2011届安福中学高三年级入学考试数学试卷(

2011届安福中学高三年级入学考试

数 学 试 卷（理科）

一．选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分.）

1．已知全集U=R ，则正确表示集合{}1,0,1M =-和{}

2

|0N x x x =+=的关系韦恩（Venn ）图

是（ ）

2.集合A={}

2

|210x x x ++

=，B={}

2|2

30x x x --=，则A B =（ ）

A ．{}1-

B ．{}3

C ．{}1,3-

D ．φ

3．已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{}{}(,)|(),(,)|1x y y f x x F x y x =∈= 中所含元素的个

数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．0或1

D ．0或2 4．若函数()y f x =的值域为1,32??

????

，则函数1

()()()F x f x f x =+的值域是（ ）

A ．1,32??????

B ．102,3??????

C ．510,23??????

D ．103,3??

????

5．为了得到函数3

lg

10

x y +=的图象，只需把函数lg y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

6．对,a b R ∈，设max(,)a a b

a b b a b

?≥?=??? ，则函数{}()max |1|,|2|f x x x =+-x R ∈的最小值

是（ ）

A ．0

B ．

12 C ．3

2

D ．3 7．“a ＜0”是方程“2

210ax x ++=至少有一个负根”的（ ）

A ．必要不充分

B ．充分不必要

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要

A

B

C

D

8．如图是幂函数m y x =与n y x =在第一象限内的图象，则（ ）

A ．－1＜n ＜0＜m ＜1

B ． 0＜m ＜1

C ．－1＜n ＜0，m ＞1

D ．n ＜－1，m ＞1

9．定义在R 上的偶函数()y f x =在[)0,+∞上递减，且1()02

f =，则满足不等式14

(log )0x f

的x 的集合为（ ）

A ．1

(,)(2,)2-∞+∞ B ．1(,1)(1,2)2 C ．1(,1)(2,)2+∞ D ．1(0,)(2,)2

+∞ 10．已知：定义在R 上的奇函数()f x 满足(4)()f x f x -=-，且在[0，2]上是增函数，则（ ）

A ．f(-25)＜f(11)＜f(80)

B ．f(80)＜f(11)＜f(-25)

C ．f(11)＜f(80)＜f(-25)

D ．f(-25)＜f(80)＜f(11)

11.图形M 是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形构成，函数()S S a =（a ≥0）是图形M 介于平行线y=0及y=a 之间的那一部分的面积，则函数()S a 的图象大致是（ ）

12．定义在R 上的函数()f x 满足(1)

2

log 0()(1)(2)0

x x f x f x f x x -?≤?=?---?? 则(2009)f 的值为（ ）

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2 二、填空题（每小题4分，共16分）

13．命题“对任意的x R ∈，32

1x x -+≤0”的否定为 。 14．函数2(56)

1

2

log x x y -+=的单调递增区间为 。

15．已知函数()1

a x f x x a -=

--的反函数1

()f x -的对称中心为（－1，3），则实数a 的值为 。

16．已知曲线2

ln 2

x y x =+的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 。 三．解答题：本大题共6小题，满分12+12+12+12+12+14=74分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

17．设2

{|150}A x x ax =--≥，2

{|20}B x x ax b =-+<，A ∩{|56}B x x =≤<，

求A ∪B .

18．若对满足

2

11

x >-的任意实数x ，使得不等式32236(6)x x x a +≥+恒成立， 求实数a 的取值范围.

19．已知二次函数()f x 满足(2)(2)f x f x +=-，(0)3f =;方程()0f x =有两个实根，

且两实根的平方和为10. （1）求函数()f x 的解析式；

（2）若关于x 的方程()20f x m -=在区间[0,3]内有根，求实数m 的取值范围.

20．已知函数()ln f x x =，2

1()2

g x x a =

+（a 为常数），若直线l 与()g f x =和()y g x =的图象都相切，且l 与()y f x =的图象相切于定点(1,(1))P f . （1）求直线l 的方程及a 的值；

（2）当k R ∈时，讨论关于x 的方程2(1)()f x g x k +-=的实数解的个数.

21.某工厂日生产某种产品最多不超过30件，且在生产过程中次品率p 与日产量x （+

N x ∈）

件间的关系为 ???????≤<+≤<+=.3015,3000

300,150,200

20

2x x x x p ，每生产一件正品盈利2900元，每出现一件

次品亏损1100元．

（Ⅰ）将日利润y （元）表示为日产量x (件)的函数； （Ⅱ）该厂的日产量为多少件时,日利润最大？ （100%,1p =?=-次品个数

注：次品率正品率产品总数

p ）

22．已知：函数32

11()62

f x x x x =-

++，x R ∈. （Ⅰ）求证：函数()f x 的图象关于点4

(1,)3

A 中心对称，

并求(2007)(2006)(0)(1)(2009)f f f f f -+-+++++ 的值.

