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2008年广州市一模数学(理科)

2008年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的． 1．已知全集U =R ，集合{}

22A x x =-<<，{

}

20B x x x =-≤，则A B =

A ．()0,2

B ．(]0,2

C ．[)0,2

D ．[]0,2

2．某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了11场比赛，他们每场比赛得分的情况用如图1所示的茎叶图表示，则甲、乙两名运动员

的中位数分别为 A ．19、13 B ．13、19

C ．20、18

D ．18、20

3．已知函数2log ,0,()2,

0.x x x f x x >?=?≤?若1

()2f a =，则a =

A ．1-

C ．1-

D ．1或

4．直线20ax y a -+=与圆2

9x y +=的位置关系是

A ．相离

B ．相交

C ．相切

D ．不确定

5．在区间[]0,1上任取两个数,a b ，方程2

0x ax b ++=的两根均为实数的概率为

A ．18

B ．14

C ．12

D ．34

6．已知a ∈R ，则“2a >”是“2

2a a >”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

7．抽气机每次抽出容器内空气的60%，要使容器内剩下的空气少于原来的0.1%，则至少要抽（参考数据：lg 20.3010=，lg30.4771=）

A ．15次

B ．14次

C ．9次

D ．8次

8．在ABC ?所在的平面上有一点P ，满足PA PB PC AB ++=

，则PBC ?与ABC ?的面积之比

是

图1

A ．

13 B ．12 C ．23 D ．34

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必

做题和选做题两部分.

（一）必做题：第9、10、11、12题是必做题，每道试题考生都必须做答． 9．若复数()

()2

563i z m m m =-++-是实数，则

实数m = ．

10．已知3

cos 5

α=，则cos2α= ．

．根据定积分的几何意义，计算

x =?

．

12．按如图2所示的程序框图运算．

若输入8x =，则输出k = ；若输出2k =，则输入x 的取值范围是．（注:“1=A ”也可写成“1:=A ”或“1←A ”，均表示赋值

语句）

（二）选做题：第13、14、15题是选做题，考生只能选做二题，三题全答的，只计算前两题的得

分． 13．（坐标系与参数方程选做题

）在极坐标系中，过点4π?

作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是．

14．（不等式选讲选做题）若a 、b 、c ∈R ，且2

236a b c ++=，则a b c ++的最小值是．

15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在边AB 上，且:1:2AE EB =，DE 与

AC 交于点F ，若AEF ?的面积为62cm ，则ABC ?的面积为 2cm ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数()sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π??

???和,12π??

???

．（1）求实数a 和b 的值；

（2）当x 为何值时，()f x 取得最大值． 17．（本小题满分12分）

某计算机程序每运行一次都随机出现一个二进制的六位数123456N n n n n n n =，其中N

的各位数中，161n n ==，k n （k =2，3，4，5）出现0的概率为

23，出现1的概率为1

，记123456n n n n n n ξ=+++++，当该计算机程序运行一次时，求随机变量ξ的分布列和数学期

望（即均值）．

18．（本小题满分14分）

如图3所示，在边长为12的正方形

11AA A A ''中，点,B C 在线段AA '上，

且

3AB =，4BC =，作

1BB 1AA ，分别交11A A '、1AA '于

点1B 、P ，作1CC

1AA ，分别交

11A A '、1AA '于点1C 、Q ，将该正方

形沿1BB 、1CC 折叠，使得1A A ''与

1AA 重合，构成如图4所示的三棱柱111ABC A B C -．

（1）在三棱柱111ABC A B C -中，求证：AB ⊥平面11BCC B ；

（2）求平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分几何体的体积之比；（3）在三棱柱111ABC A B C -中，求直线AP 与直线1AQ 所成角的余弦值．

19．（本小题满分14分）

已知数列}{n a 中，51=a 且1221n

n n a a -=+-（2n ≥且*

n ∈N ）．

（1）若数列2n n

a λ+??

???

为等差数列，求实数λ的值；（2）求数列}{n a 的前n 项和n S ．

20．（本小题满分14分）

已知函数()x

f x e x =-（e 为自然对数的底数）．（1）求函数()f x 的最小值；

（2）若*

n ∈N ，证明：1211n n n n

n n e n n n n e -????????++++< ? ? ? ?

-????????

