函数极限的定义证明
习题1-3
1. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3
=-→x x ;
(2)12)25(lim 2
=+→x x ;
(3)42
4
lim
22-=+--→x x x ; (4)21
241lim 3
2
1=+--→x x x .
证明 (1)分析 |(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε3
1
|3|<-x .
证明 因为?ε >0, ?εδ31
=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .
(2)分析 |(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε5
1
|2|<-x .
证明 因为?ε >0, ?εδ5
1
=, 当0<|x -2|<δ时, 有|(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .
(3)分析 |)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 要使ε<--+-)4(2
4
2x x , 只须ε<--|)2(|x .
证明 因为?ε >0, ?εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有
ε<--+-)4(2
42x x , 所以424
lim 22-=+--→x x x . (4)分析
|)21
(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 要使
ε<-+-212413x x , 只须ε2
1|)21(|<--x . 证明 因为?ε >0, ?εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 3
2
1=+--→x x x .
2. 根据函数极限的定义证明: (1)2
121lim
33=
+∞
→x x x ; (2)0sin lim
=+∞
→x
x
x .
证明 (1)分析 3
3
3333||21212121x x x x x x =
-+=-+, 要使
ε<-
+21213
3x x , 只须ε<3|
|21
x , 即3
21
||ε
>
x .
证明 因为?ε >0, ?321ε
=X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2
121lim 33=+∞→x x x .
(2)分析
x
x
x x x 1|sin |0sin ≤=
-, 要使
ε<-0sin x x
, 只须
ε 1, 即2 1 ε > x . 证明 因为?ε>0, ?2 1 ε= X , 当x >X 时, 有 ε<-0sin x x , 所以0sin lim =+∞ →x x x . 3. 当x →2时, y =x 2→ 4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0. 001？ 解 由于x →2, |x -2|→0, 不妨设|x -2|<1, 即1 0002.05 001 .0|2|=< -x , 取δ=0. 0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001. 4. 当x →∞时, 13 12 2→+-= x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01? 解 要使01.03 413 1222<+= -+-x x x , 只397301 .04 ||=-> x , 397=X . 5. 证明函数f (x )=|x | 当x →0时极限为零. 6. 求,)(x x x f = x x x | |)(=?当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在. 证明 因为 11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f , 11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f , )(lim )(lim 0 x f x f x x + →→=-, 所以极限)(lim 0 x f x →存在. 因为 1lim ||lim )(lim 00 -=-==-- -→→→x x x x x x x x ?, 1lim ||lim )(lim 00 ===++ +→→→x x x x x x x x ?, )(lim )(lim 0 x x x x ??+ →→≠-, 所以极限)(lim 0 x x ?→不存在. 7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞ →)(lim . 证明 因为A x f x =-∞ →)(lim , A x f x =+∞ →)(lim , 所以?ε>0, ?X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε ; ?X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε . 取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞ →)(lim . 8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等. 证明 先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则?ε>0, ?δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有 |f (x )-A |<ε . 因此当x 0-δ |f (x )-A |<ε . 这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则?ε>0, ?δ1>0, 使当x 0-δ1 取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1 | f (x )-A |<ε , 即f (x )→A (x →x 0). 9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明. 解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )| 证明 设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ?X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以 |f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |. 这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )| 函数极限的定义 林芳 20101101903 数学科学学院 2010级（1）班 指导教师 韩刚 摘要 极限是数分中的重要内容，用定义证明极限类型题都要用到它。本文就给出二十四个函数极限的定义。 关键词 极限 1函数在一点的极限的定义 1.1函数在0x 点的极限的定义 设函数f(x)在0x 点的附近（但可能除掉点本身）有定义，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0，一定存在δ>0，使得当0<0x x -<δ时，总有A x f -)(<ε，我们就称A 是函数在点0x 的极限，记为 A x f x x =→0 )(lim , 或者记为 f(x)→A(x 0x →). 这时也称函数f(x)在0x 点极限存在，其极限值是A. 1.2函数在点0x 右侧的极限的定义 设函数f(x)在（0x ，η+0x ）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0 我们就称A 是函数f(x)在点x 0的右极限，记为 0)(lim +→x x x f =A 或f(x 0+0)=A 或 f(x)→A (x 0x →+0) 这时也称函数f(x)在点0x 右极限存在。 1.3函数在0x 点左侧的极限的定义 设函数f(x)在（00,x x η-）内有定义，η是一个确定的正数，又设A 是一个定数。如果对任意给定的ε>0,总存在δ>0，当0<δ<-x x 0时，有A x f -)(<ε,我们就称A 是函数f(x)在点的左极限，记为 0)(lim -→x x x f =A 或 f(00-x )=A 或 f(x))0(0-→→x x A 这时也称函数f(x)在0x 点左极限存在. 