离心泵多工况试验设计方法数学模型研究_林成波
Ｖｏｌ．３４Ｎｏ．２４
离心泵多工况试验设计方法数学模型研究
林成波，师延盛，任兵，余彬华，管将
（新界泵业集团股份有限公司,浙江温岭317525）
摘
要：为提高试验设计（Design Of experiment ，DOE ）方法在离心泵多工况设计中，建立的扬程与叶轮几何参数之间数学模型的
准确性，以比转速为71.5的水力模型为例，选择叶轮叶片数、出口宽度、出口角3个几何参数为变化因子，每个因子取3个水平按L27（33）设计方案设计了27组水力模型。通过数值模拟对每组水力模型在（0.3Q BEP 、Q BEP 、1.2Q BEP ）3个不同流量下的扬程进行预测，建立了3个不同流量下的扬程与叶轮几何参数之间的数学模型。
文章重点分析了数学模型的建立方法、因子的选择对数学模型进行性能预测准确性的影响，并进行了实验验证。研究结果表明：因子的平方项、因子间的交互效应及因子的水平数对数学模型的准确性有重要影响。
对3因子3水平试验设计，因子的平方项或因子间的交互效应的完全缺失会降低数学模型的准确性。对于3因子2水平试验设计，因子间的交互效应的部分缺失能够提高一些数学模型的准确性。可以通过判定系数R 对数学模型的准确性进行判定。准确的数学模型可用来对离心泵进行更进一步的多工况优化和设计，研究为通过数学模型进行扬程预测的准确性提供参考。关键词：试验设计；多工况设计；性能预测；数学模型；准确性中图分类号：TH311
文献标识码：A
文章编号：1006-8937（2015）24-0065-04
作者简介：林成波（1985-），男，浙江台州人，大学本科，助理工程
师，研究方向:水泵设计。
离心泵作为重要的流体输送设备，在工业、农业、建筑等许多行业中得到广泛应用。随着市场的需求，满足多个工况点运行、效率较高的离心泵受到越来越多的关注。对此类离心泵的优化、设计，常用的离心泵设计方法（速度系数法、相似换算法）只能对单个工况点进行设计，不能进行多工况、多目标设计。目前针对泵的多工况设计方法很多，且这些方法在求解具体的问题中取得了一定的效果，也存在一些缺陷。试验设计是一种安排试验和分析试验数据的数理统计方法，已被用于旋转机械多目标的优化、设计。李红等采用试验设计（ｄｅｓｉｇｎｏｆｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔ，ＤＯＥ）和数值模拟相结合的方法，通过建立不同工况点的扬程与叶轮主要几何参数之间的数学模型，并对该方程的参数进行赋值计算得到满足设计要求的叶轮几何参数值的离心泵多工况设计方法，数学模型的准确性对此方法的应用有重要的影响，在沈艳宁等数学模型建立的过程中，由于偏工况扬程的数值预测存在较大误差及在建模的过程中对影响因素选取的不合理，使得到的数学模型不能对离心泵的性能进行有效的预测。在通过ＤＯＥ方法进行离心泵的多工况优化、设计时，数学模型预测的准确性（对于建立的数学模型，在已知数学模型中几何参数的条件下，不进行试验就能够通过数学模型对泵的性能进行预测）对于通过ＤＯＥ方法完成设计要求很重要。
本文通过ＤＯＥ和数值模拟相结合的方法对离心泵进行多工况设计时，因子的平方项、因子间的交互效应项及因子水平数的选择对得到的数学模型准确性的影响进行了研究，并对得到的数学模型的准确性进行了实验验证。
1数值模拟对扬程预测准确性验证
扬程性能预测的准确性对建立准确的数学模型有重要影响。因为建立数学模型所需的数据通常（也有真实试验的）来自通过数值模拟得到的不同工况点的扬程值。如果数值模拟在扬程预测时存在较大误差，那么得到的数据就会使建立的数学模型的准确性降低。为了降低数值模拟对数学模型准确性的影
响，数值模拟对扬程的预测误差应在一定的范围内（小于０．５％）。为了使数值模拟对扬程预测具有高的准确性，本节对影响预测准确性的湍流模型进行了选择。
1.1泵性能参数
所选离心泵的比转数（ｎｓ）为７１．５，设计点的流量（ＱＢＥＰ）为２６０ｍ３／ｈ，扬程（Ｈ）为１４０ｍ。以离心泵在（０．３ＱＢＥＰ、ＱＢＥＰ、１．２ＱＢＥＰ）流量下扬程的样机试验数据作为数值模拟进行扬程预测准确性的基准。离心泵叶轮的主要几何参数及３个流量下的扬程，见表１。
表１离心泵的几何参数和扬程
叶片参数Ｐａｒａｍｅｔｅｒｖａｌｕｅｓｏｆｂｌａｄｅ叶片数Ｎｕｍｂｅｒｚ５
出口宽度Ｏｕｔｌｅｔｗｉｄｔｈ
ｂ２／ｍｍ１５
出口安放角Ｏｕｔｌｅｔａｎｇｌｅβ２／（°）３５
扬程Ｈｅａｄ／（ｍ）０．３ＱＢＥＰ
１４８
ＱＢＥＰ１４０．３
１．２ＱＢＥＰ１２３
1.2网格无关性检查
网格质量及网格的类型对计算精度、计算的稳定性有直接的影响。随着网格数的增加，由网格引起的求解误差会逐渐缩小，但网格数越多，计算周期就会越长，对计算机的要求越高，因此选择合适的网格数目、
大小对于数值计算的准确性有非常重要的影响。针对本文的研究，在３个不同的工况点，采用不同的湍流模型进行网格无关性检查。网格总数及其得到的不同工况点的扬程，见表２。
由表２可以看出，当网格数大于８０万时，扬程逐渐趋于稳定，考虑到计算机性能、计算时间，对接下来的数值模拟计算，采用方案２进行计算域网格的划分及数值模拟计算。
表２不同网格数下的扬程
方案Ｐｌａｎ１２３
网格数Ｎｕｍｂｅｒｏｆｇｒｉｄ
１１２７７９７８３０９４２７９２８６１
扬程Ｈｅａｄ／（ｍ）
Ｈ０．３Ｑ
（ｋ－εＥＡＲＳＭ）１５３．７１５３．８１５５．２
ＨＱ（ＳＳＧＲＳ）１３１．６１３１．５１３１．８
Ｈ１．２Ｑ（ＢＳＬＥＡＲＳＭ）
１２３．０１２３．４１２２．６
注：Ｈ０．３Ｑ为流量为０．３ＱＢＥＰ时的扬程，ＨＱ为流量为ＱＢＥＰ时的扬程，Ｈ１．２Ｑ为流量为１．２ＱＢＥＰ时的扬程。
1.3湍流模型的选择
湍流模型主要用来预测流体流动中湍流的影响。在相同的流量下，不同的湍流模型得到的预测结果不同，预测结果对比，见表３。
表３不同湍流模型下的扬程
单位：ｍ
流量
Ｄｉｓｃｈａｒｇｅ０．３ＱＢＥＰＱＢＥＰ１．２ＱＢＥＰ
湍流模型
ｋ－ε
１５９．１
１３２．５
１１９．４
ｋ－ω
１５４．５
１３６．０
１２２．５
ｋ－εＥＡＲＳＭ
１４８．７
１３２．７
１２０．４
ＳＳＧＲＳ
１６５．８
１３９．５
１２６．４
１４８．０
１４０．３
１２３．０
ＢＳＬＥＡＲＳＭ
１５９．９
１３５．８
１２３．４
试验值
由表３发现，对０．３ＱＢＥＰ下，各湍流模型之间扬程预测值相差较大，其它两个流量下相差较小。通过对比，对研究的每组方案在０．３ＱＢＥＰ、ＱＢＥＰ、１．２ＱＢＥＰ流量下，分别选择ｋ－εＥＡＲＳＭ、ＳＳＧＲＳ、ＢＳＬＥＡＲＳＭ模型作为数值模拟进行扬程预测的湍流模型。
2DOE设计
根据研究目标，选择泵在０．３ＱＢＥＰ、ＱＢＥＰ、１．２ＱＢＥＰ流量点的扬程（Ｈ０．３Ｑ、ＨＱ、Ｈ１．２Ｑ）作为ＤＯＥ的响应变量；选择叶轮水力几何参数作为ＤＯＥ的自变量因子，设置自变量因子的水平。由选出的自变量因子排列试验计划表，采用速度系数法，按照试验计划表中取值设计叶轮。采用数值模拟预测得到每个叶轮在３个不同流量下的扬程模拟值。
2.1变量的选取
选择叶片数、出口宽度、出口角３个几何参数作为试验设计因子，每个因子选取３个水平，见表４。
表４自变量及其取值
叶片参数取值Ｐａｒａｍｅｔｅｒｖａｌｕｅｏｆｂｌａｄｅ
叶片数Ｎｕｍｂｅｒｏｆｂｌａｄｅｚ出口安放角Ｏｕｔｌｅｔａｎｇｌｅβ２／（°）出口宽度Ｏｕｔｌｅｔｗｉｄｔｈｂ２／ｍｍ４
１８
１２
５
２４
１５
６
３６
１８
2.2实验安排
设计为３因子３水平完全析因试验，共２７组设计，见表５。
2.3实验结果
通过数值模拟，得到２７组方案在０．３ＱＢＥＰ、ＱＢＥＰ、１．２ＱＢＥＰ流量点的扬程预测结果，见表６。
2.43因子3水平数试验设计的数学模型
在对数据进行分析的过程中，试验设计与正交试验［１６－２０］的主要区别是试验设计对结果分析时，模型中不仅包含因子主效应的影响，还包含各因子间的交互效应的影响。
对于相同流量下不同数学模型之间的区别，通过数学模型的判定系数Ｒ进行比较。Ｒ说明：扬程值的变异占扬程值的总体变异的比例，其取值范围为［０－１］，其值越趋近于１说明数学模型拟合的越好。
通过分析得到Ｈ０．３Ｑ、ＨＱ、Ｈ１．２Ｑ与叶轮参数之间的数学模型
为：
Ｈ０．３Ｑ＝２７１－４２．４ｚ－６．２１ｂ２－７．８３β２＋０．７２ｚ２－（１）０．２１ｂ２２＋０．０２２８β２２＋２．９３ｂ２ｚ＋１．４ｚβ２＋０．５５５
ｂ２β２－０．１１１ｂ２β２ｚ
