A
B
C D a b
c
p
q
h 直角三角形与射影定理
【知识要点】
射影定理:如图,Rt △ABC ,∠C =90o,CD ⊥AB 则,1.CD 2=AD ·BD 2.BC 2
=BD ·AB AC 2=AD ·AB
很容易推出:AD BD
AC
BC =2
2. AC ·BC =AB ·CD . BC 2+AC 2=AB 2.
2
22111CD AC BC =+. AC +BC <AB +CD .
用图中小写字母a 、b 、c 、p 、q 、h (常称为勾股六线段)表达以上关系:
① h 2
=pq ;② a 2
=pc ;③ b 2
=qc ;④ q p
b
a =22 ;⑤ a
b =ch ;
⑥ a 2+b 2=c 2 ;⑦
2
221
11h b a =+;⑧ a +b <c +h ;⑨ c =p +q . 利用上述关系式, “知二可求四” ,即在a 、b 、c 、p 、q 、h 这六个量中,已知两个量就可求出其余四个量来.
(由于现行教材中没有讲射影定理,所以在使用该定理时应注明:“由射影定理得”几个字) 【例题与练习】
例1.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90o,CD ⊥AB ,E 为BC 上任意一点,CF ⊥AE 于F .
求证:△ADF ∽△AEB
例2.勾股六线段的练习:(注意方程的使用)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90o,CD ⊥AB ,
设BC =a ,AC =b ,AB =c ,BD =p ,AD =q ,CD =h . ⑴ 已知:a =3,b =4 ,求:h 、q 、p 、c ;
A
B
C
E
F
A
B
C
D
a b
c p q
h
⑵ 已知:h =5,c =12,求:p 、b ;
⑶ 已知:b =6,p =3,求:a 、h .
例3.矩形ABCD ,BD =3a ,AM ⊥BD 于E ,交BC 于M ,CN ⊥AD 于F ,交AD 于N ,E 、F
三等分BD .求:矩形ABCD 的面积.
【练习】AE 、CF 垂直于矩形ABCD 的对角线BD ,E 、F 分别是垂足,若BE =1,EF =2,
则矩形ABCD 的面积是________________.
例4.如图,在△ABC 中,CD ⊥AC ,BD ⊥AB ,CE ⊥AD 于E ,CE 延长线交AB 于F .
求证:AC 2=AF ·AB
例5.如图,在△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,DE ⊥AB 于E ,DF ⊥AC 于F . 求证:△AFE ∽△ABC
A
B
C
D
E F
M
N A
B
C
D
E
F A B
C
D E
F
A B C
D
E
F
例6.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90o,CD ⊥AB ,M 为BC 中点,延长DM 交AC 延长线于N . 求证:DN
AN
BC AC =.
例7.如图,在Rt △ABC 中,∠C =90o,CD ⊥AB ,CE 平分∠ACB ,EF ⊥BC 于F .
求证:⑴
FC BC AC 1
11=
+; ⑵ 2
221
11CD BC AC =+.
例8.如图,正方形ABCD 中,过点D 作DP 交AC 于点M ,交AB 于点N ,交CB 的延长线于
点P ,若MN =1,PN =3,则DM 的长为 .
例9.如图,在等腰直角△ABC 中,AD 是直角边BC 上的中线,BE ⊥AD ,交AC 于E ,EF ⊥BC ,若AB =BC =a ,求EF 的长.
例10.(03·菏泽)AB 是等腰直角三角形ABC 的斜边,若点M 在边AC
上;点N 在边BC 上,沿直线MN 将△MCN 翻折,使点C 落在AB 边上,设其落点为P .
⑴ 如左图,当点P 是AB 的中点时,求证:CN CM
PB PA =
; ⑵ 如右图,当点P 不是AB 的中点时,结论CN
CM
PB PA =
是否仍然成立?若成立,请给出证明.
A
B
C
M
N
A
B
C
D E
F
A
B
C
D
M
N
P
A
B C
D E
F
B
M
N
P
A
C
M
N P
A
C
B
已知矩形纸片ABCD ,AB =2,AD =1,将纸片折叠,使顶点A 与边CD 上的点E 重合. ⑴ 如果折痕FG 分别与AD 、AB 交与点F 、G (如图1),AF =
3
2
,求DE 的长; ⑵ 如果折痕FG 分别与CD 、AB 交与点F 、G (如图2),△AED 的外接圆与直线BC 相切,求折痕FG 的长.
如图,小岛A 在港口P 的南偏西45°方向,距离港口8l 海里处.甲船从A 出发,沿AP 方
向以9海里/时的速度驶向港口,乙船从港口P 出发,沿南偏东60°方向,以l8海里/时的速度驶离港口.现两船同时出发, ⑴ 出发后几小时两船与港口P 的距离相等?
