高考数学-函数与导数(知识点归纳+习题)
专题六 函数导数专题
【命题趋向】函数是高考考查能力的重要素材，以函数为基础编制的考查能力的试题在历年的高考试
卷中占有较大的比重．这部分内容既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．一般说来，选择题、填空题主要考查函数的概念、单调性与奇偶性、函数图象、导数的几何意义等重要知识，关注函数知识的应用以及函数思想方法的渗透，着力体现概念性、思辨性和应用意识．解答题大多以基本初等函数为载体，综合应用函数、导数、方程、不等式等知识，并与数学思想方法紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、有限与无限思想等进行较为深入的考查，体现了能力立意的命题原则．这些综合地统揽各种知识、应用各种方法和能力的试题充分显示了函数与导数的主干知识地位．在中学引入导数知识，为研究函数的性质提供了简单有效的方法．解决函数与导数结合的问题，一般有规范的方法，利用导数判断函数的单调性也有规定的步骤，具有较强的可操作性．高考中，函数与导数的结合，往往不是简单地考查公式的应用，而是与数学思想方法相结合，突出考查函数与方程思想、有限与无限思想等，所考查的问题具有一定的综合性．在一套高考试卷中一般有2-3个小题有针对性地考查函数与导数的重要知识和方法，有一道解答题综合考查函数与导数，特别是导数在研究函数问题中的应用，这道解答题是试卷的把关题之一．
【考点透析】函数和导数的主要考点包括函数的概念、图象与性质，函数与方程，函数模型及其应用，导数及其应用、微积分及微积分基本定理等．
【例题解析】
题型1 函数的概念及其表示
例1 （2008高考山东文5）设函数2
211()21x x f x x x x ?-?=?+->??，
，，，
≤则
1(2)f f ??
???
的值为（ ）
A ．
15
16
B ．2716
-
C ．
89
D ．18
分析：由内向外逐步计算．
解析： ()()11
24,24
f f ==，故
()2
11115124416f f f ??????==-= ? ? ? ???????
．答案A ． 点评：本题考查分段函数的概念和运算能力．解决的关键是由内到外“逐步有选择”的代入函数解析式，求
出函数值．
例2如图，函数()f x 的图象是曲线OAB ，其中点,,O A B 的坐标分别为()0,0,(1,2),(3,1)，则()13f f ??
? ?
??
的值等于 ．
分析：从图象上理解自变量与函数值的对应关系． 解析：对于(3)1,f =(1)2f =．
点评：图象是表示函数的一种方法，图象上反应了这个函数的一切性质． 题型2 函数的图象与性质
例3已知m 为非零实数，若函数ln(
1)1
m
y x =--的图象关于原点中心对称，则m = ． 分析：图象的对称性反应在函数性质上就是这个函数是奇函数，根据奇函数对定义域内任意x 都有
()()f x f x -=-点特点可得一个关于x 的恒等式，根据这个恒等式就可以确定m 的值，特别地
()()()0000f f f -=-?=也可以解决问题．
解析： 对于函数ln(1)1
m
y x =--的图象关于原点中心对称,则对于()00f =，因此有ln(1)0,11,2m m m --=∴--==-．答案2-．
点评：函数的奇偶性是函数的重要性质之一，这两个性质反应了函数图象的某种对称性，这二者之间是可以相互转换的．
例4设0.2
1
312
1log 3,,23a b c ??
=== ???，则（ ）
A ．a b c <<
B ．c b a <<
C ．c a b <<
D ．b a c << 分析：以0和1为分界线，根据指数函数与对数和的性质解决．
解析：对于0.2
1
3
12
1log 30,1,213a b o c ??
=<>=>=> ?
??，因此a b c <<．答案A ．
点评：大小比较问题，可以归结为某个函数就归结为一个函数、利用函数的单调性比较，不能归结为某个函数一般就是找分界线．
题型3 函数与方程
例5．函数()23
123
x x f x x =++
+的零点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
分析：这是一个三次函数，可以通过研究这个函数的单调性与极值，结合函数图象的基本特征解决． 解析：对于()2
2
13
1()024
f x x x x '=++=++
>，因此函数()f x 在R 上单调递增，而对于523
(2)0,(2)033
f f -=-<=>，因此其零点的个数为1个．答案B ．
点评：本例和例9在本质方法上是一致的，其基本道理就是“单调函数至多有一个零点”，再结合连续函数
的零点定理，探究问题的答案．
例6．函数()2
21f x mx x =-+有且仅有一个正实数的零点，则实数m 的取值范围是
A ．(],1-∞
B ．(]{},01-∞
C ．()(],00,1-∞
D ．(),1-∞
分析：函数中的二次项系数是个参数，先要确定对其分类讨论，再结合一次函数、二次函数的图象布列不等式解决．
解析：当0m =时，1
2
x =
为函数的零点；当0m ≠是，若0?=，即1m =时，1x =是函数唯一的零点，若0?≠，显然函数0x =不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价与方程
()2210f x mx x =-+=有一个正根一个负根，即()00mf <，即0m <．综合知答案B ．
点评：分类讨论思想、函数与方程思想是高考所着重考查的两种数学思想，在本题体现的淋漓尽致．还要注意函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，如本题中的1x =就是函数的“不变号零点”，对于“不变号零点”，函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点时要注意这个问题． 题型4 简单的函数模型及其应用
例7．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量（件）与价格（元）均为时间t （天）
的函数，且销售量近似满足()802g t t =-（件），价格近似满足1
()20|10|2
f t t =--（元）．
（1）试写出该种商品的日销售额y 与时间t （020t ≤≤）的函数表达式； （2）求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．
分析：函数模型就是销售量乘以价格，价格函数带有绝对值，去掉绝对值后本质上是一个分段函数，建立起这个分段函数模型后，求其最值即可．
解析：（1）1
()()(802)(20|10|)(40)(40|10|)2y g t f t t t t t =?=-?--=---
＝(30)(40),(010),(40)(50),(1020).t t t t t t +-
≤≤≤
（2）当010t ≤<时，y 的取值范围是[]1200,1225，在5t =时，y 取得最大值为1225； 当1020t ≤≤1时，y 的取值范围是[]600,1200， 在20t =时，y 取得最小值为600．
答案：总之，第5天，日销售额y 取得最大为1225元；第20天，日销售额y 取得最小为600元． 点评：分段函数模型是课标的考试大纲所明确提出要求的一个，分段函数在一些情况下可以用一个带有绝对值的解析式统一表达，要知道带有绝对值的函数本质上是分段函数，可以通过“零点分区”的方法去掉绝对值号再把它化为分段函数．
题型5 导数的意义、运算以及简单应用 例8．（2008高考江苏8）直线b x y +=2
1
是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线，则实数b = ． 分析：切线的斜率是1
2