ＨＱ＝－１０９＋２６．５ｚ＋１５．５ｂ２＋３．８９β２－０．９３２ｚ２－（２）０．２８５ｂ２２－０．００２４β２２－０．６５８ｂ２ｚ－０．３９７ｚβ２－
Ａ
６
４
６
５
５
６
４
６
６
５
６
５
４
４
５
４
５
６
６
４
５
５
４
５
４
６
４
Ｂ
２４
１８
３０
３０
３０
３０
２４
２４
１８
３０
１８
２４
２４
３０
１８
１８
１８
１８
３０
２４
２４
１８
３０
２４
１８
２４
３０
Ｃ
１８
１５
１２
１５
１８
１５
１２
１５
１２
１２
１５
１８
１５
１５
１２
１８
１５
１８
１８
１８
１２
１８
１２
１５
１２
１２
１８
表５２７组因素组合完全析因试验设计
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
１１
１２
１３
１４
１５
１６
１７
１８
１９
２０
２１
２２
２３
２４
２５
２６
２７
因素
表６不同工况下的扬程值
试验组
Ｇｒｏｕｐ
１
２
３
４
５
６
７
８
９
１０
１１
１２
１３
１４
Ｈ０．３Ｑ
１５６．７
１４８．３
１４６．４
１５２．５
１５１．３
１５２．６
１３７．１
１５０．０
１４４．４
１４３．０
１４９．１
１５５．０
１４７．９
１５０．８
ＨＱ
１４４．４
１２１．０
１３９．４
１３８．３
１３９．４
１４５．７
１１７．２
１４２．４
１２９．７
１３１．０
１３８．３
１３８．２
１２４．５
１２８．６
Ｈ１．２Ｑ
１３０．９
８３．６
１１９．６
１２０．５
１３１．８
１３４．５
８７．１
１２３．９
１０５．１
１０８．３
１０９．３
１２０．９
１００．８
１１０．０
试验组
Ｇｒｏｕｐ
１５
１６
１７
１８
１９
２０
２１
２２
２３
２４
２５
２６
２７
Ｈ０．３Ｑ
１４５．６
１４２．７
１４５．０
１６１．０
１５５．８
１５２．０
１３９．５
１５２．０
１４２．８
１４９．８
１３８．６
１４１．５
１５５．６
ＨＱ
１２３．１
１２６．９
１３０．６
１４３．６
１４７．２
１２７．７
１２６．３
１３２．７
１２１．８
１３４．０
１１２．２
１３３．９
１２６．０
Ｈ１．２Ｑ
８８．６
１０６．８
９４．４
１２９．７
１４０．０
１０５．８
９７．９
１２０．９
９６．３
１１４．４
７５
１０７．１
１１８．８
单位：ｍ注：Ａ为叶片数ｚ，Ｂ为叶片出口安放角β２／（°），Ｃ为叶片出口宽度ｂ２／ｍｍ。
注：Ｈ０．３Ｑ为流量为０．３ＱＢＥＰ时的扬程，ＨＱ为流量为ＱＢＥＰ时的扬程，Ｈ１．２Ｑ为流量为１．２ＱＢＥＰ时的扬程。
Ｖｏｌ．３４Ｎｏ．２４
０．２３５ｂ２β２＋０．０３０６ｂ２β２ｚ
Ｈ１．２Ｑ＝－１６５＋３５．９ｚ＋９．９５ｂ２＋５．２６β２－０．６２ｚ２＋（３）０．０４８ｂ２２＋０．０２４β２２－０．９７ｂ２ｚ－
０．６７ｚβ２－０．２８ｂ２β２＋０．０３５４ｚｂ２β２
不考虑因子的平方项，分析得到Ｈ０．３Ｑ、ＨＱ、Ｈ１．２Ｑ与叶轮参数之间的数学模型为：
Ｈ０．３Ｑ＝２８８－３５．２ｚ－１２．６ｂ２－６．７４β２＋２．９３ｂ２ｚ＋（４）１．４ｚβ２＋０．５５５ｂ２β２－０．１１１ｂ２β２ｚ
ＨＱ＝－２２．４＋１７．２ｚ＋６．９６ｂ２＋３．７７β２－０．６５８ｂ２ｚ－（５）０．３９７ｚβ２－０．２３５ｂ２β２＋０．０３０６ｂ２β２ｚ
Ｈ１．２Ｑ＝－１７４＋２９．７ｚ＋１１．４ｂ２＋６．４２β２－０．９７（６）ｂ２ｚ－０．６７ｚβ２－０．２８ｂ２β２＋０．０３５４ｂ２β２ｚ
不考虑因子的交互效应，分析得到Ｈ０．３Ｑ、ＨＱ、Ｈ１．２Ｑ与叶轮参数之间的数学模型为：
Ｈ０．３Ｑ＝８４．１－４．９ｚ＋８．４１ｂ２－０．８４β２＋０．７２ｚ２－（７）０．２１４ｂ２２＋０．０２２８β２２
ＨＱ＝－３７．１＋１８．１ｚ＋１０．２ｂ２－＋０．６６３β２－０．９３２ｚ２－（８）０．７２８５ｂ２２－０．００２４β２２
Ｈ１．２Ｑ＝－３９＋１８．２ｚ＋２．６４ｂ２＋０．３９β２－０．６２ｚ２＋（９）０．０４８ｂ２２＋０．０２４β２２
不同流量下判定系数最高的数学模型为：
Ｈ０．３Ｑ＝２５９－４２．４ｚ－６．２１ｂ２－６．７４β２＋０．７２ｚ２－（１０）０．２１４ｂ２２＋２．９３ｂ２ｚ＋１．４ｚβ２＋０．５５５
ｂ２β２－０．１１１ｂ２β２ｚ
ＨＱ＝－１０８＋２６．５ｚ＋１５．５ｂ２＋３．７７β２－０．９３２ｚ２－（１１）０．２８５ｂ２２－０．６５８ｂ２ｚ－０．３９７ｚβ２－
０．２３５ｂ２β２＋０．０３０６ｂ２β２ｚ
Ｈ１．２Ｑ＝－１２５＋２３．１ｚ＋７．１５ｂ２＋３．７６β２－０．６２ｚ２－（１２）０．１１７ｂ２ｚ－０．１３５ｚβ２－０．１０３ｂ２β２
通过对方程１、４、７、１０的判定系数０．８３２、０．８１７、０．７７２、０．８３６，方程２、５、８、１１的判定系数０．９８５、０．９５９、０．９６９、０．９８６，方程３、６、９、１２的判定系数０．９４１、０．９４８、０．９４３、０．９４８。对比不同方程的判定系数及数学模型表达式发现：因子平方项、因子间的交互效应的缺失都会降低数学模型的准确性，但是一些因子平方项、交互效应的缺少能够提高数学模型的准确性。相对于ＱＢＥＰ、１．２ＱＢＥＰ，０．３ＱＢＥＰ流量下的数学模型的判定系数较小，这是由于０．３ＱＢＥＰ流量下，扬程的数值模拟值变化范围较大导致的。
2.53因子2水平数试验设计的数学模型
因子的水平数对数学模型所需的样本数有很大的影响。对于３因子的完全析因试验设计，当因子的水平数为２时，需要８组试验，水平数为３时，需要２７组试验。为了研究因子的水平数对数学模型准确性的影响。通过两组不同的完全析因试验进行因子水平数及因子间交互效应对对数学模型准确性的影响。
叶轮Ａ几何参数选取２水平叶片数（４、６）、出口宽度（１２ｍｍ、１８ｍｍ）、出口角（１８°、３０°）进行完全析因试验。
叶轮Ｂ几何参数选取２水平包角φ（１４０°、１８０°）、出口宽度（１２ｍｍ、１８ｍｍ）、出口角（１８°、３０°）进行完全析因试验。
通过分析得到叶轮Ａ的Ｈ０．３Ｑ、ＨＱ、Ｈ１．２Ｑ与叶轮参数之间的数学模型为：
Ｈ０．３Ｑ＝７４．９＋７．９５ｚ－０．１０８３３３ｂ２＋２．４０４１７β２＋（１３）０．３７９２ｂ２ｚ－０．４２３ｚβ２
ＨＱ＝１６．１＋７．３７５ｚ＋３．８７５ｂ２＋２．１８７５β２＋（１４）０．１１６６６７ｂ２ｚ－０．１１５３ｂ２β２
Ｈ１．２Ｑ＝－１２８．６＋２４．３ｚ＋８．３２ｂ２＋３．４６４６β２－（１５）０．４５４２ｂ２ｚ－０．２１０４ｚβ２－０．０８２６４ｂ２β２
通过分析得到方程１０￣１２的判定系数分别为：０．９２８，０．９８３，０．９９２。
通过方程１、１３，方程２、１４，方程３、１５的判定系数对比发现：不同水平数之间，对于０．３ＱＢＥＰ、１．２ＱＢＥＰ，因子水平数的降低提高了数学模型的判定系数，因子水平数的减少提高了数学模型能够解释的扬程值的变异占扬程值的总体变异的比例。
通过分析得到叶轮Ｂ的Ｈ０．３Ｑ、ＨＱ、Ｈ１．２Ｑ与叶轮参数之间的数学模型为：
Ｈ０．３Ｑ＝１２８．４－０．３φ－１．６β２＋１．８１ｂ２＋０．０１φβ２（１６）＋０．００７φｂ２－０．００６β２ｂ２
ＨＱ＝１５３．８－１．０２φ－２．１２β２＋０．６３３ｂ２＋０．０３３φβ２（１７）＋０．０３２５φｂ２－０．０８７β２ｂ２
Ｈ１．２Ｑ＝２７４．２－２．４２φ－０．７１β２－３．６４ｂ２＋０．０５φβ２（１８）＋０．１φｂ２－０．３８β２ｂ２
不同流量下判定系数最高的数学模型为：
Ｈ０．３Ｑ＝１１３－０．２０６φ－１．５２β２＋３ｂ２＋０．０１φβ２（１９）
ＨＱ＝１７０．７２－１．０２φ－３．２５β２－０．６６７ｂ２＋０．０３３φβ２（２０）＋０．０３３φｂ２
通过对方程１６、１９的判定系数０．８３７、０．９４１，方程１７、２０的判定系数０．９、０．９３１进行对比发现：因子间交互效应项的减少能够提高数学模型的准确性。
3实验验证
为了验证数学模型（方程１～３、１３～１５）对扬程预测的准确性，设计新的叶轮并通过数学模型、数值模拟对其进行性能预测，并对得到的结果进行对比，以此来检验数学模型的准确性。
3.1几何参数的选取
方程１～１２是由叶轮几何参数（表４）通过ＤＯＥ分析得到。为了验证数学模型对扬程预测的有效性，因子的选取不同于表４所列的几何参数，因子的选取随机的分布于表４所选因子水平的最大值与最小值之间。因子的选取及数值模拟的预测结果见表７。
表７离心泵的几何参数和扬程
叶片数
Ｎｕｍｂｅｒ
ｚ
５
６
７
出口宽度
