八年级数学下册17微专题特殊平行四边形中的最值问题习题(新版)冀教版

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微专题：特殊平行四边形中的最值问题

◆类型一根据垂线段最短求最值

1．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在AB，BC上，且BE＝BF，射线EO，FO分别交边CD，AD于点G，H.

(1)求证：四边形EFGH是矩形；

(2)若OA＝4，OB＝3，求EG的最小值．

◆类型二根据“对称性＋两点之间线段最短或垂线段最短”求最值

2．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，P，Q分别是AC，AD上的动点，连接DP，PQ，则DP＋PQ的最小值为________．

第2题图第3题图第4题图3．(2017·秦皇岛抚宁县校级期末)如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交DC于点E，点P，Q分别是AD和AE上的动点，则DQ＋PQ的最小值为________．4．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，点D的坐标为(2，0)，E为AB上的动点，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为________．

◆类型三根据与已知量相关联的量的最值进行转化

5．如图，菱形ABCD的边长为8，∠BAD＝60°，点E在AB上运动，点F在BC上运动(E，F两点可以和菱形的顶点重合)，且EF＝4，点N是线段EF的中点，ME⊥AC，垂足为M，求MN的最小值【提示：通过构造中位线进行转化，即延长EM交AD于点K，连接FK】．

◆类型四根据三边关系求最大值

方法点拨：寻找两条定值线段，当这两条定值线段在一条直线上时所求线段最大，一般需要构造直角三角形斜边上的中线或中位线．

6．如图，矩形ABCD的两边AB＝5，AD＝12，以BC为斜边作Rt△BEC，F为CD的中点，则EF的最大值为________【提示：取BC的中点G，连接GE，GF，BD，当G，E，F共线时，EF 最长】．

参考答案与解析

1．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠BAO ＝∠DCO .又∵∠AOE ＝∠COG ，∴△AOE ≌△COG (ASA)，∴OE ＝OG ，同理得OH ＝OF ，∴四边形EFGH 是平行四边形．∵BE ＝BF ，∠ABD ＝∠CBD ，OB ＝OB ，∴△EBO ≌△FBO ，∴OE ＝OF ，∴EG ＝FH ，∴四边形EFGH 是矩形．

(2)解：∵垂线段最短，∴当OE ⊥AB 时，OE 最小．∵EG ＝2OE ，∴OE 最小时，EG 最小．∵OA ＝4，OB ＝3，∠AOB ＝90°，∴AB 2＝OA 2＋OB 2

＝25，∴AB ＝5，∴12OA ·OB ＝12AB ·OE ，即3×4

＝5·OE ，解得OE ＝125.∵EG ＝2OE ，∴EG ＝245.故EG 的最小值是24

5

.

2.24

5 解析：如图，过点Q 作QE ⊥AC 交AB 于点E ，则PQ ＝PE .∴DP ＋PQ ＝DP ＋PE ，当

点D ，P ，E 三点共线的时，DP ＋PQ ＝DP ＋PE ＝DE 最小，DE 即为所求．当DE ⊥AB 时，DE 最小．∵AC ＝8，BD ＝6，∴OA ＝4，OB ＝3，∴在Rt△AOB 中，AB ＝OA 2＋OB 2

＝5.∵S 菱形ABCD ＝

12

AC ·BD ＝AB ·DE .∴12×8×6＝5·DE .∴DE ＝245.∴DP ＋PQ 的最小值为245

.

3. 2 解析：作D 关于AE 的对称点D ′，过D ′作D ′P ′⊥AD 于P ′，D ′P ′交AE 于点Q ，易知D ′落在AC 上，且AD ′＝AD ＝2，且此时DQ ＋PQ 的值最小，即为D ′P ′的长度．∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DAD ′＝45°，∴AP ′＝P ′D ′，∴在Rt△AP ′D ′中，

P ′D ′2＋AP ′2＝AD ′2＝4.∵AP ′＝P ′D ′，∴P ′D ′＝2，即DQ ＋PQ 的最小值为 2.

4．(3，1) 解析：∵点C ，点D 为定点，∴CD 的长为定值．∵△CDE 的周长＝CD ＋DE ＋CE ，∴要使△CDE 的周长最小，就要使DE ＋CE 最小．作点D 关于直线AB 的对称点H ，连接CH ，交AB 于点E ，则此时△CDE 的周长最小．由对称性可得AD ＝AH .∵四边形OABC 是矩形，B (3，4)，∴OC ＝4，OA ＝3.∵OD ＝2，∴AD ＝1＝AH ，∴H (4，0)．设直线CH 的表达式为

y ＝kx ＋b ，则?????4k ＋b ＝0，b ＝4，解得?

????k ＝－1，

b ＝4，故直线CH 的表达式为y ＝－x ＋4.当x ＝3时，y ＝

－3＋4＝1，∴点E 的坐标为(3，1)．

5．解：如图，延长EM 交AD 于K ，连接FK .∵四边形ABCD 是菱形，∴∠BAC ＝∠DAC .∵EM ⊥AC ，∴EM ＝MK ，即点M 为EK 的中点．又∵点N 是EF 的中点，∴MN ＝1

2KF ，∴

当KF ⊥AD 时，KF 的值最小，此时MN 最小．连接BD .∵∠BAD ＝60°，AB ＝AD ＝8，∴△ABD 是等边三角形，∴S △ABD ＝163.∵S 菱形ABCD ＝2S △ABD ，∴AD ·FK ＝2×163，∴8·FK ＝323，

∴FK ＝43，∴MN 的最小值为1

2

KF ＝2 3.

6.

25

2

解析：如图，取BC 的中点G ，连接GE ，GF ，BD .∵∠BEC ＝90°，点G 为BC 的中点，∴GE ＝12BC ＝6.∵AB ＝5，AD ＝12，∠A ＝90°，∴BD ＝AB 2＋AD 2

＝13.∵点G 为BC 的中

点，点F 为CD 的中点，∴GF ＝12BD ＝13

2

.由三角形三边关系定理知GE ＋GF ＞EF ，∴当点E ，G ，

F 三点共线的时候，EF 取得最大值为GE ＋GF ＝6＋13

2＝252

.