第四讲、垂径定理教师版
知行力教育辅导教案
学员姓名：年级：第课时课程类型：辅导科目:数学教师：朱老师
课题第四讲垂径定理专题
授课时间：20 月日:00-- :00备课时间：20 月日教学目标
1.理解圆的对称性；
2.掌握垂径定理及其推论；
3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
重点、难点
掌握垂径定理及其推论；
利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
考点及考试要求掌握垂径定理及其推论；利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.
教学内容
第四讲垂径定理专题
一、【要点梳理】
知识点一、垂径定理
1.垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
2.推论
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
要点诠释：
(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
知识点二、垂径定理的拓展
根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：
（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
要点诠释：
在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）
二、【典型例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB ＝6 cm ，OD ＝4 cm ，则DC 的长为（ ）
A ．5 cm
B ．2.5 cm
C ．2 cm
D ．1 cm
【思路点拨】
欲求CD 的长，只要求出⊙O 的半径r 即可，可以连结OA ，在Rt △AOD 中，由勾股定理求出OA. 【答案】D ；
【解析】连OA ，由垂径定理知1
3cm 2
AD AB =
=， 所以在Rt △AOD 中，2
2
2
2
435AO OD AD =+=+=（cm ）．
所以DC ＝OC －OD ＝OA －OD ＝5－4＝1（cm ）.
【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。 举一反三：
【变式】如图，⊙O 中，弦AB ⊥弦CD 于E ，且AE=3cm ，BE=5cm ，求圆心O 到弦CD 距离。
【答案】1cm ．
2．如图所示，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是（ ）
A ．MP 与RN 的大小关系不定
B ．MP ＝RN
C ．MP ＜RN
D ．MP ＞RN 【答案】B ；【解析】比较线段MP 与RN 的大小关系，首先可通过测量猜测MP 与RN 相等，
而证明两条线段相等通常利用全等三角形，即证△OMP ≌△ONR ，
如果联想到垂径定理，可过O 作OE ⊥MN 于E ，则ME ＝NE ，PE ＝RE ，∴ ME －PE ＝NE －RE ，即MP ＝RN ．
【点评】在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作“垂直于弦的直径”. 举一反三：
【变式】已知：如图，割线AC 与圆O 交于点B 、C ，割线AD 过圆心O. 若圆O 的半径是5，且30DAC ?
∠=，AD=13.
求弦BC 的长.
【答案】6.
类型二、垂径定理的综合应用
3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m ，拱的半径为13m ，则拱高为（ ）
A ．5m
B ．8m
C ．7m
D ．53m
【思路点拨】
解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问题转化为
数学问题中的已知条件和问题．
【答案】B ；
【解析】如图2，?AB 表示桥拱，弦AB 的长表示桥的跨度，C 为?
AB 的中点，
CD ⊥AB 于D ，CD 表示拱高，O 为?
AB 的圆心，根据垂径定理的推论可知，
C 、
D 、O 三点共线，且OC 平分AB ．
在Rt △AOD 中，OA ＝13，AD ＝12，则OD 2＝OA 2－AD 2＝132－122
＝25． ∴ OD ＝5，
∴ CD ＝OC －OD ＝13－5＝8，即拱高为8m ．
【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定理（推论）
及勾股定理求解.
4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中，点O是的圆心，?其中CD=600m，E为上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．
【答案与解析】
如图，连接OC，
设弯路的半径为R，则OF=(R-90)m，
∵OE⊥CD，
∴CF=1
2
CD=
1
2
×600=300(m)，
根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2
即R2=3002+(R-90)2，解得R=545，
∴这段弯路的半径为545m．
【点评】构造直角三角形，利用垂径定理、勾股定理，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题的数学方法一定要掌握．
举一反三：
【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．
【答案】不需要采取紧急措施
设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，
R2=302+(R-18)2， R2=900+R2-36R+324，
解得R=34(m).
连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，
342=162+(34-x)2，
x2-68x+256=0，
解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)，
∴DE=4m＞3m，∴不需采取紧急措施．
三、【拔高例题】
类型一、应用垂径定理进行计算与证明
1. 如图，⊙O的两条弦AB、CD互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O的半径
是．
【答案】5.
【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N，连结OA，
∵AB=CD，CE=1，ED=3，
∴OM=EN=1，AM=2，
∴OA=22
2+1=5.
【点评】对于垂径定理的使用，一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.
举一反三：
【变式1】如图所示，⊙O两弦AB、CD垂直相交于H，AH＝4，BH＝6，CH＝3，DH＝8，求⊙O半径．
【答案】如图所示，过点O分别作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，则四边形MONH为矩形，连结OB，∴
1
2
MO HN CN CH CD CH
==-=-
11
()(38)3 2.5
22
CH DH CH
=+-=+-=，
111
()(46)5
222
BM AB BH AH
==+=+=，
∴在Rt△BOM中，22
5
5
2
OB BM OM
=+=．
【变式2】如图，AB为⊙O的弦，M是AB上一点，若AB＝20cm，MB＝8cm，OM＝10cm，求⊙O的半径.
【答案】14cm.
2.已知：⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD间的距离.
【思路点拨】
在⊙O中，两平行弦AB、CD间的距离就是它们的公垂线段的长度，若分别作弦AB、CD的弦心距，则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.
【答案与解析】
(1)如图1，当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时，作OM⊥AB于点M，
并延长MO，交CD于N点.分别连结AO、CO.
∵AB∥CD
∴ON⊥CD，即ON为弦CD的弦心距.
∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=10cm，
=8+6
=14(cm)
图1 图2
(2)如图2所示，当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时，
同理可得：MN=OM-ON=8-6=2(cm)
∴⊙O中，平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.
【点评】解这类问题时，要按平行线与圆心间的位置关系，分类讨论，千万别丢解.
举一反三：
【变式】在⊙O中，直径MN⊥AB，垂足为C，MN=10，AB=8，则MC=_________．
【答案】2或8．
类型二、垂径定理的综合应用
3. 要测量一个钢板上小孔的直径，通常采用间接的测量方法．如果用一个直径为10mm 的标准钢珠放在小孔上，测得钢珠顶端与小孔平面的距离h ＝8mm(如图所示)，求此小孔的直径d ．
【思路点拨】
此小孔的直径d 就是⊙O 中的弦AB ．根据垂径定理构造直角三角形来解决． 【答案与解析】
过O 作MN ⊥AB ，交⊙O 于M 、N ，垂足为C ，
则1
105mm 2
OA =
?=，OC ＝MC －OM ＝8－5＝3mm ． 在Rt △ACO 中，AC ＝22534mm -=， ∴ AB ＝2AC ＝2×4＝8mm ． 答：此小孔的直径d 为8mm ．
【点评】应用垂径定理解题，一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.
