参数估计和假设检验习题
1.设某产品的指标服从正态分布,它的标准差σ已知为150,今抽了一个容量为26的样本,计算得平均值为1637。问在5%的显著水平下,能否认为这批产品的指标的期望值μ为1600
解: 01:1600, :1600,H H μμ=≠标准差σ已知,拒绝域为2
Z z α>,取0.05,α=26,n =
0.0250.9752
1.96z z z α===,
由检验统计量
1.25 1.96Z =
==<,接受0:1600H μ=,
即,以95%的把握认为这批产品的指标的期望值μ为1600.
2.某纺织厂在正常的运转条件下,平均每台布机每小时经纱断头数为根,各台布机断头数的标准差为根,该厂进行工艺改进,减少经纱上浆率,在200台布机上进行试验,结果平均每台每小时经纱断头数为根,标准差为根。问,新工艺上浆率能否推广(α=
解: 012112:, :,H H μμμμ≥<
(
3.某电器零件的平均电阻一直保持在Ω,改变加工工艺后,测得100个零件的平均电阻为Ω,如改变工艺前后电阻的标准差保持在Ω,问新工艺对此零件的电阻有无显著影响(α=
解: 01: 2.64, : 2.64,H H μμ=≠已知标准差σ=,拒绝域为2
Z z α>,取0.0252
0.05, 1.96z z αα===,
100,n =
由检验统计量 3.33 1.96Z =
==>,接受1: 2.64H μ≠,
即, 以95%的把握认为新工艺对此零件的电阻有显著影响.
4.有一批产品,取50个样品,其中含有4个次品。在这样情况下,判断假设H 0:p ≤是否成立(α= 解: 01:0.05, :0.05,H p H p ≤>采用非正态大样本统计检验法,拒绝域为Z z α>,0.950.05, 1.65z α==,
50,n =
由检验统计量0.9733Z =
==<,接受H 0:p ≤.
即, 以95%的把握认为p ≤是成立的.
5.某产品的次品率为,现对此产品进行新工艺试验,从中抽取4O0件检验,发现有次品56件,能否认为此项新工艺提高了产品的质量(α=
解: 01:0.17, :0.17,H p H p ≥<采用非正态大样本统计检验法,拒绝域为Z z α<-,400,n =
^
0.950.05, 1.65z α=-=-,由检验统计量
400
1.5973i x np
Z -=
=
=-∑>, 接受0:0.17H p ≥,
即, 以95%的把握认为此项新工艺没有显著地提高产品的质量.
6.从某种试验物中取出24个样品,测量其发热量,计算得x =11958,样本标准差s =323,问以5%的显著水平是否可认为发热量的期望值是12100(假定发热量是服从正态分布的)
解: 01:12100, :12100,H H μμ=≠总体标准差σ未知,拒绝域为2
(1)t t n α>-,24,n = x =11958,
s =323,0.0250.05,(23) 2.0687t α==, 由检验统计量
2.1537t =
==>,拒绝0:12100H μ=,接受1:12100,H μ≠ 即, 以95%的把握认为试验物的发热量的期望值不是12100.
7.某食品厂用自动装罐机装罐头食品,每罐标准重量为500克,每隔一定时间需要检查机器工作情况。现抽得10罐,测得其重量为(单位:克):195,510,505,498,503,492,ii02,612,407,506.假定重量服从正态分布,试问以95%的显著性检验机器工作是否正常
解: 01:500 :500H vs H μμ=≠,总体标准差σ未知,拒绝域为2
(1)t t n α>-,10,n =经计算得到
x =502, s =,取0.0250.05,(9) 2.2622t α==,由检验统计量
0.9733t =
==<, 接受0:500 H μ= @
即, 以95%的把握认为机器工作是正常的.
