全国高中数学联赛模拟试题
全国高中数学联赛模拟试题(一)
（命题人：吴伟朝）
第一试
一、
选择题：（每小题6分，共36分）
1、 方程6×(5a 2
＋b 2
)＝5c 2
满足c ≤整数解(a ,b ,c )的个数是
（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）5
2、 函数1
2
-=x x y （x ∈R ，x ≠1）的递增区间是
（A ）x ≥2 （B ）x ≤0或x ≥2 （C ）x ≤0
（D ）x ≤21-或x ≥2
3、 过定点P (2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ，使△AOB （O 为原点）
的面积最小，则l 的方程为
（A ）x ＋y －3＝0 （B ）x ＋3y －5＝0 （C ）2x ＋y －5＝0 （D ）x ＋2y －4＝0 4、 若方程cos2x ＋3sin2x ＝a ＋1在??
?
???2,
0π上有两个不同的实数解x ，则参数a 的取值范围是
（A ）0≤a ＜1 （B ）－3≤a ＜1 （C ）a ＜1 （D ）0＜a ＜1
5、 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是
（A ）42 （B ）45 （C ）48 （D ）51
6、 在1,2,3,4,5的排列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中，满足条件a 1＜a 2，a 2＞a 3，a 3＜a 4，a 4＞a 5的
排列的个数是
（A ）8 （B ）10 （C ）14 （D ）16
二、
填空题：（每小题9分，共54分）
1、[x ]表示不大于x 的最大整数，则方程
2
1×[x 2
＋x ]＝19x ＋99的实数解x 是 ．
2、设a 1＝1，a n +1＝2a n ＋n 2
，则通项公式a n ＝ ．
3、数799
被2550除所得的余数是 ． 4、在△ABC 中，∠A ＝
3π，sin B ＝13
5，则cos C ＝ ． 5、设k 、是实数，使得关于x 的方程x 2
－(2k ＋1)x ＋k 2
－1＝0的两个根为sin 和
cos ，则的取值范围是 ． 6、数()
n
224
5+（n ∈N ）的个位数字是 ．
三、
（
已知x 、y 、z 都是非负实数，且x ＋y ＋z ＝1．
求证：x (1－2x )(1－3x )＋y (1－2y )(1－3y )＋z (1－2z )(1－3z )≥0，并确定等号成立的条件．
四、
（
（1） 求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 2
＋(a ＋)x ＋a ＝0的两根皆为整数．
（2） 试求出所有的实数a ，使得关于x 的方程x 3＋(－a 2＋2a ＋2)x －2a 2
－2a ＝0有三
个整数根．
五、
（
试求正数r 的最大值，使得点集T ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且x 2
＋(y －7)2
≤r 2
}一定被包含于另一个点集S ＝{(x ,y )|x 、y ∈R ，且对任何∈R ，都有cos2＋x cos ＋y ≥0}之中．
第二试
一、（50分）
设a 、b 、c ∈R ，b ≠ac ，a ≠－c ，z 是复数，且z 2
－(a －c )z －b ＝0．
求证：
()12=-+-+b
ac z
c a b a 的充分必要条件是(a －c )2＋4b ≤0． 二、（50分） 如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 均是锐角，D 是BC 边上的内点，
且AD 平分∠BAC ，过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ，其垂足是P 、Q ，两条直线CP 与BQ 相交与点K ．求证：
（1） AK ⊥BC ；
A
C
B
D Q
K P
（2） BC
S AQ AP AK ABC
△2<
=<，其中ABC S △表示△ABC 的面积．
三、（50分）
给定一个正整数n ，设n 个实数a 1,a 2,…,a n 满足下列n 个方程：
∑==+=+n
i i n j j j i a 1
),,3,2,1(124
．
确定和式∑=+=
n
i i
i a S 11
2的值（写成关于n 的最简式子）．
参考答案 第一试
二、填空题：
1、38181-
或38
1587
； 2、7×2n -1－n 2
－2n －3；
3、343；
4、
26
12
35-； 5、{|＝2n ＋或2n －
2
π
，n ∈Z } ；6、1（n 为偶数）；7（n 为奇数）．
三、证略，等号成立的条件是31===z y x 或?????
===021z y x 或?????===021y z x 或?????==
=0
21z z y ．
四、（1）a 的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－；（2）a 的可能
取值有－3，11，－1，9．
五、r max ＝24．
第二试
一、证略（提示：直接解出()2
i
42
?---±-=b c a c a z ，通过变形即得充分性成立，然
后利用反证法证明必要性）．
二、证略（提示：用同一法，作出BC 边上的高AR ，利用塞瓦定理证明AR 、BQ 、CP 三线共点，
从而AK ⊥BC ；记AR 与PQ 交于点T ，则BC
S ABC
△2＝AR ＞AT ＞AQ ＝AP ，对于AK ＜AP ，可证∠APK ＜∠AKP ）．
三、()
1121
2
++-=n S ．