Ｏｕｔｌｅｔｗｉｄｔｈ
ｂ２／ｍｍ
１６
１４
１５
出口安放角
Ｏｕｔｌｅｔａｎｇｌｅ
β２／（°）
２６
２２
２４
０．３ＱＢＥＰ
１４５．６
１４７．９
１５４．９
ＱＢＥＰ
１３５．９
１３７．２
１４６．１
１．２ＱＢＥＰ
１１３．８
１０６．９
１３２．８
叶片参数Ｐａｒａｍｅｔｅｒｖａｌｕｅｓｏｆｂｌａｄｅ扬程Ｈｅａｄ／（ｍ）
3.2预测结果分析
通过数学模型１～３、１３～１５得到预测结果、数值模拟预测的结果如下：
对于０．３ＱＢＥＰ，不同预测方法得到的结果，见表８。
表８０．３ＱＢＥＰ流量下不同方法得到的扬程值
叶片数Ｎｕｍｂｅｒ
ｚ
５
６
７
出口宽度
Ｏｕｔｌｅｔｗｉｄｔｈ
ｂ２／ｍｍ
１６
１４
１５
出口安放角
Ｏｕｔｌｅｔａｎｇｌｅ
β２／（°）
２６
２２
２４
模拟值
Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ
１４５．６
１４７．９
１５４．９
方程１
Ｅｑｕａｔｉｏｎ１
１５２．０
１５０．１
１５７．４
方程１０
Ｅｑｕａｔｉｏｎ１０
１５０．０
１４９．１
１５４．３
叶片参数Ｐａｒａｍｅｔｅｒｖａｌｕｅｓｏｆｂｌａｄｅ扬程Ｈｅａｄ／（ｍ）
通过表８对比发现：对于０．３ＱＢＥＰ流量点的扬程预测，相对于方程１得到的预测值，方程１３得到预测值更接近于模拟值，最大误差３％。通过方程１、１０的判定系数０．８３２、０．９２８可知，数学模型的判定系数越接近于１，其对扬程预测的有效性越高。
对于ＱＢＥＰ，不同预测方法得到的结果，见表９。
表９ＱＢＥＰ流量下不同方法得到的扬程值
叶片数Ｎｕｍｂｅｒ
ｚ
５
６
７
出口宽度
Ｏｕｔｌｅｔｗｉｄｔｈ
ｂ２／ｍｍ
１６
１４
１５
出口安放角
Ｏｕｔｌｅｔａｎｇｌｅ
β２／（°）
２６
２２
２４
模拟值
Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ
１３５．９
１３７．２
１４６．１
方程２
Ｅｑｕａｔｉｏｎ２
１３５．６
１３７．１
１４７．１
方程１４
Ｅｑｕａｔｉｏｎ１１
１３３．２
１３７．０
１４９．１
叶片参数Ｐａｒａｍｅｔｅｒｖａｌｕｅｓｏｆｂｌａｄｅ扬程Ｈｅａｄ／（ｍ）
通过表９对比发现：对于ＱＢＥＰ流量点的扬程预测，方程２具有较高的预测精度，最大误差０．７％。通过方程２、１４的判定系数０．９８５、０．９８３比较，方程２的判定系数大于方程１１，验证了方程２对能够对ＱＢＥＰ流量下的扬程进行准确预测。
对于１．２ＱＢＥＰ，不同预测方法得到的结果见表１０。
表１０１．２ＱＢＥＰ流量下不同方法得到的扬程值
叶片数Ｎｕｍｂｅｒ
ｚ
５
６
７
出口宽度
Ｏｕｔｌｅｔｗｉｄｔｈ
ｂ２／ｍｍ
１６
１４
１５
出口安放角
Ｏｕｔｌｅｔａｎｇｌｅ
β２／（°）
２６
２２
２４
模拟值
Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ
１１３．８
１０６．９
１３２．８
方程３
Ｅｑｕａｔｉｏｎ３
１１７．０
１１４．０
１３１．４
方程１５
Ｅｑｕａｔｉｏｎ１２
１１８．０
１１８．５
１３６．７
叶片参数Ｐａｒａｍｅｔｅｒｖａｌｕｅｓｏｆｂｌａｄｅ扬程Ｈｅａｄ／（ｍ）
通过表１０对比发现，方程３得到的预测值更接近于模拟值。虽然方程１５的判定系数最大（Ｒ＝０．９９２），相对于０．３ＱＢＥＰ、ＱＢＥＰ流量下的扬程预测，１．２ＱＢＥＰ流量下的扬程预测存在较大的误差，通过分析发现是由于ＣＦＤ在对１．２ＱＢＥＰ的扬程进行预测时，软件系统内的计算误差较大导致的。
通过对预测结果分析的比较发现：对于０．３ＱＢＥＰ、ＱＢＥＰ流量下的扬程预测，判定系数较大的数学模型具有更好的准确性。不同数学模型之间准确性的比较可通过数学模型的判定系数Ｒ来比较。在不进行性能试验的情况下，可以通过准确的数学模型对离心泵的性能进行预测。
4结语
①在数学模型建立的过程中，因子的水平数、平方项、交互效应项对数学模型的准确性有重要影响。
②对于０．３ＱＢＥＰ、ＱＢＥＰ流量下的扬程预测，通过判定系数较高的数学模型能够对扬程进行有效的预测且误差均小于３％。可以通过数学模型的判定系数Ｒ的大小来判断数学模型准确性。
③３因子２水平试验设计，水平数的减少，因子平方项、交互效应项的缺少对一些数学模型能够提高数学模型的准确性。
④在不进行试验、数值模拟的情况下，可以通过已建立的准确的数学模型对离心泵进行更进一步的多工况优化及设计。
参考文献：
［１］袁寿其，施卫东，刘厚林，等．泵理论与技术［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２０１４．
［２］李永鹏，陈辉，王文廷，等．多工况高抗汽蚀性能的诱导轮设计［Ｊ］．排灌机械工程学报，２０１４，（１１）．
［３］张人会，郭苗，杨军虎，等．基于伴随方法的离心泵叶轮优化设计［Ｊ］．排灌机械工程学报，２０１４，（１１）．
［４］袁寿其．低比速离心泵理论与设计［Ｍ］．北京：机械工业出版社，１９９６．［５］关醒凡．现代泵理论与设计［Ｍ］．北京：中国宇航出版社，２０１１．
［６］袁寿其，付强，朱荣生．核电站离心式上充泵多工况水力设计［Ｊ］．排灌机械工程学报，２０１０，（３）．
［７］王凯，刘厚林，袁寿其．离心泵多工况水力设计方法［Ｊ］．华中科技大学学报，２０１２，（５）．
［８］王凯，刘厚林，袁寿其，等．离心泵多工况水力性能优化设计方法［Ｊ］．排灌机械工程学报，２０１２，（１）．
［９］何为，薛卫东，唐斌．优化试验设计方法及数据分析［Ｍ］．北京：化学工业出版社，２０１２．
［１０］李红，杨兴标，李磊，等．基于析因试验设计的喷滴灌两用自吸泵设计［Ｊ］．农业工程学报，２０１４，（１５）．
［１１］丁源．ＡＮＳＹＳＩＣＥＭＣＦＤ从入门到精通［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１３．
［１２］张德胜，潘大志，施卫东，等．轴流泵叶顶区的空话流场与叶片载荷分布特性［Ｊ］．化工学报，２０１４，（２）．
［１３］沈艳宁，袁寿其，陆伟刚，等．复合叶轮离心泵数值模拟正交试验设计方法［Ｊ］．农业机械学报，２０１０，（９）．
［１４］高雄发，施卫东，张德胜，等．基于ＣＦＤ正交试验的旋流泵优化设计与试验［Ｊ］．农业机械学报，２０１４，（５）．
［１５］曹卫东，刘光辉，刘冰．两级离心泵径向导叶水力优化［Ｊ］．排灌机械工程学报，２０１４，（８）．
［１６］陈刻强，施卫东，张德胜．不同前缘后掠角的双叶片污水泵性能模拟与试验［Ｊ］．农业工程学报，２０１４，（１９）．
［１７］施卫东，程成，张德胜．后掠式双叶片污水泵优化设计与试验［Ｊ］．农业工程学报，２０１４，（１８）．
［１８］闵亚能．实验设计（ＤＯＥ）应用指南［Ｍ］．北京：机械工业出版社，２０１１．［１９］陈刻强，施卫东，张德胜．不同前缘后掠角的双叶片污水泵性能模拟与试验［Ｊ］．农业工程学报，２０１４，（１９）．
［２０］施卫东，程成，张德胜．后掠式双叶片污水泵优化设计与试验［Ｊ］．农业工程学报，２０１４，，（１８）．
［２１］闵亚能．实验设计（ＤＯＥ）应用指南［Ｍ］．．北京：机械工业出版社，２０１１．
多级泵的结构图展示及原理介绍
多级泵的结构图展示及原理介绍 多级泵主要由定子、转子、轴承和轴封四大部分组成： 1、多级泵定子部分主要由吸入段、中段、吐出段和导叶等组成，有拉紧螺栓将各段夹紧，构成工作室。D 型多级泵泵一般水平吸入，垂直向上吐出;用于是油田注水时，泵进出口均垂直向上。DG 型多级泵出、入口均垂直向上。 2、多级泵转子部分主要由轴、叶轮、平衡盘和轴套等组成。轴向力由平衡盘平衡。 3、多级泵轴承主要由轴承体、轴承和轴承压盖等组成，轴承用油脂或稀油润滑。 4、多级泵轴封采用软填料密封，主要由进水段和尾盖上的密封函体、填料、挡水圈等组成。D 型多级泵泵水封水来源于泵内的压力水。DG 型多级泵泵水封水来源于外部供水。 5、多级泵转动泵通过弹性联轴器由原动机直接驱动。从原动机端看泵，泵为顺时针方向旋转D 、DG 型多级泵泵是卧式单吸多级节段式离心泵。供输送清水(含杂质量小于1% ，颗粒度小于0.1mm )或物理化学性质类似于水的其它液体。D 型多级泵泵输送介质温度小于80℃，适用于矿山排水、油田注水、工厂和城市给、排水等场合。油田注水泵根据介质的腐蚀性，泵采用不同的材质。DG 型泵输送介质温度小于105℃，适用于各种锅炉给水。