（Ⅱ）设()()g x f x '=，1()n n a g a +=，n N +

∈，且112a <<，

求证：（ⅰ）当2n ≥时，3

12

n a <<；（ⅱ）12|||2n a a a +++<

数学答案（理科）

13．存在32,1x R x x ∈-+使得＞0 14．（－∞，2） 15．2 16．4x ―2y ―3=0

17．解：由题意知5x =是2150x ax --=的根，2551502a a ∴--=?=

（4分） 6x =是220x ax b -+=的根 12b ∴=-

（8分）

{|53}A x x x ∴=≥≤-或，{|26}B x x =-<< {|32}A B x x x ∴=≤->- 或

（12分）

18．解：由

221310(1)(3)0131111

x x x x x x x x x -->?-=>?--

2()6636,()0,6(2)(3)0f x x x f x x x ''∴=+-=-+=由解得 12x ∴=+，或3x =-（舍去）.

又当12x <<时，()0f x '<，23x <<时，()0f x '>，

()f x ∴在2x =处取得最小值 22

(2)44603

f a a =--≥?≤-

. （12分）

19．解：（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，

则22

2212

1212()2()2b c x x x x x x a a

+=+-=--? 22123423()10

b

a a c

b b

c c a

a ?-=?=???∴=?=-????=??-=? 2()43f x x x ∴=-+ （6分）

（2）()f x 在(0,2)为减函数，(2,3)为增函数，

min ()(2)1f x f ∴==-，max ()(0)3f x f ==. ()[1,3]f x ∴∈-.

由()2f x m = 13

12322

m m ∴-≤≤?-≤≤

（12分）

20．解：（1）1

()f x x

'=，(1)1f '∴=.∴切点为(1,0).

l ∴的解析式为1y x =-. （2分）

又l 与()y g x =相切， 22

1222012y x x x a y x a =-??

∴?-++=?=+?? 2(2)4(22)0a ?=--+=1

2

a ?=-

（5分）

（2）令22211

()(1)()ln(1)22

h x f x g x x x =+-=+-+

32222(1)(1)

()111

x x x x x x h x x x x x -++-'∴=-==-+++

（7分）

令12,3()00,1h x x x '=?==±.

1? (l n 2,)k ∈+∞时，方程无解. 2? 当ln 2k =时，方程有2解.

3? 当

1

ln 22

k <<，方程有4解. 4?

当1

2k =时，方程有3解.

5? 当1

2k <时，方程有2解.

（12分）

21. 解：（Ⅰ）???

????≤

?+-=.3015,30003001100300030012900,150,20020110020020129002

2x x x x x x x x x x y ??

?

??≤<-≤<-=.3015,342500,

150,2025003

2x x x x x x ……6分

22．解：（Ⅰ）设11(1,)P x y -是函数()f x 的图象上的任一点，则11(1)y f x =-，

又11(1,)P x y -关于4(1,)3A 的对称点是118

(1,)3

Q x y +-，

（1分）

而11(1)(1)f x f x ++-

32321111111111

(1)(1)(1)[(1)(1)(1)]6262x x x x x x =-++++++--+-+-

3322111111

[(1)(1)][(1)(1)]262x x x x =-++-+++-+

2211181233x x =--+++=，即11188

(1)(1)33

f x f x y +=--=-， （3分）

点118(1,)3Q x y +-也在函数()f x 的图象上，故()f x 的图象关于点4

(1,)3

中心对称.

（4分）

由于118

(1)(1)3

f x f x ++-=

， 1x ∈R .(2007)(2009)(2006)(2008)f f f f ∴-+=-+= (8)

(0)(2)3

f f =+=，

又4

(1)3

f =.

(2007)(2006)S f f =-+-+……(0)(1)f f +++……(2009)f +， 8

24017535623

S ∴=?=?，5356S ∴=.

故(2007)(2006)(2009)5356f f f -+-++= .

（6分）

（Ⅱ）21

()12

g x x x =-++.

（ⅰ）下面用数学归纳法证明：

1? 当2n =时，222111113

1(1)222a a a a =-++=--+

112a << 23

12a ∴<<.

2? 假设(2)n k k =≥时，312k a <<

则2113

()(1)22

k k k a g a a +==--+，又()g x 在[1,)+∞上单调递减，133

1(2)()(1)22k g g a g +∴-<<<=，这说明1n k =+时，命题也成立.

由1? 2?可知*3

1(N ,2)2

n a n n <<∈≥.

（10分）

（ⅱ）2111

||1||222

n n

n n n a a a a a +=-++=-?-+，

由于312n a <<

，|21n a ∴-<，11||2

n n a a +∴<，

于是11||2n n a a --<

< (22211111)

|(2,N*)2222

n n n a n n ---<-

所以，121211|||122n a a a -+++<+

++ (1)

1112()222

n n --+=-<