九年级圆拔高培优及解析

九年级圆拔高培优及解析

一、单选题

1．如图，MN是⊙O的直径，MN=2，点A在⊙O上，∠AMN=30°，B为AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）

A．2 B．．1 D．2

【答案】B

【解析】

【分析】

作A关于MN的对称点Q，连接MQ，然后根据圆周角定理、圆的对称性质和勾股定理解答即可．

【详解】

作A关于MN的对称点Q，连接MQ，BQ，BQ交MN于P，此时AP+PB=QP+PB=QB，

根据两点之间线段最短，PA+PB的最小值为QB的长度，

连接AO，OB，OQ，

∵B为 AN中点，

∴∠BON=∠AMN=30°，

∴∠QON=2∠QMN=2330°=60°，

∴∠BOQ=30°+60°=90°．

∵直径MN=2，

∴OB=1，

∴BQ=2+12=2．

则PA+PB的最小值为

故选B．

【点睛】

本题考查了垂径定理、勾股定理、圆周角定理．解答本题的关键是找到点A的对称点，把题目的问题转化为两点之间线段最短解答．

2．如图，扇形OAB中，∠AOB=100°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交AB于点D，以OC为半径的CE交OA于点E，则图中阴影部分的面积是（）

A．12π+183 B．12π+363 C．6π+183 D．6π+363

【答案】C

【解析】

【分析】连接OD、AD，根据点C为OA的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO为等边三角形，求出扇形AOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S 空白ADC即可求出阴影部分的面积．

【详解】如图，连接OD，AD，

∵点C为OA的中点，

∴OC=1

2OA=1

2

OD，

∵CD⊥OA，

∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，

∴△ADO为等边三角形，OD=OA=12，OC=CA=6，∴CD=63，

∴S扇形AOD=60·π·122

360

=24π，

∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COE﹣（S扇形AOD﹣S△COD）

=100·π·122

360?100·π·62

360

?24π?1

2

×6×63=183+6π，

故选C．

【点睛】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=nπr 2

360．

3．如图，已知AB是⊙O的弦，AC是⊙O的直径,D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交BA的延长线于P,且DP⊥BP于P.若PD+PA=6，AB=6，则⊙O的直径AC的长为（）

A．5 B．8 C．10 D．12

【答案】C

【解析】分析：通过切线的性质表示出EC的长度，用相似三角形的性质表示出OE的长度，由已知条件表示出OC的长度即可通过勾股定理求出结果.

详解：如图：连接BC，并连接OD交BC于点E：

∵DP⊥BP，AC为直径；

∴∠DPB=∠PBC=90°.

∴PD∥BC,且PD为⊙O的切线.

∴∠PDE=90°=∠DEB,

∴四边形PDEB为矩形，

∴AB∥OE，且O为AC中点，AB=6.

∴PD=BE=EC.

AB=3.

∴OE=1

2

设PA=x，则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC，EC=PD=6-x.

.在Rt△OEC中:

OE2+EC2=OC2,

即：32+(6?x)2=(3+x)2，解得x=2.

所以AC=2OC=23（3+x）=10.

点睛：本题考查了切线的性质，相似三角形的性质，勾股定理.

4．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）

A ．3

2 B ．2 10﹣2 C ．2 13﹣2 D ．4

【答案】B 【解析】如图，

∵AE ⊥BE ，

∴点E 在以AB 为直径的半⊙O 上， 连接CO 交⊙O 于点E′，

∴当点E 位于点E′位置时，线段CE 取得最小值， ∵AB=4，

∴OA=OB=OE′=2， ∵BC=6，

∴OC=2+OB 2= 62+22=2 10， 则CE′=OC﹣OE′= 10﹣2， 故选：B ．

【点睛】主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据AE⊥BE 知点E 在以AB 为直径的半⊙O 上是解题的关键．

5．在△ABC 中，若O 为BC 边的中点，则必有：AB 2

+AC 2

=2AO 2

+2BO 2

成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG 中，已知DE=4，EF=3，点P 在以DE 为直径的半圆上运动，则PF 2

+PG 2

的最小值为（ ）

A ． 10

B ．19

2C ．34 D ．10 【答案】D 【解析】

分析：设点M 为DE 的中点，点N 为FG 的中点，连接MN ，则MN 、PM 的长度是定值，利用三角形的三边关系可得出NP 的最小值，再利用PF 2

+PG 2

=2PN 2

+2FN 2

即可求出结论． 详解：设点M 为DE 的中点，点N 为FG 的中点，连接MN 交半圆于点P ，此时PN 取最小值．

∵DE=4，四边形DEFG 为矩形， ∴GF=DE ，MN=EF ， ∴MP=FN=1

2DE=2，

∴NP=MN-MP=EF-MP=1，

∴PF 2

+PG 2

=2PN 2

+2FN 2

=2312

+2322

=10． 故选D ．

点睛：本题考查了点与圆的位置关系、矩形的性质以及三角形三变形关系，利用三角形三边关系找出PN 的最小值是解题的关键．

6．如图，△ABC 中，∠A=30°，点O 是边AB 上一点，以点O 为圆心，以OB 为半径作圆，⊙O 恰好与AC 相切于点D ，连接BD ．若BD 平分∠ABC ，AD=2 ，则线段CD 的长是（ ）

A ．2

B ． 3

C ．3

2 D ．3

2 3

【答案】B 【解析】 【分析】

连接OD ，得Rt △OAD ，由∠A=30°，AD=2 OD 、AO 的长；由BD 平分∠ABC ，OB=OD 可得OD 与BC 间的位置关系，根据平行线分线段成比例定理，得结论． 【详解】 连接OD

∵OD 是⊙O 的半径，AC 是⊙O 的切线，点D 是切点， ∴OD ⊥AC

在Rt △AOD 中，∵∠A=30°，AD=2 3， ∴OD=OB=2，AO=4，

∴∠ODB=∠OBD ，又∵BD 平分∠ABC ， ∴∠OBD=∠CBD ， ∴∠ODB=∠CBD ， ∴OD ∥CB ， ∴

AD

CD

＝AO OB ，即2 3CD ＝4

2， ∴CD= 3． 故选B ． 【点睛】

本题考查了圆的切线的性质、含30°角的直角三角形的性质及平行线分线段成比例定理，解决本题亦可说明∠C=90°，利用∠A=30°，AB=6，先得AC 的长，再求CD ．遇切点连圆心得直角，是通常添加的辅助线．

7．如图，⊙M 的半径为2，圆心M 的坐标为(3,4)，点P 是⊙M 上的任意一点，PA ⊥PB ，且PA 、PB 与x 轴分别交于A 、B 两点，若点A 、点B 关于原点O 对称，则AB 的最小值为（）

A ．3

B ．4

C ．6

D ．8 【答案】C

【解析】分析：连接OP ．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OP =1

2AB ，当OP 最短时，AB 最短．连接OM 交⊙M 于点P ，则此时OP 最短，且OP =OM －PM ，计算即可得到结论．

详解：连接OP ．

∵PA ⊥PB ，OA =OB ，∴OP =1

2AB ，当OP 最短时，AB 最短．

连接OM 交⊙M 于点P ，则此时OP 最短，且OP =OM －PM = 32+42?2=3，∴AB 的最小值为2OP =6．故选C ．

点睛：本题考查了直角三角形斜边上中线的性质以及两点间的距离公式．解题的关键是利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半把AB 的长转化为2OP ．