多级泵与单级泵有什么区别? 1、单级泵是指只有一只叶轮的泵，最高扬程只有125米; 2、多级泵是指有两只或两只以上叶轮的泵，最高扬程可以超过125米;多级泵在单级泵扬程需要必须配两级电机的情况下，可以通过增加叶轮个数来配用四级电机，从而可以提高泵使用寿命和降低机组噪音，但是多级泵维修相对单级泵来说要困难一点。 3、在泵实际需要扬程小于125米时，可根据泵房面积、泵价格(多级泵一般比单级泵价格偏高)、等因素综合考虑该选用单级泵还是多级泵。 随着技术的进步，单级叶轮的泵可通过提高泵的转速来提高泵的扬程，可代替多级泵， 只是价格贵一点。
多级离心泵结构
D型泵系多级离心泵 一、概述 D型泵系多级、节段式离心清水泵，适用于矿山、工厂及城市给水、排水用。供输送不含固体颗粒及磨料。不含悬浮物的清水，或物理化学性质类似于清水的其它液体。被输送液体温度在-20℃~80℃。 二、型号说明 1）例150D30X5 150—泵吸入口直径（mm） D—多级、节段式离心清水泵 30—单级扬程为30m 5—泵级数为5级 2）例D280-43X5 D—多级、节段式离心清水泵 280—泵的流量（m3/h） 43—单级扬程为43m 5—泵级数为5级 三、结构说明 1、泵壳体部分 泵壳体部分主要由轴承、前段、中段、后段、导叶等用螺栓联接成整体， 前段吸入口中线呈水平线，后段吐出口中线与水平垂直。 2、转子部分 转子部分主要由轴承及安装在轴上的叶轮、轴套、平衡盘等零件组成。轴上零件用平键和轴套螺母紧固使之与轴成为一体。整个转子由两端轴承支承在泵壳体上，转子部分的叶轮数目是根据泵的级数而定。 3、轴承部分 本D型泵轴承有滑动轴承和滚动轴承两种，按型号不同而定，均不承受轴向力。泵在运行中应当允许转子部分在泵壳体中轴向游动，不能采用向心轴承。
4、泵的密封 泵的前段、中段、后段之间密封面均采用二硫化钼润滑脂密封，转子部分与固定部分之间靠密封环、导叶套、填料密封，当密封环和导叶套的磨损程度已影响泵的工作和性能时应予及时更换。 5、平衡机构 平衡机构由平衡环、平衡盘、平衡套等组成，平衡机构用于平衡泵的轴向力。在下述操作程序中，请注意“警告”、“小心”、“注意”标记词，这些词旨在强调人身安全和恰当的操作方法及维修方面的重点，其词义解释如下： 警告：操作程序、习惯等若违背，可能引起人身伤亡事故 小心：操作程序、习惯等若违背，可能引起对设备的损坏 注意：操作程序、条件等应引起高度重视 四、到货检查 到货后，应立即对设备进行验收，因装运引起的任何缺陷应立即报告给承运人。说明书文本和其它部件（如电机）的说明书及装箱单应存放在一个安全方便的地方以供随时参考。 五、泵的装配和拆卸 1、泵的装配本D型泵装配质量的好坏直接影响泵能否正常运行，并影响泵的使用寿命和性能参数；影响机组的振动和噪音，装配中应注意以下几点： a、固定部分各零件组合后的同心度靠零件制造精度和装配质量来保证，应保证零件的加工精度和表面粗糙度，不允许碰、划伤。作密封剂用的二硫化钼应干净。紧固用的螺钉、螺栓应当受力均匀。 b、叶轮出口流道与导叶进口流道的对中性是依靠各零件的轴向尺寸来保证。流道对中性的好坏直接影响泵的性能，故泵的尺寸不能随意调整。 c、泵装配完毕后，未装填料前，用手转动泵转子，检查泵转子在壳体内旋转是否灵活，轴向窜动是否达到规定要求。 d、上述检查符合要求后，在泵两端轴封处加入填料，注意填料环在填料室中的相对位置。 2、泵的拆卸 a、拆卸要与装配相反的顺序进行，拆卸时应严格保护零件的制造精度不受
《数学模型》
《数学模型》考试大纲 适应专业：数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、应用统计学专业 一、课程性质与目的要求 数学模型课亦称为数学建模课，它是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、应用统计学专业必修课或限选课，教育部1998年颁布的高等学校本科专业目录中，把“数学模型”课作为数学类专业的必开课。数学模型是架于实际问题与数学理论之间的桥梁。数学模型就是应用数学语言和方法，对于现实世界中的实际问题进行抽象、简化和假设所得到的数学结构。本课程是研究数学建模的理论、思想和方法，研究建立数学模型、简单的优化模型、数学规划模型、微分方程模型、代数方程与差分方程模型、稳定性模型、离散模型、概率模型等。 数学模型课需要用到数学分析、高等代数、微分方程、图论、概率统计、运筹学等数学知识，它是学生所学数学知识的综合应用，是培养学生综合素质以及应用数学知识解决实际问题的能力的良好课程。该课程的考试评价依据是按照课程目标、教学内容和要求，把握合适的难易程度出试卷，用笔试的方法对学生学习情况和学习成绩做出评价。 二、课程内容和考核要求 第一章建立数学模型 １、考核知识点： 数学建模的背景及重要意义、数学模型与数学建模、数学模型的分类与特点、数学建模的基本方法和步骤、数学建模举例等。 ２、考核要求： （1）理解数学建模的背景及意义、原型、模型、数学模型、数学建模等概念。 （2）理解数学模型的各种分类、数学模型的特点。 （3）理解数学建模的基本方法和步骤、通过实例初步了解数学建模的思想和方法。 第二章简单的优化模型 １、考核知识点： 存储模型、生猪的出售时机、森林救火、冰山运输等。
２、考核要求： （1）掌握应用微积分理论建立存储问题模型。 （2）理解应用微积分理论建立生猪的出售时机模型和森林灭火模型。 （3）理解应用微积分理论建立冰山运输问题模型。 第三章数学规划模型 １、考核知识点： 数学规划问题的基本概念、数学规划问题图解法步骤、生产安排问题、奶制品的生产与销售等。 ２、考核要求： （1）掌握数学规划问题的基本概念、数学规划问题图解法步骤。 （2）掌握生产安排问题的模型及图解法。 （3）理解奶制品的生产与销售的模型及求解。 第四章微分方程模型 １、考核知识点： 传染病模型、正规战与游击战、药物在体内的分布与排除、香烟过滤嘴的作用等。 ２、考核要求： （1）理解传染病问题的建模及讨论。 （2）理解战争问题、房室问题的建模及讨论。 （3）了解香烟过滤嘴作用问题的建模及讨论。 第五章代数方程与差分方程模型 １、考核知识点： 量纲、量纲齐次原理、量纲分析法、差分方程的基本概念、市场经济中蛛网模型、节食与运动问题等。 ２、考核要求： （1）掌握量纲、量纲齐次原理、量纲分析法建模及解法步骤。 （2）掌握市场经济中蛛网模型及解法步骤。 （3）理解理解差分方程的基本概念、减肥问题的建模思想。 第六章稳定性模型
DYDG型卧式多级离心泵安装使用说明书
DYDG型多级离心泵安装使用说明书 凯利特泵业 二O一二年十二月
一、概述 DYDG型泵系多级、节段式离心清水泵，适用于矿山、工厂及城市给水、排水用。供输送不含固体颗粒及磨料。不含悬浮物的清水，或物理化学性质类似于清水的其它液体。被输送液体温度在-20℃~80℃。 二、型号说明 例DYDG 85-45X8 DYDG—多级、节段式离心清水泵 85—泵的流量（m3/h） 45—单级扬程为45m 8—泵级数为8级 三、结构说明 1、泵壳体部分 泵壳体部分主要由轴承、前段、中段、后段、导叶等用螺栓联接成整体， 前段吸入口中线呈水平线，后段吐出口中线与水平垂直。 2、转子部分 转子部分主要由轴承及安装在轴上的叶轮、轴套、平衡盘等零件组成。轴上零件用平键和轴套螺母紧固使之与轴成为一体。整个转子由两端轴承支承在泵壳体上，转子部分的叶轮数目是根据泵的级数而定。 3、轴承部分 本DYDG型泵轴承有滑动轴承和滚动轴承两种，按型号不同而定，均不承受轴向力。泵在运行中应当允许转子部分在泵壳体中轴向游动，不能采用向心轴承。 4、泵的密封 泵的前段、中段、后段之间密封面均采用二硫化钼润滑脂密封，转子部分与固定部分之间靠密封环、导叶套、填料密封，当密封环和导叶套的磨损程度已影响泵的工作和性能时应予及时更换。 5、平衡机构 平衡机构由平衡环、平衡盘、平衡套等组成，平衡机构用于平衡泵的轴向力。 在下述操作程序中，请注意“警告”、“小心”、“注意”标记词，这些词旨在强调人身安全和恰当的操作方法及维修方面的重点，其词义解释如下：
