揭阳市云路中学2013届高三数学 (文科)第六轮测试试题2013.01.12

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．i 是虚数单位，若(i 1)i z +=，则z 等于（ ）

A ．1

B ．2

C 2

D ． 12

2.集合{}{}4,5,3,9,3M m N =-=-，若M N ?≠?，则实数m 的值为（ ） A ．3或1- B ．3 C ．3或3- D ．1-

3．等比数列{}n a 中，36a =，前三项和318S =，则公比q 的值为（ ） A ．1 B ．12

-

C ．－1或12

-

D ．1或12

-

4.已知向量()()2,1,1,a b k ==- ，若()

//2a a b -

，则k 等于（ ）

A ．12-

B ．12

C ．12-

D ．

12

5．设命题132:<-x p ，02

1:≤--x x q ，则

p

是q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 6．已知,m n 是两条不同直线，αβγ，，是三个不同平面，下列命题中正确的有（ ） A . m n m n αα若，，则‖‖‖； B . αγβγαβ⊥⊥若，，则‖； C . m n m n αα⊥⊥若，，则‖； D .m m αβαβ若，，则‖‖‖ 7．曲线3y x

=

（0x >）上的点到直线3430x y ++=的距离的最小值为（ ）

A ．3

B ．5

16 C ．

5

18 D ．4

8．将函数)4

2sin(4)(π

+-=x x f 的图象向右平移?个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的2

1倍，

所得图象关于直线4

π

=x 对称，则?的最小正值为（ ）

A ．

π8

1 B ．

π21

C ．π43

D ． π83 9．函数1ln(1)

(1)2

x y x +-=>的反函数是

A ．21

1(0)x y e

x +=-> B ．21

1(R )x y e x +=+∈ C ．21

1(0)

x y e

x +=+>

D ．21

1(R )x y e

x +=-∈

10. 如图，平面中两条直线1l 和2l 相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p 、q 分别是M 到直线1l 和2l 的距离，则称有序非负实数对(),p q 是点M 的“距离坐标”．已知常数0≥p ，0≥q ，给出下列命题：

①若0

p q

==，则“距离坐标”为(0,0)的点有且仅有1个；

②若0,1

p q

==，则“距离坐标”为(0,1)的点有且仅有2个；

③若1,2

p q

==，则“距离坐标”为()

1,2的点有且仅有4个．

上述命题中，正确命题的个数是

A．2 B．3 C．1 D．0

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题

是选做题.）

（一）必做题：第11~13题为必做题。

11.已知

236

x y

x y

y

+≤

?

?

-≥

?

?≥

?

则3

z x y

=+的最大值为_____．

12．阅读右图程序框图．若输入5

n=，则输出k的值为_____．

13．若函数2

()4

f x x x a

=--的有3个零点，则a=．

（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）

14. (坐标系与参数方程选做题) 已知直线的极坐标方程为

2

2

sin=

θ

ρ，

则点

7

(2,)

4

A

π

到这条直线的距离为．

15.（几何证明选讲选做题）如图，从圆O外一点A引圆的切线A D和割线ABC，已知

AD=6

A C=，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）设函数()sin cos

f x m x x

=+()

x R

∈的图象经过点,1

2

π

??

?

??

．（1）求()

f x的解析式，并求函数的最小正周期．

（2）若()

45

f

π

α+=(0,

2

π

α∈，求(2)

4

f

π

α-的值。

，q）

D

第15题图

17．（本小题满分12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：

（2） 用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？ （3） 在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率。

18.（18.（本小题满分14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱

1A A ⊥底面ABC , ,AB BC D ⊥为A C 的中点,12AA AB ==.

(1) 求证：1//A B 平面1BC D ；

(2) 若3B C =，求三棱锥1D BC C -的体积。

19．（本小题满分14分）

已知向量1*

1(,2),(2,),,n n n n p a q a n N ++==-∈ 向量p 与q

垂直，且1 1.a =

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 满足2log 1n n b a =+ ，求数列{}n n a b ?的前n 项和n S .

D

C 1

A 1

B 1

C

B

A

第18题图

20．（本题满分14分）设函数()(1)x x f x a k a -=--(0a >且1)a ≠是定义域为R 的奇函数．

（1）求k 值；

（2）若(1)0f <，试判断函数单调性，并求使不等式2()(4)0f x tx f x ++-<恒成立的t 取值范围； （3）若3(1)2

f =，且22()2()x x

g x a a m f x -=+-在[)1,+∞上的最小值为2-，求m 的值．

21．（本小题满分14分）已知二次函数()y g x =的导函数的图像与直线2y x =平行，且()y g x =在1x =-处取得极小值1(0)m m -≠．设()()g x f x x

=

．

（1）若曲线()y f x =上的点P 到点(0,2)Q ，求m 的值； （2）()k k R ∈如何取值时，函数()y f x kx =-存在零点，并求出零点．

揭阳市云路中学2013届高三数学 (文科)第六轮测试参考答案

一、选择题 CADCA ；CADBB 二、填空题

11. 9 12. 3 13. 4 14. 2

15

三、解答题

16．解：（1） 函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π

2??

???

，1 sin

cos

12

2

m π

π

∴+= ，1m ∴= …………………….2分

()sin cos )4

f x x x x π

∴=+=

+

…………………….3分

∴函数的最小正周期2T π= ……………………4分

（2）()))4

4

4

2

5

f π

π

π

π

αααα+

=

+

+

=+

==

………6分

3cos 5

α∴=

又因为(0,

)2

π

α∈

4sin 5

α∴=

=

…………………………………………………………9分

(2))2cos 4

4

4

25

f π

π

π

ααααα∴-

=-

+

===………12分

17.（本小题满分12分）

解：（1）有关，收看新闻节目多为年龄大的。 （2）应抽取的人数为：275=345

?