，就可以确定切点的坐标，切点在切线上，就求出来b 的值． 解析： 方法一'
1y x =
，令'
12
y =得2x =，即切点的横坐标是2，则纵坐标是ln 2，切线过点()2,ln 2，所以ln 21b =-．
方法二：设曲线上一点点坐标是()00,ln x x ，由'
1y x =
知道过该点的曲线的切线的斜率是0
1
x ，故过该点的曲线的切线方程是()0001ln y x x x x -=
-，
即00
1l n 1y x x =+-，根据已知这条直线和直线b x y +=21重合，故002,ln 1ln 21x b x ==-=-．
答案：ln 21-．
点评：本题考查导数几何意义的应用，即曲线上一点处的导数值是曲线在该点的切线的斜率，解题的突破口是切点坐标，这也是解决曲线的切线问题时的一个重要思维策略．在解题中不少考生往往忽视“切点在切线上”这个简单的事实，要引以为戒． 例9．已知物体 的运动方程为t t s 3
2
+=（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻2t =时的速度为 A ．
4
19
B ．
4
17
C ．415
D ．4
13
分析：对运动方程求导就是速度非常．
解析：2
3
'2s t t =-
，将2t =代入即得．答案D ． 点评：本题考查导数概念的实际背景，考试大纲明确提出“了解导数概念的实际背景”，要注意这样的考点． 例10．若函数()3
213
f x x a x =-满足：对于任意的[]12,0,1x x ∈都有()()12||1f x f x -≤恒成立，则a 的 取值范围是 ．
分析：问题等价于函数()f x 在区间[]0,1的最大值与最小值的差不大于1，可以通过求函数()f x 在[]0,1上的最值解决．
解析：问题等价于函数在[]0,1的()()max min 1f x f x -≤．()22'f x x a =-，函数()3
213
f x x a x =-的极小值点是x a =，若1a >，则函数()f x 在[]0,1上单调递减，故只要()()011f f -≤，即只要2
43
a ≤，
即2313
a <≤
；若1a ≤，此时()()32
2min 1233f x f a a a a a a ==-=-，由于
()()2100,13f f a ==
-，故当33
a ≤时，()()max 1f x f =，此时只要2
212133a a a -+≤即可，即222
133a a ??-≤????，由于33a ≤，故223110333a -≤?-<，故此时成立；当313a <≤时，此时()()max 0f x f =，故只要2213a a ≤即可，此显然．故43a ≤，即a 的取值范围是2
23,33
3??-
????． 点评：三次函数一直以来都是大纲区高考的一个主要考点，主要用这个函数考查考生对用导数研究函数性
质、研究不等式等问题的理解和掌握程度，随着课标的考试大纲对导数公式的强化，课标区高考的函数导数解答题已经把函数的范围拓宽到了指数函数、对数函数、三角函数等（包括文科），但三次函数是高中阶段可以用导数研究的最为透彻的函数之一，高考也不会忽视了这个函数! 题型6 导数在研究函数、方程、不等式等问题中的综合运用 例11已知函数()ln a f x x x
=-
， （1）当0a >时，判断()f x 在定义域上的单调性； （2）若()f x 在[1,]e 上的最小值为
3
2
，求a 的值； （3）若2
()f x x <在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围．
分析：（1）通过判断导数的符号解决；（2）确立函数的极值点，根据极值点是不是在区间[1,]e 上确立是不是要进行分类讨论和分类讨论的标准；（3）由于参数a 是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．
解析：（1）由题意：()f x 的定义域为(0,)+∞，且221()a x a f x x x x
+'=
+=． 0,()0a f x '>∴> ，故()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数．
（2）由（1）可知：2
()x a
f x x +'=
① 若1a ≥-，则0x a +≥，即()0f x '≥在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上为增函数，
min 33
[()](1),22
f x f a a ∴==-=∴=-（舍去）．
② 若a e ≤-，则0x a +≤，即()0f x '≤在[1,]e 上恒成立，此时()f x 在[1,]e 上为减函数，
min 3[()]()122
a e
f x f e a e ∴==-
=?=-（舍去）． ③ 若1e a -<<-，令()0f x '=得x a =-，
当1x a <<-时，()0,()f x f x '<∴在(1,)a -上为减函数， 当a x e -<<时，()0,()f x f x '>∴在(,)a e -上为增函数，
min 3
[()]()ln()12
f x f a a a e ∴=-=-+=
?=-， 综上可知：a e =-．
（3）2
2(),ln a
f x x x x x
<∴-
< ． 又30,ln x a x x x >∴>-
令2
3
2
116()ln ,()()1ln 3,()6x g x x x x h x g x x x h x x x x
-''=-==+-=-=，
()h x 在[1,)+∞上是减函数，()(1)2h x h ∴<=-，即()0g x '<， ()g x ∴在[1,)+∞上也是减函数，()(1)1g x g ∴<=-．
令1a ≥-得()a g x >，∴当2
()f x x <在(1,)+∞恒成立时，1a ≥-．
点评：本题前两问是借助于导数和不等式这两个工具研究函数的性质，地三问是借助于导数研究不等式，这是目前课标区高考中函数导数解答题的主要命题模式．求一个函数在一个指定的闭区间上的最值的主要思考方向就是考虑这个函数的极值点是不是在这个区间内，结合函数的单调性确立分类讨论的标准．本题第三问实际上是对函数()g x 两次求导，也要注意这个方法． 例12．已知函数)0()(>+
=t x
t
x x f 和点)0 , 1(P ，过点P 作曲线)(x f y =的两条切线PM 、PN ，切点分别为),(11y x M 、),(22y x N ．
（1）求证：21,x x 为关于x 的方程022
=-+t tx x 的两根；
（2）设)(t g MN =，求函数)(t g 的表达式；
（3）在（2）的条件下，若在区间]16, 2[内总存在1+m 个实数121,,,m a a a + （可以相同），使得不等式
)()()()(121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求m 的最大值．
分析：（1）写出曲线上任意一点处的切线方程后，把点P 点坐标代入，就会得到一个仅仅含有参数t 的方程，而两个切点的横坐标都适合这个方程，则两个切点的横坐标必是一个以参数t 为系数的一个方程的两个解；（2）根据第一的结果和两点间距离公式解决；（3）根据第二问的结果探究解题方案． 解析：（1）由题意可知：112212
,t t y x y x x x =+
=+， ∵ 21)(x t
x f -
='， ∴切线PM 的方程为：))(1()(12
1
11x x x t x t x y --=+-， 又 切线PM 过点)0,1(P ， ∴有)1)(1()(0121
11x x t
x t x --=+
-， 即0212
1=-+t tx x ， ①
同理，由切线PN 也过点)0,1(P ，得0222
2=-+t tx x ．②
由①、②，可得21,x x 是方程022
=-+t tx x （ * ）的两根．
（2）由（ * ）知． ??