2函数在无限远处的极限 2.1函数在无限远处极限的定义 若对任意给定的ε>0，存在X>0，当X x >时，总有ε<-A x f )(，我们说A 是f(x)在无限远处的极限，或者说A 是当x 的极限时)(x f ∞→,记为 ) ()()()(lim ∞→→=∞=∞→x A x f A f A x f x 或 这时也称函数f(x)在无限远处极限存在 2.2函数在正无限远处的极限的定义 定义证明二重极限 定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周。成立，则称A为函数人P)当P～P。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点P(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点P 入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点P。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P)一A卜利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx/x^20且lnx1),lnx/x^2(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(Inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1) (a/Xn-1)]/20,单调递减且Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=[A (a/A)]/2.解得A=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义( 和. )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5 验证例6验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= §2 函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质):Th 4若和都存在, 且存在点的空心邻域,使，都有证设= ( 现证对有)註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:( 只证“ ”和“ ”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1( 利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式]例5例6例7 海涅定理在函数极限证明中的应用 摘要：函数极限理论是数学分析中的重要组成部分。关于证明函数极限存在的方法探讨具有十分重要的意义。本文给出了一些利用海涅定理证明函数极限存在性的应用，将函数极限归结为数列极限问题来处理。不仅给出了一类证明函数极限存在的方法，同时也加深了对函数极限和数列极限两者间的关系的理解。 关键词：海涅定理；函数极限；数列极限 Abstract: The limit theory of functions plays an important role in mathematical analysis. Study on the method proving existence of function limit is very meaningful. In this paper, we gave some applications for existence of function limit by using Heine theorem and dealt with the function limit problems to the sequence limit problems. These not only gave a kind of the method for existence of function limit, but also deepen the comprehension about the relationship between the function limit and the sequence limit. Key words: Heine theorem; function limit; sequence limit 数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。而海涅定理就是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁。也是证明函数极限性质和极限存在的判定定理的一个重要的理论指导，而且在关于函数的极限证明中也有应用。除此之外还可以运用海涅定理优化极限的运算。其意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理。 海涅定理深刻地揭示了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义上来说，效果都是一样的。因此，数列极限和函数极限在一定条件下能相互转化，而能够建立起这种联系的就是海涅定理。 近几年，一些学者对海涅定理的应用及推广进行了一系列的研究。此外，一些学者利用海涅定理来证明一些函数的性质、优化极限的运算等，见参考文献[1-6]。还有一些学者对海涅定理进行进一步推广，见参考文献[7-10]。根据文献[6，8,10] 对海涅定理进行归类整理的。 习题1-3 1. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3 =-→x x ; (2)12)25(lim 2 =+→x x ; (3)42 4 lim 22-=+--→x x x ; (4)21 241lim 3 2 1=+--→x x x . 证明 (1)分析 |(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε3 1 |3|<-x . 证明 因为?ε >0, ?εδ31 =, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x . (2)分析 |(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε5 1 |2|<-x . 证明 因为?ε >0, ?εδ5 1 =, 当0<|x -2|<δ时, 有|(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x . (3)分析 |)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 要使ε<--+-)4(2 4 2x x , 只须ε<--|)2(|x . 证明 因为?ε >0, ?εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有 ε<--+-)4(2 42x x , 所以424 lim 22-=+--→x x x . (4)分析 |)21 (|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 要使 ε<-+-212413x x , 只须ε2 1|)21(|<--x . 证明 因为?ε >0, ?εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 3 2 1=+--→x x x . 2. 根据函数极限的定义证明: (1)2 121lim 33= +∞ →x x x ; (2)0sin lim =+∞ →x x x . 证明 (1)分析 3 3 3333||21212121x x x x x x = -+=-+, 要使 ε<- +21213 3x x , 只须ε<3| |21 x , 即3 21 ||ε > x . 关于函数极限如何证明 函数极限的性质是怎么一回事呢?这类的性质该怎么证明呢?下面就是学习啦给大家的函数极限的性质证明内容，希望大家喜欢。 X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会 |Xn+1-A| 以此类推，改变数列下标可得|Xn-A| |Xn-1-A| …… |X2-A| 向上迭代，可以得到|Xn+1-A| 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。 