答： 开心演练： 6、小丽看一本故事书，她第一天看了全书的10 1，第二天看了第一 天的5 4，还剩下123页没有看。这本书共有多少页？

简易方程教学反思

《简易方程》教学反思 天平是计量物体质量的工具，但它也可以通过平衡或者不平衡判断出两个物体的质量是否相等，本节课通过天平图创设情境，利用鲜明的直观形象写出表示相等的式子和表示不相等的式子，可以帮助学生理解式子的意思，也充分利用了教材的主题图。在此基础上，区分等式和不等式。在教学过程中，学生通过观察和操作得到了很多不同的式子，然后让学生把写出的式子进行分类。先让学生独立思考，再在组内交流，讨论思考发现式子的不同，分类概括。并把得到的等式和含有未知数的式子进行比较，同桌合作完成韦恩图，得出含有未知数同时又是等式的式子，总结抽象出方程的意义。整个过程注重引导学生通过观察、思考、比较、概括等一系列活动，由浅入深，分层推进，逐步得出“等式”——“含有未知数的等式”——“方程”。在教学中我把区分等式和方程作为重点，通过环环相扣的练习，由浅入深让学生理解概念的本质属性，以数学问题为切入点，理解方程与等式的关系，并让学生联系学过的知识，讨论交流用画图的方式表示二者之间的关系。同时在练习的基础上结合课外阅读让学生感受方程的数学思想。 在本节课中体现了学生的自主合作探究学习方式是课堂的亮点，同时也暴露了很多不足的地方。具体表现在两个方面：1，少数的学生未参与小组的合作交流，探究新知。追究其主要原因在于合作探究前，老师没有出示或提出合作要求，同时应明确组员的职责，让小组内的每个学生都有事干。在这一学习过程中，老师不是旁观者，而是一名引导者。如在本节课中，当学生在独立完成“韦恩图”有困难时,应积极加以引导。2，课堂中给学生表达见解的时间较少。数学交流是数学教学中培养学生创新能力的重要途径，教学中我们应把更多的时间放在学生的说上。在课堂上教师对学生的及时评价也是本节课需要加强改正之处。在今后的教学中，本人将不断总结经验，把自主、合作、探究这一学习方式真正落到实处。

方程教学反思

《方程》教学反思 反思：学生从用数字符号表示生活中的数量关系，到利用字母符号表示生活中的等量关系，是算术思维方式向代数思维方式发展的一个飞跃，这一飞跃对学生思维层次的提高有十分重要的意义。本目标的重点是在具体情境中，用方程建立等量关系。这就要求改变学生原来的思维方式，而学生要适应这一思维方式的转换是需要一定的时间。结合这次的设计、教学与反思，我感触颇深。 一、运用天平，认识等式。 在教学方程的意义时，我采用教材上的原材料，适当改编了例2的内容。学生通过猜想，列出各种各样的式子，放飞了学生的思维，培养学生独立思考的能力。而且这样设计也使知识之间的联系更紧密，以便后续教学活动的进行。 二、自主合作，分类概括。 通过观察得出了50+50=100、50﹤100、х+50=100、х+50﹥100、х+50﹤100、х+х=100、2х=100、12+х=20等8个式子，接着我提出能否按照一定的标准对这8个式子进行整理和分类。先让学生自己独立思考，随后再在小组中交流，最后在班级里汇报，分别选择“有未知数的、没有未知数”和“是不是等式”的这两类板书在黑板上。然后让学生把6个含有未知数的式子和5个是等式的式子进行再次分类，最终得出完全相同的4道式子，仔细观察，发现共同点，从而总结出方程的意义。在此教学过程中，我充当了一个导游的角色，站在知识的岔路口，启发诱导学生发现知识，充分发挥学生的学习潜能，将有一定难度的问题放到小组中，采用合作交流的方式加以解决，逐步引导学生对问题的思考和解决向纵深发展，有利于培养学生的倾听习惯和合作意识。但是对于“用字母表示数”还没有学的四年级学生来说，理解起来就有了一定的难度。学生愣住了，而我没有预设到学生会是“零起点”，致使这一部分的教学过程有点冷场，从而我的引导多了一些，学生的自主少了一些，很遗憾的是没能给学生们一个足够的空间让他们去思考、去探究、去交流，使每一位学生没有经历方程概念形成的过程，最终没有达到我预设的效果。于是我苦思冥想，终于在第二天的上午我想出了解决的方法。如果发现学生无法分类，有点冷场时，师：四（1）班的小朋友们真了不起！自己研究得出了这么多的式子。大家都知道，科学家们都习惯把自己研究得出的知识成果进行收集、整理，以便于进一步的分析、发现。现在我们继续研究这些式子。仔细观察、认真思考，其中有一些式子有着相同的地方？学生可能说出有X的式子和不含X的式子，可能说出含=、﹤、﹥的三种类型的式子。（表扬学生的眼睛真亮，观察的真仔细。）然后我针对两种情况进行引导，逐步引入到两种预设的分类标准中。 三、注重联系，形成网络。 “数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括形成方法和理论，并广泛应用的过程。”新课程标准中要求数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础上，纵观我们小学数学教材，不难发现，知识间的相互联系非常的紧密。 例如：在方程教学中，我注重不同分支和不同内容之间的联系，在进行教学活动时，认真分析教材，把握教材的编排意图，准确找好知识间的联系： 方程并不神秘，回忆一下，我们以前见过方程的影子吗？在哪见过？请看这是一年级（上册）课本中的一道题，这是一年级（下册）的一道题。注重新旧知识的联系，我们才能形成自己的知识网络。这样有助于教学活动的实施，更有助于学生自主学习。 再比如：学生独立完成的练习一的第2题以及后面的两道生活情境题。 (出示情境图1)师：大家都知道老师来自东台，昨天乘公共汽车到射阳的，你能从老师射阳之行的旅途中，捕捉到相关联的数学信息，用今天所学的方程来表示出来吗？ 比较：这道方程与我们刚才研究的方程有什么不同？（方程中可以含有两个不同的未知