?-=?-=+.
,
22121t x x t x x
22
211221)()(x t x x t x x x MN --+
+-= ])1(1][4)[(2
2
121221x x t x x x x -
+-+=t t 20202+=， ∴ )0( 2020)(2>+=
t t t t g ．
（3）易知)(t g 在区间]16,2[上为增函数，
∴)16()()2(g a g g i ≤≤)1,,2,1(+=m i ，
则)16()()()()()2(121g a g a g a g a g g m m m ≤<+++≤?+ ． 即)16()2(g g m
?+?
所以3
136
<
m ，由于m 为正整数，所以6≤m ． 又当6=m 时，存在2621====a a a ，167=a 满足条件，所以m 的最大值为6．
点评：本题第一问的解决方法具有一般的意义，许多过一点作曲线的两条切线、两个切点的横坐标之间的关系都可以得到这个结论，这对进一步解决问题往往是关键的一步．本题第三问的解决方法用的是先估计、再确定的方法，也只得仔细体会．
例13．已知()()[)ln()
ln ,,0,()x f x ax x x e g x x
-=--∈-=-，其中e 是自然常数，.a ∈R （1）讨论1a =-时, ()f x 的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，1|()|()2
f x
g x >+
； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；如果不存在，说明理由． 分析：（1）求导后解决；（2）去绝对值后构造函数、利用函数的单调性解决，或是证明函数
()()mi n ma x
12f x g x ?
?>+????；（3）根据极值点是不是在区间[),0e -确立分类讨论的标准，分类解决． 解析：（1） ()()x x x f ---=ln ()x
x x x f 111'+-=-
-= ∴当1-<≤-x e 时，()0' 当01<<-x 时，()0'>x f ，此时()x f 为单调递增， ∴()x f 的极小值为()11=-f ． （2） ()x f 的极小值，即()x f 在[)0,e -的最小值为1， ∴()1min =x f 令()()()2 1 ln 21+-- =+=x x x g x h 又 ()2 ln()1 'x h x x --=， 当0<≤-x e 时()0'≤x h ()x h 在[)0,e -上单调递减 ∴()()()min max 12 1 21211x f e e h x h ==+<+=-= ∴当[)0,e x -∈时，()()2 1 +>x g x f （3）假设存在实数a ，使()()x ax x f --=ln 有最小值3，[)0,e x -∈，()x a x f 1 '- = ①当e a 1-≥时，由于[)0,e x -∈，则()01 '≥- =x a x f ∴函数()()x ax x f --=ln 是[)0,e -上的增函数 ∴()()31min =--=-=ae e f x f 解得e e a 1 4-<-=（舍去） ②当e a 1-<时，则当a x e 1<≤-时，()01 '<-=x a x f 此时()()x ax x f --=ln 是减函数 当01< 时，()01 '>-=x a x f ，此时()()x ax x f --=ln 是增函数 ∴()31ln 11min =??? ??--=??? ??=a a f x f 解得2 e a -= 点评：本题的第二问实际上可以加强为证明对任意的[)12,,0x x e ∈-证明()()121 2 f x g x >+ ；第三问的解答方法具有一般的意义，即求函数在指定闭区间上的最值分类就是按照极值点是不是在这个区间上进行的． 题型7 函数的应用、生活中的优化问题 例14．（2008高考江苏卷17）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点B A , 及CD 的中点 P 处，已知20,10AB km BC km ==，为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形ABCD 的区域上（含边 界），且与B A ,等距离的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道OP BO AO ,,，设排污管道的总长为ykm （1）按下列要求建立函数关系式： ①设()BAO rad θ∠=，将y 表示为θ的函数； ②设()OP x km =，将y 表示为x 的函数关． （2）请你选用（1）中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短． 分析：（1）已经指明了变量，只需按照有关知识解决即可；（2）根据建立的函数模型，选择合理的模型和方法解决． 解析：（1）①如图，延长PO 交AB 于点Q ，由条件知PQ 垂直平分AB ，若()BAO rad θ∠=，则 10cos cos AQ OA BAO θ= =∠，故10 cos OB θ = 又1010OP tan θ=-，所以1010 1010cos cos y OA OB OP tan θθθ =++=++- 所求函数关系式为2010sin 10 (0)cos 4 y θ π θθ -= +≤≤ ②若()OP x km =，则10OQ x =-，所以222(10)1020200OA OB x x x ==-+=-+ 所求函数关系式为2220200(010)y x x x x =+-+≤≤． （2）选择函数模型①． 方法一：（使用导数的方法） 22 10cos cos (2010sin )(sin )10(2sin 1) 'cos cos y θθθθθθθ-----= = 令'0y =得1sin 2θ= ， 046ππθθ≤≤∴= ，当(0,)6πθ∈时'0y <，y 是θ的减函数；当(,) 64 ππ θ∈时'0y >，y 是θ的增函数．所以函数在6πθ=处取得极小值，这个极小值就是函数y 在0,4π?? ????的最小 值，min 1 20102101031032 y -? = +=+． 当6 π θ= 时，()10203 3 cos 6 AO BO km π == = ．因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到,A B 两点的距离均为 203 3 km 时，铺设的排污管道的总长度最短． 方法二：（传统的方法）2010sin 2sin 101010cos cos y θθθθ--= +=?+，记2sin cos t θ θ -= ，则 sin cos 2t θθ+=，化为()2 2sin 1t θ?+= +， 其中2 2 1cos ,sin 11t t t ??= = ++，由正弦函数的有界性知 2 211t ≤+， 解得3t ≥或3t ≤-，又当04 π θ≤≤ 时2sin 0cos t θ θ -= >，故3t ≥， 即t 的最小值为3，当3t =时，()13 sin 1,cos ,sin 22 θ???+=== ， 由此知可以取3 π ?= ，此时6 π θ= ，即当6 π θ= 时，函数y 有最小值（下同方法一）． 方法三：（从几何意义上考虑）同方法二，2sin cos t θ θ -=， 则t 可以看作是平面上的定点M ()0,2，与动点()cos ,sin N θθ-上连点的斜率， 而动点N 是单位圆2 2 1x y +=在第二象限的后半区的一段弧， 设过点()0,2M 的直线方程为2y tx =+，由于圆心到直线的距离不大于圆的半径， 则 2 211t ≤+(下面的分析类似解法一)． 选用函数模型②： 方法一：（导数的方法） '2220120200 x y x x -=+ -+，令' 0y =则220200202x x x -+=-， 平方得2 3602000x x -+=，解得103 103 x =± ，由于010x ≤≤， 故103 103 x =- ，并且可以判断这个是函数的最小值点， 此时103 3 OQ = ，下面对实际问题的解释类似上面的解法． 方法二：（判别式的方法）将函数y 看作常数，移项，平方， 整理得()223240800-0x y x y +-+=，由于x 是实数， 故()( )2 2 440128000y y ?=---≥，即2 208000y y --≥， 解得10103y ≥+，或10103y ≤-，由于0y >，舍掉这个解， 故函数y 的最小值是10103+，当10103y =+时， 方程()223240800-0x y x y +-+=有两个相等的实数根 ()() 21010340240103102363 y x -+---===-?（下面对实际问题的解释类似于上面的解法）． 点评：本题考查函数的概念、解三角形、导数等基本知识，考查数学建模能力、抽象概括能力和解决实际 问题的能力．命题者匠心独具地把对同一个问题让考生用不同的变量建立数学模型，而在接下来的第二问中又要求考生选用所建立的两个函数模型中的一个来解决优化问题，这就要求考生有对数学模型较高的鉴赏能力，选用的模型不同，其简繁程度就不同，使考生在比较鉴别中体会数学的美学价值，是一道值得称道的优秀试题． 题型8 定积分（理科） 例15．若20 (sin cos )2x a x dx π -=? ，则实数a 等于 A ．1- B ．1 C ．3- D ．3 分析：根据微积分基本定理计算定积分，利用方程解决． 解析： 20 (sin cos )(cos sin )12,120 x a x dx x a x a a π π -=--=-+==-? ．答案A ． 点评：根据微积分基本定理计算定积分的关键是找到一个函数，使这个函数的导数等于被积函数，同时要合理地利用定积分的性质和函数的性质简化计算． 例16．（广东潮州市2008~2009学年度第一学期高三级期末质量检测理科第13题）两曲线 x x y y x 2,02-==-所围成的图形的面积是_________． 