4. 不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F ． (1)在下面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
(2)请你观察(1)中所画图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA ＝OB 除外)(不再标注其他字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程)； (3)请你选择(1)中的一个图形，证明(2)所得出的结论．
【答案与解析】
(1)如图所示，
在图①中AB 、CD 延长线交于⊙O 外一点；
在图②中AB 、CD 交于⊙O 内一点； 在图③中AB ∥CD ．
(2)在三个图形中均有结论：线段EC＝DF．
(3)证明：过O作OG⊥l于G．由垂径定理知CG＝GD．
∵ AE⊥l于E，BF⊥l于F，
∴ AE∥OG∥BF．
∵ AB为直径，
∴ AO＝OB，
∴ EG＝GF，
∴ EC＝EG－CG＝GF－GD＝DF．
【点评】在运用垂径定理解题时，常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，构造出垂径定理的基本图形.
四、【思维导图】
五、【课堂练习】
一、选择题
1.下列结论正确的是（）
A．经过圆心的直线是圆的对称轴 B．直径是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴 D．与直径相交的直线是圆的对称轴
【答案】A；
【解析】图形的对称轴是直线，圆的对称轴是过圆心的直线，或直径所在的直线.
2．下列命题中错误的有( )．
(1)弦的垂直平分线经过圆 (2)平分弦的直径垂直于弦
(3)梯形的对角线互相平分 (4)圆的对称轴是直径
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C；
【解析】(1)正确；
（2）“平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦”才是正确的，所以（2）不正确；
（3）对角线互相平分就是平行四边形，而不是梯形了，所以（3）不正确；
（4）圆的对称轴是直径所在的直线，所以（4）不正确．故选C.
3．如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于E，则图中不大于半圆的相等弧有( )．A．l对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C；
【解析】??
AB AB
=；??
AC AD
=；??
BC BD
=
第3题 第5题
4．AB 为⊙O 的弦，OC ⊥AB ，C 为垂足，若OA ＝2，OC ＝l ，则AB 的长为( )．
A ．5
B ．25
C ．3
D ．23 【答案】D ；
【解析】先求AC=22213-=.再求AB=2AC=23.
5．如图所示，矩形ABCD 与⊙O 相交于M 、N 、F 、E ，若AM=2，DE=1，EF=8，?则MN 的长为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 【答案】C ；
【解析】过O 作OH ⊥CD 并延长，交AB 于P ，易得DH=5，而AM=2，∴MP=3，MN=2MP=2×3=6.
6．已知⊙O 的直径AB=12cm ，P 为OB 中点，过P 作弦CD 与AB 相交成30°角，则弦CD 的长为（ ）．
A ．315cm
B ．310cm
C ．35cm
D ．33cm
【答案】A ；
【解析】作OH ⊥CD 于H ，连接OD,则OH=
3
2
, OD=6,可求DH=3152,CD=2DH=315.
二、填空题
7．垂直于弦的直径的性质定理是____________________________________________． 【答案】垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
8．平分__ ______的直径________于弦，并且平分__________________________． 【答案】弦（不是直径），垂直于，弦所对的两条弧．
9．圆的半径为5cm ，圆心到弦AB 的距离为4cm ，则AB =______cm ． 【答案】6；
10．如图，CD 为⊙O 的直径，AB ⊥CD 于E ，DE=8cm ，CE=2cm ，则AB=______cm ． 【答案】8；
10题图 11题图 12题图
11．如图，⊙O 的半径OC 为6cm ，弦AB 垂直平分OC ，则AB=______cm ，∠AOB=______°．
【答案】o
63,120；
12．如图，AB 为⊙O 的弦，∠AOB=90°，AB=a ，则OA=______，O 点到AB 的距离=______． 【答案】
a 22，a 2
1
； 三、解答题
13．如图，有一座拱桥是圆弧形，它的跨度为60米，拱高18米，当洪水泛滥到跨度只有30米时，要采取紧急措施，若拱顶离水面只有4米，即PN=4米时是否要采取紧急措施?
【答案与解析】
设圆弧所在圆的半径为R ，则R 2-(R-18)2=302
， ∴R=34
当拱顶高水面4米时，有，
∴不用采取紧急措施.
14. 如图所示，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，求⊙O 半径． 【答案与解析】
连结OC ．设AP ＝k ，PB ＝5k ， ∵ AB 为⊙O 直径，
∴ 半径111
()(5)3222
OC AB AP PB k k k =
=+=+=． 且OP ＝OA －PA ＝3k －k ＝2k ．
∵ AB ⊥CD 于P ， ∴ CP ＝
1
2
CD ＝5． 在Rt △COP 中用勾股定理，有2
2
2
OC PC PO =+， ∴ 2
2
2
(3)5(2)k k =+．
即2
525k =，∴ 5k =
(取正根)，
∴ 半径335OC k ==(cm)．
15．如图所示，⊙O 的直径AB 和弦CD 交于E ，已知AE=6cm ，EB=2cm ，∠CEA ＝30°，求CD 的长. .【答案与解析】
作OF ⊥CD 于F,连结OC ，如图， ∵AE=6cm ，EB=2cm ， ∴AB=8cm ，
∴OC=OB=4cm ，则 OE=2cm ， 又∵∠CEA ＝30° ∴ OF=1cm ，
在Rt △COF 中，由勾股定理得15CF =cm ， ∴152=CD cm
六、【课后练习】
一、选择题 1.如图所示，三角形ABC的各顶点都在⊙O上，AC=BC，CD平分∠ACB，交圆O于点D，下列结论：
①CD是⊙O的直径；②CD平分弦AB；③??
AC BC
=；④??
AD BD
=；⑤CD⊥AB．
其中正确的有（）
A．2个 B．3个 C．4个D．5个
【答案】D．
【解析】由圆的对称性、等腰三角形的三线合一的性质可得到5个结论都是正确的.
2．下面四个命题中正确的是( )．
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径
B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心
D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心
【答案】D．
【解析】根据垂径定理及其推论来判断.
3．如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD=22，BD=3，则AB的长为（）
A．2 B.3 C.4 D.5
【答案】B．
【解析】由垂径定理得HD=2，由勾股定理得HB=1，设圆O的半径为R，在Rt△ODH中，
则()()
22
221
R R
=+-，由此得R=
3
2
，
所以AB=3.故选 B.
第3题第5题第6题
4．⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是2、3，则∠BAC的度数为( )．
A．15° B．45° C．75° D．15°或75°
【答案】D．
【解析】分弦AB、AC在圆心的同侧和异侧讨论.