n/(n^2+1)=0 二元函数极限证明 设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：’ (1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等 (3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε 而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ) 又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1 再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。 4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在 当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在 而当x->0,y->0时 由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|) 而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2 所以|f|<=|x|+|y| 所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 5 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取 εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限 δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I) []=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim )(lim )()(lim 0 00 （IV ） cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于 时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x =254252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于 型时0 ,0x x → 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式= () () ) 12102(65) 2062(103lim 223 2232 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =)65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =)65()103(lim 222++---→x x x x x =) 3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44(lim 22x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足： 高等数学 三、证明题（共 124 小题，） 1、)1 ()( , 5522)(22t f t f t t t t t f =+++=证明设。 2、 )1()()(,11ln )(yz z y f z f y f x x x f ++=++-=证明设).1,1(< {}{}{}反例。 ，如否定结论则需举出如肯定结论请给出证明是否也必是无界数列。试判定： ， 都是无界数列，，设数列n n n n n n z y x z y x = 16、 n n n n n b n n n n n n n n n b a b a n b a b b a a b a ∞ →∞ →→∞ →++==+==lim lim lim lim )21( 21111存在，且存在，试证明：，，，，是两个函数，令，设Λ 17、 {}．收敛，并求极限，试证数列 ，，．，，设n n n n n n x x n x x x x ∞ →+=-=∈lim )21(2)20(2 11ΛΛ 18、 ． 试证明，，且的某去心邻域内若在B A B x g A x f x g x f x x x x x ≥==≥→→ ; )(lim )(lim )()(0 19、 0)(lim 0)(lim )()(0 0==αα≤→→x f x x x f x x x x x ，试证明，且的某去心邻域内若在 20、 试证明不存在。limcos x x →01 21、 ． ，试证明，时，设当∞=≠→∞→→→)()(lim )0()()(0 0x g x f A A x g x f x x x x 22、 []． ，试证明，，设∞=+→∞→→→)()(lim )()(0 0x g x f A x g x f x x x x 23、 ．是常数），试证明，时，设0) () (lim ()()(0 0=→∞→→→x f x g A A x g x f x x x x 24、 {}0lim 1001=<<≤>∞→+n n n n n n a r r a a a a ，试证明，；满足设有数列 25、 的某去心邻域，使得 试证明：必存在，且，设0,)(lim )(lim 0 x B A B x g A x f x x x x >==→→．在该邻域为)()(x g x f > 26、 1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2=-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有 （1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条 件不满足时，不能用。 . 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→ 解：原式11)32 (1)31 (lim 3 =++-= ∞→n n n n 上下同除以 。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 )1(lim ； e x x x =+∞→)11(l i m 经典合同 二元函数极限证明姓名：XXX 日期：XX年X月X日 二元函数极限证明 目录 第一篇：二元函数极限证明 第二篇：二元函数的极限 第三篇：二元函数极限的研究 第四篇：二元函数的极限与连续 第五篇：函数极限的证明 正文 第一篇：二元函数极限证明 二元函数极限证明 设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：’ (1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等 (3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有 |f(x)-a|<ε 而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ) 第 2 页共 26 页 又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1 再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1，y以y=x^2-x的路径趋于 0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。 4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在 当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在 而当x->0,y->0时 由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|) 而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2 所以|f|<=|x|+|y| 所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 第 3 页共 26 页 例1、用数列极限定义证明：22lim 07 n n n →∞+=- (1)(2)(3)(4)222222222224|0|77712 n n n n n n n n n n n n n n ε>++-=<<=<=<------时 上面的系列式子要想成立，需要第一个等号和不等号（1）、（2）、（3）均成立方可。