分析：根据函数图象把所求的面积表示为函数的定积分，根据微积分基本定理求出这个定积分即可． 解析：由???-==-x x y y x 202 ，解得???==00y x ，或???==33 y x ，即两曲线的交点)0,0(O 和)3,3(A ，所求图形的面积为2 9 |)3123()2(30 3223 =-=+-= ? x x dx x x x S ．答案29． 点评：定积分的简单应用主要就是求曲边形的面积，注意根据函数图象准确地地用定积分表示这个面积． 【专题训练与高考预测】 一、选择题 1．已知函数???≥+-<=) 0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足对任意12x x ≠，都有1212 ()() 0f x f x x x -<-成立，则a 的取值范 围是 （ ） A ．?? ? ? ?4 1,0 B ．()0,1 C ．?? ????1,41 D ．()0,3 2．定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3 (,0)4 -成中心对称，对任意的实数x 都有3()()2f x f x =-+，且 (1)1,f -=(0)2f =-，则(1)(2)(3)(2008)f f f f +++鬃 ?的值为 （ ） A ．2- B ．1- C ．0 D ．1 3．已知函数①x x f ln 3)(=；②x e x f cos 3)(=；③x e x f 3)(=；④x x f cos 3)(=．其中对于)(x f 定义域 内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量2x ，使12()()3f x f x =成立的函数是 （ ） A ．③ B ．②③ C ．①②④ D ．④ 4．设a ∈R ，函数()x x f x e a e -=+?的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数 ． 若曲线()y f x =的一条切线 的斜率是3 2，则切点的横坐标为 （ ） A ． ln 2 2- B ．ln 2- C ．ln 2 2 D ． ln 2 5．已知函数()ln ln a x f x x +=在[)1,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．1 0a e << B ．0a e <≤ C ．a e ≤ D ．a e ≥ 6．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 称后的位移为t t t s 22 3312 3+-=，那么速度为零的时刻是 （ ） A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 二、填空题 7．已知函数1()ln sin 1x f x x x +=+-，则关于a 的不等式2(2)(4)0f a f a -+-<的解集是 ． 8．已知函数()x x mx x f 2ln 2 -+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围为_________． 9．（文科）有下列命题：①函数cos cos 44y x x ππ?? ? ?=- + ? ?? ??? 的图象中，相邻两个对称中心的距离为π；②函数31 x y x += -的图象关于点()1,1-对称；③关于x 的方程2 210ax ax --=有且仅有一个实数根，则实 数1a =-；④已知命题p ：对任意的x R ∈，都有sin 1x ≤，则p ?：存在x R ∈，使得sin 1x >．其中所有真命题的序号是 ． 9．（理科）（1） 22 sin xdx π π-=? ． 【解析】332 这个面积是()332 231 1532 2339333 x x x dx x x --??-+=- +=+ =???? ?． 三 解答题 10．已知函数()2 12 x x f x e ax =---，其中a 为实数． （1）若1 2a =-时，求曲线()y f x =在点()1,(1)f 处的切线方程； （2）当1 2x ≥时，若关于x 的不等式()0f x ≥恒成立，试求a 的取值范围． 11．已知423 2)(23++-=cx x x x f ，)()(2x f e e x g x x +-=-， （1）若()f x 在21+=x 处取得极值，试求c 的值 和()f x 的单调增区间； （2）如右图所示，若函数)(x f y =的图象在],[b a 连续 光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在 ),,(b a c ∈使得=)('c f ？（用含有()(),,,a b f a f b 的表达式直接回答） （3）利用（2）证明：函数()y g x =图象上任意两点的连线斜率不小于24e -． 12．已知函数()()()2 ln ,0f x x g x ax x a ==-≠． （1）若函数()y f x =与()y g x =的图象在公共点P 处有相同的切线，求实数a 的值并求点P 的坐标； （2）若函数()y f x =与()y g x =的图象有两个不同的交点M 、N ，求a 的取值范围； （3）在（2）的条件下，过线段MN 的中点作x 轴的垂线分别与()f x 的图像和()g x 的图像交,S T 点， 以S 为切点作()f x 的切线1l ，以T 为切点作()g x 的切线2l ．是否存在实数a 使得1l //2l ，如果存在，求出a 的值；如果不存在，请说明理由． 【参考答案】 1．解析：A 条件等价于函数()f x 单调递减． 2．解析：D 由3 ()()2 f x f x =-+ ，得(3)()f x f x +=，因此，()f x 是周期函数，并且周期是3函数()f x 的图象关于点3(,0)4-成中心对称, 因此，()f x =-3 ()2 f x --，所以，(1)1f = (1)(2)(3)0f f f ++=，(1)(2)(3)(2008)f f f f +++鬃?＝(1)f 3．解析：A ②④是周期函数不唯一，排除；①式当1x =1时，ln10=不存在2x 使得成立，排除；答案：A ． 4．解析：D ()'x x f x e ae -=-，由于()'f x 是奇函数，故()()''f x f x -=-对任意x 恒成立，由此得1a =， 由()3'2 x x f x e e -=-= 得22320x x e e --=，即()()2210x x e e -+=，解得2x e =，故ln2x =，故切点的横坐标是ln 2． 5．解析：D ()22 1 (ln ln ) 1(ln ln )'x a x a x x f x x x ?-+-+==，因为()f x 在[)1,+∞上为减函数，故()'0f x ≤在[)1,+∞上恒成立，即ln 1ln a x ≥-在[)1,+∞上恒成立，等价于()ln 1ln a x ≥-在[)1,+∞上的最大值．设()1ln x x ?=-，()max 1x ?=，故ln 1a ≥，a e ≥，选答案D ． 6．解析：D 2'32s t t =-+，即2 32v t t =-+，令0v =，解得1t =或2，选答案D ． 7．解析：(3,2) 1()ln sin 1x f x x x +=+-是奇函数， 又12(1)2()ln sin ln sin ln 1sin 111x x f x x x x x x x +--???? =+=+=--+ ? ?---???? ，()f x 在()1,1- 单调递增，故()f x 定义在()1,1-上的且是增函数．由已知得2(2)(4)f a f a -<-- 即2(2)(4)f a f a -<-． 故2 2322412113321415335 a a a a a a a a a ??-<<-<-?? -<- 即不等式的解集是(3,2)． 8．解析：1,2??+∞???? ()1'220f x mx x =+-≥对一切0x >恒成立，2 122m x x ??≥-+ ???，令()2 12 g x x x ??=-+ ???，则当 11x =时，函数()g x 取最大值1，故21m ≥，即1 2m ≥． 9．（文科）解析：③④ ①函数1cos cos cos 2442y x x x ππ? ? ? ?=- += ? ?? ?? ?，相邻两个对称中心的距离为22T d π= =，错误；②函数3 1 x y x +=-图象的对称中心应为()1,1，错误；③正确；④正确． 9．（理科）解析：2 22 20 2 sin 2sin 2(cos ) 2x dx xdx x π ππ π-==-=?? ． （2）直线x y 2=与抛物线32 -=x y 所围成图形的面积为 ． 10．解析：（1）．当12a =-时，()()2111,222x x x f x e x f x e x '=- +-=-+，从而得()()111,12f e f e '=-=-，故曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1 1()(1)2y e e x -+=--， 即11022e x y ?? ---= ?? ?． （2）．由()0f x ≥，得221 1 1121,,22x x e x ax e x x a x --≤--≥∴≤ ，令()2112,x e x g x x --=则 ()()22 1 112,x e x x g x x --+'=令21()(1)1,2x x e x x ?=--+则()()1(1),,02x x x e x x ??''=-≥∴> ，即()x ?在1,2??+∞????上单调递增．所以()x ?17 0282e ???≥=-> ???， 因此()0x ?'>，故()g x 在1,2??+∞????单调递增．则()12 1 112122 e g x g --??≥= ??? ，因此a 的取值范围是924a e ≤-． 11．