5．“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”用现在的数学语言表述是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE为1寸，AB为10寸，求直径CD的长。依题意，CD长为( )．
A．
25
2
寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
【答案】D．
【解析】连结AO，
C
O
B
D
A
∵ CD为直径，CD⊥AB，
∴
1
5
2
AE AB
==．
设⊙O半径为R，则OE＝R－1．
Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2，
∴ R2＝52+(R-1)2，
∴ R＝13，
∴ CD＝2R＝26(寸)．
故选D．
6．如图，EF是⊙O的直径，AB是弦，EF=10cm，AB=8cm，则E、F两点到直线AB的距离之和为（）．A．3cm B．4cm C．8cm D．6cm
【答案】D．
【解析】E、F两点到直线AB的距离之和为圆心O到AB距离的2倍.
二、填空题
7．如图，⊙O的弦AB垂直于CD，E为垂足，AE=3，BE=7，则圆心O到CD的距离是______．
【答案】2．
8．如图，P为⊙O的弦AB上的点，P A=6，PB=2，⊙O的半径为5，则OP=______．
【答案】.
13
7题图8题图9题图
9．如图，⊙O的弦AB垂直于AC，AB=6cm，AC=4cm，则⊙O的半径等于______cm．
【答案】.
13
10．圆心都在y轴上的两圆相交于A、B两点，如果A点的坐标为(22)
，，那么B点的坐标为____________．
【答案】(22)
-，．
【解析】因为y轴是两圆的对称轴，所以两圆的交点关于y轴对称，则B(22)
-，.
11．在图11中，半圆的直径AB=4cm，O为圆心，半径OE⊥AB，F为OE的中点，CD∥AB，则弦CD的长为．【答案】23cm.
【解析】连接OC,易求CF= 3.CD=23cm.
12．如图，点A、B是⊙O上两点，AB=10，点P是⊙O上的动点（P与A，B不重合）连结AP，
PB，过点O分别作OE⊥AP于点E，OF⊥PB于点F，则EF= .
【答案】5.
【解析】易证EF是△APB的中位线，EF=
1
5.
2
AB=
三、解答题
13.如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CD=15，35
OE OC=
∶∶，求弦AB和AC的长．【答案与解析】
连结OA，
∵CD=15，35
OE OC=
∶∶，
∴OA=OC=7.5，OE=4.5，CE=3，
∴
2222
2222
7.5 4.56
2126335
AE OA OE
AB AE AC AE CE
=-=-=
===+=+=
，
14．如图所示，C为
?
ACB的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，PE⊥BC于E，若BC=10cm，
且CE：BE=3：2，求弦AB的长．【答案与解析】
因为C为
?
ACB的中点，CD为直径，弦AB交CD于P点，所以 CD⊥AB.
由BC=10cm，且CE：BE=3：2，得CE=6cm，BE=4cm，
设,,
BP a CP b
==则
222
2222
10
46
a b
a b
?+=
?
?
-=-
??
解得210
a=，2410
AB a cm
==.
15．如图所示，已知O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B和C、D.
⑴求证：PB=PD.
⑵若角的顶点P在圆上或圆内，⑴中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明.【答案与解析】
（1）证明：过O作OE⊥PB于E，OF⊥PD于F.
ΘOP EPF
OE OF PE PF
AB CD BE DF
PE BE PF DF
PB PD
平分
，
，则
∠
∴==
∴==
∴+=+
∴=
（2）上述结论仍成立.如下图所示.证明略.
A
E
O
F
B
P
A A
E E
P O P O
F F
C C
PA=PC PA=PC
?AB、?AC的中点，且MN交AB于D，交AC于E，
16.如图，点M，N分别是
求证：△ADE是等腰三角形。
【答案与解析】
连结OM、ON，分别交AB、AC于F、G点．
?AB、?AC中点，
∵ M、N分别为
∴∠MFD＝90°＝∠EGN．
∵ OM＝ON，有∠M＝∠N，知∠MDB＝∠NEC，
而∠MDB＝∠1，∠NEC＝∠2，于是∠l＝∠2，故AD＝AE．
所以△ADE是等腰三角形。
七、【学生评价】
○特别满意○满意○一般○差学生签字：
八、【教师评定】
1、学生上次作业评价：○好○较好○一般○差
2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差
教师签字：
教学审批：
时间：
二项式定理的十大应用
二项式定理的十方面应用 一、利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数 1.(2012年高考安徽卷理科7)(x2+2)( 1 x2-1)5的展开式的常数项是（） (A)-3(B)-2(C)2(D)321世纪教【答案】D 【解析】第一个因式取x2，第二个因式取 1 x2得：1?C1(-1)4=5 5 第一个因式取2，第二个因式取(-1)5得：2?(-1)5=-2展开式的常数项是5+(-2)=3. 2.(2012年高考天津卷理科5)在(2x2- 1 x )5的二项展开式中，x的系数为（） （A）10（Ｂ）-10（Ｃ）40（Ｄ）-40 点评：利用二项式定理求展开式的某一项或指定项的系数，实际上就是对二项展开式的通项公式的考查，此类问题是高考考查的重点． 3．在二项式(x-1)11的展开式中，系数最小的项的系数是 解：ΘT r+1 =C r x11-r(-1)r 11 ∴要使项的系数最小，则r必为奇数，且使C r为最大，由此得r=5，从而可知最小项的 11 系数为C5(-1)5=-462 11 二、利用二项式定理求展开式的系数和 1、若(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a 0122013 x2013(x∈R)， 则(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a 010******** )=_______。(用数字作答) 解析：在(1-2x)2013=a+a x+a x2+...+a 0122013 x2013中，令x=0，则a=1， 令x=1，则a+a+a+a+Λ+a 01232004 =(-1)2013=1 故(a+a)+(a+a)+(a+a)+Λ+(a+a 0102030 精品资料 2013 )
高考数学 考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、
考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、 二项式定理及应用 1.（2010·湖北高考文科·Ｔ6）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) （A）65（B）56（C）565432 2 ????? （D）6543 ????2 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查考生的逻辑推理能力． 【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，由分步计数原理即可得出答案. 【规范解答】选A.每名同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，因此共有65种不同选法. 【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座，故每位同学的选择都有5种，共有65种不同选法.若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”，它就是一个典型的不同元素的分组问题.利用“先分堆，再分配”的思想将6名同学分为5堆，再分给5个不同的讲座， 有 25 65 1800 C A= 1 800种不同选法. 2.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（） （A）152 （B）126 （C）90 （D）54 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人；②司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置. 【规范解答】选B.当司机只安排1人时，有 123 343 C C A =108(种)；当司机安排2人时有 23 33 C A =18(种).由分类 计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126（种）. 【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、 戊各有4种选择，因此共有33444576 ????=（种）安排方案. 3.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( ) （A）12种（B）18种（C）36种（D）54种 【命题立意】本题考查了排列、组合的知识. 【思路点拨】运用先选后排解决，先从3个信封中选取一个放入标号为1，2的2张卡片，然后剩 余的2个信封分别放入2张卡片. 【规范解答】选B.标号为1，2的卡片放法有A 1 3种，其他卡片放法有 2 2 2 4 C C种，所以共有A132 2 2 4 C C=18 （种）. 【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法.
