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全国高中数学联赛模拟试题

全国高中数学联赛模拟试题(一)

(命题人:吴伟朝)

第一试

一、

选择题:(每小题6分,共36分)

1、 方程6×(5a 2

+b 2

)=5c 2

满足c ≤整数解(a ,b ,c )的个数是

(A )1 (B )3 (C )4 (D )5

2、 函数1

2

-=x x y (x ∈R ,x ≠1)的递增区间是

(A )x ≥2 (B )x ≤0或x ≥2 (C )x ≤0

(D )x ≤21-或x ≥2

3、 过定点P (2,1)作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于A 、B ,使△AOB (O 为原点)

的面积最小,则l 的方程为

(A )x +y -3=0 (B )x +3y -5=0 (C )2x +y -5=0 (D )x +2y -4=0 4、 若方程cos2x +3sin2x =a +1在??

?

???2,

0π上有两个不同的实数解x ,则参数a 的取值范围是

(A )0≤a <1 (B )-3≤a <1 (C )a <1 (D )0<a <1

5、 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是

(A )42 (B )45 (C )48 (D )51

6、 在1,2,3,4,5的排列a 1,a 2,a 3,a 4,a 5中,满足条件a 1<a 2,a 2>a 3,a 3<a 4,a 4>a 5的

排列的个数是

(A )8 (B )10 (C )14 (D )16

二、

填空题:(每小题9分,共54分)

1、[x ]表示不大于x 的最大整数,则方程

2

1×[x 2

+x ]=19x +99的实数解x 是 .

2、设a 1=1,a n +1=2a n +n 2

,则通项公式a n = .

3、数799

被2550除所得的余数是 . 4、在△ABC 中,∠A =

3π,sin B =13

5,则cos C = . 5、设k 、是实数,使得关于x 的方程x 2

-(2k +1)x +k 2

-1=0的两个根为sin 和

cos ,则的取值范围是 . 6、数()

n

224

5+(n ∈N )的个位数字是 .

三、

已知x 、y 、z 都是非负实数,且x +y +z =1.

求证:x (1-2x )(1-3x )+y (1-2y )(1-3y )+z (1-2z )(1-3z )≥0,并确定等号成立的条件.

四、

(1) 求出所有的实数a ,使得关于x 的方程x 2

+(a +)x +a =0的两根皆为整数.

(2) 试求出所有的实数a ,使得关于x 的方程x 3+(-a 2+2a +2)x -2a 2

-2a =0有三

个整数根.

五、

试求正数r 的最大值,使得点集T ={(x ,y )|x 、y ∈R ,且x 2

+(y -7)2

≤r 2

}一定被包含于另一个点集S ={(x ,y )|x 、y ∈R ,且对任何∈R ,都有cos2+x cos +y ≥0}之中.

第二试

一、(50分)

设a 、b 、c ∈R ,b ≠ac ,a ≠-c ,z 是复数,且z 2

-(a -c )z -b =0.

求证:

()12=-+-+b

ac z

c a b a 的充分必要条件是(a -c )2+4b ≤0. 二、(50分) 如图,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 均是锐角,D 是BC 边上的内点,

且AD 平分∠BAC ,过点D 分别向两条直线AB 、AC 作垂线DP 、DQ ,其垂足是P 、Q ,两条直线CP 与BQ 相交与点K .求证:

(1) AK ⊥BC ;

A

C

B

D Q

K P

(2) BC

S AQ AP AK ABC

△2<

=<,其中ABC S △表示△ABC 的面积.

三、(50分)

给定一个正整数n ,设n 个实数a 1,a 2,…,a n 满足下列n 个方程:

∑==+=+n

i i n j j j i a 1

),,3,2,1(124

确定和式∑=+=

n

i i

i a S 11

2的值(写成关于n 的最简式子).

参考答案 第一试

全国高中数学联赛模拟试题

二、填空题:

1、38181-

或38

1587

; 2、7×2n -1-n 2

-2n -3;

3、343;

4、

26

12

35-; 5、{|=2n +或2n -

2

π

,n ∈Z } ;6、1(n 为偶数);7(n 为奇数).

三、证略,等号成立的条件是31===z y x 或?????

===021z y x 或?????===021y z x 或?????==

=0

21z z y .

四、(1)a 的可能取值有0,-1336,-1936,-1960,-2664,-4000,-;(2)a 的可能

取值有-3,11,-1,9.

五、r max =24.

第二试

一、证略(提示:直接解出()2

i

42

?---±-=b c a c a z ,通过变形即得充分性成立,然

后利用反证法证明必要性).

二、证略(提示:用同一法,作出BC 边上的高AR ,利用塞瓦定理证明AR 、BQ 、CP 三线共点,

从而AK ⊥BC ;记AR 与PQ 交于点T ,则BC

S ABC

△2=AR >AT >AQ =AP ,对于AK <AP ,可证∠APK <∠AKP ).

三、()

1121

2

++-=n S .