解析：（1）c x x x f +-=42)(2'， 依题意，有0)21('=+f ，即 2)21(4)21(22-=+++-=c ． 4223 2)(23 +--= ∴x x x x f ，242)(2'--=x x x f ． 令,0)('>x f 得12x <-或12x >+， 从而()f x 的单调增区间为(,12]-∞-和[12,)++∞． （2）' ()() ()f b f a f c b a -= -． （3）=+-=-)()(2x f e e x g x x 4223 223 2+--+ -=-x x x e e x x ， =)('x g 24222--++-x x e e x x 222(1)4x x e e x e =++--2 22042 4.x x e e e e ≥?+?-=- 由（2）知，对于函数()y g x =图象上任意两点,A B ，在,A B 之间一定存在一点))(,(' c g c C ,使得 AB K c g =)('，又42)('-≥e x g ，故有42)('-≥=e c g K AB ，证毕． 12．解析：（1）设函数()y f x =与()y g x =的图象的公共点()00,P x y ，则有 2 000ln x ax x =- ① 又在点P 有共同的切线 ∴()()00002 00 11 ''212x f x g x ax a x x +=? =-?=代入①得 0011 ln 22 x x = - 设()()()1111 ln '00222h x x x h x x x =-+?=+>> 所以函数()h x 最多只有1个零点，观察得01x =是零点， ∴1a =，此时()1,0P （2）方法1 由()()2 2 ln ln x x f x g x x ax x a x +=?=-?= 令()() ()2 243 112ln ln 12ln 'x x x x x x x x x r x r x x x x ??+-+ ?+--??=?== 当01x <<时，()'0r x >，则()r x 单调递增 当1x >时，()'0r x <，则()r x 单调递减，且2 ln 0x x x +> 所以()r x 在1x =处取到最大值()11r =， 所以要使2 ln x x y x += 与y a =有两个不同的交点，则有01a <<． 方法2 根据（1）知当1a =时，两曲线切于点()1,0，此时变化的()y g x =的对称轴是12 x =，而() y f x =是固定不动的，如果继续让对称轴向右移动即11 122 x a a = >?<，两曲线有两个不同的交点，当0a <时，开口向下，只有一个交点，显然不合，所以01a <<． （3）不妨设()()1122,,,M x y N x y ，且12x x >，则MN 中点的坐标为1212,22x x y y ++?? ??? 以S 为切点的切线1l 的斜率1212 2'2S x x k f x x +?? == ? +?? 以T 为切点的切线2l 的斜率()1212'12T x x k g a x x +?? ==+- ??? 如果存在a 使得S T k k =，即 ()1212 2 1a x x x x =+-+ ① 而且有2 111ln x ax x =-和2 222ln x ax x =-， 如果将①的两边同乘12x x -得 ()()22 12121212 2()x x a x x x x x x -=---+， 22 121112212122 2()()ln ln ln x x x ax x ax x x x x x x -=---=-=+，即1 12 1 22 2(1)ln 1x x x x x x -= +． 设1 21x x μ= >，则有()()21ln 11μμμμ-=>+，令()()()21ln 11h μμμμμ -=->+， ()()2 22 11 4'(1)(1)h μμμμμ-=-=++，∵1μ>，∴() '0h μ> 因此()h μ在[)1,+∞上单调递增，故()()10h h μ>=，所以不存在实数a 使得1l //2l ． 函数与导数 1．映射：注意①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法；②配方法；③判别式法；④利用函数单调性； ⑤换元法；⑥利用均值不等式；⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（、、等）；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ①若f(x)的定义域为〔a，b〕,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定义域为[a,b],求f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 注意：外函数的定义域是内函数的值域。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； ⑵是奇函数； ⑶是偶函数； ⑷奇函数在原点有定义，则； ⑸在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （6）若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①在区间上是增函数当时有； ②在区间上是减函数当时有； ⑵单调性的判定 1 定义法： 注意：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； ②导数法（见导数部分）； ③复合函数法（见2 （2））； ④图像法。 注：证明单调性主要用定义法和导数法。 7．函数的周期性 (1)周期性的定义： 对定义域内的任意，若有（其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。 所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周（2）三角函数的周期： ⑶函数周期的判定 ①定义法（试值）②图像法③公式法（利用（2）中结论） ⑷与周期有关的结论 导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导， 高中导数知识点归纳 1 一、基本概念 2 1. 导数的定义： 3 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也4 引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 5 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数6 )(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 7 ()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=) ()(lim )(00000 8 2 导数的几何意义：（求函数在某点处的切线方程） 9 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的10 斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为11 ).)((0'0x x x f y y -=- 12 3．基本常见函数的导数: 13 ①0;C '=（C 为常数） ②()1;n n x nx -'= 14 ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; 15 ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; 16 ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 17 二、导数的运算 18 1.导数的四则运算： 19 2014高考文科数学：导数知识点总结 (4) x x sin )(cos -='. (5) x x )(ln = '；e a x x a log )(log ='. (6) x x e e =')(; a a a x x ln )(='.（7）' ' ' ()u v u v ±=±. （8）' ' ' ()uv u v uv =+. （9）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -= ≠. （10）2' 11x x -=?? ? ?? （11） ()x x 21' = 5.导数的应用 ①单调性：如果0)(' >x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(' 函数与导数知识点复习测试卷(文) 一、映射与函数 1、映射 f ：A →B 概念 （1）A 中元素必须都有________且唯一； （2）B 中元素不一定都有原象，且原象不一定唯一。 2、函数 f ：A →B 是特殊的映射 (1)、特殊在定义域 A 和值域 B 都是非空数集。函数 y=f(x)是“y 是x 的函数”这句话的数学 表示，其中 x 是自变量，y 是自变量 x 的函数，f 是表示对应法则，它可以是一个解析式，也可以是表格或图象， 也有只能用文字语言叙述.由此可知函数图像与垂直x 轴的直线________公共点，但与垂直 y 轴的直线公共点可能没有，也可能是任意个。（即一个x 只能对应一个y ，但一个y 可以对应多个x 。） （2）、函数三要素是________，________和________，而定义域和对应法则是起决定作用的要素， 因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 二、函数的单调性 在函数f (x )的定义域内的一个________上，如果对于任意两数x 1，x 2∈A 。