8.有一种新安眠药,据说在一定剂量下,能比某种旧安眠药平均增加睡眠时间3小时,根据资料用某种旧安眠药时,平均睡眠时间为小时。标准差为小时,为了检验这个说法是否正确,收集到一组使用新安眠药的睡眠时间为,,,,27 .2,,。试问:从这组数据能否说明新安眠药已达到新的疗效(假定睡眠时间服从正态分布,α=。
解: 01:23.8 :23.8H vs H μμ≥<,已知总体标准差σ =,拒绝域为Z z α<-,7,n =经计算得到x =,取
0.950.05, 1.65z α=-=-,由检验统计量
0.6614
x Z =
==>, 接受0:23.8H μ≥
即, 以95%的把握认为新安眠药已达到新的疗效.
9.测定某种溶液中的水份,它的l0个测定值给出x =%,s =%,设测定值总体服从正态分布,μ为总体均值,σ为总体的标准差,试在5%显著水平下,分别检验假(1)H 0: μ=%; (2)H 0:
σ=%。
解:(1)H 01: μ=%,11:0.5%H μ≠, 总体标准差σ未知,拒绝域为2
(1)t t n α>-,10,n =
x =%,s =%,取0.0250.05,(9) 2.2622t α==,由检验统计量
4.102t =
==>,拒绝H 0: μ=%, (2) H 02:σ=%, H 12:σ≠%,拒绝域为2222
12
2
(1) (1)n n ααχχχχ-≤-≥-或,10,n =取α=,
?
22
2
0.975
0.025
(9) =2.7 (9)19.023χ
χχ
≥=,,由检验统计量2
22
2
2
(1)(101)0.000377.70060.0004n s χσ--=
==,
即2
2.77.700619.023χ<=<,接受H 02:σ=%.
10.有甲、乙两个试验员,对同样的试样进行分析,各人试验分析结果见下表(分析结果服从正态分布
-
解:(1)2222
01121112:, :,H H σσσσ=≠拒绝域为121212
2
(1,1) (1,1)F F n n F F n n α
α-
≤--≥--或,128,
n n ==取α=, 0.9750.0250.0251(7,7)0.2004 , (7,7) 4.99(7,7)
F F F =
==,经计算22
12
0.2927,0.2927,s s == 由检验统计量2212/0.2927/
0.29271F s s ===,
接受22
0112:,H σσ=
(2)
02121212
:, :H H μμμμ=≠拒绝域为
122
(2)
t t n n α>+-,
128,n n ==
0.0250.05,(14) 2.1448t α==,
并样本得到22
21122
12(1)(1)2
w
n s n s s n n -?+-?=+-=, w s =, 由检验统计量
-0.6833t =
=
=<, 接受0212:,H μμ=
即, 以95%的把握认为甲、乙两试验员试验分析结果之间无显著性的差异.
11.为确定肥料的效果,取1000株植物做试验。在没有施肥的100株植物中,有53株长势良好;在已施肥的900株中,则有783株长势良好,问施肥的效果是否显著(α=
解:(1)22220112
1112:, :,H H σσσσ=≠拒绝域为121212
2
(1,1) (1,1)F F n n F F n n αα-≤--≥--或,取α=, 12100,900,n n ==0.9950.0050.0051
(99,899)0.7843 , (99,899) 1.3(899,99)
F F F =
==,计算
22
125353783783(1)0.2491,(1)0.1131,100100900900
s s =
?-==?-= 由检验统计量 2212/0.2491/0.1131 2.2025F s s ===, 拒绝220112:,H σσ=
(2) 02121212:, :H H μμμμ≤>拒绝域为12(2)t t n n α>+-,12100,900,n n ==0.010.01,() 2.4121t α=∞≥
*
并样本得到22
21122
12(1)(1)2
w
n s n s s n n -?+-?=+-=, w s =, 由检验统计量
-9.0656
x y
t===<, 接受
0212
:,
Hμμ
≤
即, 以95%的把握认为施肥的效果有显著性的差异.