8．如图，MN 是⊙O 的直径，MN=8，∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是直径MN 上的一个动点，则PA+PB 的最小值为( )

A ．．．【答案】D

【解析】试题解析：过A 作关于直线MN 的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B 即为PA+PB 的最小值， 连接OB ，OA′，AA′，

∵AA′关于直线MN 对称，

∴=AN A N ，

∵∠AMN=40°，

∴∠A′ON=80°，∠BON=40°， ∴∠A′OB=120°，

过O作OQ⊥A′B于Q，

在Rt△A′OQ中，OA′=4，

∴A′B=2A′

即PA+PB的最小值

故选D．

9．如图，点P（3，4），⊙P半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），点M是⊙P上的动点，点C是MB的中点，则AC的最小值是（）

A．1.4 B．3

2 C．5

2

D．2.6

【答案】B

【解析】

【分析】

如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM．因为OA=AB，CM=CB，所以AC=1

2

OM，所以当OM 最小时，AC最小，可知当M运动到M′时，OM最小，由此即可解决问题．

【详解】

如图，连接OP交⊙P于M′，连接OM，

由勾股定理得：OP=2+42，

∵OA=AB，CM=CB，

∴AC=1

2

OM，

∴当OM最小时，AC最小，

∴当M运动到M′时，OM最小，

此时AC的最小值=1

2OM′=1

2

（OP﹣PM′）=1

2

3（5-2）=3

2

，

故选B．

【点睛】

本题考查了点与圆的位置关系、坐标与图形的性质、三角形中位线定理、最小值问题等知识，解题的关键是理解圆外一点到圆的最小距离以及最大距离，学会用转化的思想思考问题．

10．下列命题：①若a＜1，则（a﹣1）1

1?a

=﹣

称图形；③16的算术平方根是4；④如果方程ax2+2x+1=0有实数根，则实数a≤1．其中正确的命题个数是（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】分析：①a＜1时，1－a＞0，根据二次根式的非负性化简；②根据圆的性质判定；③4，本质是求4的算术平方根；④分a≠0和a＝0两种情况求a的范围.

详解：①若a＜1，则(a﹣1)1

1?a ＝?1?a2×1

1?a

＝?1?a，正确；

②圆是中心对称图形又是轴对称图形，正确；

③4的算术平方根是2，此选项错误；

④当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实数根，则4﹣4a≥0，解得a≤1，

当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，解得x＝?1

2

，此选项正确．

故选C．

点睛：判断方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况时，要注意分两种情况讨论，①当a≠0时，原方程是一元二次方程，用根的判别式来判断；②当a＝0，b≠0时原方程是一元一次方程.

11．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，点O，B的对应点分别为O'，B'，连接BB'，则图中阴影部分的面积是（）

A．2π

3 B．23?π

3

C．23?2π

3

D．43?2π

3

【答案】C

【解析】

【分析】

连接OO′，BO′，根据旋转的性质得到∠OAO′=60°，推出△OAO′是等边三角形，得到∠AOO′=60°，推出△OO′B是等边三角形，得到∠AO′B=120°，得到∠O′B′B=∠O′BB′=30°，根据图形的面积公式即可得到结论．

【详解】

连接OO′，BO′，

∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB绕点A逆时针旋转60°，

∴∠OAO′=60°，

∴△OAO′是等边三角形，

∴∠AOO′=60°，

∵∠AOB=120°，

∴∠O′OB=60°，且O′,B′,O三点共线，

∴△OO′B是等边三角形，

∴∠AO′B=120°，

∵∠AO′B′=120°，

∴∠B′O′B=120°，

∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，

∴△OBB′是直角三角形，

∴图中阴影部分的面积=S△BOB′-S扇形O′OB

=1

2×2×23?60?π×22

360

=23?2π

3

，

故选C．【点睛】

本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

12．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC下列结论：①∠P+∠D=180°；②∠COB=∠DAB；③∠DBA=∠ABP；④∠DBO=∠ABP．其中正确的只有（）

A．①③ B．②④ C．②③ D．①④

【答案】C

【解析】

【分析】

∠AOB，所①中，根据切线的性质可知∠P+∠AOB=180°，又根据圆周角定理，得∠D=1

2

以可判断它错误；

②中，根据垂径定理以及圆周角定理即可判断正确；

③中，根据垂径定理和弦切角定理得∠ABP=∠D，所以可知正确；

④中，根据③中的推导过程，可知它错误．

【详解】

∠AOB，错误；

①∠OAP=∠OBP=90°，则∠P+∠AOB=180°，又因为∠D=1

2

②根据垂径定理以及圆周角定理即可判断正确；

③根据垂径定理，得弧AD=弧AB，则∠ADB=∠ABD，再根据弦切角定理，得∠ABP=∠D，正确；

④根据③中的推导过程，显然错误．

故选C．

【点睛】

此题综合运用了垂径定理、弦切角定理以及圆周角定理．

13．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=4cm，则球的半径长是（）

A ．2cm

B ．2.5cm

C ．3cm

D ．4cm 【答案】B

【解析】分析：首先由题意，⊙O 与BC 相切，记切点为G ，作直线OG ，分别交AD 、劣弧EF 于点H 、I ，再连接OF ，易求得FH 的长，然后设求半径为r ，则OH=4-r ，然后在Rt△OFH 中，r 2

-（4-r ）2

=22

，解此方程即可求得答案． 详解：

由题意，⊙O 与BC 相切，记切点为G ，作直线OG ，分别交AD 、劣弧EF 于点H 、I ，再连接OF ，

在矩形ABCD 中，AD∥BC，而IG⊥BC， ∴IG⊥AD，

∴在⊙O 中，FH=1

2EF=2，

设求半径为r ，则OH=4-r ， 在Rt△OFH 中，r 2

-（4-r ）2

=22

， 解得r=2.5，

∴这个球的半径是2.5厘米．

故选B.

点睛：本题考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理，难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．

14．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）

A ． 3

8 B ． 3

4 C ． 2

4 D ． 2

8 【答案】D 【解析】 【分析】

由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．【详解】

如图1，

∵OC=1，

∴OD=13sin30°=1

2

；

如图2，

∵OB=1，

∴OE=13sin45°=2

2

；

如图3，

∵OA=1，

∴OD=13cos30°=3

2

，

则该三角形的三边分别为：1

2、2

2

、3

2

，

∵（1

2）2+（2

2

）2=（3

2

）2，

∴该三角形是以1

2、2

2

为直角边，3

2

为斜边的直角三角形，

∴该三角形的面积是1

2×1

2

×2

2

=2

8

，

故选：D．

【点睛】

考查正多边形的外接圆的问题，应用边心距，半径和半弦长构成直角三角形，来求相关长度是解题关键。

15．如图，点P是⊙O外任意一点，PM、PN分别是⊙O的切线，M、N是切点．设OP与⊙O交于点K．则点K是△PMN的（）

A．三条高线的交点 B．三条中线的交点

C．三个角的角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点

【答案】C

【解析】

【分析】

连接OM、ON，NK，根据切线的性质及角平分线的判定定理，可得出答案.

