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揭阳市云路中学2013届高三数学 (文科)第六轮测试试题2013.01.12

揭阳市云路中学2013届高三数学 (文科)第六轮测试试题2013.01.12

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.i 是虚数单位,若(i 1)i z +=,则z 等于( )

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A .1

B .2

C 2

D . 12

2.集合{}{}4,5,3,9,3M m N =-=-,若M N ?≠?,则实数m 的值为( ) A .3或1- B .3 C .3或3- D .1-

3.等比数列{}n a 中,36a =,前三项和318S =,则公比q 的值为( ) A .1 B .12

-

C .-1或12

-

D .1或12

-

4.已知向量()()2,1,1,a b k ==- ,若()

//2a a b -

,则k 等于( )

A .12-

B .12

C .12-

D .

12

5.设命题132:<-x p ,02

1:≤--x x q ,则

p

是q 的( )

A .充分不必要条件

B .必要不充分条件

C .充要条件

D .既不充分也不必要条件 6.已知,m n 是两条不同直线,αβγ,,是三个不同平面,下列命题中正确的有( ) A . m n m n αα若,,则‖‖‖; B . αγβγαβ⊥⊥若,,则‖; C . m n m n αα⊥⊥若,,则‖; D .m m αβαβ若,,则‖‖‖ 7.曲线3y x

=

(0x >)上的点到直线3430x y ++=的距离的最小值为( )

A .3

B .5

16 C .

5

18 D .4

8.将函数)4

2sin(4)(π

+-=x x f 的图象向右平移?个单位,再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的2

1倍,

所得图象关于直线4

π

=x 对称,则?的最小正值为( )

A .

π8

1 B .

π21

C .π43

D . π83 9.函数1ln(1)

(1)2

x y x +-=>的反函数是

A .21

1(0)x y e

x +=-> B .21

1(R )x y e x +=+∈ C .21

1(0)

x y e

x +=+>

D .21

1(R )x y e

x +=-∈

10. 如图,平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ,对于平面上任意一点M ,若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离,则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”.已知常数0≥p ,0≥q ,给出下列命题:

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①若0

p q

==,则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个;

②若0,1

p q

==,则“距离坐标”为(0,1)的点有且仅有2个;

③若1,2

p q

==,则“距离坐标”为()

1,2的点有且仅有4个.

上述命题中,正确命题的个数是

A.2 B.3 C.1 D.0

二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,满分20分.其中14~15题

是选做题.)

(一)必做题:第11~13题为必做题。

11.已知

236

x y

x y

y

+≤

?

?

-≥

?

?≥

?

则3

z x y

=+的最大值为_____.

12.阅读右图程序框图.若输入5

n=,则输出k的值为_____.

13.若函数2

()4

f x x x a

=--的有3个零点,则a=.

(二)选做题(14—15题,考生只能从中选做一题)

14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为

2

2

sin=

θ

ρ,

则点

7

(2,)

4

A

π

到这条直线的距离为.

15.(几何证明选讲选做题)如图,从圆O外一点A引圆的切线A D和割线ABC,已知

AD=6

A C=,圆O的半径为3,则圆心O到AC的距离为.

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.(本小题满分12分)设函数()sin cos

f x m x x

=+()

x R

∈的图象经过点,1

2

π

??

?

??

.(1)求()

f x的解析式,并求函数的最小正周期.

(2)若()

45

f

π

α+=(0,

2

π

α∈,求(2)

4

f

π

α-的值。

,q)

D

第15题图

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17.(本小题满分12分)某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中,随机抽取了100名电视观众,相关的数据如下表所示:

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(2) 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名,大于40岁的观众应该抽取几名? (3) 在上述抽取的5名观众中任取2名,求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率。

18.(18.(本小题满分14分)如图,在三棱柱111ABC A B C -中,侧棱

1A A ⊥底面ABC , ,AB BC D ⊥为A C 的中点,12AA AB ==.

(1) 求证:1//A B 平面1BC D ;

(2) 若3B C =,求三棱锥1D BC C -的体积。

19.(本小题满分14分)

已知向量1*

1(,2),(2,),,n n n n p a q a n N ++==-∈ 向量p 与q

垂直,且1 1.a =

(1)求数列{}n a 的通项公式;

(2)若数列{}n b 满足2log 1n n b a =+ ,求数列{}n n a b ?的前n 项和n S .

D

C 1

A 1

B 1

C

B

A

第18题图

20.(本题满分14分)设函数()(1)x x f x a k a -=--(0a >且1)a ≠是定义域为R 的奇函数.

(1)求k 值;

(2)若(1)0f <,试判断函数单调性,并求使不等式2()(4)0f x tx f x ++-<恒成立的t 取值范围; (3)若3(1)2

f =,且22()2()x x

g x a a m f x -=+-在[)1,+∞上的最小值为2-,求m 的值.

21.(本小题满分14分)已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行,且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠.设()()g x f x x

=

(1)若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q ,求m 的值; (2)()k k R ∈如何取值时,函数()y f x kx =-存在零点,并求出零点.

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揭阳市云路中学2013届高三数学 (文科)第六轮测试参考答案

一、选择题 CADCA ;CADBB 二、填空题

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11. 9 12. 3 13. 4 14. 2

15

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三、解答题

16.解:(1) 函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π

2??

???