最新二项式定理应用常见题型大全(含答案)
二项式定理应用常见题型大全 一．选择题（共21小题） 1．（2012?重庆）的展开式中常数项为（） ．C D 2．（2012?桃城区）在的展开式中，有理项共有（） 2012 4．（2008?江西）展开式中的常数项为（） n*5 6．（2006?重庆）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（） 88 29211 2006 10．（2004?福建）若（1﹣2x）9展开式的第3项为288，则的值是（） D． 11．若则二项式的展开式中的常数项为（） 12．（a＞0）展开式中，中间项的系数为70．若实数x、y满足则z=x+2y的最小值是（）
C 10 14．的展开式中第三项的系数是（） ．C． 4n+1 n 17．设f（x）等于展开式的中间项，若f（x）≤mx在区间[，]上恒成立，则m的取值范围是 [[，[ 18．在的展开式中系数最大的项是（） 6 8 2010
参考答案与试题解析 一．选择题（共21小题） 1．（2012?重庆）的展开式中常数项为（） ．C D 的展开式通项公式中，令 的展开式通项公式为 = 2．（2012?桃城区）在的展开式中，有理项共有（） ??， 2012
+ 4．（2008?江西）展开式中的常数项为（） 的展开式的通项为 的展开式的通项为= 的通项为= ，时，展开式中的项为常数项 n*5
6．（2006?重庆）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（） 则展开式的常数项为 88 29211 2006
分别取， 时，有）（ 时，有）（ （ 10．（2004?福建）若（1﹣2x）9展开式的第3项为288，则的值是（） D． 中，化简可得答案． ， x= =2 11．若则二项式的展开式中的常数项为（） ∴二项式的通项为 的展开式中的常数项为=160
人教版必修一《牛顿第二定律》教案
第四章人教版必修一《牛顿第二定律》教案顿运动 定律 §4.3 牛顿第二定律（学案） 蓬私高一物理组 2011/11/20 班级姓名学号____________ 一、考点自学 1.物体加速度的大小跟它受到的成正比、跟它的成反比，加速度的方向跟 的方向相同。 2．表达式：F= ，F为物体所受的。 3．国际单位制中，力的单位是，符号。 4．力的定义：是质量为1Kg的物体产生的加速度的力，称为1N，即 1N=1 。 5．比例系数K的含义 关系式F=Kma中的比例系数K的数值由F、m、a三量的单位共同决定，三个量都取国际单位，即三量分别取、、作单位时，系数K= 。6．用牛顿第二定律解题的一般方法和步骤 （1）根据题意正确选取研究对象。 （2）对研究对象进行分析和分析，画出受力图。 （3）建立坐标系，即选取正方向，根据牛顿第二定律列方程。 （4）统一已知量单位，求解方程。 （5）检查所得结果是否符合实际，舍去不合理的解，必要时对结果进行讨论。 二、典例分析 题型一、对力、加速度、速度关系的理解 例1 如图所示，一轻质弹簧一端固定在墙上的O点，自由伸长到B点．今用一小物体m把弹簧压缩到A点(m与弹簧不连接)，然后释放，小物体能经B点运动到C点而静止．小物体m与水平面间的动摩擦因数μ恒定，则下列说法中正确的是( ) A．物体从A到B速度越来越大 B．物体从A到B速度先增加后减小 C．物体从A到B加速度越来越小 D．物体从A到B加速度先减小后增加
题型二、对牛顿第二定律理解和应用 例2、如图所示，质量为4kg 的物体静止在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5。物体受到大小为20N 与水平方向成37°角斜向上的拉力F 作用时，沿水平面做匀加 速运动，求物体加速度的大小。（g=10 m/s 2，sin37°=0.6 ，cos37°=0.8 ） 题型三、牛顿第二定律的瞬时性 例3、 如图(甲)、(乙)所示，图中细线均不可伸长，两小球均处于平衡状态且质量相同．如果突然把两水平细线剪断，剪断瞬间小球A 的加速度的大小为________，方向为________；小球B 的加速度的大小为________，方向为________；( ?=37θ, g=10 m/s 2，sin37°=0.6 ， cos37° =0.8 ) 变式练习：质量均为m 的A 、B 两个小球之间系一个质量不计的弹簧，放在光滑的台面上．A 紧靠墙壁，如图436所示，今用恒力F 将B 球向左挤压弹簧，达到平衡时，突然将力撤去，此瞬间( ) A ．A 球的加速度为F/(2m) B ．A 球的加速度为零 C ．B 球的加速度为F/(2m) D ．B 球的加速度为F/m 三、堂堂清练习 1．在牛顿第二定律F ＝kma 中有关比例系数k 的下列说法中正确的是( ) A ．在任何情况下都等于1 B ．k 的数值是由质量、加速度和力的大小决定的 C ．k 的数值是由质量、加速度和力的单位决定的 D ．在任何单位制中，k 都等于1 2．下列对牛顿第二定律的表达式F ＝ma 及其变形公式的理解，正确的是( ) A ．由F ＝ma 可知，物体所受的合力与物体的质量成正比，与物体的加速度成反比 B ．由m ＝F a 可知，物体的质量与其所受的合力成正比，与其运动的加速度成反比 C ．由a ＝F m 可知，物体的加速度与其所受的合力成正比，与其质量成反比 D ．由m ＝F a 可知，物体的质量可以通过测量它的加速度和它所受到的合力而求出 3．(2010年高一期末)天空有一漂浮的处于静止状态的物体，当太空人甲单独给予力F 1＝ 10 N 作用该物体时，航天加速仪显示该物体的加速度大小为5 m/s 2 ；若太空人乙单独给予
二项式定理的推广与应用
二项式定理的推广及应用 曲靖市麒麟高级中学 车保勇 [摘 要] 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．深入研究二项式定理的推广及其用途，巧妙应用，能为许多数学问题提供另类解法，同时解决一些难度较大的问题．因此，进一步探讨二项式定理的推广及应用仍是一项有意义的工作．但前人得出的应用范围仅局限于求值、近似计算、整除、求余数、证明不等式等方面，而且在推广方面不够完善，笔者对二项式定理的推广作进一步完善，系统整理已有用途，并给出一种前人尚未提及的用途：即用二项式定理处理特殊极限问题．纵观全文，深入研究二项式定理的用途，不仅为一些数学问题提供了另类解法，更重要的是拓宽了二项式定理的应用范围． [关键词] 二项式定理 推广 方幂 应用 1 引言 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式.数式二项式定理表述为：() 0,(,,0)n n r n r r n r a b C a b n r N r n -=+=∈≤≤∑．它有着十分广泛的应用，遍及初等数学和高等数学领域[1] ．认真研究问题的条件和结构，把一些表面与二项式定理或推广定理无关的问题作适当变形，构造出二项式定理或推广定理，再用其求解（证明），可使解题简洁明快．巧妙应用二项式定理或推广定理，不仅为许多问题提供另类解法，还能解决一些难度较大的数学问题．因此，把二项式定理进一步推广完善，并充分研究其用途，拓宽其应用范围，仍是一件有意义的工作．