警告：操作程序、习惯等若违背，可能引起人身伤亡事故。 小心：操作程序、习惯等若违背，可能引起对设备的损坏。 注意：操作程序、条件等应引起高度重视。 四、到货检查 到货后，应立即对设备进行验收，因装运引起的任何缺陷应立即报告给承运人。说明书文本和其它部件（如电机）的说明书及装箱单应存放在一个安全方便的地方以供随时参考。 五、泵的装配和拆卸 1、泵的装配本DYDG型泵装配质量的好坏直接影响泵能否正常运行，并影响泵的使用寿命和性能参数；影响机组的振动和噪音，装配中应注意以下几点： a、固定部分各零件组合后的同心度靠零件制造精度和装配质量来保证，应保证零件的加工精度和表面粗糙度，不允许碰、划伤。作密封剂用的二硫化钼应干净。紧固用的螺钉、螺栓应当受力均匀。 b、叶轮出口流道与导叶进口流道的对中性是依靠各零件的轴向尺寸来保证。流道对中性的好坏直接影响泵的性能，故泵的尺寸不能随意调整。 c、泵装配完毕后，未装填料前，用手转动泵转子，检查泵转子在壳体旋转是否灵活，轴向窜动是否达到规定要求。 d、上述检查符合要求后，在泵两端轴封处加入填料，注意填料环在填料室中的相对位置。 2、泵的拆卸 a、拆卸要与装配相反的顺序进行，拆卸时应严格保护零件的制造精度不受损伤。 b、拆卸穿杆时应当先将各中段用垫垫起，以免各中段止口松动后下沉将轴压弯。 六、泵的安装 本DYDG型泵安装时除满足一般安装技术要求外，还应当注意以下几点： 1、电机与水泵组合安装时，应当将泵联轴器端的轴向外拉出，并再留2-3mm端面间隙值，以保证泵和电机两联轴器之间的轴向间隙值。 注意：确定底板调平，设备水平度良好后再进行灌浆。 小心：为使安装成功，联轴器调整必须正确，挠性联轴器不能补偿任何明
数学建模范例
前两页空白且不编页码
从该页开始编页码摘要 本文在依照电力市场交易原则和输电阻塞管理原则的前提下，通过多元线性回归分析、目标规划等方法，对电力市场的输电阻塞管理问题进行了研究。 问题1中，通过对散点图进行分析，可以得到所有机组出力值都与各线路的有功潮流值存在线性关系。于是，我们利用多元线性回归分析模型，分别得到6条线路的有功潮流与8个机组出力的带有常数项的线性表达式，其中，模型中的参数用最小二乘法估计，并进行了检验，证明函数关系可行。 问题2中，通过分析可知，阻塞费用主要是包括两部分，分别是序内容量不能出力的部分和报价高于清算价的序外容量出力的部分。“公平对待”就理解为电网公司赔偿两者在交易中所有的收入损失，从而制定出了阻塞费用的计算规则和公式。 针对问题3，为了下一个时段各机组的出力分配预案，我们按照电力市场规则，以在各机组出力存在上下极限（受爬坡速率影响）和机组出力值之和必须满足预报负荷为约束条件，以购电费用最少为目标函数，建立线性规划模型。最终各机组的出力分配预案为： 机组1 机组2 机组3 机组4 机组5 机组6 机组7 机组8 150 79 180 99.5 125 140 95 113.5 按照此出力分配预案，清算价为303元/兆瓦小时，购电费用为74416.8元。 问题4中，把问题3的计算数据代入问题4，通过问题1所得函数关系的计算易知部分线路出现阻塞，需调整出力方案。于是，我们以在各条线路上的有功潮流的绝对值不超出限值，各机组出力在其上下极限范围内以及机组出力值之和必须满足预报负荷为约束条件，以阻塞费用最低为目标函数，建立非线性目标规划模型，得到调整之后的出力分配方案为： 机组1 机组2 机组3 机组4 机组5 机组6 机组7 机组8 150.1 88 228 82.3 152 95 70.1 117 此时，清算价为303元/兆瓦小时，购电费用为74416.8元，阻塞费用为4619元。 针对问题5，重复问题3、4的工作。但因其预报负荷较大，无法输电阻塞消除，需将安全裕度纳入考虑范围之内。于是，根据安全且经济的原则的原则，以各条线路上的有功潮流的绝对值不超出安全裕度上限，各机组出力在其上下极限范围内以及机组出力值之和必须满足预报负荷为约束条件，以每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比最小和阻塞费用最低为目标函数，建立双目标规划模型，并利用加权法进行求解。调整之后的方案为： 机组1 机组2 机组3 机组4 机组5 机组6 机组7 机组8 153 88 188.2 99.5 150 155 102.1 117 此时，清算价为356元/兆瓦小时，购电费用为93699.2元，阻塞费用为1310.2元。 关键词：多元线性回归分析；最优解；非线性规划；多目标规划
D型卧式多级离心泵使用说明书
D、DG系列 多级离心清水泵使用说明书河北高通泵业有限公司
一、概述 D、DG型泵系多级、节段式离心清水泵，适用于矿山、工厂及城市给水、排水用。供输送不含固体颗粒及磨料。不含悬浮物的清水，或物理化学性质类似于清水的其它液体。被输送液体温度在-20℃~80℃。 二、型号说明 1）例150D/DG30X5 150—泵吸入口直径（mm） D、DG—多级、节段式离心清水泵 30—单级扬程为30m 5—泵级数为5级 2）例D/DG 280-43X5 D/DG—多级、节段式离心清水泵 280—泵的流量（m3/h） 43—单级扬程为43m 5—泵级数为5级 三、结构说明 1、泵壳体部分 泵壳体部分主要由轴承、前段、中段、后段、导叶等用螺栓联接成整体，前段吸入口中线呈水平线，后段吐出口中线与水平垂直。 2、转子部分 转子部分主要由轴承及安装在轴上的叶轮、轴套、平衡盘等零件组成。轴上
零件用平键和轴套螺母紧固使之与轴成为一体。整个转子由两端轴承支承在泵壳体上，转子部分的叶轮数目是根据泵的级数而定。 3、轴承部分 本D、DG型泵轴承有滑动轴承和滚动轴承两种，按型号不同而定，均不承受轴向力。泵在运行中应当允许转子部分在泵壳体中轴向游动，不能采用向心轴承。 4、泵的密封 泵的前段、中段、后段之间密封面均采用二硫化钼润滑脂密封，转子部分与固定部分之间靠密封环、导叶套、填料密封，当密封环和导叶套的磨损程度已影响泵的工作和性能时应予及时更换。 5、平衡机构 平衡机构由平衡环、平衡盘、平衡套等组成，平衡机构用于平衡泵的轴向力。
在下述操作程序中，请注意“警告”、“小心”、“注意”标记词，这些词旨在强调人身安全和恰当的操作方法及维修方面的重点，其词义解释如下： 警告：操作程序、习惯等若违背，可能引起人身伤亡事故 小心：操作程序、习惯等若违背，可能引起对设备的损坏 注意：操作程序、条件等应引起高度重视 四、到货检查 到货后，应立即对设备进行验收，因装运引起的任何缺陷应立即报告给承运人。说明书文本和其它部件（如电机）的说明书及装箱单应存放在一个安全方便的地方以供随时参考。 五、泵的装配和拆卸 1、泵的装配本D、DG型泵装配质量的好坏直接影响泵能否正常运行，并影响泵的使用寿命和性能参数；影响机组的振动和噪音，装配中应注意以下几点： a、固定部分各零件组合后的同心度靠零件制造精度和装配质量来保证，应保证零件的加工精度和表面粗糙度，不允许碰、划伤。作密封剂用的二硫化钼应干净。紧固用的螺钉、螺栓应当受力均匀。 b、叶轮出口流道与导叶进口流道的对中性是依靠各零件的轴向尺寸来保证。流道对中性的好坏直接影响泵的性能，故泵的尺寸不能随意调整。 c、泵装配完毕后，未装填料前，用手转动泵转子，检查泵转子在壳体内旋转是否灵活，轴向窜动是否达到规定要求。 d、上述检查符合要求后，在泵两端轴封处加入填料，注意填料环在填料室中的相对位置。 2、泵的拆卸 a、拆卸要与装配相反的顺序进行，拆卸时应严格保护零件的制造精度不
初中数学建模案例41374
中学数学建模论文指导 中学阶段常见的数学模型有：方程模型、不等式模型、函数模型、几何模型和统计模型等。我们也把运用数学模型解决实际问题的方法统称为应用建模。可以分五种模型来写。论文最好自己写，如果是参加竞赛的话从网上找的会被搜出来的。 一、建模论文的标准组成部分 建模论文作为一种研究性学习有意义的尝试，可以锻炼学生发现问题、解决问题的能力。一般来说，建模论文的标准组成部分由论文的标题、摘要、正文、结论、参考文献等部分组成。现就每个部分做个简要的说明。 1. 题目 题目是给评委的第一印象，所以论文的题目一定要避免指代不清，表达不明的现象。建议将论文所涉及的模型或所用的计算方式写入题目。如“用概率方法计算商场打折与返券的实惠效应”。 2. 摘要 摘要是论文中重要的组成部分。摘要应该使用简练的语言叙述论文的核心观点和主要思想。如果你有一些创新的地方，一定要在摘要中说明。进一步，必须把一些数值的结果放在摘要里面，例如：“我们的最终计算得出，对于消费者来说，打折比返券的实惠率提高了23%。”摘要应该最后书写。在论文的其他部分还没有完成之前,你不应该书写摘要。因为摘要是论文的主旨和核心内容的集中体现，只有将论文全部完成且把论文的体系罗列清楚后，才可写摘要。 摘要一般分三个部分。用三句话表述整篇论文的中心。 第一句，用什么模型，解决什么问题。 第二句，通过怎样的思路来解决问题。 第三句，最后结果怎么样。 当然，对于低年级的同学，也可以不写摘要。 3. 正文 正文是论文的核心，也是最重要的组成部分。在论文的写作中，正文应该是从“提出问题—分析问题—选择模型—建立模型—得出结论”的方式来逐渐进行的。其中，提出问题、分析问题应该是清晰简短。而选择模型和建立模型应该是目标明确、数据详实、公式合理、计算精确。在正文写作中，应尽量不要用单纯的文字表述，尽量多地结合图表和数据，尽量多地使用科学语言，这会使得论文的层次上升。 4. 结论 论文的结论集中表现了这篇论文的成果，可以说，只有论文的结论经得起推敲，论文才可以获得比较高的评价。结论的书写应该注意用词准确，与正文所描述或论证的现象或数据保持绝对的统一。并且一定要对结论进行自我点评，最好是能将结论推广到社会实践中去检验。 5. 参考资料 在论文中，如果使用了其他人的资料。必须在论文后标明引用文章的作者、应用来源等信息。 二、建模论文的写作步骤 1. 确定题目 选择一个你感兴趣的生活中的问题作为研究对象，并根据研究对象设置论文题目。最好是找一位或几位老师帮助安排研究课题。在确定好课题后，应该写一个写作计划给指导老师看看，并征求他们对该计划的建议。 2. 开展科研课题
