安徽省高考理科数学之概率统计大题集锦

安徽省高考理科数学之概率统计大题集锦

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

安徽省高考理科数学之概率大题集锦

1（2006?安徽18）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较．在试制某种牙膏新品种时，需要选用两种不同的添加剂．现有芳香度分别为0，1，2，3，4，5的六种添加剂可供选用．根据试验设计原理，通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验．用ξ表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和．（Ⅰ）写出ξ的分布列；（以列表的形式给出结论，不必写计算过程）

（Ⅱ）求ξ的数学期望Eξ．（要求写出计算过程或说明道理）

解：（Ⅰ）ξ的分布列：

（Ⅱ）由前一问的分布列可知每一个变量和变量所对应的概率，用期望的公式写出期望的表达式，计算出结果

2（2007?安徽20）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数．

（Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）和数学期望Eξ；

（Ⅱ）求概率P（ξ≥Eξ）．

解：（Ⅰ）由题意知以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数，ξ的可能取值是0，1，2，3，4，5，6，得到ξ的分布列为：

ξ0 1 2 3 4 5 6

P

∴数学期望为Eξ=（1×6+2×5+3×4）=2．

（II）所求的概率为P（ξ≥Eξ）=P（ξ≥2）=．

3（2008?安徽19）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成

活沙柳的株数，数学期望Eξ=3，标准差σξ为．

（Ⅰ）求n，p的值并写出ξ的分布列；

（Ⅱ）若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．

解：（1）由题意知本题符合二项分布，根据二项分布的期望和方差公式得到，

Eξ=np=3，（σξ）2=np（1﹣p）=，得1﹣p=，从而n=6，p=

∴ξ的分布列为

（2）记”需要补种沙柳”为事件A，则P（A）=P（ξ≤3），得。

4（2009?安徽17）某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区．B肯定是受A感染的．对于C，因为难以断定他是受A还是受B感染的，于是假定他

受A和受B感染的概率都是．同样也假定D受A、B和C感染的概率都是．在这种假定

之下，B、C、D中直接受A感染的人数x就是一个随机变量．写出x的分布列（不要求写出计算过程），并求x的均值（即数学期望）．

解：由题意知X的可能取值为1，2，3，随机变量X的分布列是

X 1 2 3

P

X的均值为EX=1×+2×+3×=．

5（2010?安徽21）品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评为．

现设n=4，分别以a1，a2，a3，a4表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次排序时的序号，并令X=|1﹣a1|+|2﹣a2|+|3﹣a3|+|4﹣a4|，

则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．

（Ⅰ）写出X的可能值集合；

（Ⅱ）假设a1，a2，a3，a4等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的分布列；

（Ⅲ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有X≤2，

①试按（Ⅱ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）；

②你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由．

解：（1）X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}，∵在1、2、3、4中奇数与偶数各有两个，

∴a2，a4中的奇数个数等于a1，a3中的偶数个数，∴|1﹣a1|+|3﹣a3|与|2﹣a2|+|4﹣a4|的奇偶性相同，∴X=（|1﹣a1|+|3﹣a3|）+（|2﹣a2|+|4﹣a4|）必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8，∴X的可能取值集合为{0、2、4、6、8}

（2）可以用列表或者树状图列出1、2、3、4的一共24种排列，计算每种排列下的X的

值，在等可能的假定下，得到P（X=0）=

，P（X=2）=

，

P（X=4）=

，

P（X=6）

=

，P（X=8）=

。

（3）①首先P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）==

，

将三轮测试都有X≤2的概率记做P，有上述结果和独立性假设得P==，

②由于P=＜是一个很小的概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有X≤2的

结果的可能性很小，∴我们认为该品酒师确实有良好的鉴别功能，不是靠随机猜测．

6（2011?安徽20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．

（Ⅰ）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中

q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数学期望）EX；

（Ⅲ）假定l＞p1＞p2＞p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．

解：（Ⅰ）任务不能被完成的概率为（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）为定值，所以任务能被完成的概率与三个人被排除的顺序无关．任务能被完成的概率为1﹣（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）