2 问题的提出 虽然学者们对二项式定理的推广及应用的研究取得了丰硕的成果，但已有成果都存在两个不足方面：一是推广不够完善；二是应用范围不够广．针对此情况，笔者试图将其推广进一步完善，系统整理已有用途，并提出新的用途，拓宽其应用范围． 3 二项式定理的推广 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂问题时常常考虑到的一个重要公式．数式二项式定理表述为： 011r n r r n n ()n n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +0 ,(,,0)n r n r r n r C a b n r N r n -==∈≤≤∑ 其中r n r r r 1T n C a b -+=叫做二项式的通项公式，()!!! r n n C r n r =-叫做二项式系数． 若令 -n r q =， 则 ! !! r n n C r q = ，(,,r q n)n r N ∈且+=． 3.1 推广一 在实际应用中，除遇到二项式外还常常遇到多项式问题，为便于应用，现将其作推广． 先考察三项式()()n a b c n N ++∈的展开式: ()[()]n n a b c a b c ++=++ ()n r r r n C a b c -=+++ ( )r q n r q q r n n r C C a b c ---= ++++ r q n r q q r n n r C C a b c ---= ++ 若令n r q p --=，便得到三项式()()n a b c n N ++∈展开式通项公式： (,,p q r n)r q p q r n n r C C a b c p q r N -∈且++=， 其中()()!(r)!! !!q!q !!q!p! r q n n r n n n C C r n r n r r --==---叫三项式系数．[2] 类似地可得四项式(d)()n a b c n N +++∈通项公式为 ! (,,,)!!!s! p q r s n a b c d p q r s N p q r ∈且p+q+r+s=n ， 其中 ! !!!s! n p q r 称四项式系数．于是猜想ｍ项式定理为： 定理１12()n m a a a +++12 121212!!! !m m i i i m i i i n m n a a a i i i +++==∑，(,,1,2,,)k i n N k m ∈=．
二项式定理二项式定理的应用教案
排列、组合、二项式定理·二项式定理的应用·教案 教学目标 1.利用二项式定理及二项式系数的性质解决某些关于组合数的恒等式的证明；近似计算;求余数或证明某些整除或余数的问题等. 2.渗透类比与联想的思想方法，能运用这个思想处理问题. 3.培养学生运算能力，分析能力和综合能力． 教学重点与难点 数学是一门工具,学数学的目的就是为了应用.怎样建立起要解决的问题与数学知识之间的联系（如一个近似计算问题与二项式定理有没有联系,怎样联系),是这节课的难点，也是重点所在． 教学过程设计 师：我们已经学习了二项式定理及二项式系数，请大家用6分时间完成以下三道题: (1)在（1-ｘ3)（１+x)１０的展开式中,ｘ5的系数是多少? （2）求（1＋x-x2）6展开式中含x5的项． （全体学生参加笔试练习) ６分钟后，用投影仪公布以上三题的解答: （1)原式=(1+ｘ)10-x3(1＋ｘ）10,可知x５的系数是（1＋x） （2)原式=[1+(x－ｘ２）]６=1＋6（ｘ-x2)+1５（ｘ-x2)2+20（x-x2)３+1５（x-ｘ2）4+６（x-x2）5＋(x-x２）６. 其中含x5的项为：２0·3x5＋15(-4）ｘ5+6ｘ5=6x5.
师：解（1）,（2)两题运用了变换和化归思想，第(2)题把三项式化为二项式，创造了使用二项式定理的条件． 第（3）题的解法是根据恒等式的概念，a,b取任何数时，等式都成立．根据习题结构特征选择a，b的取值.这种用概念解题的思想经常使用. 下面我们看二项式定理的一些应用． 师:请同学们想一想，例１怎样解？ 生甲:从结构上观察,则与练习的第(3)题有相似之处,只是组合数的系数成等 比数列,是否根据二项式定理令a=１，b＝3，即可得到证明. 师:请同学们根据生甲所讲，写出证明． （找一位同学板演) 证明：在（ａ+b)ｎ的展开式中令a=１,b=3得: 师：显然，适当选取ａ,b之值是解这一类题的关键,再看练习题. 练习 生乙:这题与例1类比有共同点，仍是组合数的运算，不同点是缺
新教材人教版必修第一册 4.3 牛顿第二定律 学案
3.牛顿第二定律 目标体系构建 明确目标·梳理脉络【学习目标】 1．理解牛顿第二定律的内容，知道其表达式的确切含义。 2．知道力的国际单位“牛顿”的定义。 3．能应用牛顿第二定律处理相关问题。 【思维脉络】 课前预习反馈 教材梳理·落实新知 知识点1牛顿第二定律 1．内容：物体加速度的大小跟作用力__成正比__，跟物体的质量__成反比__，加速度的方向跟__作用力的方向相同__。 2．表达式 (1)表达式：F＝__kma__，式中k是比例系数，F是物体所受的__合外力__。 (2)国际单位制中：F＝__ma__。 知识点2力的单位 1．国际单位：__牛顿__，简称__牛__，符号为__N__。 2．“牛顿”的定义：使质量为1 kg的物体产生__1 m/s2__的加速度的力，称为1 N，即1 N＝__1 kg·m/s2__。 3．比例系数k的含义：关系式F＝kma中的比例系数k的数值由F、m、a三量的单位共同决定，三个量都取国际单位，即三量分别取__N__、__kg__、__m/s2__作单位时，系数k＝__1__。 预习自测 『判一判』
(1)由牛顿第二定律可知，加速度大的物体所受的合外力一定大。( × ) (2)牛顿第二定律说明了质量大的物体其加速度一定小。( × ) (3)任何情况下，物体的加速度的方向始终与它所受的合外力方向一致。( √ ) (4)在国际单位制中，公式F ＝kma 中，k ＝1。( √ ) (5)两单位N/kg 和m/s 2是等价的。( √ ) 『选一选』 如图，某人在粗糙水平地面上用水平力F 推一购物车沿直线前进，已知推力大小是80 N ，购物车的质量是20 kg ，购物车与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g 取10 m/s 2，下列说法正确的是( B ) A ．购物车受到地面的支持力是40 N B ．购物车受到地面的摩擦力大小是40 N C ．购物车将沿地面做匀速直线运动 D ．购物车将做加速度为a ＝4 m/s 2的匀加速直线运动 解析：购物车沿水平面运动，则在竖直方向受到的支持力与重力大小相等，方向相反，所以支持力F N ＝20×10 N ＝200 N ，A 错误；购物车受到地面的摩擦力大小是：f ＝μF N ＝0.2×200 N ＝40 N ，B 正确；推力大小是80 N ，所以购物车沿水平方向受到的合外力：F 合＝F －f ＝80 N －40 N ＝40 N ，所以购物车做匀变速直线运动，C 错误；购物车的加速度：a ＝F 合m ＝40 20 m/s 2＝2 m/s 2，D 错误。 『想一想』 如图所示，用一个力推大石头，没有推动，大石头没有产生加速度，为什么？要使大石头产生加速度应该满足什么条件？ 答案：大石头没有运动的原因是推力与摩擦力相等，大石头受到的合外力为0，加速度为0。要使大石头产生加速度，则应加大推力，推力大于摩擦力时，合外力不为0，才能产生加速度。