⑵ 出发后几小时乙船在甲船的正东方向?(结果精确到0.1小时) (参考数据:2≈1.41,3≈1.73)
A
C
D E
F
G
A B
C
D
E F
图 1 图
2
A
相似三角形之射影定理 1、已知直角三角形ABC 中,斜边AB=5cm,BC=2cm ,D 为AC 上的一点,DE AB ⊥交AB 于E ,且AD=3.2cm ,则DE= ( ) A 、1.24cm B 、1.26cm C 、1.28cm D 、1.3cm 2、如图1-1,在Rt ABC 中,CD 是斜别AB 上的高,在图中六条线段中,你认为只要知道( )线段的长,就可以求其他线段的长 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 3、在Rt ABC 中,90BAC ∠= ,AD BC ⊥于点D ,若34AC AB =,则BD CD =( ) A 、34 B 、43 C 、169 D 、9 16 4、如图1-2,在矩形ABCD 中,1 ,3DE AC ADE CDE ⊥∠=∠,则EDB ∠=( ) A 、22.5 B 、30 C 、45 D 、60 【填空题】 5、ABC 中,90A ∠= ,AD BC ⊥于点D ,AD=6,BD=12,则CD= ,AC= , 22:AB AC = 。 6、如图2-1,在Rt ABC 中,90ACB ∠= ,CD AB ⊥, AC=6,AD=3.6,则BC= .
【解答题】 7、已知CD 是ABC 的高,,DE CA DF CB ⊥⊥,如图3-1,求证:CEF CBA ∽ 8、已知90CAB ∠= ,AD CB ⊥,ACE ,ABF 是正三角形,求证:DE DF ⊥ 9、如图3-2,矩形ABCD 中,AB=a ,BC=b ,M 是BC 的中点,DE AM ⊥,E 是垂足,求证: DE =
参考答案 1、C 2、B 3、C 4、C 5 、3,4:1 6、 8 7、证明:在Rt ADC 中,由射影定律得, 2CD CE AC = ,在R t B C 中, 2C D C F B C = ,CE BC CE AC CF BC CF AC ∴=∴ = 又ECF BCA ∠=∠ ,CEF CBA ∴ 8、证明:如图所示,在Rt BAC 中, 22,AC CD CB AB BD BC == AC CD AD AB AD BD ∴===== ,,AE AD AC AE AB AF BF BD ==∴ = 60,60,FBD ABD EAD CAD ABD CAD ∠=+∠∠=+∠∠=∠ 又 FBD EAD ∴∠=∠,,EAD FBD BDF ADE ∴ ∴∠=∠ 90FDE FDA ADE FDA BDF ∴∠=∠+∠=∠+∠= DE DF ∴⊥ 9、证明:在Rt AMB 和Rt ADE 中,AMB DAE ∠=∠,90ABM AED ∠=∠= 所以Rt AMB ~Rt ADE 所以AB AM DE AD = ,因为AB=a ,BC=b ,
正弦定理和余弦定理 高考风向 1.考查正弦定理、余弦定理的推导;2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形;3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查. 学习要领 1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用;2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换,和三角函数性质相结合. 1. 正弦定理:a sin A =b sin B =c sin C =2R ,其中R 是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形:(1)a ∶b ∶c =sin_A ∶sin_B ∶sin_C ;(2)a =2R sin_A ,b =2R sin_B ,c =2R sin_C ;(3)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C = c 2R 等形式,解决不同的三角形问题. 2. 余弦定理:a 2=b 2+c 2-2bc cos_A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos_B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos_C .余弦定理可以变形: cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2 2ab . 3. S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =1 2 (a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R 、 r . 4. 在△ABC 中,已知a 、b 和A 时,解的情况如下: [1.在三角形中,大角对大边,大边对大角;大角的正弦值也较大,正弦值较大的角也较大,即在△ABC 中,A >B ?a >b ?sin A >sin B ;tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC ;在锐角三角形中,cos A 解三角形题型5:正、余弦定理判断三角形形状 1、(2013·陕西高考文科·T9)设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a, b, c , 若 cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为 ( ) A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 2、(2010上海文数)18.若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =, 则△ABC (A )一定是锐角三角形. (B )一定是直角三角形. (C )一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. 3、如果把直角三角形的三边都增加同样的长度,则这个新的三角形的形状为( ) A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .由增加的长度决定 4、在△ABC 中,已知2a b c =+,2 sin sin sin A B C =,试判断△ABC 的形状。 