文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 函数极限的定义证明

函数极限的定义证明

习题1-3

1. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3

=-→x x ;

(2)12)25(lim 2

=+→x x ;

(3)42

4

lim

22-=+--→x x x ; (4)21

241lim 3

2

1=+--→x x x .

证明 (1)分析 |(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε3

1

|3|<-x .

证明 因为?ε >0, ?εδ31

=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .

(2)分析 |(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε5

1

|2|<-x .

证明 因为?ε >0, ?εδ5

1

=, 当0<|x -2|<δ时, 有|(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .

(3)分析 |)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 要使ε<--+-)4(2

4

2x x , 只须ε<--|)2(|x .

证明 因为?ε >0, ?εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有

ε<--+-)4(2

42x x , 所以424

lim 22-=+--→x x x . (4)分析

|)21

(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 要使

ε<-+-212413x x , 只须ε2

1|)21(|<--x . 证明 因为?ε >0, ?εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 3

2

1=+--→x x x .

2. 根据函数极限的定义证明: (1)2

121lim

33=

+∞

→x x x ; (2)0sin lim

=+∞

→x

x

x .

证明 (1)分析 3

3

3333||21212121x x x x x x =

-+=-+, 要使

ε<-

+21213

3x x , 只须ε<3|

|21

x , 即3

21

||ε

>

x .