【详解】

如图，连接OM、ON，NK，

∵PM、PN分别是⊙O的切线，

∴ON⊥PN，OM⊥PM，MN⊥OP，∠OPN=∠OPM，

∴∠1+∠ONK=90°，∠2+∠OKN=90°，

∵OM=ON，

∴∠OPN=∠OPM，∠ONK=∠OKN，

∴∠1=∠2，

∴点K是△PMN的角平分线的交点，

故选C.

【点睛】

本题考查了切线长定理、角平分线定义，熟练掌握切线长定理的内容是解题的关键. 16．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t ＞0），点P在以D（3，5）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的最小值是（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】分析：先求出AB，AC，进而得出AC=AB，结合直角三角形的斜边的中线等于斜边的一半，即AP=t，即可得出t最小时，点P在AD上，用两点间的距离公式即可得出结论．

详解：如图，连接AP．

∵点A（0，1）、点B（0，1+t）、C（0，1﹣t）（t＞0），∴AB=（1+t）﹣1=t，AC=1﹣（1﹣t）=t，∴AB=AC．

BC=AB=t，要t最小，就是点A到⊙D上的一点的距离最小，∴点∵∠BPC=90°，∴AP=1

2

P在AD上．

∵A（0，1），D（3，5），∴AD=32+（5?1）2=5，∴t的最小值是AP=AD﹣PD=5﹣1=4．故选B．

点睛：本题主要考查了直角三角形斜边的中线的性质，平面坐标系内，两点间的距离公式，极值的确定；判断出点A是BC的中点是解答本题的关键．

17．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，∠AOB=1

3

∠COB，⊙O的半径为3，连接AC交OB于点E，OB与AC相交于点E，则图中阴影部分面积是（）

A．3π

4?3

2

B．3π

4

?3

2

C．3π

4

?3

2

D．3π

4

?3

【答案】C

【解析】分析：根据四边形ABCD是⊙O的内接四边形得到∠ABC+∠D=180°，根据∠ABC=2∠D得到∠D+2∠D=180°，从而求得∠D=60°，最后根据OA=OC得到

∠OAC=∠OCA=30°，根据∠AOB=1

3

∠COB得到∠AOB=30°，从而得到∠COB为直角，然后

利用S

阴影=S

扇形OBC

?S△OEC求解．

详解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ABC+∠D=180°，

∵∠ABC=2∠D，

∴∠D+2∠D=180°，

∴∠D=60°，

∴∠AOC=2∠D=120°，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=30°；

∵∠COB=3∠AOB，

∴∠AOC=∠AOB+3∠AOB=120°，

∴∠AOB=30°，

∴∠COB=∠AOC?∠AOB=90°，

在Rt△OCE中,OC=3，

∴OE=OC?tan∠OCE=3?tan30°=333

3

=1，

∴S△OEC=1

2OE?OC=1

2

3133=3

2

，

∴S

扇形OBC =90π×(3)2

360

=3

4

π，

∴S

阴影=S

扇形OBC

?S△OEC=3

4

π?3

2

.

故选：C.

点睛：本题考查了扇形面积的计算，圆内接四边形的性质.

18．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=10，弧AC=弧CD=弧DB，点E是点D关于

AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE=60°；②∠CED=1

2

∠DOB；③DM⊥CE；

④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（）

A．1 B．2 C．3D．4

【答案】C

【解析】分析：根据弧AC=弧CD=弧DB和点E是点D关于AB的对称点，求出∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，求出∠CED，即可判断①②；根据圆周角定理求出M和A重合时，∠MDE=60°，即可判断③；根据轴对称的性质，求出M的位置，根据圆周角定理求出此时CE为直径，即可得到CE的长，判断④.

详解：∵弧AC=弧CD=弧DB，

∴∠DOB=∠COD=∠BOE=60°，

故①正确；

∵AB为直径，且点E是点D关于AB的对称点

∴∠E=∠D，AB⊥DE

∴∠CED=1

2

∠DOB=30°，

故②正确；

∵M和A重合时，∠MDE=60°，

∴∠MDE+∠E=90°

∴DM⊥CE

故③不正确；

根据轴对称的性质，可知D与E对称，连接CE，根据两点之间线段最短，可知这时的CM+DM最短，

∵∠DOB=∠COD=∠BOE=60°

∴CE为直径，即CE=10，

故选：C.

点睛：本题考查了圆周角定理，圆中的有关计算问题和图形的轴对称的应用，关键是熟练地运用定理进行推理和计算，题型较好，综合性比较强，但难度不大． 19．如图，在等边△ABC 中，AB=6，∠AFB=90°，则CF 的最小值为（）

A ．3 B

．

．

【答案】D

【解析】分析：点F 在以AB 为直径的圆上，当圆心，点F ，C 在一条直线上时，CF 取最小值，且最小值为CE －EF .

详解：如图，取AB 的中点E ，连接CE ，FE . 因为∠AFB ＝90°，所以EF

＝3， 因为△ABC 是等边三角形，所以CE ＝

当点E ，F ，C 三点在一条直线上时，

CF 有最小值，且最小值为CE －EF ＝

3.

故选D .

点睛：求一个动点到定点的最小值，一般先要确定动点在一个确定的圆或圆弧上运动，当动点与圆心及定点在一条直线上时，取最小值.

20．如图，在半径为4的⊙O 中，CD 为直径，AB⊥CD 且过半径OD 的中点，点E 为⊙O 上一动点，CF⊥AE 于点F.当点E 从点B 出发顺时针运动到点D 时，点F

所经过的路径

A． B．3

2π C．3

3

π D．23

3

π

【答案】D

【解析】

【分析】

连接AC，AO，由AB⊥CD，利用垂径定理得到G为AB的中点，由中点的定义确定出OG 的长，在直角三角形AOG中，由AO与OG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而确定出AB的长，由CO+GO求出CG的长，在直角三角形AGC中，利用勾股定理求出AC的长，由CF垂直于AE，得到三角形ACF始终为直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半径，如图中红线所示，当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，可得出当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长AC，在直角三角形ACG中，利用锐角三角函数定义求出∠ACG的度数，进而确定出AC所对圆心角的度数，再由AC的长求出半径，利用弧长公式即可求出AC的长，即可求出点F所经过的路径长．

【详解】

连接AC，AO，

∵AB⊥CD，

∴G为AB的中点，即AG=BG=1

2

AB，

∵⊙O的半径为4，弦AB⊥CD且过半径OD的中点，

∴OG=2，

∴在Rt△AOG中，根据勾股定理得：AG= AO2?OG2=2

∴AB=2AG=4

又∵CG=CO+GO=4+2=6，

∴在Rt△AGC中，根据勾股定理得：AC= AG2+CG2=4

∵CF⊥AE，

∴△ACF始终是直角三角形，点F的运动轨迹为以AC为直径的半圆，

当E位于点B时，CG⊥AE，此时F与G重合；当E位于D时，CA⊥AE，此时F与A重合，∴当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长AC，

在Rt△ACG中，tan∠ACG=AG

CG =3

3

，

∴∠ACG=30°，

∴AC所对圆心角的度数为60°，∵直径AC=43，

∴AC的长为60π×23

180=23

3

π，

则当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F所经过的路径长为23

3

π．

故选D．

【点睛】

此题考查了圆的综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，勾股定理，锐角三角函数定义，弧长公式，以及圆周角定理，其中根据题意得到点E从点B出发顺时针运动到点D 时，点F所经过的路径长AG，是解本题的关键．