5、在△ABC 中,已知C B A sin cos sin 2=,那么△ABC 一定是 ( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形 D .正三角形 6、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA= 12 7 , 则ΔABC 是______三角形. 7、在△ABC 中,若c C b B a A sin cos cos = =,则△ABC 是( ) A .有一内角为30°的直角三角形 B .等腰直角三角形 C .有一内角为30°的等腰三角形 D .等边三角形 8、若(a+b+c)(b+c -a)=3abc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是 ( ) A .直角三角形 B .等边三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形 9、(2010辽宁文数17)在ABC ?中,a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边, 且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++ (Ⅰ)求A 的大小; (Ⅱ)若sin sin 1B C +=,试判断ABC ?的形状. 10、在ABC ?中,已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +?-=-?+,判断该三角形的形状。 11、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ①B=60°,b 2=ac ; ②b 2tanA=a 2tanB ; ③sinC= B A B A cos cos sin sin ++④ (a 2-b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A -B). 初中几何中三角形中位线定理的应用 三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理,学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。它具有两个方面的特性:(1)平行于第三边,这是位置关系; (2)等于第三边的一半,这是数量关系。就第一个特性而言,中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边)存在着互逆关系。我们利用这两个特性,能证明(求解)许多几何问题,以下举例说明它的具体应用。 一、证明问题 1、证明角相等关系 例1、已知:如图在四边形ABCD 中 对角线AC=BD ,E 、F 分别为AB 、CD 中点,点O 为AC ,BD 的交点,M 、N 为EF 与BD ,AC 的交点。求证:OM=ON 分析:证明OM=ON 可转化成证明 ∠OMN=∠ONM ,由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要取AD 中点H 作出△ABD 与 △ACD 的中位线,即可得到EH=21BD ,HF=21AC,因为AC=BD,从而 得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。 证明:取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ,即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。 ∴EH=21BD ,EH//BD ,HF=21AC ,FH//AC (三角形中位线定理) 而 AC=BD ,∴EH=HF ,∴∠HEF=∠HFE 又∵EH//BD ,HF//AC ,∴∠HEF=∠ DMF ,∠HFE=∠ANM ∴∠DMF=∠ANM ,∴OM=ON 例2、如图、四边ABCD 中,AB=CD , M 、N 分别为AD 、BC 的中点,EF ⊥MN 相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质: (1)直角三角形的两个锐角 (2)Rt△ABC中,∠C=90o,则2+ 2= 2 (3)直角三角形的斜边上的中线长等于 (4)等腰直角三角形的两个锐角都是,且三边长的比值为 (5)有一个锐角为30o的直角三角形,30o所对的直角边长等于,且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理(只能用于选择填空题) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型: Rt△ABC中,∠C=90o,CD⊥AB于D,则 ①∽∽ ②射影定理: CD2= ·AC2= ·BC2= · 【常规题型】 1、已知:如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,S△ABC=20,AB=10。求AD、BD的长. 2、已知,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D。(1)若AD=8,BD=2,求AC的长。(2)若AC=12,BC=16,求CD、AD的长。 B A 【典型例题】 例1.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,AM 是BC 边的中线,CN ⊥AM 于N 点,连接BN ,求证:BM 2=MN ·AM 。 例2.已知:如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=∠ADC=90o,DF ⊥AC 于E ,且与AB 的延长线相交于F ,与BC 相交于G 。求证:AD 2=AB ·AF 例3.(1)已知ABC ?中,?=∠90ACB ,AB CD ⊥,垂足为D ,DE 、DF 分别是BDC ADC ??和的 高,这时CAB DEF ??和是否相似? 【拓展练习】 1、已知:如图,AD 是△ABC 的高,BE ⊥AB ,AE 交BC 于点F ,AB ·AC=AD ·AE 。求证:△BEF ∽△ACF A B A B C N D C 学案正弦定理和余弦定理 导学目标: 1.利用正弦定理、余弦定理进行边角转化,进而进行恒等变换解决问题.2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 自主梳理 1.