（人）

（3）记抽取的5名观众中, 20至40岁的2名为,A B ;大于40岁的3名观众为,,a b c

则从5名观众中任取2名的所有情况为:(,)A B 、(,)A a 、(,)A b 、(,)A c 、(,)B a 、(,)B b 、(,)B c 、(,)a b 、

(,)a c 、(,)b c 共10种情况，

其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁的情况有：

(,)A a 、(,)A b 、(,)A c 、(,)B a 、(,)B b 、(,)B c 共6种情况，

故恰有1名观众的年龄为20岁至40岁的概率为

6310

5

=

.18. 解：（1）证明: 连接1B C ,设1B C 与1BC 相交于点O ,连接OD ,…… 1分 ∵ 四边形11BCC B 是平行四边形,∴点O 为1B C 的中点. …… 3分

∵D 为AC 的中点，

∴OD 为△1AB C 的中位线, ∴ 1//OD AB . …… 5分 ∵OD ?平面1BC D ,1?AB 平面1BC D , ∴1//AB 平面1BC D . …… 7分 （2）∵三棱柱111-ABC A B C ，∴侧棱11C C AA ， 又∵1AA ⊥底面ABC ∴侧棱1C C ABC ⊥面，

故1CC 为三棱锥1C BC D -的高，112A A C C ==，…… 10分

1113

2222BC D ABC S S BC AB ????=

=

= ??? …… 12分 111113213

3

2

D B C C C B C D B C D V V C C S --?∴==

=??

=g …… 14分

19解（1） 向量p

与q

垂直

1

122

0,n

n n n a a ++∴-= 即1

122

n n n n a a ++∴=

…………2分

12n n

a a +∴

= {}n a ∴是以1为首项，2为公比的等比数列…………4分

1

2

n n a -∴= 。 …………5分

（2）22log 1n b a =+ ，n b n ∴= 1

2n n n a b n -∴?=? ， …………8分

231

12232422

,n n S n -∴=+?+?+?++? ……①

2

3

4

2122232422,n

n S n ∴=?+?+?+?++? ……② ………10分

∴ 由①—②得，

2341

12

122222

22(1)2112

n

n n

n n

n S n n n ---=++++++-?=

-?=--- ……12分

1

1(1)22

1(1)2n

n n

n S n n n +∴=-++?=+- ………14分

21．解：(1)∵()f x 是定义域为R 的奇函数， ∴0

(0)(1)1(1)0f a k a k =--=--=…… 1分 ∴2k =…… 2分 （2）()(01)x

x

f x a a

a a -=->≠且

10,1,0,01,0)1(<<∴≠><-

∴

a f 且又 ，……3分

而x

y a =在R 上单调递减，x

y a -=在R 上单调递增，

C 1

B

A

故判断()x x f x a a -=-在R 上单调递减，……4分 不等式化为2()(4)f x tx f x +<-，24x tx x ∴+>-，

2(1)40x t x ∴+-+>恒成立，2(1)16t ∴?=--，解得35t -<<……8分 （3）Q 3(1)2

f =

，132

a a

∴-

=

，即22320a a --=，

2a ∴=或12

a =-

（舍去）……9分

222()2

2

2(22

)(22

)2(22

)2x

x

x

x

x x

x x

g x m m ----∴=+--=---+

令()22x x t f x -==-，

由（1）可知()22x x f x -=-为增函数，1x ≥Q ，3(1)2

t f ∴≥=……11分

令222()22()2h t t m t t m m =-+=-+- (32

t ≥)………12分

若32m ≥

，当t m =时，2

m in ()222h t m m =-=-∴=………… 13分

若32

m <，当32

t =

时，m in 17253()324

12

2

h t m m =

-=-∴=

>

舍去

综上可知2m =…14分

21.解：（1）依题可设1)1()(2-++=m x a x g (0≠a )，则a ax x a x g 22)1(2)('+=+=； 又()g x '的图像与直线2y x =平行 22a ∴= 1a = m x x m x x g ++=-++=∴21)1()(2

2

， ()()2g x m f x x x

x

=

=+

+，

设(),o o P x y ，则2

02

02

02

02

)()2(||x m

x x y x PQ +

+=-+=

m m m m

m x

m x 2||22222222

20220

+=+≥++

=

当且仅当20

220

2x

m x =

时，2

||PQ 取得最小值，即||PQ 取得最小值2

当0>m 时，2)222(=+m 解得12-=m

当0

+-m 解得12--=m

（2）由()()120m y f x kx k x x

=-=-++=(0≠x )，得()2

120k x x m -++= ()*

当1k =时，方程()*有一解2

m x =-

，函数()y f x kx =-有一零点2

m x =-

；

当1k ≠时，方程()*有二解()4410m k ??=-->， 若0m >，11k m

>-

，函数()y f x kx =-有两个零点)

1(2)1(442k k m x ---±-=

，即1

)1(11---±=

k k m x ；

若0m <，11k m

<-

，函数()y f x kx =-有两个零点)

1(2)1(442k k m x ---±-=

，即1

)1(11---±=

k k m x ；

当1k ≠时，方程()*有一解()4410m k ??=--=, 11k m

=-,

函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=

1

1

综上：当1k =时, 函数()y f x kx =-有一零点2

m x =-；

当11k m

>-

(0m >)，或11k m

<-

（0m <）时， 函数()y f x kx =-有两个零点1

)1(11---±

=k k m x ；

当11k m

=-时，函数()y f x kx =-有一零点m k x -=-=

1

1。