人教版高中物理必修二牛顿第二定律优质教案
第三节牛顿第二定律 教学目的 掌握牛顿第二定律相关知识； 了解控制变量法，培养学生动手实验能力和分析概括知识的能力。 教学用具 牛顿第二定律验证器、砝码、多媒体课件 重点难点 重点：牛顿第二定律的知识及其应用；难点：实验演示的操作。 教学过程 一、复习引入： 1、我们讲了牛顿第一定律，它的内容是什么呢？ 多媒体课件演示：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种状态为止。也就是说，没有外力作用时，物体保持原来的状态，静止的保持静止、运动的保持匀速运动。那如果有外力作用呢？ （引导回答）有外力作用----状态改变----速度改变----有加速度产生。 在上节课中我们还讲了：质量是物体惯性大小的量度，质量越大的，状态越难改变。这就涉及到三个物理量：力、加速度和质量，三者之间到底有何关系呢？我们这节课就来研究
它。 二、进行新课 1、实验介绍 实验是我们掌握物理知识的一个重要途径，今天就利用实验来帮助我们解决这个问题。F、m、a三者都是变量，在研究此类问题时，我们先使其中一个量保持不变，来研究另外两个量的关系，这就是控制变量法。 （1）原理：F可以用弹簧秤测量，m可以用天平测量，那加速度呢？ a=(S2-S1)/T2 测量加速度的方法：a=(Vt-V0)/t2 S=V0t+at2/2------------S=at2/2------------a=2S/t2 （2）设计 在光滑的导轨上放一量小车，一端系有细绳，绕过定滑轮后吊着砝码，砝码质量远小于小车质量。 受到恒力作用的小车做匀速直线运动，有S=V0t+at2/2----S=at2/2------a=2S/t2，为了便于比较，我们取两个小车做双轨实验。当时间t相同时，有a1/a2=S1/S2。 （3）实验操作（1） 平衡摩擦力；将两辆质量相同的小车放在导轨上；系上细绳，跨过定滑轮挂上质量不同的砝码；利用控制杆控制两辆小车同时运动；记录数据。
二项式定理及应用
莱西市数学公开课教案 课 题:二项式定理及应用 课 型:复习课 教学目标： 1、知识目标：（１）理解并掌握二项式定理,从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。 （２)使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，熟练二项式定理的应用。 ２、能力目标:（1)教给学生怎样记忆数学公式，从而优化记忆品质。 （2)进行化归思想、整体思想的渗透,培养学生的发散思维和逆向思维能力。 3、情感目标：通过对二项式定理的复习,使学生感觉到能掌握数学的部分内容,有意识地让学生演练一些历年高考试题,使学生体验到成功，树立学好数学的信心。 教学重点:能利用二项式定理解决相关问题 教学难点:二项展开式系数的性质及应用 教学方法：讲练结合 教 具：多媒体 教学过程： 一、课前练习 １、设n 为自然数，则n n n k n k n k n n n n C C C C )1(2)1(22110 -++-++--- 等于…………( D ) (A ）（B ）0(C )-１（D )1 ２、（200７江西）n x x )3( 3 +展开式中,各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64,则n 等于（C ） (A ）４ (Ｂ）5 ( C)6 （D)7 3、(2007重庆)n x x )1(+ 展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为…………………(Ｂ ) (A ）１０ (B ）20 （C)30 (D)1２０ 4、(2０0７安徽）已知=- 5)1(x a ０+ａ1x+a ２x ２+a ３x 3+a 4x 4＋a 5ｘ5,则(a ０+a 2+a 4）（ａ1＋ａ3＋a 5)= －256 小结:１、二项式定理的逆用不可忽视。2、求二项式系数和、二项展开式各项系数和或部分项系数和用赋值法 3、研究特定项用通项公式 设计目的：复习基础知识,体验二项式定理习题的一般解题方法,锻炼逆向思维能力,让学生演练一些历年高考试题，体验到成功，树立学好数学的信心。 二、复习提问： 1.二项式定理:n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110) ( 教师强调展开式的特点:(１）项数 n ＋1项（2）二项式系数依次为0 n C ,C 1 n ,C 2 n ，…C n n (３)指数的特点１)ａ的指数 由n ０( 降幂)。 2 )b 的指数由0 n （升幂),ｂ的指数与该项组合数的上标相等。３)a 和b 的指数和为ｎ。抓住特点会逆用。 说明：(1）、ａn-ｋb ｋ 相当于从n 个(a+b)中取出k 个ｂ,其余n －k 个（a+b ）中都取ａ,共k n C 种取法,故a n-k b k
人教版高中物理必修一：牛顿第二定律(学生版)
牛顿第二定律 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.掌握牛顿第二定律的内容、公式； 2.掌握验证牛顿第二定律的重要实验； 3.学会用正交分解、矢量三角形等几何方法计算加速度； 4.理解牛顿第二定律和第一定律的联系。 一、牛顿第二定律 1.内容：物体的加速度跟物体所受合外力成正比，跟物体的质量成反比；a的方向与F合的方向总是相同。 2.表达式：F=______或a=______ 揭示了：①力与______的因果关系，力是产生______原因和改变物体运动状态的原因； ②力与a的定量关系 3.对牛顿第二定律理解： （1）F=ma中的F为物体所受到的______力． （2）F=ma中的m，当对哪个物体受力分析，就是哪个物体的质量，当对一个系统（几个物体组成一个系统）做受力分析时，如果F是系统受到的合外力，则m是系统的______质量． （3）F=ma中的F与a有瞬时对应关系，F变a则变，F大小变，a则大小变，F方向变a也方向变． （4）F=ma中的F与a有矢量对应关系，a的方向一定与F的方向相同。 （5）F=ma中，可根据力的独立性原理求某个力产生的加速度，也可以求某一个方向合外力的加速度． （6）F=ma中，F的单位是牛顿，m的单位是kg，a的单位是m/s2． （7）F=ma的适用范围：宏观、低速 4.理解时应应掌握以下几个特性。 (1) 矢量性F=ma是一个矢量方程，公式不但表示了大小关系，还表示了方向关系。 (2) 瞬时性a与F同时产生、同时变化、同时消失。作用力突变，a的大小方向随着改变，是瞬时的对应关系。 (3) 独立性(力的独立作用原理) F合产生a合；Fx合产生ax合；Fy合产生ay合 当物体受到几个力作用时，每个力各自独立地使物体产生一个加速度，就象其它力不存在一样，这个性质叫力的独立作用原理。因此物体受到几个力作用，就产生几个加速度，物体实际的加速度就是这几个加速度的矢量和。 (4)同体性F=ma中F、m、a各量必须对应同一个物体 (5)局限性适用于惯性参考系(即所选参照物必须是静止或匀速直线运动的,一般取地面为参考系)； 只适用于宏观、低速运动情况，不适用于微观、高速情况。 牛顿运动定律的应用 1．应用牛顿运动定律解题的一般步骤： 选取研究对象 (2) 分析所选对象在某状态(或某过程中)的受力情况、运动情况