三角形的有关性质 (1)在△ABC中,A+B+C=________; (2)a+b____c,a-b 4.(2010·山东)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若a =2,b =2, sin B +cos B =2,则角A 的大小为________. 5.(2010·北京)在△ABC 中,若b =1,c =3,C =2π3 ,则a =________. 探究点一 正弦定理的应用 例1 (1)在△ABC 中,a =3,b =2,B =45°,求角A 、C 和边c ; (2)在△ABC 中,a =8,B =60°,C =75°,求边b 和c . 变式迁移1 (1)在△ABC 中,若tan A =13 ,C =150°,BC =1,则AB =________; (2)在△ABC 中,若a =50,b =256,A =45°,则B =________. 探究点二 余弦定理的应用 例2 (2011·咸宁月考)已知a 、b 、c 分别是△ABC 中角A 、B 、C 的对边,且a 2+c 2- b 2=a c . (1)求角B 的大小; (2)若c =3a ,求tan A 的值. 变式迁移2 在△ABC 中,a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边,B =2π3 ,b =13,a +c =4,求a . 探究点三 正、余弦定理的综合应用 例3 在△ABC 中,a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边,如果(a 2+b 2)sin(A -B )=(a 2-b 2)sin(A +B ),试判断该三角形的形状. 变式迁移3 (2010·天津)在△ABC 中,AC AB =cos B cos C . (1)证明:B =C ; (2)若cos A =-13 ,求sin ????4B +π3的值. 1.解斜三角形可以看成是三角变换的延续和应用,用到三角变换的基本方法,同时它 是对正、余弦定理,三角形面积公式等的综合应用. 2.在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角,求另一边的对角,进而求 三角形中线的阿波罗尼斯定理及其应用 阿波罗尼斯定理 三角形两边平方的和,等于所夹中线及第三边之半的平方和的2倍. 具体地说,就是:设AD 是△ABC 的中线,则)(22222BD AD AC AB +=+. 证明 如图1,作BC 边上的高AH . 由勾股定理,得 222DH AH AD +=,2 2 2BH AH AB +=, 2 2 2 CH AH AC +=. 所以222222CH BH AH AC AB ++=+. 由 CD BD =, 可 得 )(2)()(2 2 2 2 2 2 DH BD DH BD DH BD CH BH +=-++=+. 所以)(2)(22222222BD AD BD DH AH AC AB +=++=+. 该定理应用广泛,不但可以用来计算三角形中线的长度,而且对于多线段的平方和问题,尝试构造三角形的中线后运用它往往也能凑效.下面举例说明此定理的应用. 1.直接使用 当题设条件中出现三角形的中线时,可考虑使用阿波罗尼斯定理建立相关线段的联系,以助解题. 例 1 AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线.若a BC =,b CA =,c AB =,则 = ++2 2 2 CF BE AD ______. (2005年山东省初中数学竞赛) 分析 AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条中线,故可直接使用三角形中线的阿波罗尼斯定理进行计算. 解 如图2, AD 是BC 边上的中线,由阿波罗尼斯定理得 ?? ? ??+=+222 2 412BC AD AC AB . 代入已知数据,变形得2 2 2 24 12 121a b c AD - + =. 同 理 2 2 2 2 4 12 12 1b a c BE - + = ,2 2 2 2 4 12 12 1c b a CF - + = . 故()2 2 2 2 224 3c b a CF BE AD ++= ++. 例2 如图3,△ABC 的内切圆⊙O 与边CA 上的中线BM 交于点G 、H ,并且 点G 在点B 和点H 之间.已知HM BG =,2=AB ,2>BC .那么,当BC 、CA 为何值 D C B E A 图2 F A B 图1 A字形,A’形,8字形,蝴蝶形,双垂直,旋转形 双垂直结论:射影定理:①直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD 2=AD?BD ⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD?AB ⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD?AB 结论:⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD 结论:面积法得AB?CD=AC?BC→比例式证明等积式(比例式)策略 1、直接法:找同一三角形两条边变化:等号同侧两边同一三角形三点定形法 2、间接法:⑴3种代换①等线段代换;②等比代换;③等积代换; ⑵创造条件①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件 相似判定条件:两边成比夹角等、两角对应三边比 相似终极策略: 遇等积,化比例,同侧三点找相似; 四共线,无等边,射影平行用等比; 四共线,有等边,必有一条可转换; 两共线,上下比,过端平行条件边。 彼相似,我角等,两边成比边代换。 (3)等比代换:若d c b a, , ,是四条线段,欲证 d c b a =,可先证得 f e b a =(f e,是两条线段)然 后证 d c f e =,这里把 f e 叫做中间比。 ①∠ABC=∠ADE.求证:AB·AE=AC·AD ②△ABC中,AB=AC,△DEF是等边三角形,求证:BD?CN=BM?CE. ③等边三角形ABC中,P为BC上任一点,AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。 求证:BP?PC=BM?CN D C A word. 2020 年高考数学复习利用正余弦定理破解解三角形问题专题突破 考纲要求: 1. 