向量坐标表示练习题集与答案解析
一、主要知识：
1．基本单位向量
2. 位置向量 ：起点是 的向量叫做位置向量。
已知(),A x y ，则位置向量OA xi y j =+。把有序实数对(),x y 叫做位置向量OA 的坐标，记作(),OA x y =。
注意：位置向量的坐标就是 。
3.已知任意两点()()1122,,,P x y Q x y ，则向量PQ = 。
注意：一个向量的坐标就是 。
4.向量的运算的坐标表示形式
设λ是一个实数，()()1122,,,a x y b x y ==
则a b += 说明向量相加等于 ；
a b -= 说明向量相减等于 ；
a λ= 数乘向量等于 ； a = 向量的模等于 ； 1212a
b x x y y =?==且 向量相等的充要条件是 。
5.非零向量()()1122,,,a x y b x y ==平行的充要条件是 。
6.已知P 是直线12P P 上一点，且()1
2,1PP PP R λλλ=∈≠- ()()()111222,,,,,P x y P x y P x y ，则
x = ，y = 这个公式叫做点P 分线段12P P 的定比分点公式，其中λ叫做定比，点P 叫做分点。
特别地，当1λ=时，P 是12P P 的中点，此时 x = ，y = 叫做中点公式。
二、例题分析：
考点一、向量的坐标表示及其运算
例1、已知平行四边形ABCD 中，()()()2,1,3,2,2,4A B C ---，O 为坐标原点。
（1）写出,OB AC 的坐标；（2）求点D 的坐标。
巩固练习：
已知()()4,1,5,2a b =-=，（1）求23a b +的坐标；（2）求2a b -。
提高练习：
已知()()24,3,23,4a b a b +=--=，求,a b 的坐标。
例2、 已知点()2,3A -，点B 在x 轴上，且5AB =，求AB 的坐标。
巩固练习：
（1）已知()2,5AB =，点()3,1B -，则点A 的坐标为 。
（2）已知()()3,2,2,1a b =-=--
，则2a b +的坐标为 ，2a b += 。
（3）2,2AB i j AC i j =-=+，则BC =
考点二、向量平行的判断应用
例3、设()()22,4,8,1a k b k =+=+，已知//a b ，求实数k 的值。
巩固练习：
已知()()4,5,3,6a b ==，求实数k ，使ka b +与3a b -平行。
迁移练习：
已知()()()3,6,5,2,6,A B C y -三点共线，求实数y 的值。
考点三、定比分点公式和中点公式
例4、已知47
PA AB =-
，设BP PA λ=，求λ的值。
巩固练习：
已知()()2,1,8,8A B -，求线段AB 的三等分点,C D 的坐标。
提高练习： 已知()()122,1,0,5P P -，若点P 在12P P 的延长线上且122PP
PP =，求点P 的坐标。
课堂测试：
1．已知平面内两点()()2,4,2,1P Q -，则PQ 的单位向量0_______
a =。
2．已知()()2,3,1,5a b =-=-，则3_________a b -=。 3．若向量()0,2a =、(),3b k l =--，且a 与b 是模相等的平行向量，则___,___k l ==。
4．若平面内,A B 两点的坐标分别是()()2,5,3,0，P 是直线AB 上的一点，23AP PB =-，则点P 的坐标是________。
5．在ABC ?中，有命题 ①BC AC AB =-；②0=++CA BC AB ；③若0)()(=-?+AC AB AC AB ，则ABC ?为等腰三角形；④若0>?AB AC ，则A B C ?为锐角三角形.上述命题正确的是 （ ）
A ．①② B．①④ C．②③ D．②③④
6．如图,在平面四边形ABCD 中,下列结论中错误的是 ( )
A ．DC A
B = B ．A
C AB A
D =+
C ．B
D AD AB =- D ．0=+CB AD
7．在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有 ( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
8．若平面内,,A B C 三点的坐标分别是()()()112233,,,,,x y x y x y ，G 是ABC ?的重心，求点G 的坐标。
当堂巩固
1．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a ＋1b
的值为________． 2．已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m)，若点A ，B ，C 能构成
三角形，则实数m 满足的条件是________．
3．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23
BC.若DE →＝λ1 AB →＋λ2 AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．
4．已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,2)，当k 为何值时，ka ＋b 与a －3b 平行？平行时它们是同向还是
反向？
5．已知点O 为坐标原点，A(0,2)，B(4,6)，OM →＝t 1 OA →＋t 2 AB →.
(1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；
(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点都共线．
课后作业
1．已知()()1,3,4,a k b k =-=，若//a b ，则实数k = 。
2．已知()()2,4,3,6A B -，若12
AC CB =，则点C 的坐标为 。 3．若()()()1,2,5,4,9,A B C t -三点不能构成三角形，则t = 。
4．平行四边形ABCD 中，()()4,2,2,6AC BD =-=-，则AB = 。
5．ABC 中，()()4,1,3,4A B ，ABC 的重心()2,3G ，则顶点C 坐标为 。
6．设2AB =，P 为AB 延长线上一点，且4BP =，设AP PB λ=，则λ= 。
7．()()()1,1,2,1,4,2AB CB CD ==-=，则AD = 。
8．已知()1,5A -，向量()2,3a =，若3AB a =，则点B 位于第 象限。
9．已知()()1,2,2,2a b =-=-，则a b -的单位向量的坐标为 。
10．已知()()3,5,5,6A B -且()
23,44a x x x =-+-，若a AB =，则x = 。
11．已知()()3,1,1,1,A B O ---为坐标原点，（1）求2OA AB OB +-；
（2）若2xOA yOB AB +=，求实数,x y 的值。
12．已知()()()1,3,,2a b t t t R =-=∈，求a b +的最小值。
13．已知()2,1a =-，点()4,4A ，且//AB a ，若25AB =OB 的坐标。
14．已知ABC 中，()()()4,1,2,1,0,5A B C -，点D 在AB 上，2AD DB =，点E 在AC 边上，且DE 恰将ABC 的面积平分，求点E 的坐标。
答案
例1：（1）()()3,2,4,3---；（2）()3,7
巩固练习：（1）()23,4；（2提高练习：()()1,2,2,1---
例2：()4,3-或()4,3 巩固练习：（1）()1,6-；（2）()1,4--；（3）3i j + 例3:3或5- 巩固练习：13k =- 迁移练习：6
例4：34
λ= 巩固练习：()()4,2,6,5C D 提高练习：()2,11- 课堂测试：
1. 43,55??- ??
?； 2. 3. 0,15k l ==--或； 4. ()0,15； 5. C ； 6. C ； 7. B 8. 12312
3,33x x x y y y x y ++++==
当堂巩固
1． 12 2． m ≠54 4.当k ＝－13
时，k a ＋b 与a －3b 平行，并且反向．
5． (1) t 2＜0且t 1＋2t 2≠0，(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →
＝(4t 2,4t 2＋2)． ∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)， AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2 AB →，∴AM →与AB →
共线，又它们有公
共点A ，
∴A ，B ，M 三点共线．
课后作业：
1.4或3-；
2.114,33??- ???
； 3.10-； 4.()3,4-； 5.()1,4-； 6.32-；
8.一； 9. 34,55??-
???； 10.5-； 11.（1）4；（2）2,2-； ； 13.()8,2或()0,6 14.()
1,4