(备注:
0.005
(99,899)
F=+
0.025
(899,99)
F=+在十块地上同时试种甲、乙两种品种作物,设每种作物的
产量服从正态分布,并计算得x=,y=,
x
s=,
y
s=。这两种品种的产量有无显著差别(α=
解:(1)2222
01121112
:,:,
H H
σσσσ
=≠拒绝域为
1212
1
22
(1,1) (1,1)
F F n n F F n n
αα
-
≤--≥--
或,
12
10,
n n
==取
α=,
0.9950.005
0.005
1
(9,9)0.1529 , (9,9) 6.54
(9,9)
F F
F
===,有题设22
712.89,146.41,
x y
s s
==
由检验统计量22
12
/712.89/146.41 4.8691
F s s
===, 接受22
0112
:,
Hσσ
=
(2)
02121212
:,:
H H
μμμμ
≥<,拒绝域为
12
(2)
t t n n
α
<-+-,
0.01
0.01,(18) 2.5524
t
α==-,
12
10,
n n
==
并样本得到
22
21122
12
(1)(1)
2
w
n s n s
s
n n
-?+-?
=
+-
=(9×+9×/18=, w s=, 由检验统计量
0.9903
x y
t===>, 接受
0212
:,
Hμμ
≥
即, 以95%的把握认为此两品种作物产量有显著差别,并且是第一种作物的产量显著高于第二种作物的产量.
/
13.从甲、乙两店备买同样重量的豆,在甲店买了10次,算得y=颗,
10
2
1
()
i
i
y y
=
-
∑=1442;在乙店买了13次,计算x=118颗,
13
2
1
()
i
i
x x
=
-
∑=2825。如取α=,问是否可以认为甲、乙两店的豆是同一种类型的(即同类型的豆的平均颗数应该一样)
解:(1)2222
01121112
:,:,
H H
σσσσ
=≠拒绝域为
1212
1
22
(1,1) (1,1)
F F n n F F n n
αα
-
≤--≥--
或,
1
10,
n= 2
13,
n=取α=,
0.005
(12,9) 5.20
F=,
0.995
0.005
1
(12,9)0.1605 ,
(9,12)
F
F
==,有题设2235.25,
x
s=
2160.2222,
y
s=由检验统计量22
/235.25/160.2222 1.4683
x y
F s s
===, 接受22
0112
:,
Hσσ
=
(2)
02121212
:,:
H H
μμμμ
=≠,拒绝域为
12
2
(2)
t t n n
α
>+-,
0.005
0.01,(11) 3.1058
t
α==,
1
10,
n= 2
13,
n=并样本得到
22
21122
12
(1)(1)
2
w
n s n s
s
n n
-?+-?
=
+-
=(2823+1442)/11=, w s=, 由检验统计量
0.2294
x y
t===<, 接受
0212
:,
Hμμ
=
即, 以95%的把握认为此甲、乙两店的豆是同一种类型的.
14.有甲、乙两台机床加工同样产品,从此两台机床加工的产品中随机抽取若干产品,测得产品直径(单位:Illm)为机床甲:,,,,,,,; 机床乙:,,,,,,.试比较甲、乙两台机床加工的精度有无显著差异(α=5%)
解:(1)2222
01121112
:,:,
H H
σσσσ
=≠拒绝域为
1212
1
22
(1,1) (1,1)
F F n n F F n n
αα
-
≤--≥--
或,
12
8,7
n n
==, @
取α=,
0.9750.025
0.025
1
(8,7)0.2041 , (8,7) 4.53
(7,8)
F F
F
===,经计算22
12
0.2164,0.3967,
s s
==
由检验统计量22
12
/0.2164/0.39670.5455
F s s
===, 接受22
0112
:,
Hσσ
=
(2)
02121212
:,:
H H
μμμμ
=≠拒绝域为
12
2
(2)
t t n n
α
>+-,
12
8,7
n n
==,
0.025
0.05,(13) 2.1604
t
α==,并样本得到
22
21122
12
(1)(1)70.216460.3967
0.2996
213
w
n s n s
s
n n
-?+-??+?
===
+-w
s=, 由检验统计量
-0.2657
t===<, 接受
0212
:,
Hμμ
=
即, 以95%的把握认为甲、乙两台机床加工的精度结果之间无显著性的差异.