二项式定理及其应用
二项式定理及其应用 一、求某项的系数： 【例1】（1）在（1-x3）（1+x）10的展开式中，x5的系数是多少？（407） （2）求（1+x-x2）6展开式中含x5的项．（5 6x） 二、证明组合数等式： 练习 （12345） 例2 计算：1.9975（精确到0.001）． 师：按生戊所谈的方法，大家在自己的笔记本上计算一下．
例3：（1996年全国高考有这样一道应用题） 某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22％，人均粮食占有量比现在提高10％．如果人口年增长率为1％，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？ 例3 如果今天是星期一，那么对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5天后的那一天是星期几？ 生庚：先将此题转化为数学问题，即本题实际上寻求对于任意自然数n，23n+3+7n＋5被7除的余数． 受近似计算题目启发，23n+3=8n+1=（7＋1）n+1，这样可以运用 数，7n也是7的倍数，最后余数是1加上5，是6了． 师：请同学们在笔记本上完成此题的解答 （教师请一名同学板演） 解：由于23n+3＋7n＋5=8n+1＋7n＋5=（7＋1）n+1＋7n+5
则 23n+3＋7n＋5被7除所得余数为6 所以对于任意自然数n，经过23n+3＋7n＋5后的一天是星期日． 师：请每位同学在笔记本上完成这样一个习题：7777-1能被19整除吗？ （教师在教室内巡视，3分钟后找学生到黑板板演） 解：7777-1=（76+1）77 由于76能被19整除，因此7777-1能被19整除． 师：请生辛谈谈他怎样想到这个解法的？ 生辛：这是个幂的计算问题，可以用二项式定理解决．如果把7777改成（19＋58）77，显然展开式中最后一项5877仍然不易判断是否能被19整除，于是我想到若7777-1能被38，或能被57，或能被76，或能被95整除，必能被19整除，而76与77只差1，故欲证7777-1被19整除，只需证（76+1）77被76整除．得到了以上的解法． 师：二项式定理解决的是乘方运算问题，因此幂的问题可以考虑二项式定理．下面我们解一些综合运用的习题 例4 求证：3n＞2n-1（n＋2）（n∈N，且n≥2）． 师：仍然由同学先谈谈自己的想法． 生壬：我觉得这道题仍可以用二项式定理解，为了把左式与右式发生联系，将3换成2＋1．
二项式定理及应用
莱西市数学公开课教案 课 题：二项式定理及应用 课 型：复习课 教学目标： 1、知识目标：（1）理解并掌握二项式定理，从项数、指数、系数、通项几个特征熟记它的展开式。 （2）使学生掌握二项式定理习题的一般解题方法，熟练二项式定理的应用。 2、能力目标：（1）教给学生怎样记忆数学公式，从而优化记忆品质。 （2）进行化归思想、整体思想的渗透，培养学生的发散思维和逆向思维能力。 3、情感目标：通过对二项式定理的复习，使学生感觉到能掌握数学的部分内容，有意识地让学生演练一些历年高考试题，使学生体验到成功，树立学好数学的信心。 教学重点：能利用二项式定理解决相关问题 教学难点：二项展开式系数的性质及应用 教学方法：讲练结合 教 具：多媒体 教学过程： 一、课前练习 1、设n 为自然数，则n n n k n k n k n n n n C C C C )1(2)1(22110 -++-++--- 等于…………（ D ） （A ） （B ）0 （C ）－1 （D ）1 2、(2007江西)n x x )3( 3 +展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（C ） （A ）4 （B ）5 ( C)6 (D)7 3、(2007重庆) n x x )1(+ 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为…………………（B ） （A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）120 4、（2007安徽）已知=- 5)1(x a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5,则(a 0+a 2+a 4)(a 1+a 3+a 5)= -256 小结：1、二项式定理的逆用不可忽视。2、求二项式系数和、二项展开式各项系数和或部分项系数和用赋值法 3、研究特定项用通项公式 设计目的：复习基础知识，体验二项式定理习题的一般解题方法，锻炼逆向思维能力，让学生演练一些历年高考试题，体验到成功，树立学好数学的信心。 二、复习提问： 1.二项式定理：n n n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110) ( 教师强调展开式的特点： （1）项数 n+1项 （2）二项式系数 依次为0 n C ,C 1 n ,C 2 n ,…C n n (3)指数的特点 1)a 的指数 由n 0( 降幂)。 2 )b 的指数由0 n （升幂）,b 的指数与该项组合数的上标相等。 3）a 和b 的指数和为n 。抓住特点会逆用。 说明：（1）、a n-k b k 相当于从n 个(a+b)中取出k 个b ，其余n-k 个(a+b)中都取a ，共k n C 种取法,故a n-k b k
二项式定理及应用
定理定义 编辑 二项式定理可以用以下公式表示： 其中，又有等记法，称为二项式系数，即取的组合数目。此系数亦可表示为杨辉三角形。[1] 2验证推导 编辑 考虑用数学归纳法。 当， 假设二项展开式在时成立。 设，则： ，将a、b<乘入： ，取出的项： ，设： ，取出项： ，两者相加： ，套用帕斯卡法则： 3定理推广 编辑 牛顿广义二项式定理 二项式定理定理可以推广到对任意实数次幂的展开。 其中。 牛顿二项式扩充定理 设函数： 根据二项式定理得F(x)的任意一项为： 同理上式（）中的任意一项为 如此类推我们预知最后一项存在; 那么我们得到其中 的任意一个系数为以上各式系数之积即为； 设M=0+j+....+q+p+m而且项的系数为AM 4应用例子