二、解答题

21．如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；

（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；

（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使∠BQC=∠BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=﹣1

3x2+2

3

x+1；（2）点P的坐标为（1，4

3

）或（2，1）

；

初三数学圆的专项培优练习题含答案

初三数学圆的专项培优练习题（含答案） ?EB 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成 立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三 2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆 的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．C．6 D． 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1

7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=，BE=2．

人教版2018年九年级数学上册24.1与圆有关的性质同步培优卷(含答案)

2018年九年级数学上册圆-与圆有关的性质同步培优卷 一、选择题: 1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠OBC=42°，则∠A的度数是（） A．42°B．48°C．52°D．58° 2.如图A，B，C是⊙O上的三个点，若∠AOC=100°，则∠ABC等于（） A．150°B．120°C．100°D．130° 3.如图，A．B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（）

A．40°B．45°C．50°D．55° 4.如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（） A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5 5.如图，⊙O的圆心角∠BOC=112°，点D在弦BA的延长线上且AD=AC，则∠D的度数为（）

A．28°B．56°C．30°D．41° 6.如图，AC是⊙O的直径，∠BAC=20°，P是弧AB的中点，则∠PAB等于（） A．35°B．40°C．60°D．70° 7.AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上．若∠ABD=42°，则∠BCD的度数是( )

A．122°B．128°C．132°D．138° 8.如图,Rt△ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合,B点与0刻度线的一端重合, ∠ABC=40°,射线CD绕点C转动,与量角器外沿交于点D,若射线CD将△ABC分割出以BC 为边的等腰三角形,则点D在量角器上对应的度数是（） A．40°B．70°C．70°或80°D．80°或140° 9.如图,⊙O的半径为2,点A为⊙O上一点,半径OD⊥弦BC于D,如果∠BAC=60°,那么OD的长是（）

最新(师)九年级数学培优《圆》专题训练

1- ____________________________________________________________________________________________________ ____________ 周老师·数学培优 九年级数学培优《圆》专题训练（一） 1

2- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 2

3- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 3

4- ____________________________________________________________________________________________________ ____________ 周老师·数学培优 九年级数学培优《圆》专题训练（二） 4

5- ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________________ ____________ 周老师·数学培优 5

生九年级数学培优圆专题训练

1. 3. 4. 5. 6. 九年级数学培优《圆》专题训练（一） 1. ISI 在同一平面内与已知点O的距离尊于3cm的所有点组成的图形是 下列说法正磽的是（h 2直径是弦*弦星直径B过圜心的线段是直控 U圆中最长的弦是立轻 D.直径只有一条 下列说法：①半国是弧宇②飙是半圆*③鬭中的弧分为优弧和劣弧.其中正确的个数有（ A, 0 R 1 D. 3 如图，点C在以AR直径的半圆上，O为画心，ZA = 20\则ZBOC#于（）. A. 20* & 30°U 40" D. 50" 如图，AB是?O的宜否，点GD在0O上，AD//OC,则NAOD的度数为《 A. 70p a 60n C 50* D. 40* 如图，在△ABC中，AB为00的直径,ZB-60% ZC-70fl,则ZBOD的度数是（ 2 80* B L90* C?100a D?120° 如图， 8 ) . &如图, 求证: 第4题图 已知OA、OH是00的两条半径* G D分别为OA.OB上一点, AD=Ha 9.如匪L已知同心岡O*大凰的半径AO、BO分别交小圆于C、D,求证* 10.如图，已知AB为30的直径，C为圆周上一点，求证x ZACB = 90*.

在?0中，为GO 的弦* UD 是直线AE 上两点，AC=BD,求i￡ r OC=OR 14. 期图，AABC 和厶AMD 都为直角△, KZC-ZD=90\求证s A. B. C. D 四点在同一个圆上. D — 心如图，点P 为GO 外一点*卩0及延长线分别交（30于A 、爲 过点P 作一直线交?0于51、N （异于 去B ）. 九年级数学培优《圆》专题训练（二） 同孙3整 严? TT jftWF 徑= 1L 如图， AB. AC 是0O 的两条弦，且= 求证? AO±BC. B 12.如图, 13.如图， 求ZDOE 的度8L CD 是?O 的直径* A 为DC 延长线上一点，AE 交?0 + B t 连OE, ZA-20D , AB^OC, \B f

初三数学圆的专项培优练习题含答案

初三数学圆的专项培优练习题含答案 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是?EB 的中点，则下列结论不成立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三 2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F 作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1

＝38°.点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（） A．19° B．38° C．52° D．76° 图四图五 6．如图五，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD=6，且AE：BE =1：3，则AB= ．7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．

人教版数学九年级上册 圆 几何综合(培优篇)(Word版 含解析)

人教版数学九年级上册圆几何综合（培优篇）（Word版含解 析） 一、初三数学圆易错题压轴题（难） 1．如图，抛物线的对称轴为轴，且经过(0，0)， ()两点，点P在抛物线上运动，以P为圆心的⊙P经过定点A(0，2)， (1)求的值； (2)求证：点P在运动过程中，⊙P始终与轴相交； (3)设⊙P与轴相交于M，N(＜)两点，当△AMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标． 【答案】（1）a=，b=c=0；（2）证明见解析；（3）P的纵坐标为0或4+2或4﹣ 2． 【解析】 试题分析：（1）根据题意得出二次函数一般形式进而将已知点代入求出a，b，c的值即可； （2）设P（x，y），表示出⊙P的半径r，进而与x2比较得出答案即可； （3）分别表示出AM，AN的长，进而分别利用当AM=AN时，当AM=MN时，当AN=MN 时，求出a的值，进而得出圆心P的纵坐标即可． 试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过 （0，0）和（，）两点， ∴抛物线的一般式为：y=ax2， ∴=a（）2， 解得：a=±，

∵图象开口向上，∴a=， ∴抛物线解析式为：y=x2， 故a=，b=c=0； （2）设P（x，y），⊙P的半径r=， 又∵y=x2，则r=， 化简得：r=＞x2， ∴点P在运动过程中，⊙P始终与x轴相交； （3）设P（a，a2），∵PA=， 作PH⊥MN于H，则PM=PN=， 又∵PH=a2， 则MH=NH==2， 故MN=4， ∴M（a﹣2，0），N（a+2，0）， 又∵A（0，2），∴AM=，AN=，当AM=AN时，=， 解得：a=0， 当AM=MN时，=4， 解得：a=2±2（负数舍去），则a2=4+2； 当AN=MN时，=4， 解得：a=﹣2±2（负数舍去），则a2=4﹣2； 综上所述，P的纵坐标为0或4+2或4﹣2．