,1 sin

cos

12

2

m π

π

∴+= ,1m ∴= …………………….2分

()sin cos )4

f x x x x π

∴=+=

+

…………………….3分

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∴函数的最小正周期2T π= ……………………4分

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(2)()))4

4

4

2

5

f π

π

π

π

αααα+

=

+

+

=+

==

………6分

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3cos 5

α∴=

又因为(0,

)2

π

α∈

4sin 5

α∴=

=

…………………………………………………………9分

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(2))2cos 4

4

4

25

f π

π

π

ααααα∴-

=-

+

===………12分

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17.(本小题满分12分)

解:(1)有关,收看新闻节目多为年龄大的。 (2)应抽取的人数为:275=345

?

(人)

(3)记抽取的5名观众中, 20至40岁的2名为,A B ;大于40岁的3名观众为,,a b c

则从5名观众中任取2名的所有情况为:(,)A B 、(,)A a 、(,)A b 、(,)A c 、(,)B a 、(,)B b 、(,)B c 、(,)a b 、

(,)a c 、(,)b c 共10种情况,

其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁的情况有:

(,)A a 、(,)A b 、(,)A c 、(,)B a 、(,)B b 、(,)B c 共6种情况,

故恰有1名观众的年龄为20岁至40岁的概率为

6310

5

=

.18. 解:(1)证明: 连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD ,…… 1分 ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. …… 3分

∵D 为AC 的中点,

∴OD 为△1AB C 的中位线, ∴ 1//OD AB . …… 5分 ∵OD ?平面1BC D ,1?AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D . …… 7分 (2)∵三棱柱111-ABC A B C ,∴侧棱11C C AA , 又∵1AA ⊥底面ABC ∴侧棱1C C ABC ⊥面,

故1CC 为三棱锥1C BC D -的高,112A A C C ==,…… 10分

1113

2222BC D ABC S S BC AB ????=

=

= ??? …… 12分 111113213

3

2

D B C C C B C D B C D V V C C S --?∴==

=??

=g …… 14分

19解(1) 向量p

与q

垂直

1

122

0,n

n n n a a ++∴-= 即1

122

n n n n a a ++∴=

…………2分

12n n

a a +∴

= {}n a ∴是以1为首项,2为公比的等比数列…………4分

1

2

n n a -∴= 。 …………5分

(2)22log 1n b a =+ ,n b n ∴= 1

2n n n a b n -∴?=? , …………8分

231

12232422

,n n S n -∴=+?+?+?++? ……①

2

3

4

2122232422,n

n S n ∴=?+?+?+?++? ……② ………10分

∴ 由①—②得,

2341

12

122222

22(1)2112

n

n n

n n

n S n n n ---=++++++-?=

-?=--- ……12分

1

1(1)22

1(1)2n

n n

n S n n n +∴=-++?=+- ………14分

21.解:(1)∵()f x 是定义域为R 的奇函数, ∴0

(0)(1)1(1)0f a k a k =--=--=…… 1分 ∴2k =…… 2分 (2)()(01)x

x

f x a a

a a -=->≠且

10,1,0,01,0)1(<<∴≠><-

a f 且又 ,……3分

而x

y a =在R 上单调递减,x

y a -=在R 上单调递增,

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C 1

B

A

故判断()x x f x a a -=-在R 上单调递减,……4分 不等式化为2()(4)f x tx f x +<-,24x tx x ∴+>-,

2(1)40x t x ∴+-+>恒成立,2(1)16t ∴?=--,解得35t -<<……8分 (3)Q 3(1)2

f =

,132

a a

∴-

=

,即22320a a --=,

2a ∴=或12

a =-

(舍去)……9分

222()2

2

2(22

)(22

)2(22

)2x

x

x

x

x x

x x

g x m m ----∴=+--=---+

令()22x x t f x -==-,

由(1)可知()22x x f x -=-为增函数,1x ≥Q ,3(1)2

t f ∴≥=……11分

令222()22()2h t t m t t m m =-+=-+- (32

t ≥)………12分

若32m ≥

,当t m =时,2

m in ()222h t m m =-=-∴=………… 13分

若32

m <,当32

t =

时,m in 17253()324

12

2

h t m m =

-=-∴=

>

舍去

综上可知2m =…14分

21.解:(1)依题可设1)1()(2-++=m x a x g (0≠a ),则a ax x a x g 22)1(2)('+=+=; 又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴= 1a = m x x m x x g ++=-++=∴21)1()(2

2

, ()()2g x m f x x x

x

=

=+

+,

设(),o o P x y ,则2

02

02

02

02

)()2(||x m

x x y x PQ +

+=-+=

m m m m

m x

m x 2||22222222

20220

+=+≥++

=

当且仅当20

220

2x

m x =

时,2

||PQ 取得最小值,即||PQ 取得最小值2

当0>m 时,2)222(=+m 解得12-=m

当0

+-m 解得12--=m

(2)由()()120m y f x kx k x x

=-=-++=(0≠x ),得()2

120k x x m -++= ()*

当1k =时,方程()*有一解2

m x =-

,函数()y f x kx =-有一零点2

m x =-

当1k ≠时,方程()*有二解()4410m k ??=-->, 若0m >,11k m

>-

,函数()y f x kx =-有两个零点)

1(2)1(442k k m x ---±-=

,即1

)1(11---±=

k k m x ;

若0m <,11k m

<-

,函数()y f x kx =-有两个零点)

1(2)1(442k k m x ---±-=

,即1

)1(11---±=

k k m x ;

当1k ≠时,方程()*有一解()4410m k ??=--=, 11k m

=-,

函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=

1

1

综上:当1k =时, 函数()y f x kx =-有一零点2

m x =-;

当11k m

>-

(0m >),或11k m

<-

(0m <)时, 函数()y f x kx =-有两个零点1

)1(11---±

=k k m x ;

当11k m

=-时,函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=

1

1。