．

21．（本小题满分14分）

已知抛物线L ：2

2x py =和点()2,2M ，若抛物线L 上存在不同两点A 、B 满足

A M

B M +=0

．

（1）求实数p 的取值范围；

（2）当2p =时，抛物线L 上是否存在异于A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．

2008年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法

供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变

该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

8．由PA PB PC AB ++= ，得PA PB BA PC +++=0

，

即2PC AP =

，所以点P 是CA 边上的第二个三等分

点，如图所示．故

PBC ABC S BC PC S BC AC ???==?．

二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其

中第12题第一个空2分，第二个空3分．

9．3 10．7

11．3π 12．4；(]28,57

13．cos 2ρθ= 14．

15．72

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查特殊角的三角函数、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力）解：（1）∵函数(

)sin cos f x a x b x =+的图象经过点,03π??

???和,12

π??

???

， ∴sin cos 0,

33sin cos 1.22

a b a b ππππ?+=????+=??即10,22

b a +=???=

? 解得1,

a b =???=??．

（2）由（1）得()sin f x x x =

12sin cos 22x x ??=- ? ???

2sin 3x π?

?=- ??

?．

∴当sin 13x π??

-= ??

?，即232

x k ππ

π-=+，即526

x k π

π=+

()k ∈Z 时，()f x 取得最大值2． 17．（本小题满分12分）

（本小题主要考查随机变量的分布列及其数学期望等基础知识，考查运算求解能力等）解：ξ的可能取值是2，3，4，5，6．

∵161n n ==，

∴()40

2162C 381

P ξ??=== ???， ()3

1412323C 3381P ξ??==?= ???，

()2

2241284C 3327P ξ??

??==?= ?

???

??， ()3

341285C 3381P ξ??==?= ???

，

()4

116C 381

P ξ??

=== ???．

∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望为16322481102345681818181813

E ξ=?

+?+?+?+?=．

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系，面积与体积，空间向量等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力）

（1）证明：在正方形1

1AA A A ''中，∵5A C AA AB BC ''=--=， ∴三棱柱111ABC A B C -的底面三角形ABC 的边5AC =． ∵3AB =，4BC =，∴2

AB BC AC +=，则AB BC ⊥．

∵四边形1

1AA A A ''为正方形，11AA BB ，

∴1AB BB ⊥，而1BC BB B = ， ∴AB ⊥平面11BCC B ．（2）解：∵AB ⊥平面11BCC B ，

∴AB 为四棱锥A BCQP -的高．

∵四边形BCQP 为直角梯形，且3BP AB ==，7CQ AB BC =+=，

∴梯形BCQP 的面积为()1

202

BCQP S BP CQ BC =

+?=， ∴四棱锥A BCQP -的体积1

203

A BCQP BCPQ V S A

B -=?=，

由（1）知1B B AB ⊥，1B B BC ⊥，且AB BC B = ， ∴1B B ⊥平面ABC ．

∴三棱柱111ABC A B C -为直棱柱，

∴三棱柱111ABC A B C -的体积为111172ABC A B C ABC V S BB -?=?=．故平面APQ 将三棱柱111ABC A B C -分成上、下两部分的体积

之比为

722013

205

-=．（3）解：由（1）、（2）可知，AB ，BC ，1BB 两两互相垂直．

以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，

则()3,0,0A ，()13,0,12A ，()0,0,3P ，()0,4,7Q ，

∴(3,0,3)AP =-

，1

(3,4,5)AQ =-- ， ∴1

1cos ,5AP AQ AP AQ AP AQ ?<>==-

， ∵异面直线所成角的范围为0,

2π?? ???

， ∴直线AP 与1AQ 所成角的余弦值为1

．

19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等比数列、递推数列等基础知识，考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力）解：（1）方法1：∵51=a ，

∴2

2122113a a =+-=，3

3222133a a =+-=．设2n n n

a b λ

+=，由}{n b 为等差数列，则有3122b b b +=． ∴32123

2222a a a λλλ+++?=+

． ∴13533228

λλλ+++=+

．解得 1λ=-．

事实上，1111122n n n n n n a a b b +++---=-()111

212n n n a a ++=-+????

()1

112112n n ++??=-+?

?1=，

综上可知，当1λ=-时，数列2n n

a λ+??

???

为首项是2、公差是1的等差数列．方法2：∵数列2n n

a λ+??

????