第一个等号成立的条件是n>2；不等号（1）成立的条件是2 二元函数极限证明 二元函数极限证明设P=f, P0=,当P-PO时f的极限是x, y 同时趋向于a, b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限，称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：' 两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在两个二次极限存在而不相等 两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f当x-*XO时极限存在，不妨设：limf=a 根据定义:对任意￡>0,存在8〉0,使当|x-x 0|而| x-xO | 又因为￡有任意性，故可取￡ =1,则有：|f -a|再取M=max {|a-l I, |a+l |},则有:存在8 >0,当任意x属于x 0的某个邻域U时，有|f| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1,y 以y=x"2-x 的路径趋于OLimitedsi n/x"2=Limi tedsinx"2/x"2=l而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2,3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是P以任何方式趋向于该点。 f={/}*sin 显然有y->0 , f-〉*sin存在 当x->0, f->*sin, sin再0处是波动的所以不存在而当 x->0, y->0时 由| sin |而x"2+y"2所以|f|所以显然当x ->0, y->0 时，f 的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 5 时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号：的意义，的直观意义. 定义 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数?然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证…… 时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的"”定义. 极限定义证明 极限定义证明趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0 x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2 这两个用函数极限定义怎么证明? x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0 证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式 |sinx/√x-0|=|sinx/√x||sinx/√x|^2sinx^2/ξ^2, ∵|sinx| ≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立， 所以取X=1/ξ^2，当x>X时，必有|sinx/√x-0|同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0. x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2 证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式 |1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|需要0|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2. 注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0. 记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷; 下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。 不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1; 那么存在N1,当x>N1,有a/M注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0同理，存在Ni，当x>Ni时，0取N=max{N1,N2...Nm}; 那么当x>N,有 (a/M)^n所以a/M对n取极限，所以a/M令x趋于正无穷， a/M注意这个式子对任意M>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。 令M趋于正无穷，b趋于a; 有a这表明limg(x)=a; 证毕; 证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。 还有个看起来简单些的方法 记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷; g(x)=max{f1(x),....fm(x)}; 然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。 其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。 有种简单点的方法，就是 max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2 从而为简单代数式。 多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式， 故极限可以放进去。 2 一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号: 的意义, 的直观意义. 定义( 和. ) 极限证明(精选多篇) 第一篇：极限证明 极限证明 1.设f(x)在(??,??)上无穷次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求证当k?n?1时，?x，limf(k)(x)?0．x??? 2.设f(x)??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为 偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和．x f(n)(x)?0．?{xn}?3.设f(x)在(??,??)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，??? ?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0． sin(f(x))?1．求证limf(x)存在．4.设f(x)在(a,??)上连续，且xlim???x??? 5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。 6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x.n??xn??n 7.用肯定语气叙述：limx???f?x????. 8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。an?1 t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时， 为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。 10.设limn??an?a,证明：lima1?2a2???nana?.n??2n2 11.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。 12.证明：若??? af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0. 11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2? n 14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0. 15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f'?xn??0. 16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0 ?? ?r?0?. i ?