初三数学圆与相似的专项培优练习题及答案.doc

初三数学圆与相似的专项培优练习题及答案 一、相似 1．如图所示，△ ABC 中， AB=AC，∠ BAC=90°， AD⊥ BC， DE⊥ AC，△ CDE 沿直线 BC 翻折到△ CDF，连结 AF 交 BE、 DE、 DC分别于点 G、 H、I． （1）求证： AF⊥ BE； （2）求证： AD=3DI． 【答案】（1）证明：∵在△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=90°， D 是 BC 的中点， ∴AD=BD=CD，∠ ACB=45 ，° ∵在△ ADC中， AD=DC，DE⊥ AC， ∴A E=CE， ∵△ CDE沿直线 BC 翻折到△ CDF， ∴△ CDE≌ △CDF， ∴C F=CE，∠ DCF=∠ACB=45 ，° ∴C F=AE，∠ ACF=∠DCF+∠ACB=90 ，° 在△ ABE 与△ ACF中， ， ∴△ ABE≌ △ ACF（SAS）， ∴∠ ABE=∠ FAC， ∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，° ∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，° ∴∠ AGB=90 ，° ∴AF⊥BE （2）证明：作IC 的中点 M，连接 EM，由（ 1）∠ DEC=∠ECF=∠ CFD=90°

∴四边形 DECF是正方形， ∴EC∥ DF， EC=DF， ∴∠ EAH=∠ HFD， AE=DF， 在△ AEH 与△FDH 中 ， ∴△ AEH≌ △FDH（ AAS）， ∴EH=DH， ∵∠ BAG+∠ CAF=90 ，° ∴∠ BAG+∠ ABE=90 ，° ∴∠ AGB=90 ，° ∴AF⊥BE， ∵M 是 IC 的中点， E 是 AC 的中点， ∴EM∥AI， ∴， ∴DI=IM ， ∴CD=DI+IM+MC=3DI， ∴AD=3DI 【解析】【分析】（ 1）根据翻折的性质和SAS 证明△ ABE≌ △ ACF，利用全等三角形的性 质得出∠ ABE=∠ FAC，再证明∠ AGB=90°，可证得结论。 （2）作IC 的中点M ，结合正方形的性质，可证得∠ EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS 证明△AEH 与△ FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。 2．如图，抛物线 y=﹣ +bx+c 过点 A（ 3，0）， B（ 0， 2）． M（ m， 0）为线段 OA 上一个动点（点 M 与点 A 不重合），过点 M 作垂直于 x 轴的直线与直线 AB 和抛物线分别交于 点P、 N．

中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)

中考数学圆的综合(大题培优易错难题) 一、圆的综合 1．如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，且点C是的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，交AF的延长线于点E． （1）求证：AE⊥DE； （2）若∠BAF=60°，AF=4，求CE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 试题分析：（1）首先连接OC，由OC=OA，，易证得OC∥AE，又由DE切⊙O于点C，易证得AE⊥DE； （2）由AB是⊙O的直径，可得△ABC是直角三角形，易得△AEC为直角三角形，根据 AE=3求得AC的长，然后连接OF，可得△OAF为等边三角形，知AF=OA=AB，在△ACB 中，利用已知条件求得答案． 试题解析：（1）证明：连接OC， ∵OC=OA， ∴∠BAC=∠OCA， ∵ ∴∠BAC=∠EAC， ∴∠EAC=∠OCA， ∴OC∥AE， ∵DE切⊙O于点C， ∴OC⊥DE， ∴AE⊥DE； （2）解：∵AB是⊙O的直径， ∴△ABC是直角三角形，

∵∠CBA=60°， ∴∠BAC=∠EAC=30°， ∵△AEC为直角三角形，AE=3， ∴AC=2， 连接OF， ∵OF=OA，∠OAF=∠BAC+∠EAC=60°， ∴△OAF为等边三角形， ∴AF=OA=AB， 在Rt△ACB中，AC=2，tan∠CBA=， ∴BC=2， ∴AB=4， ∴AF=2． 考点：切线的性质． 2．已知?ABCD的周长为26，∠ABC=120°，BD为一条对角线，⊙O内切于△ABD，E，F，G 为切点，已知⊙O的半径为3?ABCD的面积． 【答案】3 【解析】 【分析】 首先利用三边及⊙O的半径表示出平行四边形的面积，再根据题意求出AB+AD=13，然后利用切线的性质求出BD的长即可解答. 【详解】 设⊙O分别切△ABD的边AD、AB、BD于点G、E、F； 平行四边形ABCD的面积为S； 则S=2S△ABD=2×1 2 (AB·OE+BD·OF+AD·3（AB+AD+BD）； ∵平行四边形ABCD的周长为26， ∴AB+AD=13， ∴3；连接OA； 由题意得：∠OAE=30°， ∴AG=AE=3；同理可证DF=DG，BF=BE；∴DF+BF=DG+BE=13﹣3﹣3=7， 即BD=7， ∴313+7）3 即平行四边形ABCD的面积为3．

人教版九年级上册数学 圆 几何综合(培优篇)(Word版 含解析)

人教版九年级上册数学 圆 几何综合（培优篇）（Word 版 含解 析） 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，二次函数y=x 2-2mx+8m 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边且OA≠OB ),交y 轴于点C ，且经过点（m ，9m ）,⊙E 过A 、B 、C 三点。 （1）求这条抛物线的解析式； （2）求点E 的坐标； （3）过抛物线上一点P （点P 不与B 、C 重合）作PQ ⊥x 轴于点Q ，是否存在这样的点P 使△PBQ 和△BOC 相似？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，说明理由 【答案】（1）y=x 2 +2x-8（2）（-1，- 72）（3）（-8，40），（-15 4，-1316），（-174 ，-25 16 ） 【解析】 分析：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+=，解这个方程可求出m 的值； （2）分别令y =0和x =0，求出OA ，OB ，O C 及AB 的长，过点E 作EG x ⊥轴于点 G ,EF y ⊥轴于点F ,连接CE ，AE ,设OF =GE =a ,根据AE CE = ，列方过程求出a 的值， 从而求出点E 的坐标； （3）设点P (a , a 2+2a -8)， 则2 28,2PQ a a BQ a =+-=-，然后分PBQ ∽CBO 时 和PBQ ∽BCO 时两种情况，列比例式求出a 的值，从而求出点P 的坐标. 详解：（1）把(),9m m 代入解析式，得：22289m m m m -+= 解得：121,0m m =-=（舍去） ∴228y x x =+-

数学培优竞赛新方法(九年级)第21讲圆与圆

第20讲 圆与圆 知识纵横 圆与圆的位置关系有外离、外切、相交、内切、内含五种情形，判定两圆的位置关系有如下二种方法： 1.通过两圆交点的个数确定； 2.通过两圆的半径与圆心距的大小量化确定。 为了沟通两圆，常常添加与两圆都有联系的一些线段，如公共弦、公切线、连心线，以及两圆公共部分相关的角和线段，这是解圆与圆位置关系问题的常用辅助线。 例题求解 【例1】如图，相距cm 2的两点A 、B 在直线l 上，它们分别以s cm s cm /1,/2的速度在l 上同时向右平移，当点A 、B 分别平移到点1A 、1B 的位置时，半径为cm 1的1A Θ与半径为1BB 的B Θ相切，则点A 平移到点1A 所用的时间为__________s . （2011年嵊州市中考题） 思路点拨 两个动圆，1A Θ移动圆心，B Θ的半径大小改变，两动圆内切或外切，故应全面讨论。 【例2】如图，圆心为A 、B 、C 的三圆彼此相切，且均与直线l 相切。若C B A ΘΘΘ,,的半径分别为c b a ,,)0(b a c πππ，则c b a ,,一定满足的关系式为（ ）。 （天津市竞赛题） c a b A +=2. c a B +=62. b a c C 111.+= b a c D 1 11. += 思路点拨 从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径和分切线的关系，解题的关键 是作圆的基本辅助线。