当x 1 导数及其应用 知识点总结 1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121 f x f x x x -- 2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(00000；． 3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线 ()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 4、常见函数的导数公式： ①'C 0=； ②1')(-=n n nx x ；③x x cos )(sin '=； ④x x sin )(cos '-=； ⑤a a a x x ln )('=；⑥x x e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧x x 1)(ln '= 5、导数运算法则： ()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±????； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=+????； ()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '??''-=≠????????． 6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减． 7、求解函数()y f x =单调区间的步骤： （1）确定函数()y f x =的定义域； （2）求导数'' ()y f x =； （3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间； （4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间． 8、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： ()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 9、求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f ’(x) （3）求方程f ’(x)=0的根 （4）用方程f ’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f ’(x)在方程f ’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 10、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是： ()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值； ()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 导数 一、导数的概念 1．导数的背景 （1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 如一物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在 时的瞬时速度为_____（答：5米/秒） 2.导数的定义 如果函数在开区间（a,b）内可导，对于开区间（a,b）内的每一个，都对应着一个导数，这样在开区间（a,b）内构成一个新的函数，这一新的函数叫做 在开区间（a,b）内的导函数，记作，导函数也简称为导数。 3、求在处的导数的步骤： （1）求函数的改变量； （2）求平均变化率； （3）取极限，得导数。 4、导数的几何意义： 函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即曲线在点处的切线的斜率是，相应地切线的 方程是。 特别提醒： （1）在求曲线的切线方程时，要注意区分所求切线是曲线上某点处的切线，还是过某 点的切线：曲线上某点处的切线只有一条，而过某点的切线不一定只有一条，即使此点在曲线上也不一定只有一条； （2）在求过某一点的切线方程时，要首先判断此点是在曲线上，还是不在曲线上，只 有当此点在曲线上时，此点处的切线的斜率才是。 比如： （1）P 在曲线上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ______（答：）； （2）直线是曲线的一条切线,则实数的值为_______（答：－3 或1）； （3）已知函数（为常数）图像上处的切线与的夹角为，则点的横坐标为_____（答：0 或）； （4）曲线在点处的切线方程是______________（答：）；（5）已知函数，又导函数的图象与轴交于。①求的值；②求过点的曲线的切线方程 （答：①1；②或）。[1] 二、相关背景 从微积分成为一门学科来说，是在十七世纪，但是，微分和积分的思想在古代就已经产 生了。 公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。作为微分学基础的极限理 论来说，早在古代以有比较清楚的论述。比如我国的庄周所著的《庄子》一书的“天下篇” 中，记有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提到“割之 弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。”这些都是朴素的、也是很典型的极限概念。 到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些问题也就成了促使微积分产生的因素。 归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候直接出现的，也就是求 即时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大值和最 小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一 个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。 十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决上述几类问题作了大量的 研究工作，如法国的费尔玛、笛卡尔、罗伯瓦、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普 勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。 十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家ㄈ牛顿和德国数学家莱布尼茨分 别在自己的国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们 函数与导数知识点 【重点知识整合】 1.导数的定义：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ?时，则函数()y f x =相 应地有增量)()(00x f x x f y -?+=?， 如果0→?x 时，y ?与x ?的比x y ??（也叫函数的平均变化率）有极限即x y ??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在 0x x →处的导数，记作0 x x y ='，即 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?. 注意：在定义式中，设x x x ?+=0，则0x x x -=?，当x ?趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写 成 000000 ()()()() ()lim lim x o x x f x x f x f x f x f x x x x ?→→+?--'==?-. 2.导数的几何意义： 导数 0000 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处 变化的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00 x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0 x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00 x f x ）处的切线方程为 000()()()y f x f x x x -='- 注意：“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点. 3.导数的物理意义： 函数()s s t =在点 0t 处的导数0(),s t '就是物体的运动方程()s s t =在点0t 时刻的瞬时速度v ，即0().v s t '= 4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=； 1(ln )x x '= ； 1 (log )log a a x e x '=； ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=. 5.求导法则： 法则1： [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'； 法则2： [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=； 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ???. 高中导数知识点归纳 一、基本概念 1. 