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题 1 2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题S ab sin C . 2 基础知识回顾: a b c 1. ===2R,其中R 是三角形外接圆的半径. sin A sin B sin C 由正弦定理可以变形:(1) a∶b ∶c=sin A∶sin B∶sin C;(2) a=2 Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. 2 .余弦定理:a2=b 2+c2-2 bccos A,b 2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C. b 2+c2-a2a2+c2-b2a2+b 2-c2 变形:cos A =,cos B=,cos C= 2bc 2ac 2ab 4. 三角形常用的面积公式 1 1 1 1 abc (1)S=a·h a(h a表示a边上的高).(2) S=absinC =acsinB =bcsinA = 2 2 2 2 4R 1 (3)S=2r(a+b+c)(r 为内切圆半径).应用举例: 类型一、利用正(余)弦定理解三角形 【例1】已知中,,点在边上,且.(1 )若,求; (2 )求的周长的取值范围. 【答案】(1 );(2 ). 所以: 中,利用正弦定理得: 由于: 则: ,, 由于:,则:, 得到:, 所以的周长的范围是:. 【点睛】 本题考查了用正弦定理、余弦定理解三角形,尤其在求三角形周长时解题方法是利用正弦定理将边长转化为角的问题,然后利用辅助角公式进行化简,求出范围,一定要掌握解题方法。 【例2】已知在中,所对的边分别为,. (1 )求的大小; (2)若,求的值. 【答案】(1 )或(2)1 教学案例:《三角形中位线定理教学设计》 ⒈创设问题情境,诱导学生发现结论 ⑴怎样测算操场中被一障碍物隔开的两点A、B的距离?小明测量的方法是:在AB外选一点C,连结AC、BC,取AC、BC的中点M、N。连结MN,量出MN=20m,这样能算出AB的长吗?AB与MN有何关系?经观察,你猜测 AB与MN的关系是:①②。 ⑵MN这条线段既特殊又重要,我们把它叫做△ABC的 中位线。即连结三角形两边点的线段叫三角 形的。 ⑶一个三角形有条中位线,画出图4的三角形的所有中位线,观察、测量发现: ( )∥( ),( )=( );( )∥( ),( )= ( );( )∥( ),( )= ( )。用语言叙述上述结论:三角形的中位 线并且 . ⑷再画出图2的△ABC的三条中线,它与中位线有何区别? 说明:⑴以上内容让学生按印发的学习提纲在课前完成。⑵三角形中位线定义的引入、定理的结论课本是直接给出的,这不符合过程性原则.我们①以“应用性问题”导入,揭示了数学知识在生产、生活中的广泛应用,强化学习动机,变“要我学”为“我要学”;②让学生通过实验操作、观察比较、估计猜测,自己发现结论, 这可培养学生对数学的内在兴趣,让学生认识到数学不是少数天才创造的,而是经过努力一般人都可以发现的,数学来源于现实世界,而又是解决实际问题的有力工具,符合从“感性到理性”的认识规律。 ⒉创设思维情境,启导学生发现证明结论的思路和方法 ⑴检查课前自学情况。教师提问有关问题,学生回答,并用多媒体展示答案。 ⑵教师指出:同学们观察发现的这些结论是否正确,还需严格证明。教师板书,学生在提纲上写已知、求证。 ⑶启导全班学生思考、讨论证法,教师巡视与学生一起研究,收集信息,了解情况。 ①本题与以前学过的哪些知识、方法有关?是什么关系?学生进行联想,回答。△ADE与△ABC有何关系?若过D作平行于BC的直线,发现什么(用多媒体演示)?②怎样证一条线段等于另一条的一半?学生回答:截(把长的平分)与补(把短的加倍)。经过探讨,学生不难发现以下三种证法:(过程略) 证法㈠:利用相似三角形证法㈡: 证法㈢: 说明:定理的证明,不拿现成的方法给学生,而是创设思维情境,启导学生“联想”到学过的有关知识和方法,使新旧知识得到顺利同化,并引导学生展开讨 相似三角形(二)(射影定理及角平分线的性质) 射影定理: 【知识要点】 1、直角三角形的性质: (1)直角三角形的两个锐角 (2)Rt △ABC 中,∠C=90o,则 2 + 2 = 2 (3)直角三角形的斜边上的中线长等于 (4)等腰直角三角形的两个锐角都是 ,且三边长的比值为 (5)有一个锐角为30o的直角三角形,30o所对的直角边长等于 ,且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理: 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型: Rt △ABC 中,∠C=90o,CD ⊥AB 于D ,则 ① ∽ ∽ ②S △ABC = 2 2 ③射影定理: CD 2 = · AC 2= · BC 2= · 【常规题型】 1、已知:如图,△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于D , S△ABC=20,AB=10。求AD 、BD 的长. B A 2、已知,△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于D 。(1)若AD=8,BD=2,求AC 的长。(2)若AC=12,BC=16,求CD 、AD 的长。 【典型例题】 例1.已知:如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=∠ADC=90o,DF ⊥AC 于E ,且与AB 的延长线相交于F ,与BC 相交于G 。求证:AD 2=AB ·AF 例2.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,AM 是BC 边的中线,CN ⊥AM 于N 点,连接BN ,求证:BM 2=MN ·AM 。 例3.已知:如图,Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D ,DE ⊥AC 于E ,DF ⊥BC 于F 。 求证:AE ·BF ·AB =CD 3 A M C D C 1.1 正弦定理和余弦定理教案(共两课时) 教学目标 根据教学大纲的要求,结合学生基础和知识结构,来确定如下教学目标: (一)知识目标 (1)通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法; (2) 会运用正弦定理与三角形内角和定理解三角形的两类基本问题。 (3) 掌握余弦定理的两种表示形式; (4) 掌握证明余弦定理的向量方法; (5) 会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 (二)能力目标 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中,边与其对角的关系,引导学生通过观察,推导,比较,由特殊到一般归纳出正弦定理,并进行定理基本应用的实践操作。 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 (三)情感目标 (1) 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力; (2) 培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力,通过三角形函数、正弦定理、余弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重点 正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点 (1) 正弦定理和余弦定理的证明过程。 (1) 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 (2) 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 教学方法 启发示探索法,课堂讨论法。 教学用具 粉笔,直尺,三角板,半圆,计算器。 、教学步骤 第一课时正弦定理 (一) 课题引入 如图1.1-1,固定?ABC的边CB及∠B,使边AC绕着顶点C转动。 A 思考:∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系? 显然,边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来? (图1.1-1) (二) 探索新知 在初中,我们已学过如何解直角三角形,下面就首先来探讨直角三角形中,角与边的等式关系。如图1.1-2,在Rt ?ABC 中,设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角 三角函数中正弦函数的定义,有sin a A c =,sin b B c =,又sin 1c C c ==, A 则 sin sin sin a b c c A B C = = = b c 从而在直角三角形ABC 中, sin sin sin a b c A B C = = C a B (图1.1-2) 思考:那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立? (让学生进行讨论、分析) 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况: 如图1.1-3,当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据任意角三角函数的定义,有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a b A B = , C 同理可得sin sin c b = , b a 从而 sin sin a b A B = sin c C = A D B (图1.1-3) 让学生思考:是否可以用其它方法证明这一等式? 证明二:(等积法)在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 2 1sin 2 1sin 2 1== 两边同除以abc 21 即得:A a sin =B b sin =C c sin 证明三:(外接圆法) 如图所示,∠A=∠D ∴ R CD D a A a 2sin sin === (R 为外接圆的半径) 同理 B b sin =2R ,C c sin =2R 由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题。 1 初中几何中三角形中位线定理的应用 三角形中位线定理在初中教材体系中是一个很重要的定理,学好本节内容将有助于梯形中位线定理乃至整个平面几何知识的学习。它具有两个方面的特性:(1)平行于第三边,这是位置关系;(2)等于第三边的一半,这是数量关系。就第一个特性而言,中位线定理与平行线等分线段定理中的推论2(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边)存在着互逆关系。我们利用这两个特性,能证明(求解)许多几何问题,以下举例说明它的具体应用。 一、证明问题 1、证明角相等关系 例1、已知:如图在四边形ABCD 中 对角线AC=BD ,E 、F 分别为AB 、CD 中点,点O 为AC ,BD 的交点,M 、N 为EF 与BD ,AC 的交点。求证:OM=ON 分析:证明OM=ON 可转化成证明 ∠OMN=∠ONM ,由于E 、F 为AB 、CD 的中点这时只要 取AD 中点H 作出△ABD 与 △ACD 的中位线,即可得到EH= 21BD ,HF=2 1 AC,因为AC=BD,从而得到EH=HF 所以∠HEF=∠HFE,因为 EH//BD, FH//AC 所以∠HEF=∠OMN, ∠HFE=∠ANM 从而得到∠DMF=∠ANM 这样要求证问题就解决了。 证明:取AD 中点H 并分别连结EH 、HF ,即EF 与FH 分别为△ABD 与△DAC 的中位线。 ∴EH= 21BD ,EH//BD ,HF=2 1 AC ,FH//AC (三角形中位线定理)而 AC=BD ,∴EH=HF ,∴∠HEF=∠HFE 又∵ EH//BD ,HF//AC ,∴∠HEF=∠DMF ,∠HFE=∠ANM ∴∠DMF=∠ANM ,∴OM=ON 例2、如图、四边ABCD 中,AB=CD , M 、N 分别为AD 、BC 的中点,EF ⊥MN 交AB 于E ,交CD 于F ,求证: ∠AEF=∠DFE 分析:欲证:∠AEF=∠DFE 。由MN ⊥EF 想到延长BA ,CD 与MN 的延长线交于P 、Q 只需证明∠EPN=∠Q ,如何利用中点的条件? 想到三角形的中位线,连线BD ,取BD 的中点G ,则有 12GM AB ∥,1 2 GN CD ∥,由于AB=CD ,进而有GM=GN , ∠GMN=∠GNM 然后再转化∠EPN=∠Q ,从而证出结论。 证明:延长BA ,CD 分别与NM 的延长线交于P 、Q 连结BD , 取BD 的中点G ,连结GM 、GN 。∵G 、M 分别为△ABD 的边BD 、AD 的中点∴ 12GM AB ∥。