数学建模进行投资最优化
. . 资产最优组合 摘要 本文在充分分析数据的基础上，运用了模糊评价评估产品近期表现的优劣性，利用线性规划模型对多种金融产品进行组合，得到最优解，最后对模型进行评价。 问题一：基于模糊评价模型。本文使用累计收益率、本月平均涨幅、β系数（风险指标）3个指标，建立评估模型，来评估金融产品近期的优劣性表现。首先用层次分析法给出各项评估指标的权重并进行对指标一致性检验，再用熵权法对权重值进行修正；然后建立评估模型，利用模糊评价法得出景顺长城需增长、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币、工银货币、华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、*ST 中华A （ST 型）、国债⑺、万业债的模糊评估指标分别为 [] 0.00971 0.00484 0.00072 0.00090 0.34040 0.45785 0.17205 0.00332 0.01022通过以上数据比较可知，股票的表现明显优于债券和基金。 问题二：首先构建线性规划模型，通过收益最大目标函数和约束条件，求解出最优产品组合。其次求解收益对应的β系数，绘出收益和风险的折线图。根据图示，找到风险变化一单位得到最大收益处的值，得到最优解：选择华能国际（稳健型）、万向钱潮（波动型）、国债⑺、万业债、中邮战略新兴产业、华夏现金增利货币的投资量为：3716.556、3752.874、3819.063、52.10025、109.8907、541.8917、41.32636 问题三：本文在对选取的指标运用层次分析法赋予权重后，用熵权法对权值进行修正，使权值更为准确。同时，利用综合评价得出产品的近期优劣性表现。但是，本文β系数求解考虑较为单一，β系数的计算公式可以根据产品公司进行修改。 本文运用EXCEL 统计了大量数据，利用SPSS 软件进行数据分析，使用MATLAB 进行模型求解，使得模型更具合理性，可行性和科学性。 关键词：层次分析，一致性检验，熵值取权，模糊评价， 线性规划
多级泵结构图
D型多级泵结构图 技术交流2010-04-27 22:57:24 阅读138 评论0 字号：大中小 D型多级离心泵的结构图 不锈钢多级泵、长沙不锈钢多级泵、湖南不锈钢多级泵的性能结构说明 参数范围: 流量Q 55~175m3/h 扬程H 165~684m DF型不锈钢多级泵系单吸\多吸\节段式耐腐蚀离心泵,适用于输送不含固体颗粒的腐蚀性液体，泵进口压力不得超过0.59MPA（6KGF/CM2）。被输送介质的温度为-20℃~105℃ 不锈钢多级泵的泵壳可在轴线处轴向拆开；吸入口水平，吐出口垂直向上，与轴心线垂直。从驱动端方向看，水
泵旋向为顺时针方向，根据用户需要也可生产逆时针方向旋转的，用户可在定货时特别提出。 泵体与泵盖构成叶轮的工作室，在进、出水法兰上制有安装真空表和压力表的管螺孔，泵体下部制有放余水的管螺孔。 叶轮为单吸闭式，设置平衡盘平衡绝大部分轴向力，可能残存的小部分轴向力则由轴端的轴承承受。叶轮及转子部件在装配前均须作严格的静平衡校验，以保证运行的平稳。 泵轴由两个单列向心球轴承支承，轴承装在泵悬架中的轴承体内，用脂或稀油润滑。轴承的布置使轴处于稳定的拉杆状态。 在泵体上设有密封环，可以减少泵的级间漏损，提高泵的容积效率；另一方面也可以避免高压水回流入吸入室，扰乱进水流场，可以保证水泵的吸入性能。 不锈钢多级泵的过流部件材质为铸钢、铸不锈钢两类。如用户有特殊要求，订货时可向厂家提出。）DF型泵成套供应电机，本身底座。另外，厂主还提供备件（其中有叶轮、轴套、密封环、导叶套、平衡盘、平衡环）。 轴封一般为软填料密封，水泵工作时可引少量介质至填料函处，也可外接冷却润滑水，起水封及冷却润滑作用，订货时，就根据输送介质的名称、浓度泵进口压力、使用温度对材质的腐蚀程度，合理选用泵的材质及密封形式。 D、DG型卧式多级离心泵结构图：
D型卧式多级离心泵使用说明书
D、DG 系列 多级离心清水泵 使用说明书 河北高通泵业有限公司 一、概述 D、DG 型泵系多级、节段式离心清水泵，适用于矿山、工厂及城市给水、排水用。供输送不含固体颗粒及磨料。不含悬浮物的清水，或物理化学性质类似于清水的其它液体。被输送液体温度在-20℃~80℃。
二、型号说明 1）例150D/DG30X5 150 —泵吸入口直径（mm） D 、DG—多级、节段式离心清水泵 30 —单级扬程为30m 5 —泵级数为5 级 2）例D/DG 280-43X5 D/DG—多级、节段式离心清水泵 280—泵的流量（m3/h） 43 —单级扬程为43m 5 —泵级数为5 级 三、结构说明 1、泵壳体部分 泵壳体部分主要由轴承、前段、中段、后段、导叶等用螺栓联接成整体，前段吸入口中线呈水平线，后段吐出口中线与水平垂直。 2、转子部分 转子部分主要由轴承及安装在轴上的叶轮、轴套、平衡盘等零件组成。轴上零件用平键和轴套螺母紧固使之与轴成为一体。整个转子由两端轴承支承在泵壳体上，转子部分的叶轮数目是根据泵的级数而定。 3、轴承部分
本 D 、DG 型泵轴承有滑动轴承和滚动轴承两种，按型号不同而定，均不承受轴向力。泵在运行中应当允许转子部分在泵壳体中轴向游动，不能采用向心轴承。 4、泵的密封 泵的前段、中段、后段之间密封面均采用二硫化钼润滑脂密封，转子部分与固定部分之间靠密封环、导叶套、填料密封，当密封环和导叶套的磨损程度已影响泵的工作和性能时应予及时更换。 5、平衡机构 平衡机构由平衡环、平衡盘、平衡套等组成，平衡机构用于平衡泵的轴向力。
穿杠螺母、穿杠进水段进水段密封环导叶套中段中段密封环叶轮导叶未导叶 填料 环 轴承 体 挡水 圈轴承挡 套 有孔轴承 端盖锁坚螺 母 iΞJ 尾 盖 平衡 环 平衡 套 轴套 乙 无孔轴 承盖 平衡 盘 出水段平衡水 管 填料压盖/ 填料/轴套甲/首级叶 轮D型滚动轴承 结构图
立式多级离心泵概述及原理
立式多级离心泵概述及原理 一、立式多级离心泵产品概述： 立式多级离心泵是采用国家推荐使用的高效节能产品IS型泵的水力模型，为立式多级多节段式结构。螺杆把进水段、中段、出水段夹紧联成一体。水泵每一级装一个叶轮、一个导水叶。 轴向力采用水力平衡法解决，残余轴向力由球轴轴承承受，用油脂润滑。轴封采用软填料或机械密封。产品执行JB/T2727-93 《立式多级离心泵型式与基本参数》标准，主要供吸送稀释的、清洁的、不腐蚀的、不爆炸的清水及物理化学性质类似水的不含固体颗粒或纤维的液体。 立式多级离心泵采用计算机设计和优化处理，拥有雄厚的技术力量、丰富的生产经验和完善的检测手段，从而产品质量的稳定可靠。 二、立式多级离心泵适用范围： 广泛应用于高层建筑的消防、生活供水以及空调机组循环、冷却水输送。 三、立式多级离心泵产品特点： 1、水力模型先进：效率高，性能范围广。 2、结构新颖，运行可靠：取消了平衡鼓，其轴向力采用水力平衡，彻底解决了平衡鼓易锈蚀、易咬死、易磨损的问题，保证了运行更加可靠。 3、更少的运行、维修费用：采用优质机械密封，耐磨损、无泄漏、使用寿命长，故障率低，具有更少的运行维修费用。 4、运行平稳，噪音低：采用低转速电机，使泵运行平稳，噪音更低。 5、立式结构，占地面积小。