【例3】如图①，在矩形ABCD 中，cm BC cm AB 4,20==，点P 从A 开始沿折线 D C B A →→→一以s cm /4的速度移动，点M 从C 开始沿CD 边以s cm /1的速度移动。如果点P 、M 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运 动，设运动时间为)(s t 。 （1）t 为何值时，四边形APMD 为矩形？ （2）如图②，M P ΘΘ,的半径都是cm 2，那么t 为何值时，M P ΘΘ,相外切？ （南京市中考题） 思路点拨 对于（1），把相关线段用t 的式子表示，利用图形性质建立方程；对于（2），解题的关键是分情况讨论。 【例4】已知1O Θ与2O Θ相交于B A ,，且1O Θ的半径为cm 3，2O Θ的半径为.5cm （1）过点B 作AB CD ⊥分别交1O Θ和2O Θ于D C ,两点，连接AC AD ,，如图①，试求 AD AC 的值； （2）过点B 任画一条直线分别交1O Θ与2O Θ于F E ,，连接AE 和AF ，如图②，试求AF AE 的值。 （巴中市中考题） 思路点拨 对于（2）， AF AE 应与两圆半径相关，需构造相似三角形，利用图①或构造直径或联想相交两圆的性质。

九年级圆 几何综合单元培优测试卷

九年级圆几何综合单元培优测试卷 一、初三数学圆易错题压轴题（难） 1．在圆O中，C是弦AB上的一点，联结OC并延长，交劣弧AB于点D，联结AO 、BO、AD、BD．已知圆O的半径长为5，弦AB的长为8． （1）如图1，当点D是弧AB的中点时，求CD的长； （2）如图2，设AC=x，ACO OBD S S=y，求y关于x的函数解析式并写出定义域； （3）若四边形AOBD是梯形，求AD的长． 【答案】（1）2；（2） 2825 x x x -+ （0＜x＜8）;（3）AD= 14 5 或6． 【解析】 【分析】 (1)根据垂径定理和勾股定理可求出OC的长. (2)分别作OH⊥AB，DG⊥AB，用含x的代数式表示△ACO和△BOD的面积，便可得出函数解析式. (3)分OB∥AD和OA∥BD两种情况讨论. 【详解】 解：（1）∵OD过圆心，点D是弧AB的中点，AB=8， ∴OD⊥AB，AC= 1 2 AB=4， 在Rt△AOC中，∵∠ACO=90°，AO=5， ∴22 AO AC -， ∴OD=5， ∴CD=OD﹣OC=2； （2）如图2，过点O作OH⊥AB，垂足为点H， 则由（1）可得AH=4，OH=3， ∵AC=x， ∴CH=|x﹣4|， 在Rt△HOC中，∵∠CHO=90°，AO=5， ∴22 HO HC +22 3|x4| +-2825 x x -+

∴CD=OD ﹣OC=5 过点DG ⊥AB 于G ， ∵OH ⊥AB ， ∴DG ∥OH ， ∴△OCH ∽△DCG ， ∴ OH OC DG CD =， ∴DG=OH CD OC ? 35， ∴S △ACO = 12AC ×OH=12x ×3=32 x ， S △BOD =12BC （OH +DG ）=12（8﹣ x ）×（3 35）=3 2 （8﹣ x ） ∴y= ACO OBD S S = ()32 3582x x - （0＜x ＜8） （3）①当OB ∥AD 时，如图3， 过点A 作AE ⊥OB 交BO 延长线于点E ，过点O 作OF ⊥AD ，垂足为点F ， 则OF=AE ， ∴S=12AB?OH=1 2 OB?AE ， AE= AB OH OB ?=24 5 =OF ， 在Rt △AOF 中，∠AFO=90°， AO=5， ∴75 ∵OF 过圆心，OF ⊥AD ， ∴AD=2AF=14 5 ． ②当OA ∥BD 时，如图4，过点B 作BM ⊥OA 交AO 延长线于点M ，过点D 作DG ⊥AO ，垂足为点G ， 则由①的方法可得DG=BM= 245 ， 在Rt △GOD 中，∠DGO=90°，DO=5，

人教版九年级数学培优提高题(圆)

F H O G E D C B A P 人教版九年级数学培优提高题(圆) 1. 在平面直角坐标系中，半径为5的⊙O 与x 轴交于A （－2，0）、B （4，0），则圆心点M 坐标为 _________. 2．如图，MON 中，∠MON=900 ，过线段MN 中点A 作AB ∥ON 交M 弧MN 于点B ，则∠BON= 度。 3．一个半径为1cm 的圆，在边长为6cm 的正六边形内任意挪动（圆可以与正六边形的 边相切），则圆在正六边形内不能达到的部分的面积为 cm 2 。 4．如图，⊙A 、⊙B 的圆心A 、B 在直线l 上，两圆半径都为1cm ，开始时圆心距AB=4cm 现⊙A 沿直线l 以每秒2cm 的速度相向⊙B 移动（⊙B 不动），则当两圆相切时， ⊙A 运动的时间为 秒． 5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，OD ∥AC ，下列结论错误的是（ ） ①∠BOD＝∠BAC ； ②∠BOD＝∠COD ； ③∠BAD＝∠CAD ； ④∠C＝∠D ； 其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了( ) A ．1圈 B ．1.5圈 C ．2圈 D ．2.5圈 7．如图，在⊙O 中，直径AB 垂直弦CD ，E 为BC 弧上一点，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=2∠4；③∠3+∠5=180°。其中正确的是（ ） A ．①③ B ．①② C ．①②③ D ．②③ 8．如图，△ABC 内接于⊙O ，BA ＝BC ，AD ⊥BC 于D 并延长交⊙O 于G ，OE 是BC 的弦心距，连结BO 并延长交AD 于F ，连OA ，下列结论：①∠ABC ＝2∠CAF ；②AF ＝2OE ；③DF ＝DG ；④AF ＝CD ．其中正确的结论是（ ） A ．只有①②③ B ．只有①③④ C ．只有②③④ D ．只有①④ 9．如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 是⊙O 的六等分点，点P 是DE 的中点，连结AD 、BF 、AC 、BP ，AC 、BP 交于H.下列结论中：①GF=GB ；②AC=BF ；③3AC AB =；④2PH AH =.其中正确的命题有（ ） r r 第6题图 A B O M N B O A C D G O F E D C B A E 54 32 1A B C O O A B C E

人教版九年级数学上学期期末培优专项习题：圆(含答案)

期末培优专项习题：圆 1．如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．（1）求证：BD＝CD； （2）若AB＝4，∠BAC＝45°，求阴影部分的面积． 2．如图，AB是⊙O的直径，点C是圆周上一点，连接AC、BC，以点C为端点作射线CD、CP分别交线段AB所在直线于点D、P，使∠1＝∠2＝∠A． （1）求证：直线PC是⊙O的切线； （2）若CD＝4，BD＝2，求线段BP的长．

3．如图，以△ABC的边AC为直径的O恰为△ABC的外接圆，∠ABC的平分线交O于点D，过点D作DE∥AC交BC的延长线于点E （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若AB＝4，BC＝2，求DE的长． 4．如图，BD是⊙O的直径，点A．C在圆周上，∠CBD＝20°，求∠A的度数．