同理可证:12 GN AB ∥,又∵AB=CD ,∴GM=GN ,∴∠GMN=∠GNM , ∵GM//AB ,GN=CD ,∴∠GMN=∠EPN ,∠GNM=∠Q ,∴∠EPN=∠Q ,又 EF ⊥MN , 初三数学相似三角形知 识点归纳 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN] 初三数学《相似三角形》知识提纲 (孟老师归纳) 一:比例的性质及平行线分线段成比例定理 (一)相关概念:1.两条线段的比:两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ,b 的长度分别为m ,n ,那么就说这两条线段 的比是,或写成a :b=m :n ; 其中 a 叫做比的前项,b 叫做比的后项 2:比例尺= 图上距离/实际距离 3:成比例线段:在四条线段a ,b ,c ,d 中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段,简称比例线段,记作: c d a b =(或a :b=c :d ) ① 线段a ,d 叫做比例外项,线段b ,c 叫做比例内项, ② 线段a 叫首项,d 叫a ,b ,c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. (二)比例式的性质 1.比例的基本性质: bc ad d c b a =?= 2. 合比:若 ,则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比:若 ……(若……)a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割: n m b a = 把线段AB 分成两条线段AC ,BC (AC>BC ),并且使AC 是AB 和BC 的比例中项,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,其中AC= 2 1 5-≈, (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图:当AD∥BE∥CF 时,都可得到 = . = ,= , 语言描述如下: = , = , = . (4)上述结论也适合下列情况的图形: 图(2) 图(3) 图(4) 图(5) 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. A 型 X 型 由DE ∥BC 可得: AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或. 正余弦定理考点梳理: 1. 直角三角形中各元素间的关系:如图,在△ABC中,C=90°,AB=c,AC=b,BC=a。 (1)三边之间的关系:a2+b2=c2。(勾股定理) A (2)锐角之间的关系:A+B=90°; c (3)边角之间的关系:(锐角三角函数定义) b sin A=cos B=a c ,cos A=sin B= b c ,tan A= a b 。 C B 2. 2.斜三角形中各元素间的关系: a 如图6-29 ,在△ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c 分别表示A、B、C的对边。 (1)三角形内角和:A+B+C=_____ (2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等。 3. 正弦定理: a b c 2R 。(R为外接圆半径)sin A sin B sin C a b c = ==2R的常见变形: sin A sin B sin C (1)sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c; (2) a b == sin A sin B c = sin C a+b+c =2R; sin A+sin B+sin C (3) a=2R sin_ A,b=2R sin_ B,c=2R sin_ C; a b c (4)sin A=,sin B=,sin C=. 2R 2R 2R 4. 三角形面积公式:S=1 2 ab sin C= 1 1 bc sin A=ca sin B. 2 2 5. 余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦 的积的两倍。 2 2 2 a b c 2bccos A 2 2 2 b a c 2accosB 2 2 2 c b a 2ba cosC 或 cos A cos B cos C 2 2 2 b c a 2bc 2 2 2 a c b 2ac 2 2 2 b a c 2ab 余弦定理的公式:. 6. (1)两类正弦定理解三角形的问题:1、已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. 相似三角形中的射影定 理 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 相似三角形 ——相似直角三角形及射影定理 【知识要点】 1、直角三角形的性质: (1)直角三角形的两个锐角 (2)Rt△ABC中,∠C=90o,则2+ 2= 2 (3)直角三角形的斜边上的中线长等于 (4)等腰直角三角形的两个锐角都是,且三边长的比值为 (5)有一个锐角为30o的直角三角形,30o所对的直角边长等于,且三边长的比值为 2、直角三角形相似的判定定理(只能用于选择填空题) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。 3、双垂直型: Rt△ABC中,∠C=90o,CD⊥AB于D,则 ①∽∽ ②射影定理: CD2= · AC2= · BC2= · 【常规题型】 1、已知:如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,S△ABC=20,AB=10。求AD、BD 的长. 2、已知,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D。(1)若AD=8,BD=2,求AC的长。(2)若AC=12,BC=16,求CD、AD的长。B A 【典型例题】 例1.如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,AM 是BC 边的中线,CN ⊥AM 于N 点,连接BN ,求证:BM 2=MN ·AM 。 例2.已知:如图,在四边形ABCD 中,∠ABC=∠ADC=90o ,DF ⊥AC 于E ,且与AB 的延长线相交于F ,与BC 相交于G 。