四、立式多级离心泵技术参数： 流量：4.2-504m3/h； 扬程：24-240m； 功率：1.5-450kw； 转速：1480r/min； 口径：φ40-φ250； 温度范围：0-+90℃； 工作压力：≤2.4Mpa。五、立式多级离心泵型号意义：
六、立式多级离心泵适用范围： 广泛应用于高层建筑的消防、生活供水以及空调机组循环、冷却水输送。
一个中学数学建模的简要案例--------教育储蓄问题
一个中学数学建模的简要案例--------教育储蓄问题 我们以高中数学教学为背景, 介绍一个数学建模的教学的设计,它的问题设计是利用“教育储蓄”的素材，学习和应用数列和数列求和的知识。它的教学目的是：使学生初步了解用数学建模方法解决生活中实际问题的过程，体会所学数学知识的应用价值和数学理论由于它的一般性和抽象性所带来的应用的广泛性。培养学生关注并能发现生活中常见现象中的数学因素、数学问题，主动应用自己所学的数学知识去概括、抽象、解决问题的意识。 由于教育储蓄问题的特殊性，可以用这个问题来学习或复习、应用等差、等比数列的通项、求和等知识。教与学的过程一种参考设计是： 请学生个人或组成小组，利用课余时间调查有关“教育储蓄”的资料，事先可以让学生讨论需要了解的信息是什么，主要途径：网上主题词检索、各大银行直接询问。 以往的应用题常常是“没有源头”的，所需解决问题的信息都是已知的，不多不少，没有信息寻求、选择、加工的过程。 而解决实际问题的第一步应该是从寻求有关信息开始。 让学生交流、互相启发补充扩展他们取得的信息。重点确认以下信息： 教育储蓄的适用对象：（在校中小学学生），储蓄类型和特点：（是“零存整取”的形式，但享受“整存整取”的利率，不扣利息税。），最低起存金额：（人民币50元），每户存款本金的最高限额（人民币2万元），支取方式：（到3年期或到六年期，凭学校开出的在学证明一次支取本息），银行现行的各类、各档存款利率：（略），零存整取、整存整取的本息计算方法。 学生常常出现的问题是信息寻求时“丢三拉四”，用互相交流的方式常常可以改善这一点；同时，合作学习，合作解决问题的意识，也是我们特别要培养的东西。 3．请学生提出拟解决的问题，根据问题，在教师带领下，寻找适用的数学工具，建立相应的数学模型，如有： （1）依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）或6年时一次可支取本息共多少钱？（等差数列求和，公式应用模型）。 （2）依教育储蓄的方式，每月存a元，连续存3年，到期（3年）或6年时一次可支取本息共多少钱？（公式模型的一般化）。 （3）依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3年）时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益多少钱？（比较方知优劣）。 （4）欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应存入多少钱？
D型卧式多级离心泵使用说明书
D、DG 系列多级离心清水泵 使用说明书
河北高通泵业有限公司
、概述 D、DG型泵系多级、节段式离心清水泵，适用于矿山、工厂及城市给水、排水 用。供输送不含固体颗粒及磨料。不含悬浮物的清水，或物理化学性质类似于清水的其它液体。被输送液体温度在-20C ~80C。 、型号说明 1）例150D/DG30X5 150—泵吸入口直径（mm） D、DG—多级、节段式离心清水泵 30—单级扬程为30m 5—泵级数为5 级 2）例D/DG 280-43X5 D/DG—多级、节段式离心清水泵 280—泵的流量（m3/h） 43—单级扬程为43m 5—泵级数为5 级 、结构说明 1、泵壳体部分 泵壳体部分主要由轴承、前段、中段、后段、导叶等用螺栓联接成整体， 前段吸入口中线呈水平线，后段吐出口中线与水平垂直。 2、转子部分 转子部分主要由轴承及安装在轴上的叶轮、轴套、平衡盘等零件组成。轴上 零件用平键和轴套螺母紧固使之与轴成为一体。整个转子由两端轴承支承在泵壳体上，转子部分
的叶轮数目是根据泵的级数而定。 3、轴承部分 本D、DG 型泵轴承有滑动轴承和滚动轴承两种，按型号不同而定，均不承 受轴向力。泵在运行中应当允许转子部分在泵壳体中轴向游动，不能采用向心轴承。 4、泵的密封 泵的前段、中段、后段之间密封面均采用二硫化钼润滑脂密封，转子部分与 固定部分之间靠密封环、导叶套、填料密封，当密封环和导叶套的磨损程度已影响泵的工作和性能时应予及时更换。 5、平衡机构 平衡机构由平衡环、平衡盘、平衡套等组成，平衡机构用于平衡泵的轴向力。
穿杠螺母.穿杠进水段进水段密封环导叶套中段中段密封环叶轮导叶未导叶平衡水管 填料 沐 轴承体、 挡水圏 轴承扌当 套 有孔轴承端盖 s i 锁坚螺母 h 尾盖 平衛环 平衡套 轴套乙 岀水段 无孔轴承盖 平衡盘 I L 填料压盖 k k k k D型滚动轴承 结构图
多级离心泵工作原理是什么
多级离心泵是将具有同样功能的两个以上的离心泵泵集合在一起，流体通道结构上，表现在第一级的介质泄压口与第二级的进口相通，第二级的介质泄压口与第三级的进口相通，如此串联的机构形成了多级离心泵。 多级离心泵的意义在于提高设定压力。 1、多级离心泵为立式结构，具有占地面积小的特点，泵重心重合于泵脚中心，因而运行平稳、振动小、寿命长。 2、多级离心泵口径相同且在同一水平中心线上，无需改变管路结构，可直接安装在管道的任何部们，安装极为方便。 3、电机外加防雨罩可直接置于室外使用，而无需建造泵房，大大节约基建投资。 4、多级离心泵扬程可通过改变泵级数（叶轮数量）来满足不同要求，故适用范围广。 5、轴封采用硬质合金机械密封，密封可靠，无泄漏，机械损失小。 6、高效节能，外形美观。 7、注50口径以上内件铸件成形。 适用范围： 多级离心泵，采用了国家推荐使用的高效节能水力模型，具有高效节能、性能范围广、运行安全平稳、低噪音、长寿命、安装维修方便等优点；通过改变泵的材质、密封形式和增加冷却系统，可输送热水、油类、腐蚀性和含磨料的介质等。
D型泵供输送不含固体颗粒、温度不高于80℃的清水或物理化学性质类似于清水的液体，适应于矿山和城市给排水工程使用。 DG型泵供输送不含固体颗粒、温度不高于105℃的清水或物理化学性质类似于清水的液体，用于锅炉给水或输送热水或类似热水的介质。 MD型泵供输送固体颗粒含量不大于1.5%的中性矿水（粒度小于0.5毫米）及类似的其它污水，被输送介质的温度不高于80℃，适于钢铁厂、矿山排水、污水输送等场合。 DF型泵供输送温度为-20℃～105℃，不含固体颗粒，有腐蚀性的液体。 DY型泵用于输送不含固体颗粒，温度为-20℃～150℃，粘度小于120厘沲的油类和石油产品。 以上各型泵的进口允许压力均不超过0.6MPa。 注意事项： 1、多级离心泵启动前检查 润滑油的名称、型号、主要性能和加注数量是否符合技术文件的要求；轴承润滑系统、密封系统和冷却系统是否完好，轴承的油路、水路是否畅通； 盘动泵的转子1～2转，检查转子是否有摩擦或卡住现象； 在联轴器附近或皮带防护装置等处，是否有妨碍转动的杂物； 泵、轴承座、电动机的基础地脚螺栓是否松动；
高中常见数学模型案例