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2 r?? 函数极限的性质证明 函数极限的性质证明 x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限求极限我会 |xn+1-a|<|xn-a|/a 以此类推，改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a; |xn-1-a|<|xn-2-a|/a; |x2-a|<|x1-a|/a; 向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n) 2 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化) =/【√+√】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。 3 当0 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)(分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim=0 n→∞ (2)lim=3/2 n→∞ (3)lim=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。n/(n^2+1)=0 √(n^2+4)/n=1 sin(1/n)=0 实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来 就好了 第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行 第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数 极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0 不知楼主觉得我的解法对不对呀 limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0 lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n ^2)=1 limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0 第二篇：函数极限的性质 §3.2 函数极限的性质 §2函数极限的性质 ⅰ. 教学目的与要求 1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不 等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题. 2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限. ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 函数极限的性质. 难点: 函数极限的性质的证明及其应用. ⅲ. 讲授内容 定义证明二重极限 定义证明二重极限 就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与a的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在 (x0,y0)点的极限为a 关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点p(x，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数a就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于d的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对d内适合不等式0<户几卜8的一切点p，有不等式v(p)一周<。成立，则称a为函数人p)当p～p。时的极限.定义3设函数x一人工，”的定义域为d，点产人工。，人)是d的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点p(x，…ed，都有成立，则称a为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人x，…在点p入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点p。(x。，入)的任一去心邻域内都有使人x，y)无定义的点，相应地，定义i要求见的去心邻域内的点p都适合/(p)一a 卜 利用极限存在准则证明： (1)当x趋近于正无穷时，(inx/x^2)的极限为0; (2)证明数列{xn}，其中a>0，xo>0,xn=/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。 1)用夹逼准则: x大于1时,lnx>0,x^2>0,故lnx/x^2>0 且lnx1),lnx/x^2<(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0 故(inx/x^2)的极限为0 2)用单调有界数列收敛: 分三种情况,x0=√a时,显然极限为√a x0>√a时,xn-x(n-1)=/2<0,单调递减 且xn=/2>√a,√a为数列下界,则极限存在. 设数列极限为a,xn和x(n-1)极限都为a. 对原始两边求极限得a=/2.解得a=√a 同理可求x0<√a时,极限亦为√a 综上,数列极限存在,且为√ (一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证…… (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 函数极限的性质证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会 |Xn+1-A|<|Xn-A|/A 以此类推，改变数列下标可得 |Xn-A|<|Xn-1-A|/A ; |Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A; …… |X2-A|<|X1-A|/A; 向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n) 2 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。 3 当0 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞ n个9 用定义证明函数极限方法总结: 用定义来证明函数极限式lim ()x a f x c →=，方法与用定义证明数列极限式类似，只是细节 不同。 方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x a h ε-<，从而得()h δε=。 方法2：将()f x c -放大成() x a ?-，解() x a ?ε-<，得()x a h ε-<，从而得 ()h δε=。 部分放大法：当 ()f x c -不易放大时，限定10x a δ<-<，得 ()()f x c x a ?-≤-，解()x a ?ε-<，得：()x a h ε-<，取{}1min ,()h δδε=。 用定义来证明函数极限式lim ()x f x c →∞ =，方法： 方法1：从不等式()f x c ε-<中直接解出(或找出其充分条件)()x h ε>，从而得 ()A h ε=。 方法2：将()f x c -放大成() x a ?-，解() x a ?ε-<，得()x h ε>，从而得 ()A h ε=。 部分放大法：当()f x c -不易放大时，限定1x A >，得() ()f x c x a ?-≤-，解 ()x a ?ε-<，得：()x h ε>，取{}1max ,()A A h ε=。 平行地，可以写出证明其它四种形式的极限的方法。 例1 证明：2 lim(23)7x x →+=。 证明：0ε?>，要使： (23)722x x ε+-=-<，只要 22x ε-<，即022 x ε <-< ， 取2 εδ= ，即可。 例2 证明：22 112 lim 213 x x x x →-=--。 分析：因为，22 11212 213213321 x x x x x x x --+-=-=--++放大时，只有限制函数极限的定义的多种表达
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