导数的定义： 设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+=??)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数。 ()f x 在点0x 2 函数)(x f y =的切线的斜率， ②()1;n n x nx -'= ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦()1ln x x '=; ⑧()1l g log a a o x e x '=. 二、导数的运算 1.导数的四则运算： 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ()()()()f x g x f x g x '''±=±???? 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：()()()()()() f x g x f x g x f x g x ''' ?=+ ?? ?? 常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：). ( )) ( (' 'x Cf x Cf=(C 为常数) 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： () () ()()()() () () 2 f x f x g x f x g x g x g x ' ??'' - =≠ ?? ?? 。 2.复合函数的导数 形如)] ( [x f y? = 三、导数的应用 1. ) (x f在此区间上为减函数。 恒有'f0 ) (= x，则)(x f为常函数。 2．函数的极点与极值：当函数)(x f在点 x处连续时， ①如果在 x附近的左侧)('x f＞0，右侧)('x f＜0，那么) (0x f是极大值； ②如果在 x附近的左侧)('x f＜0，右侧)('x f＞0，那么) (0x f是极小值. 3．函数的最值： 一般地，在区间] , [b a上连续的函数) (x f在] , [b a上必有最大值与最小值。函数) (x f在区间上的最值 ] , [b a值点处取得。 只可能在区间端点及极 求函数) (x f在区间上最值 ] , [b a的一般步骤：①求函数) (x f的导数，令导 定积分 一、知识点与方法： 1、定积分的概念 设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=……把区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上取任一点(1,2,,)i i n ξ=…作和式 1 ()n n i i I f x ξ== ?∑ （其中x ?为小区间长度） ，把n →∞即0x ?→时，和式n I 的极限叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记作：?b a dx x f )(，即?b a dx x f )(＝1 lim ()n i n i f x ξ→∞ =?∑ 。 这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[,]a b 叫做积分区间，函数()f x 叫做被积函数，x 叫做积分变量，()f x dx 叫做被积式。 (1)定积分的几何意义：当函数()f x 在区间[,]a b 上恒为正时，定积分()b a f x dx ?的几何意 义是以曲线()y f x =为曲边的曲边梯形的面积。 (2)定积分的性质 ① ??=b a b a dx x f k dx x kf )()(（k 为常数）；② ???± = ±b a b a b a dx x g dx x f dx x g x f )()()()(； ③???+ = b a c a b c dx x f dx x f dx x f )()()(（其中a c b <<)。 2、微积分基本定理 如果()y f x =是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么: ()()|()()b b a a f x dx F x F b F a ==-? 3、定积分的简单应用 (1) 定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线 ,()x a x b a b ==<，x 轴及一条曲线()(()0)y f x f x =≥围成的 曲边梯的面积? = b a dx x f S )(。 如果图形由曲线y 1＝f 1(x )，y 2＝f 2(x )（不妨设f 1(x )≥f 2(x )≥0），及直线x ＝a ，x ＝b （a 《导数及其应用》知识点总结 一、导数的概念和几何意义 1. 函数的平均变化率：函数()f x 在区间12[,]x x 上的平均变化率为： 2121 ()() f x f x x x --。 2. 导数的定义：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈，若x ?无限趋近于0时，比值00()()f x x f x y x x +?-?=??无限趋近于一个常数A ，则称函数()f x 在0x x =处可导，并称该常数A 为函数()f x 在0x x =处的导数，记作0()f x '。函数()f x 在0x x =处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。 3. 求函数导数的基本步骤：（1）求函数的增量00()()y f x x f x ?=+?-；（2）求平均变化率：00()()f x x f x x +?-?；（3）取极限，当x ?无限趋近与0时，00()() f x x f x x +?-?无限趋近与一个常数A ，则 0()f x A '=. 4. 导数的几何意义： 函数()f x 在0x x =处的导数就是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步： （1）求出()y f x =在x 0处的导数，即为曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线的斜率； （2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为000()()y y f x x x '-=-。 当点00(,)P x y 不在()y f x =上时，求经过点P 的()y f x =的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到切线方程，再将P 点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线平行与y 轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为0x x =。 5. 导数的物理意义： 质点做直线运动的位移S 是时间t 的函数()S t ，则()V S t '=表示瞬时速度，()a v t '=表示瞬时加速度。 二、导数的运算 1. 常见函数的导数： （1）()kx b k '+=(k , b 为常数)； （2）0C '=(C 为常数)； （3）()1x '=； （4）2()2x x '=； （5）32()3x x '=； （6）211()x x '=-； （7 ）'； （8）1()ααx αx -'=（α为常数）； 导 数 主要内容 导数的背影．导数的概念．多项式函数的导数．利用导数研究函数的单调性和极值．函数的最大值和最小值．考试要求：（1）了解导数概念的某些实际背景．（2）理解导数的几何意义．（3）掌握函数，y=c(c 为常数)、y=xn(n ∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数．（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值． §14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)]()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义、物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 高中数学导数章节知识点总结 考点1:与导数定义式有关的求值问题 1:已知 等于 A. 1 B. C. 3 D. 1.已知 ，则 的值是______ ． 考点2:导数的四则运算问题 1:下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 2:已知函数，为 的导函数，则 的值为______． 考点3:复合函数的导数计算问题 1:设 ，则 A. B. C. D. 2:函数的导函数 ______ 考点4:含)('a f 的导数计算问题 1:已知定义在R 上的函数 ，则 A. B. C. D. 2:设函数满足，则 ______． 考点5:求在某点处的切线方程问题 1:曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 2:曲线在处的切线方程为_________________． 考点6:求过某点的切线方程问题 1:已知直线过原点且与曲线相切，则直线斜率 A. B. C. D. 2:若直线过点)1,0(-且与曲线x y ln =相切，则直线方程为： 考点7:根据相切求参数值问题 1:已知直线与曲线相切，则a 的值为 A. 1 B. 2 C. D. 2:若曲线在点处的切线平行于x 轴，则 ________． 