高中常见数学模型案例 中华人民共和国教育部2003年4月制定的普通高中《数学课程标准》中明确指出：“数学探究、数学建模、数学文化是贯穿于整个高中数学课程的重要内容”，“数学建模是数学学习的一种新的方式，它为学生提供了自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决问题中的价值和作用，体验数学与日常生活和其他学科的联系，体验综合运用知识和方法解决实际问题的过程，增强应用意识；有助于激发学生学习数学的兴趣，发展学生的创新意识和实践能力。”教材中常见模型有如下几种: 一、函数模型 用函数的观点解决实际问题是中学数学中最重要的、最常用的方法。函数模型与方法在处理实际问题中的广泛运用，两个变量或几个变量，凡能找到它们之间的联系，并用数学形式表示出来，建立起一个函数关系（数学模型），然后运用函数的有关知识去解决实际问题，这些都属于函数模型的范畴。 1、正比例、反比例函数问题 例1：某商人购货，进价已按原价a 扣去25%，他希望对货物订一新价，以便按新价让利销售后仍可获得售价25%的纯利，则此商人经营者中货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是___________。 分析：欲求货物数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式，关键是要弄清原价、进价、新价之间的关系。 若设新价为b ，则售价为b （1－20%），因为原价为a ，所以进价为a （1－25％） 解：依题意，有25.0)2.01()25.01()2.01(?-=---b a b 化简得a b 45=，所以x a bx y ??==2.0452.0，即+∈=N x x a y ,4 2、一次函数问题 例2：某人开汽车以60km/h 的速度从A 地到150km 远处的B 地，在B 地停留1h 后，再以50km/h 的速度返回A 地，把汽车离开A 地的路x （km ）表示为时间t （h ）的函数，并画出函数的图像。 分析：根据路程＝速度×时间，可得出路程x 和时间t 得函数关系式x （t ）；同样，可列出v(t)的关系式。要注意v(t)是一个矢量，从B 地返回时速度为负值，重点应注意如何画这两个函数的图像，要知道这两个函数所反映的变化关系是不一样的。 解：汽车离开A 地的距离x km 与时间t h 之间的关系式是：?? ???∈--∈∈=]5.6,5.3(),5.3(50150]5.3,5.2(,150]5.2,0[,60t t t t t x ，图略。 速度vkm/h 与时间t h 的函数关系式是：?? ???∈-∈∈=)5.6,5.3[,50)5.3,5.2[,0)5.2,0[,60t t t v ，图略。 3、二次函数问题 例3：有L 米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部分为半圆，下半部分为六个全等小矩形组成的矩形，试问小矩形的长、宽比为多少时，窗所通过的光线最多，并具体标出窗框面积的最大值。
立式多级离心泵性能及安装
立式多级离心泵性能及安装 一、立式多级离心泵产品概述： 立式多级离心泵是采用国家推荐使用的高效节能产品IS型泵的水力模型，为立式多级多节段式结构。螺杆把进水段、中段、出水段夹紧联成一体。水泵每一级装一个叶轮、一个导水叶。 轴向力采用水力平衡法解决，残余轴向力由球轴轴承承受，用油脂润滑。轴封采用软填料或机械密封。产品执行JB/T2727-93 《立式多级离心泵型式与基本参数》标准，主要供吸送稀释的、清洁的、不腐蚀的、不爆炸的清水及物理化学性质类似水的不含固体颗粒或纤维的液体。 立式多级离心泵采用计算机设计和优化处理，拥有雄厚的技术力量、丰富的生产经验和完善的检测手段，从而产品质量的稳定可靠。 二、立式多级离心泵适用范围： 广泛应用于高层建筑的消防、生活供水以及空调机组循环、冷却水输送。 三、立式多级离心泵产品特点： 1、水力模型先进：效率高，性能范围广。 2、结构新颖，运行可靠：取消了平衡鼓，其轴向力采用水力平衡，彻底解决了平衡鼓易锈蚀、易咬死、易磨损的问题，保证了运行更加可靠。 3、更少的运行、维修费用：采用优质机械密封，耐磨损、无泄漏、使用寿命长，故障率低，具有更少的运行维修费用。 4、运行平稳，噪音低：采用低转速电机，使泵运行平稳，噪音更低。 5、立式结构，占地面积小。
四、立式多级离心泵技术参数： 流量：4.2-504m3/h； 扬程：24-240m； 功率：1.5-450kw； 转速：1480r/min； 口径：φ40-φ250； 温度范围：0-+90℃； 工作压力：≤2.4Mpa。 五、立式多级离心泵型号意义：
六、立式多级离心泵适用范围： 广泛应用于高层建筑的消防、生活供水以及空调机组循环、冷却水输送。
多目标函数的优化设计方法
第9章 多目标函数的优化设计方法 Chapter 9 Multi-object Optimal Design 在实际的机械设计中，往往期望在某些限制条件下，多项设计指标同时达到最优，这类问题称为多目标优化设计问题。与前面单目标优化设计不同的是，多目标优化设计有着多种提法和模式，即数学模型。因此，解决起来要比单目标问题复杂的多。 9.1 多目标最优化模型 9.1.1 问题举例 例9-1 生产计划问题 某工厂生产n （2≥n ）种产品：1号品、2号品、...、n 号品。 已知：该厂生产)...,,2,1(n i i =号品的生产能力是i a 吨/小时； 生产一吨)...,,2,1(n i i =号品可获利润i α元； 根据市场预测，下月i 号品的最大销售量为)...,,2(n i b i =吨； 工厂下月的开工能力为T 小时； 下月市场需要尽可能多的1号品。 问题：应如何安排下月的生产计划，在避免开工不足的条件下，使 工人加班时间尽可能的地少； 工厂获得最大利润； 满足市场对1号品尽可能多地要求。 为制定下月的生产计划，设该厂下月生产i 号品的时间为)...,,1(n i x i =小时。 9.1.2 基本概念 如图9.1所示，两个目标函数f 1,f 2中的若干个设计中，3，4称为非劣解，若 )(min{)(*x f x f j j ≤ S.t ．0)(≤x g u u=1,2,………….m 成立，则称* x 为非劣解。若不存在一个方向，同时满足： 0)(*≤*?s x f (目标函数值下降0)(*≤*?s x g (不破坏约束) 图9.1 则称* x 为约束多目标优化设计问题的K-T 非劣解。这样，多目标优化设计问题的求解过程为：先求出满足K-T 条件的非劣解，再从众多的非劣解确定一个选好解。 多目标优化的数学模型： T r x f x f x f X F V )](),........(),([)(m in 21=--
最优化问题的数学模型及其分类
最优化问题的数学模型及其分类 例1.1.1 产品组合问题 某公司现有三条生产线用来生产两种新产品，其主要数据如表1-1所示。请问如何生产可以让公司每周利润最大？ 表1-1 设每周生产的产品一和产品二 的产量分别为1x 和2x ，则每周的生产利润为：2153x x z +=。由于每周的产品生产受到三条生产线的可用时间的限制，因此1x ，2x 应满足以下条件： ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 故上述问题的数学模型为
2153max x x z += . .t s ?????? ?≥≤+≤≤0, 18231224212121 x x x x x x 其中max 是最大化（maximize ）的英文简称，??t s 是受约束于（subject to ）的简写。 例1.1.2 把一个半径为１的实心金属球熔化后，铸成一个 实心圆柱体，问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？ 设圆柱体的底面半径为r ，高为h ，则该问题的数学模型为： ??? ??=? ?+=ππππ3 422min 22 h r t s r rh S 其中min 是最小化（minimize ）的简写。 通过以上二例，可以看出最优化问题的数学模型具有如下结构： （１） 决策变量（decision variable ）：即所考虑问题 可归结为优选若干个被称为参数或变量的量 n x x x ,,,21 ，它们都取实数值，它们的一组值构 成了一个方案。 （２） 约束条件（constraint condition ）：即对决策
变量n x x x ,,,21 所加的限制条件，通常用不等式或等式表示为： ()(),,,2,1, 0,,,,,2,1, 0,,,2121l j x x x h m i x x x g n j n i ===≥ （３） 目标函数（objective function ）和目标：如使 利润达到最大或使面积达到最小，通常刻划为极大化（maximize ）或极小化（minimize ）一个实值函数()n x x x f ,,21 因此，最优化问题可理解为确定一组决策变量在满足约束条件下，寻求目标函数的最优。 注意到极大化目标函数()n x x x f ,,21相当于极小化 ()n x x x f ,,21-，因此，约束最优化问题的数学模型一般可 表示为： () ()()()?? ? ??===≥??l j x x x h m i x x x g t s x x x f n j n i n ,,2,1,0,,,1.1.1,,2,1,0,,,,,min 212121 若记()T n x x x x ,,21=，则（1.1.1）又可写成：