15.某工厂所生产的某种细纱支数的标准差为,现从某日生产的一批产品中,随机抽16缕进行支数测量,求得样本标准差为,问纱的均匀度是否变劣
解:
01
: 1.2,: 1.2,
H H
σσ
=≠拒绝域为2222
1
22
(1) (1)
n n
αα
χχχχ
-
≤-≥-
或,16,
n=取α=,
222
0.9750.025
(15) = 0.0364 (15)27.4884
χχχ
≥=
,,由检验统计量
22
2
22
(1)(161)2.1
45.9375
1.2
n s
χ
σ
--
===,
即245.937527.4884
χ=>, 拒绝H0:σ=
:
即, 以95%的把握认为生产的纱的均匀度是变劣了。
16.从一批钉子中抽取16枚,测得其长度为(单位:m):,,,,,,
,,,,,,,,,.设钉长分布为正态,试在下列情况下求总体期望值μ的90%置信区间:(1)已知σ=(cm);(2) σ为未知。
解:
>> y1=[ ]
>>mean(y1),得到点估计1y=, n=16
(1)已知σ=,
~(0,1)
x
N,取
0.95
2
0.1, 1.65
z z
α
α===
包含总体期望值μ的90
%置信区间为2
2
(//x z x z αασσ-+
(2) σ为未知,
~(1)x t n -,取0.052
0.1,(1)(15) 1.7531t n t αα=-== 包含总体期望值μ的90
%置信区间为0.050.05((15)/(15)/x t s x t s -?+?
—
17.包糖机某日开工包了12包糖,称得的重量(单位:两)分别为,,,,,,,,,, ,,假设重量服从正
态分布,试由此数据对糖包的平均重量作置信度为95%的区间估计。
解:
>>x10=[ ]
>> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x10,
得到平均重量点估计 mu = , 置信区间为 muci =[,],
sigma = , 置信区间为 sigmaci =[,]
18.某电子产品的某一参数服从正态分布,从某天生产的产品中抽取15只产品,测得该参数为,,,,,,,,,,,,,,。试对该参数的期望值和方差作置信度分别为95%和99%的区间估计。
解:
>> x12=[ ] 取定α=, 》
>> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x12,
得到参数的期望值点估计mu =, 95%置信区间为muci =[, ]; 方差点估计sigma =, 95%置信区间为sigmaci=[, ] 取定α=,
>> [mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(x12,
得到参数的期望值点估计mu=, 99%置信区间为muci=[,]
方差点估计sigma =, 99%置信区间为sigmaci=[,]
19.为了在正常条件下,检验一种杂交作物的两种新处理方案,在同一地区随机挑选8块地段,
解:
>> x=[86 87 56 93 84 93 75 79],>> mean(x) 得到81.6250x =
>> y=[80 79 58 91 77 82 74 66],>> mean(y) 得到75.8750y =
128,n n == 计算22
21122
12(1)(1)2
w
n s n s s n n -?+-?=+-,得到w s ,
取定α=, 由样本统计量 122
(2)t t n n α=
+-
最后,得到x y μμ-的置信水平为95%的一个置信区间为
12122
2
((2)(2)x y t n n s x y t n n s αα--+-?-++-? 20.设两位化验员A 、B 独立地对某种聚合物的含氯量用相同的方法各作了10次测定,其测定值
的方差2s 依次为和,设2A σ和2
B σ分别是A 、B 两化验员测量数据总体的方差,且总体服从正态分布,求方差比2A σ/2B σ的置信度为90%的置信区间。
解:1210,n n ==22
0.5419,0.6065A B s s ==,取α=,0.05(9,9) 3.18F =, 0.950.051
(9,9)0.3145 , (9,9)
F F =
= 方差
比2A σ/2
B σ的置信度为90%的置信区间为
22
2212121211(,)(1,1)(1,1)
A A
B B s s s F n n s F n n αα-----