考点8:求切线斜率或倾斜角范围问题 1:点P 在曲线3 2)(3 +-=x x x f 上移动，设P 点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 （ ） A. ?? ????2,0π B. ),4 3[)2,0[πππY C.),43[ ππ D. ]4 3,2(π π 2:在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为_______ 考点9:求曲线上点到直线距离的最值问题 1:已知P 为曲线x y C ln :=上的动点，则P 到直线03:=+-y x l 距离的最小值为（ ） A. 2 B. 22 C.2 D. 3 考点10:求具体函数的单调区间问题 1：函数x e x x f )1()(+=的单调递增区间是 A. ),2[+∞- B. ),1[+∞- C. D. 2:函数x x x f ln )(=的单调减区间为 考点11：已知单调性，求参数范围问题 1:已知函数 在区间 上是增函数，则实数m 的取值范围为 A. B. C. D. 2:若函数在区间上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 考点12：解抽象不等式问题 1:已知函数是函数 的导函数， ，对任意实数都有，则不等 式 的解集为 A. B. C. D. 2:函数的定义域为R ，且 ， ，则不等式 的解集为______ ． 考点13：求具体函数的极值问题 1:函数 ，则 A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数 的极大值点 D. 为函数 的极小值点 §14. 导 数 知识要点 1. 导数（导函数的简称）的定义：设0x 是函数)(x f y =定义域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ?，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -?+=?；比值x x f x x f x y ?-?+= ??) ()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ?+0之间的平均变化率；如果极限x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数， 记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 注：①x ?是增量，我们也称为“改变量”，因为x ?可正，可负，但不为零. ②以知函数)(x f y =定义域为A ，)('x f y =的定义域为B ，则A 与B 关系为B A ?. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系： ⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ?+=0，则0x x →相当于0→?x . 于是)] ()()([lim )(lim )(lim 0000 00 x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=?+=→?→?→ 函数与导数解题方法知识点技巧总结 1. 高考试题中，关于函数与导数的解答题(从宏观上)有以下题型： （1）求曲线()y f x =在某点出的切线的方程 （2）求函数的解析式 （3）讨论函数的单调性，求单调区间 （4）求函数的极值点和极值 （5）求函数的最值或值域 （6）求参数的取值范围 （7）证明不等式 （8）函数应用问题 2. 在解题中常用的有关结论（需要熟记）： （1）曲线()y f x =在0x x =处的切线的斜率等于0()f x '，且切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+。 （2）若可导函数()y f x =在0x x =处取得极值，则0()0f x '=。反之不成立。 （3）对于可导函数()f x ，不等式()0(0)f x '><的解是函数()f x 的递增（减）区间。 （4）函数()f x 在区间I 上递增（减）的充要条件是：,()0(0)x I f x '?∈≥≤恒成立（()f x '不恒为0）. （5）若函数()f x 在区间I 上有极值，则方程()0f x '=在区间I 上有实根且非二重根。（若()f x '为二次 函数且I R =，则有0?>）。 （6）若函数()f x 在区间I 上不单调且不为常量函数,则()f x 在I 上有极值。 （7）若,()0x I f x ?∈>恒成立，则min ()0f x >；若,()0x I f x ?∈<恒成立，则max ()0f x < （8）若0x I ?∈使得0()0f x >，则max ()0f x >；若0x I ?∈使得0()0f x <，则min ()0f x <. （9）设()f x 与()g x 的定义域的交集为I ，若,()()x I f x g x ?∈>恒成立，则有min [()()]0f x g x ->. （10）若对112212,,()()x I x I f x g x ?∈∈>恒成立，则min max ()()f x g x >. 若对1122,x I x I ?∈?∈，使得12()()f x g x >，则min min ()()f x g x >. 若对1122,x I x I ?∈?∈，使得12()()f x g x <，则max max ()()f x g x <. （11）已知()f x 在区间1I 上的值域为A ,()g x 在区间2I 上值域为B ，若对1122,x I x I ?∈?∈使得 12()()f x g x =成立，则A B ?。 （12）若三次函数()f x 有三个零点，则方程()0f x '=有两个不等实根12,x x 且12()()0f x f x < （13）证题中常用的不等式: ①ln 1(0)x x x ≤->（仅当1x =时取“=”） 一、相关概念 1.导数的概念： f （x 0）= y lim xx 0 = f(x 0x)f(x 0) lim xx 0 。 注意： （1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指x0时， y x 有极限。如果 y x 不存在极限， 就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。 （2）x 是自变量x 在x 0处的改变量，x0时，而y 是函数值的改变量，可以是零。 2．导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切 线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。 相应地，切线方程为y －y 0 =f 0）（x －x 0）。/ （x / （x 3.导数的物理意义 若物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s （t ）。 若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v ′（t ）。 二、导数的运算 1．基本函数的导数公式: ①C0;（C 为常数） ② nn xnx 1 ; ③(sinx)cosx; ④(cosx)sinx; xx ⑤(e)e; xx ⑥(a)alna; 1 ⑦; lnx x ⑧ 1 log a xlog a e x . 2．导数的运算法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 'u 'v ' 即： (uv). 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 'u ' vuv ' 函数 乘以第二个函数的导数，即：(uv). 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积， 再除以分母的平方： u v u 'v 2 v u v' （v0） 。 3.复合函数的导数 形 如y =f (x )的 函数称为复 合函数 。复合函数 分解——>求导——>回代。 法则：y ＇| X =y ＇|U ·u ＇|X 或者f[(x)]f()*(x). 三、导用 1.函数的单调性与导数 （1）设函数yf(x)在某个区间（a ，b ）可导，如果 ' f(x)0，则f(x)在此区间上为 增函数；如果 ' f(x)0，则f(x)在此区间上为减函数。 （2）如果在某区间内恒有 ' f(x)0，则f(x)为常数。 2．极点与极值： 曲线在极值点处切率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正，右侧为 负；曲线 在极 小值 点左侧切 率为负，右侧为正； 3．最值： 在区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a ，b ）内 连续函数f （x ）不一定有最大值，例如 3 f(x)x,x(1,1)。 （1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中 的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。 （2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极 值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区 间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可 能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。 四、定积分 1.概念 设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0函数与导数知识点总结
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