5．如图，AB＝AC，⊙O为△ABC的外接圆，AF为⊙O的直径，四边形ABCD是平行四边形． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若∠BAC＝45°，AF＝2，求阴影部分的面积． 6．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O点D．点E在⊙O上．（1）若∠AOC＝40°，求∠DEB的度数； （2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长．

7．如图，E是Rt△ABC的斜边AB上一点，以AE为直径的⊙O与边BC相切于点D，交边AC于点F，连结AD． （1）求证：AD平分∠BAC． （2）若AE＝2，∠CAD＝25°，求的长． 8．如图，以AB为直径的⊙O交∠BAD的角平分线于C，过C作CD⊥AD于D，交AB的延长线于E． （1）求证：直线CD为⊙O的切线； （2）当AB＝2BE，且CE＝时，求AD的长． 9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过 A、C、D三点的圆O与斜边AB交于点E，连接DE． （1）求证：AC＝AE； （2）求线段DE的长；

(完整版)初三数学圆的专项培优练习题(含答案)

初三数学圆的专项培优练习题（含答案） 1．如图1，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是?EB的中点，则下列结论不成立的是（） A．OC∥AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 图一图二图三2．如图2，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4 B．33C．6 D．23 3．四个命题： ①三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分； ②有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等； ③点P（1,2）关于原点的对称点坐标为（－1，－2）； ④两圆的半径分别是3和4，圆心距为d，若两圆有公共点，则1

7．已知AB是⊙O的直径，AD⊥l于点D． （1）如图①，当直线l与⊙O相切于点C时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小； （2）如图②，当直线l与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小． 8．如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P 作AB的垂线交BC的延长线于点Q。在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD 与⊙O的位置关系，并说明理由。 9．如图，AB是⊙O的直径，AF是⊙O切线，CD是垂直于AB的弦，垂足为E，过点C作DA 的平行线与AF相交于点F，CD=43，BE=2． 求证：（1）四边形FADC是菱形；（2）FC是⊙O的切线．

2020-2021中考数学圆的综合(大题培优 易错 难题)及详细答案

2020-2021中考数学圆的综合(大题培优易错难题)及详细答案 一、圆的综合 1．如图，⊙A过?OBCD的三顶点O、D、C，边OB与⊙A相切于点O，边BC与⊙O相交于点H，射线OA交边CD于点E，交⊙A于点F，点P在射线OA上，且∠PCD=2∠DOF，以O为原点，OP所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，点B的坐标为（0，﹣2）． （1）若∠BOH=30°，求点H的坐标； （2）求证：直线PC是⊙A的切线； （3）若OD=10，求⊙A的半径． 【答案】（1）（132）详见解析；（3）5 3 . 【解析】 【分析】 （1）先判断出OH=OB=2，利用三角函数求出MH，OM，即可得出结论； （2）先判断出∠PCD=∠DAE，进而判断出∠PCD=∠CAE，即可得出结论；（3）先求出OE═3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论．【详解】 （1）解：如图，过点H作HM⊥y轴，垂足为M． ∵四边形OBCD是平行四边形， ∴∠B=∠ODC ∵四边形OHCD是圆内接四边形 ∴∠OHB=∠ODC ∴∠OHB=∠B ∴OH=OB=2 ∴在Rt△OMH中， ∵∠BOH=30°， ∴MH=1 2 OH=1，33 ∴点H的坐标为（13 （2）连接AC． ∵OA=AD， ∴∠DOF=∠ADO ∴∠DAE=2∠DOF

∵∠PCD=2∠DOF， ∴∠PCD=∠DAE ∵OB与⊙O相切于点A ∴OB⊥OF ∵OB∥CD ∴CD⊥AF ∴∠DAE=∠CAE ∴∠PCD=∠CAE ∴∠PCA=∠PCD+∠ACE=∠CAE+∠ACE=90°∴直线PC是⊙A的切线； （3）解：⊙O的半径为r． 在Rt△OED中，DE=1 2 CD= 1 2 OB=1，OD=10， ∴OE═3 ∵OA=AD=r，AE=3﹣r． 在Rt△DEA中，根据勾股定理得，r2﹣（3﹣r）2=1 解得r=5 3 ． 【点睛】 此题是圆的综合题，主要考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，勾股定理，切线的性质和判定，构造直角三角形是解本题的关键． 2．如图1，直角梯形OABC中，BC∥OA，OA=6，BC=2，∠BAO=45°． （1）OC的长为； （2）D是OA上一点，以BD为直径作⊙M，⊙M交AB于点Q．当⊙M与y轴相切时，sin∠BOQ=；

人教版九年级上册数学 圆 几何综合单元培优测试卷

人教版九年级上册数学圆几何综合单元培优测试卷 一、初三数学圆易错题压轴题（难） 1．如图①，一个Rt△DEF直角边DE落在AB上，点D与点B重合，过A点作二射线AC 与斜边EF平行，己知AB=12，DE=4，DF=3，点P从A点出发，沿射线AC方向以每秒2个单位的速度运动，Q为AP中点，设运动时间为t秒（t＞0）? （1）当t=5时，连接QE，PF，判断四边形PQEF的形状； （2）如图②，若在点P运动时，Rt△DEF同时沿着BA方向以每秒1个单位的速度运动，当D点到A点时，两个运动都停止，M为EF中点，解答下列问题： ①当D、M、Q三点在同一直线上时，求运动时间t； ②运动中，是否存在以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切？若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，说明理由． 【答案】（1）平行四边形EFPQ是菱形；（2）t=；当t为5秒或10秒时，以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切． 【解析】 试题分析：（1）过点Q作QH⊥AB于H，如图①，易得PQ=EF=5，由AC∥EF可得四边形EFPQ是平行四边形，易证△AHQ∽△EDF，从而可得AH=ED=4，进而可得AH=HE=4，根据垂直平分线的性质可得AQ=EQ，即可得到PQ=EQ，即可得到平行四边形EFPQ是菱形；（2）①当D、M、Q三点在同一直线上时，如图②，则有AQ=t，EM=EF=，AD=12-t，DE=4．由EF∥AC可得△DEM∽△DAQ，然后运用相似三角形的性质就可求出t的值； ②若以点Q为圆心的圆与Rt△DEF两个直角边所在直线都相切，则点Q在∠ADF的角平分线上（如图③）或在∠FDB的角平分线（如图④）上，故需分两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质求出AH、DH（用t表示），再结合AB=12，DB=t建立关于t的方程，然后解这个方程就可解决问题． 试题解析：（1）四边形EFPQ是菱形． 理由：过点Q作QH⊥AB于H，如图①，

苏科版九年级数学上册培优：圆的基本性质附答案

圆的基本性质 【思维入门】 1． 一条水管的截面如图3－9－1所示，已知排水管的半径OB ＝10，水面宽AB ＝16，则截面圆心O 到水面的距离OC 是 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 图3－9－1 图3－9－2 图3－9－3 2．如图3－9－2，⊙O 的直径AB ＝12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ∶AP ＝1∶5，则CD 的长为 ( ) A ．4 2 B ．82 C ．2 5 D ．4 5 3．如图3－9－3，M 是CD 的中点，EM ⊥CD ，若CD ＝4，EM ＝8，则点C ，E ，D 所在圆的半径为_______ ． 4．如图3－9－4，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴交于O ，A 两点，点A 的坐标为(6，0)，⊙P 的半径为13，则点P 的坐标为____． 图3－9－4 图3－9－5 5．如图3－9－5，已知⊙O 的直径AB ＝6，E ，F 为AB 的三等分点，M ，N 为AB ︵ 上两点，且∠MEB ＝∠NFB ＝60°，则EM ＋FN ＝____． 【思维拓展】 6．如图3－9－6，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交汇，∠QON ＝30°，公路PQ 上A 处距离O 点240 m ，如果火车行驶时，周围200 m 以内会受到噪音的影响，那么火