（Ⅱ）X的取值为1，2，3，P（X=1）=q1，，P（X=2）=（1﹣q1）q2，P（X=3）=（1﹣

q1）（1﹣q2）。EX=q1+2（1﹣q1）q2+3（1﹣q1）（1﹣q2）=3﹣2q1﹣q2+q1q2

（Ⅲ）EX=3﹣（q1+q2）+q1q2﹣q1，若交换前两个人的派出顺序，则变为3﹣（q1+q2）

+q1q2﹣q2，由此可见，当q1＞q2时，交换前两个人的派出顺序可增大均值；

若保持第一人派出的人选不变，交换后个人的派出顺序，EX可写为3﹣2q1﹣（1﹣q1）

q2，交换后个人的派出顺序则变为3﹣2q1﹣（1﹣q1）q3，当q2＞q3时交换后个人的派出顺序可增大均值，故完成任务概率大的人先派出，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小．

7（2012?安徽17）某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n+m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量．

（Ⅰ）求X=n+2的概率；

（Ⅱ）设m=n，求X的分布列和均值（数学期望）

解：（Ⅰ）X=n+2表示两次调题均为A类试题，其概率为

=

随机变量X可取n，n+1，（Ⅱ）设m=n，则每次调用的是A类型试题的概率为

，

n+2

P（X=n）=（1﹣p）2=；P（X=n+1）=2p（1﹣p）=，P（X=n+2）=p2=

。

分布列如下

X n n+1 n+2

P

∴EX=n×+（n+1）×+（n+2）×=n+1。

8（2013?安徽21）某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．

（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率；

（II）求使P（X=m）取得最大值的整数m．

解：（I）因为事件A：“学生甲收到李老师所发信息”与事件B：“学生甲收到张老师所发信息”是相互独立事件，所以与相互独立，由于P（A）=P（B）==，故P（）=P（）=1﹣，

因此学生甲收到活动信息的概率是1﹣（1﹣）2=

（II）当k=n时，m只能取n，此时有P（X=m）=P（X=n）=1

当k＜n时，整数m满足k≤m≤t，其中t是2k和m中的较小者，由于“李老师与张老师各自独立、随机地发送活动信息给k位”所包含的基本事件总数为（）2，当X=m时，同

时收到两位老师所发信息的学生人数为2k﹣m，仅收到李老师或张老师转发信息的学生人数为m﹣k，由乘法原理知：事件{X=m}所包含的基本事件数为

P（X=m）==

当k≤m＜t时，P（X=M）＜P（X=M+1）?（m﹣k+1）2≤（n﹣m）（2k﹣m）?m≤2k

﹣

假如k≤2k﹣＜t成立，则当（k+1）2能被n+2整除时，

k≤2k﹣＜2k+1﹣＜t，故P（X=M）在m=2k﹣和

m=2k+1﹣处达到最大值；

当（k+1）2不能被n+2整除时，P（X=M）在m=2k﹣[]处达到最大值（注：[x]表示不超过x的最大整数），下面证明k≤2k﹣＜t

因为1≤k＜n，所以2k﹣﹣k=≥=≥0

而2k﹣﹣n=＜0，故2k﹣＜n，显然

2k﹣＜2k，因此k≤2k﹣＜t，

综上得，符合条件的m=2k﹣[]。

9（2014?安徽17）甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概

率为，各局比赛结果相互独立．

（Ⅰ）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

（Ⅱ）记X为比赛决胜出胜负时的总局数，求X的分布列和均值（数学期望）．

解：用A表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛的是事件，A k表示第k局甲获胜，B k表示第k局乙获胜，则P（A k）=，P（B k）=，k=1，2，3，4，5

（Ⅰ）P（A）=P（A1A2）+P（B1A2A3+P（A1B2A3A4）=（）2+×（）2+××（）2=．

（Ⅱ）X的可能取值为2，3，4，5．P（X=2）=P（A1A2）+P（B1B2）=，P（X=3）=P

（B1A2A3）+P（A1B2B3）=，P（X=4）=P（A1B2A3A4）+P（B1A2B3B4）=，

P（X=5）=P（A1B2A3B4A5）+P（B1A2B3A4B5）+P（B1A2B3A4A5）+P（A1B2A3B4B5）==，

或者P（X=5）=1﹣P（X=2）﹣P（X=3）﹣P（X=4）=，

故分布列为：

X 2 3 4 5

P

E（X）=2×+3×+4×+5×=．