为等差数列，设2

n n n

a b λ+=

，由}{n b 为等差数列，则有122n n n b b b ++=+（*

n ∈N ）． ∴1212

2222

n n n n n n a a a λλλ+++++++?=+． ∴1244n n n a a a λ++=--()()121222n n n n a a a a +++=---

()()12221211n n ++=---=-．

综上可知，当1λ=-时，数列2n n

a λ+??

????

为首项是2、公差是1的等差数列．（2）由（1）知，

()111

1122

n n a a n --=+-?， ∴()121n

n a n =+?+．

∴(

)(

)()1

22132121121n n

n S n n -??=?++?+++?+++?+?? ．

即()1

2232212n n n S n n n -=?+?++?++?+ ．

令()1

22322

12n n n T n n -=?+?++?++? ， ①

则()2

22232212

n n T n n +=?+?++?++? ． ②

②－①，得(

)()1

231

2222212

n n T n +=-?-+++++?

2n n +=?．

∴()1

21n n n S n n n ++=?+=?+．

20．（本小题满分14分）

（本小题主要考查函数的导数、最值、等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力、以及创新意识）

（1）解：∵()x

f x e x =-，∴()1x

f x e '=-．

令()0f x '=，得0x =．

∴当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．

∴函数()x f x e x =-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增．

∴当0x =时，()f x 有最小值1．

（2）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1x e x -≥，即1x

x e +≤．

令k x n

=-（*

,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n k e n -<-≤，

∴1(1,2,,1)n

k n k e e k n n --??

??-≤==- ? ?????

．即(1,2,,1)n

k n k e k n n --??≤=- ??? ． ∵1,n

n n ??

= ???

∴(1)

(2)211211n

n n n n e

e e e n n n n -------????????++++≤+++++ ? ? ? ?????????

． ∵(1)

(2)

111

111111

n n n e e

e e e e e ----------+++++=<=--- ， ∴ 1211n n

n n e n n n n e -????????++++< ? ? ? ?

-????????

．

21．（本小题满分14分）

（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）

解法1：（1）不妨设A 211,2x x p ?? ???，B 2

2,2x x p ?? ???

，且12x x <，

∵AM BM +=0 ，∴2212122,22,222x x x x p p ????

--+--= ? ??

???0．

∴124x x +=，2

128x x p +=．

∵()2

1222

x x x x ++>

（12x x ≠），即88p >，

∴1p >，即p 的取值范围为()1,+∞．

（2）当2p =时，由（1）求得A 、B 的坐标分别为()0,0、()4,4．

假设抛物线L 上存在点2,4t C t ??

???

（0t ≠且4t ≠），使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L

在点C 处有相同的切线．

设经过A 、B 、C 三点的圆的方程为2

0x y Dx Ey F ++++=，

则2420,

4432,1641616.F D E F tD t E F t t ?=?

++=-??++=--?

整理得 ()()3

441680t E t E ++-+=． ①

∵函数24x y =的导数为2

y '=，

∴抛物线L 在点2,4t C t ?? ???

处的切线的斜率为2t

，

∴经过A 、B 、C 三点的圆N 在点2,4t C t ?? ???

处的切线斜率为2t

．

∵0t ≠，∴直线NC 的斜率存在． ∵圆心N 的坐标为,22D E ??

- ??

?， ∴

242122

t E

t D t +?=-+，即()()324480t E t E ++-+=． ②

∵0t ≠，由①、②消去E ，得326320t t -+=．即()

()2

420t t -+=．

∵4t ≠，∴2t =-．

故满足题设的点C 存在，其坐标为()2,1-．

解法2：（1）设A ，B 两点的坐标为1122()()A x y B x y ,,,，且12x x <。

∵AM BM +=0

，可得M 为AB 的中点，即124x x +=．

显然直线AB 与x 轴不垂直，设直线AB 的方程为2(2)y k x -=-，即22y kx k =+-，将22y kx k =+-代入2

2x py =中，得2

24(1)0x pkx k p -+-=．

∴2212416(1)0,2 4.

p k k p x x pk ??=-->?+==? ∴1p >．

故p 的取值范围为(1),+∞．

（2）当2p =时，由（1）求得A ，B 的坐标分别为()()0044A B ,,,．

假设抛物线2

4L x y :=上存在点24t C t ??

, ???

（0t ≠且4t ≠），使得经过A 、B 、C 三点的圆和

抛物线L 在点C 处有相同的切线．

设圆的圆心坐标为N (,)a b ，

∵,

NA NB NA NC ?=??=??