车在铁路MN 上沿MN 方向以72 km/h 的速度行驶时，A 处受到噪音影响的时间为( ) A ．12 s B ．16 s C ．20 s D ．24 s 7．如图3－9－7，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EA D.已知DE ＝6，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则弦BC 的弦心距等于( ) A.41 B.34 C ．4 D ．3 图3－9－7 图3－9－8 8．如图3－9－8，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵ ，M 是AB 上一动点，CM ＋DM 的最小值为____cm. 9．如图3－9－9，已知AB 是⊙O 的弦，半径OC ，OD 与AB 分别交于点E ，F ，且AE ＝BF ，求证：AC ︵＝BD ︵ . 图3－9－9 10．如图3－9－10，要把破残的圆片复制完整，已知弧上的三点A ，B ，C . (1) 用尺规作图，画出BAC ︵ 所在圆的圆心O (保留作图痕迹，不写作法)； (2)设△ABC 是等腰三角形，底边BC ＝10 cm ，腰AB ＝6 cm ，求圆片的半径R (结果保留根号)，若R 的值满足n ＜R ＜m (m ，n 为相邻的正整数)，求出m 和n 的值． 图3－9－10

初三数学圆的专项培优练习题

初三数学圆的专项培优练习题 【知识点回顾】 1、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?并且平分弦所对的两条弧及其运用． 2、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，?所对的弦也相等及其运用． 3、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，?都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用． 4、半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90?°的圆周角所对的弦是直径及其运用． 5、不在同一直线上的三个点确定一个圆． 6、直线L和⊙O相交dr 及其运用． 7、圆的切线垂直于过切点的半径及其运用． 8、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题． 9、从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，?这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角及其运用． 10、两圆的位置关系：d与r 1和r 2 之间的关系：外离d>r 1 +r 2 ；外切d=r 1 +r 2 ； 相交│r 2-r 1 │

数学九年级上册 圆 几何综合单元培优测试卷

数学九年级上册 圆 几何综合单元培优测试卷 一、初三数学 圆易错题压轴题（难） 1．如图，在直角体系中,直线AB 交x 轴于点A(5,0),交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交AB 于点C,且AC=3.取BO 的中点D,连接CD 、MD 和OC ． （1）求证：CD 是⊙M 的切线； （2）二次函数的图象经过点D 、M 、A,其对称轴上有一动点P,连接PD 、PM,求△PDM 的周长最小时点P 的坐标； （3）在（2）的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点Q ，使S △PDM =6S △QAM ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】解：（1）证明：连接CM ， ∵OA 为⊙M 直径，∴∠OCA=90°．∴∠OCB=90°． ∵D 为OB 中点，∴DC=DO ．∴∠DCO=∠DOC ． ∵MO=MC ，∴∠MCO=∠MOC ． ∴ ． 又∵点C 在⊙M 上，∴DC 是⊙M 的切线． （2）∵A 点坐标（5，0），AC=3 ∴在Rt △ACO 中，． ∴545(x )x 5)12152- =--（，∴，解得10 OD 3 = ． 又∵D 为OB 中点，∴ 1552 4 +∴D 点坐标为（0，154)． 连接AD ，设直线AD 的解析式为y=kx+b ，则有

解得． ∴直线AD 为 ． ∵二次函数的图象过M （5 6 ，0)、A(5，0)， ∴抛物线对称轴x= 154 ． ∵点M 、A 关于直线x=154对称，设直线AD 与直线x=15 4 交于点P ， ∴PD+PM 为最小． 又∵DM 为定长，∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=15 4 的交点． 当x= 15 4时，45y (x )x 5)152 = --（． ∴P 点的坐标为（15 4，56 ）． （3）存在． ∵ ，5 y a(x )x 5)2 =--（ 又由（2）知D （0，154)，P （15 4，56 ）， ∴由 ，得 ，解得y Q =± 103 ． ∵二次函数的图像过M(0，5 6 )、A(5，0）， ∴设二次函数解析式为， 又∵该图象过点D （0，15 4 )，∴，解得a= 512 ． ∴二次函数解析式为 ． 又∵Q 点在抛物线上，且y Q =±103 ． ∴当y Q =103 时，，解得x= 1552-或x=1552 +； 当y Q =5 12 - 时，，解得x= 15 4 ．

九年级数学培优提高题圆

-九年级数学培优提高题-圆

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G O F E D C B A 南门学校九年级数学培优提高题(圆) 1. 在平面直角坐标系中，半径为5的⊙O 与x 轴交于A （－2，0）、B （4，0），则圆心点M 坐标为 _________. 2．如图，MON 中，∠MON=900 ，过线段MN 中点A 作AB ∥ON 交M 弧MN 于点B ，则∠BON= 度。 3．一个半径为1cm 的圆，在边长为6cm 的正六边形内任意挪动（圆可以与正六边形的 边相切），则圆在正六边形内不能达到的部分的面积为 cm 2 。 4．如图，⊙A 、⊙B 的圆心A 、B 在直线l 上，两圆半径都为1cm ，开始时圆心距AB=4cm 现⊙A 沿直线l 以每秒2cm 的速度相向⊙B 移动（⊙B 不动），则当两圆相切时， ⊙A 运动的时间为 秒． 5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，OD ∥AC ，下列结论错误的是（ ） ①∠BOD＝∠BAC ； ②∠BOD＝∠COD ； ③∠BAD＝∠CAD ； ④∠C＝∠D ； 其中正确的结论有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．将两枚同样大小的硬币放在桌上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了( ) A ．1圈 B ．1.5圈 C ．2圈 D ．2.5圈 7．如图，在⊙O 中，直径AB 垂直弦CD ，E 为BC 弧上一点，下列结论：①∠1=∠2；②∠3=2∠4； ③∠3+∠5=180°。其中正确的是（ ） A ．①③ B ．①② C ．①②③ D ．②③ 8．如图，△ABC 内接于⊙O ，BA ＝BC ，AD ⊥BC 于D 并延长交⊙O 于G ，OE 是BC 的弦心距，连结BO 并延长交AD 于F ，连OA ，下列结论：①∠ABC ＝2∠CAF ；②AF ＝2OE ；③DF ＝DG ；④AF ＝CD ．其中正确的结论是（ ） A ．只有①②③ B ．只有①③④ C ．只有②③④ D ．只有①④ 9．如图，A 、B 、C 、D 、E 、F 是⊙O 的六等分点，点P 是DE 的中点，连结AD 、BF 、AC 、BP ，AC 、BP 交于H.下列结论中：①GF=GB ；②AC=BF ；③3AC AB =；④2PH AH =.其中正确的命题有（ ） r r 第6 A B O M N B O A C D O A B C D E