编辑 牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分。其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。 证明组合恒等式 二项式定理给出的系数可以视为组合数的另一种定义。因此二项式展开与组合数的关系十分密切。它常常用来证明一些组合恒等式。 比如证明，可以考虑恒等式。 展开等式左边得到：。注意这一步使用了有限求和与乘积可以交换的性质。 同时如果展开等式右边可以得到。 比较两边幂次位的项的系数可以得到：。 令，并注意到即可得到所要证明的结论。 证明自然数幂求和公式 公式具体内容: 它不是一个等差数列，也不是一个等比数列，但通过二项式定理的展开式，可以转化为按等差数列，由低次幂到高次幂递进求和，最终可推导至李善兰自然数幂求和公式的原形。 当n为奇数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得: 2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N =N+N+N+...+N加或减去所有添加的二项式展开式数 =(1+N)N减去所有添加的二项式展开式数。 当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得: 2s=N+[1+(N-1)]+[2+(N-2)]+[3+(N-3)]+...+[(N-1)+(N-N-1)]+N =2N+2[(N-2)+(N-4)+(N-6)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数 又当n为偶数时，由1+2+3+...+N与s=N+(N-1)+(N-2)+...+1相加得: 2s=[N+1]+[(N-1)+2]+[(N-2)+3]+...+[(N-N-1)+(N-1)] =2[(N-1)+(N-3)+(N-5)+...0或1]加或减去所有添加的二项式展开式数,合并n为偶数时2S的两个计算结果，可以得到s=N+(N-1)+(N-2)+...+1的计算公式。 其中，所有添加的二项式展开式数，按下列二项式展开式确定，如此可以顺利进行自然数的1至n幂的求和公式的递进推导，最终可以推导至李善兰自然数幂求和公式。[2]
物理牛顿第二定律教案新人教版必修
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牛顿第二定律教案 一、素质教育目标 （一）知识教学点 1．在实验的基础上得出牛顿第二定律 2．掌握公式、物理量的意义 3．学习、应用牛顿第二定律应注意的问题 （二）能力训练点 1．演示实验总结牛顿第二定律，从定性到定量，对真理进行再发现，培养学生进行实验研究、总结规律，不断创新的能力． 2．掌握实验研究中的控制变量法． （三）德育渗透点 通过对实验误差处理、控制变量的学习，培养学生尊重事实，实事求是的美德． 二、学法引导 1．以分组实验的方法，让学生带着问题去研究． 2．归纳总结，形成规律性认识． 三、重点·难点·疑点及解决办法 1．重点 成功地完成演示实验，总结出牛顿第二定律．并掌握牛顿第二定律的初步应用．2．难点 物理公式在确定物理量的数量关系的同时也确定了物理量的单位关系． 3．疑点 从牛顿第二定律可知，无论怎么小的力都可以使物体产生加速度，可是当用力推一个停在地面上的较大的物体时，却推不动，这是什么原因呢?这与牛顿第二定律的外延有无矛盾呢? 4．解决办法 学生分组实验，对实验分析、剖析、讲解例题及用学生讨论等方式加以解决． 四、课时安排 第1课时基本知识点的讲解 第2课时基本习题讲解（学会基本思路）做基本练习题 第3课时中档习题讲解（作业有所加深）如连接体的问题 五、教具学具准备 带滑轮的长木板若干、小车若干、细线、砝码盘、砝码、直尺等，用于演示实验（说明力质量和加速度之间的关系）． 六、师生互动活动设计 1．教师由复习影响物体运动状态改变的因素，导入如何定量分析． 2．演示实验，在控制变量的前提下找关系． 3．师生共同讨论实验结果，总结归纳形成规律性认识． 七、教学过程 （一）明确目标
二项式定理在数列求和中的应用
二项式定理在数列求和中应用 班级：数学1403 ：王琪 学号:14404337
二项式定理在数列求和中的应用 【摘要】 本文利用二项式定理和辉三角的在联系，结合组合不等式，推导出形如(,,)a n a n a ==234的前n 项和的公式,并给出求更高次求和公式的一般方法。 【关键词】 二项式定理 组合数 方程的根 系数 一、项式定理和辉三角介绍： 1,二项式定理： ()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a b C a b C a b C a b C a b ---+=+++ ++ 00111222 其中r n C 叫做二项式系数。 2,辉三角： 二项式定理的应用非常广泛, 也很重要, 主要表现在两个方面: 一是它所揭示的方法富有启发性; 二是它与高等数学联系紧密.学习与掌握它, 既有利于培养学生联想和抽象思维的能力, 也有利于其今后进一步的学习. 二项式定理在中国被称为“贾宪三角”或“辉三角”，一般认为是北宋数学家贾宪所首创.它记载于辉的《详解九章算法》（1261）之中.在阿拉伯数学家卡西的著作《算数之钥》（1427）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同.在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算数书的封面上刻有此图，但一般称之为“帕斯卡三角形”.因为帕斯卡在1654 年也发现了这个结果. 而在1664年和1665年间，也就是由于瘟疫流行而迫使牛顿从剑桥躲开的前
夕，牛顿就开始了二项式定理的研究，值得注意的是，牛顿只处理了二项式的自乘幂是分数或负数的情况.牛顿第一次提到二项式定理是在1676年6月13日他写给奥尔登堡转给莱布尼兹的一封信中，此后牛顿对于该定理进行不断的推理、猜想和证明，最终建立了二项式定理.牛顿在建立了二项式定理以后，马上就抛弃了他以前用于求积的插值法，而把这个定理当做确定曲线下方面积的一个最简单最直接的方法来使用. 随着时间的推移，二项式定理被越来越多的人运用，直到今天，二项式定理已经是中学数学容的重要部分，也是当今高考的难点之一. 二项式定理是在处理有关两个元素和的方幂的问题时常常考虑到的一个重要公式，是组合数学中一个基础而重要的定理，在微积分、概率论、初等数论等许多数学分支中都可见其踪影. 二、二项式的性质 二项式定理： (a + (n . 理解二项式定理应注意： （1）二项式中，a 是第一项，b 是第二项，顺序不能变； （2）展开式中有1n +项(比指数多1)； （3）0 1 ,, ,n n n n C C C 是二项式系数； （4）a 的指数降幂，b 的指数是升幂，两者的指数的和等于n ； （5）二项式展开时要注意各项的符号规律； （6）注意二项式定理的可逆性. 二项式定理除了要注意以上几点外还具有一些性质： 性质一 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式 系数相等，即m n m n n C C -=. 性质二 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数 之和，11m m m n n n C C C -++=. 性质三 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即 012.n n n n n C C C ++ += （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两