∴

== 即34,

142.8a b a tb t t +=???+=+??

解得22

4,8432.8t t a t t b ?+=-???++?=??

∵抛物线L 在点C 处切线的斜率为|2

x t t

k y ='==

，而0t ≠，且该切线与NC 垂直， ∴

2412

t b t a t -

?=--．即31

2204a bt t t +--=．

将248t t a +=-，24328

t t b ++=代入上式，得32

280t t t --=．

即(4)(2)0t t t -+=． ∵0t ≠且4t ≠，∴2t =-．

故满足题设的点C 存在，其坐标为 ()2,1-．

广东省广州市六年级数学上册期末测试卷(A)

广东省广州市六年级数学上册期末测试卷（A）姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 亲爱的小朋友们，这一段时间的学习，你们收获怎么样呢？今天就让我们来检验一下吧！一、填一填。 (共14题；共14分) 1. （1分） (2018六下·云南模拟) 1：________=0.25=25 ________=________％=________折 2. （1分） (2018六下·盐田期末) 在一个长5厘米，宽3厘米的长方形中画一个最大的半圆，半圆的半径是________厘米。 3. （1分）一个圆的半径是6 cm，它的周长是________cm，面积是________ cm2。 4. （1分）用字母表示圆周长的公式是________或________。 5. （1分） (2019六上·新会月考) 一项工程，完成的时间由原来的10小时缩短到8小时，工作效率提高了________ %。 6. （1分）某地春季植树，活了980棵，死亡20棵，这个地区植树成活率是________。 7. （1分）(2018·泉州) 甲、乙两桶油，甲桶中的油相当于乙桶的50%，从乙桶倒3升油给甲桶，此时，甲桶中的油相当于乙桶的80%，那么原来甲桶中有________升油。 8. （1分） (2020六上·龙华期末) 毽球兴趣小组共有6名队员，在初次见面时，如果每两人握一次手，一共要握手________次。 9. （1分） (2020三上·唐县期末) 从一张长20厘米、宽16厘米长方形纸上剪下一个最大的正方形，正方形的周长是________厘米；剩下的图形的周长是________厘米． 10. （1分）某城市一天的气温是-5℃~7℃，最高气温和最低气温相差________℃。 11. （1分） (2018六上·寻乌期中) 从A地到B地，小王要80分钟，小李要60分钟，小王和小李所用时间的比是________，小李和小王的速度比是________． 12. （1分）如图，它是由一根长60米的铁丝弯折连接而成的许多相同的小正方形组成．

广州10年二模理科数学试卷和答案

试卷类型：A 2010年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科） 2010．4 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ?=?. 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()n P k =C ()1n k k k n p p --()0,1,2,,k n = . 两数立方差公式: ()() 3322 a b a b a ab b -=-++. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i 为虚数单位，若复数()()11a a -++i 为实数，则实数a 的值为 A ．1- B ．0 C ．1 D ．不确定 2. 已知全集U =A B 中有m 个元素，()()U U A B 痧中有n 个元素．若A B I 非空，则A B I 的元素个数为 A ． mn B ．m n + C ．m n - D ． n m - 3. 已知向量a ()sin ,cos x x =,向量b (=,则+a b 的最大值为 A. 134. 若,m n 是互不相同的空间直线, α是平面, A. 若//,m n n α?,则//m α B. 若//,//m n n α, C. 若//,m n n α⊥,则m α⊥ D. 若,m n n α⊥⊥,5. 在如图1所示的算法流程图, 若()()3 2,x f x g x x ==, 则()2h 的值为 (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“←” 或“：=”) A. 9 B. 8

【广州市】六年级数学上册知识点整理归纳

六年级上册数学知识点第一单元分数乘法（一）分数乘法意义： 1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。注：“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。例如：5 3×7表示: 求7个5 3的和是多少？或表示：5 3的7倍是多少？ 2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。注：“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以）例如：5 3×6 1表示: 求5 3的6 1是多少？ 9 × 61表示: 求9的61 是多少？ A × 61表示: 求a 的6 1 是多少？（二）分数乘法计算法则： 1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。注：（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分）（2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数） 2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母）注：（1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。（2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。

（3）在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）（4）分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。（三）积与因数的关系：一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数。a ×b=c,当b >1时，c>a. 一个数（0除外）乘小于1的数，积小于这个数。a ×b=c,当b <1时，c