求证:AD 2=AB ·AF A B M C N D C 复习课: 解三角形 枣庄十八中 秦真 教学目标 重点:能够运用正弦定理余弦定理并结合三角形有关知识解决与三角形面积,形状有关的问题。 难点:如何选择适当的定理,公式,方法解决有关三角形的综合问题. 能力点:定理公式方法的适当选取,培养学生自主解决问题的能力. 教育点:提高学生的认知水平,为学生塑造良好的数学认识结构. 自主探究点:例题及变式的解题思路的探寻. 易错点:在用正弦定理解三角形问题中会出现判断几解问题中易出现错误 学法与教具 1.学法:讲授法、讨论法. 2.教具:投影仪. 一、【知识结构】 二、【知识梳理】 1.正弦定理: 2sin sin sin a b c R A B C ===,其中R 是三角形外接圆半径. 2.余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc A =+-,2 2 2 2cos b a c ac B =+- ,2 2 2 2cos c a b ac C =+- , 222cos 2b c a A bc +-=,222cos 2a c b B ac +-=,222 cos 2a b c C ab +-= 3.111 sin sin sin 222 ABC S ab C bc A ac B ?= == 4.在三角形中大边对大角,反之亦然. 5.射影定理:cos cos a b C c B =+,cos cos b a C c A =+,cos cos c a B b A =+ 6.三角形内角的诱导公式 (1)sin()sin A B C +=,cos()cos A B C +=-,tan tan()C A B =+,cos sin 22 c A B +=,sin cos 22 C A B +=,... 在△ABC 中,熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ·tanB ·tanC; 7.解三角形常见的四种类型 (1)已知两角A 、B 与一边a ,由A+B+C=180°及 sin sin sin a b c A B C == ,可求出角C ,再求,b c . (2)已知两边,b c 与其夹角A ,由2 2 2 2cos a b c bc A =+-,求出a ,再由余弦定理,求出角B 、C. (3)已知三边,,a b c ,由余弦定理可求出角A 、B 、C. (4)已知两边a 、b 及其中一边的对角A ,由正弦定理 sin sin a b A B = ,求出另一边b 的对角B ,由C=π-(A+B),求出c ,再由 sin sin a c A C =求出C ,而通过sin sin a b A B = 求B 时,可能出一解,两解或无解的情况,其判断方法,如下表: 8. 三、【范例导航】 题型(一):正、余弦定理 1正弦定理主要有两个方面的应用:(1)已知三角形的任意两个角与一边,由三角形内角和定理,可以 计算出三角形的第三个角,由正弦定理可以计算出三角形的另两边;(2)已知三角形的任意两边和其中一边的对角,应用正弦定理,可以计算出另一边的对角的正弦值,进而确定这个角和三角形其他的边和角. 2余弦定理有两方面的应用:(1)已知三角形的两边和它们的夹角可以由余弦定理求出第三边,进而求出其他两角;(2)已知三角形的三边,利用余弦定理求出一个角,进而求出其他两角. 例1.在?ABC 中,已知a =c = ,45B =o ,求b 及A ; 2017年高考文科数学新课标Ⅰ卷第11题:ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知0)cos (sin sin sin =-+C C A B ,2=a ,2=c ,则=C ( ) A. 12π B.6π C.4π D.3 π 本题解答:0cos sin sin sin )sin(0)cos (sin sin sin =-++?=-+C A C A C A C C A B 0sin sin cos sin 0cos sin sin sin cos sin cos sin =+?=-++?C A A C C A C A A C C A 4 31tan 1cos sin cos sin 0sin cos π = ?-=?-=? -=?=+?A A A A A A A A 。 根据正弦定理得到: 21222 2sin sin sin sin =? ==?=a A c C C c A a ,C 是锐角6 π=?C 。 2017年高考理科数学新课标Ⅰ卷第17题:ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 已知ABC ?的面积为A a sin 32 。 (Ⅰ)求C B sin sin ; (Ⅱ)若1cos cos 6=C B ,3=a ,求ABC ?的周长。 本题解答:(Ⅰ)ABC ?的面积为 A a sin 32222sin 2 3 sin 3sin 21a A bc A a A bc =?=? 3 2 sin sin 1sin sin 23sin sin sin sin 2322=?=?=?C B C B A A C B 。 (Ⅱ)61cos cos 1cos cos 6=?=C B C B ,3261sin sin cos cos 32sin sin -=-?=C B C B C B 3 21cos 21cos 21)cos(π =?=?-=-?-=+?A A A C B 。 根据余弦定理得到:921 29cos 22222222=-+??-+=?-+=bc c b bc c b A bc c b a ①。 根据(Ⅰ)得到:898 9 3)23(23sin 232222=?=?=??=bc bc bc a A bc ②。 ②代入①中得到:3382172)(17982222222=?+=++=+?=+?=-+bc c b c b c b c b ABC c b ??=+?33的周长为:333+=++c b a 。 2017年高考文科数学新课标Ⅱ卷第16题:ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 。 若A c C a B b cos cos cos 2+=,则=B 。 本题解答:根据射影定理得到:b A c C a =+cos cos ,b B b A c C a B b =?+=cos 2cos cos cos 2解三角形题型5正、余弦定理判断三角形形状(供参考)(新)
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