上海市位育中学2020-2021学年高二第一学期期中考试数学试卷
上海市位育中学2020-2021学年高二第一学期期中考试数学
试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．已知a =（x ,3），b =（3,1），且a ∥ b ，则x =_______.
2．行列式4
2k 354112
---中第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则k =______．
3．增广矩阵为3?110m n -??
???的二元一次方程组的实数解是12x y =??=?，则m +n =__________.
4．已知矩阵A =1234?? ???，矩阵B =4231?? ???
，计算：AB = ． 5．已知直线上两点A （2,3），B =（-1,5），则直线AB 的点方向式方程是____________. 6．直线l 的一个方向向量d =（1,2），则l 与直线-20x y +=的夹角为______________（结果用反三角函数值表示）.
7．若实数x ,y 满足10304x y x y y -+≤??+-≥??≤?
，则目标函数2z x y =+的最大值为_____________.
8．与直线2350x y ++=
___________. 9．若直线l
：y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________.
10．在△ABC 中，AB =6，AC =4，D 为BC 中点，则?AD BC =____________. 11．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线210()mx y m m ---=∈R 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______．
12．在如图所示的平面中，点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点，AB =BC =2，过动点P 作半圆的切线PQ ，若PC
PQ ，则△PAC 的面积的最大值为
______________.
二、单选题
13．关于向量，下列结论错误的是（ ）
A ．0a ?=0
B ．()()(,)m na mn a m n R ?=?∈
C ．AB BA =
D ．()(,)m n a m a n a m n R +?=?+?∈.
14．如果命题“曲线C 上的点的坐标都是方程0(),f x y =的解”是正确的，则下列命题中正确的是（ ）
A ．曲线C 是方程0(),f x y =的曲线
B ．方程0(),f x y =的每一组解对应的点都在曲线
C 上
C ．不满足方程0(),f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上
D ．方程0(),f x y =是曲线C 的方程
15． 设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为 ( )
A ．6
B ．4
C ．3
D ．2
16．已知直线1l ：-10ax y +=，2l ：10,x ay a R ++=∈，和两点A （0,1），B （-1,0），给出如下结论：
①不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直；
②当a 变化时，1l 与2l 分别经过定点A （0,1）和B （-1,0）；
③不论a 为何值时，1l 与2l 都关于直线0x y +=对称；
④如果1l 与2l 交于点M ，则MA MB ?的最大值是1；
其中，所有正确的结论的个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4.
三、解答题
17．讨论关于x ，y 的一元二次方程组223(1)21mx y x m y m +=??
+-=+?
的解得情况. 18．已知圆O ：225x y +=.
（1）当直线l ：20ax y a ++=与圆O 相交于A 、B 两点，且AB =l 的方程;
（2）求与圆O 外切点（-1,2），且半径为.
19．已知2,1a b ==，a b 与的夹角为45°.
（1）求a b 在方向上的投影； （2）求2a b +的值;
（3）若向量()2-3a b a b λλ-与（的夹角是锐角，求实数λ的取值范围.
20．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长为2，宽为1，AB ，AD 边分别在x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上，设此点为'A .
（1）若折痕的斜率为-1，求折痕所在的直线的方程；
（2）若折痕所在直线的斜率为k ，（k 为常数），试用k 表示点'A 的坐标，并求折痕所在的直线的方程；
（3）当-20k +≤≤时，求折痕长的最大值.
21．定义：圆心到直线的距离与圆的半径之比为直线关于圆的距离比λ.
（1）设圆220:1,C x y +=求过P （2,0）的直线关于圆0C 的距离比λ=
（2）若圆C 与y 轴相切于点A （0,3）且直线y =x 关于圆C 的距离比λ=
圆的C 的方程；
（3）是否存在点P ，使过P 的任意两条互相垂直的直线分别关于相应两圆222212:(1)1:(-3(-34C x y C x y ++=+=与））的距离比始终相等？若存在，求出相应
的点P 点坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．9
【解析】
∵(,3)a x =，(3,1)b =，a ∥b
∴133x ?=?
∴9x =
故答案为9
2．-14
【解析】
【分析】
先由题意得到3212k M (1)
12=--，再进一步计算即可得出结果. 【详解】
由题意得3212k M (1)221k 1012
=-=?+?=-- 解得：k 14=-．
故答案为：14-．
【点睛】
本题主要考查矩阵的计算，熟记概念和公式即可，属于基础题型.
3．-4
【解析】
∵增广矩阵3110m n -?? ???
的二元一次方程组的实数解是1{2x y == ∴321{20
m n +=-+= ∴2,2m n =-=-
∴m n 4+=-
故答案为4-
4．1042410?? ???
【解析】
试题分析：AB =1234?? ???4231?? ???=1042410?? ??
?。 考点：矩阵的乘法运算。
点评：直接考查矩阵的乘法运算：当A 矩阵列数与B 矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的。
5．-2y-3-32
x = 【解析】
∵(2,3)A ，(1,5)B -
∴()3,2AB =-
∴经过两点(2,3)A ，(1,5)B -的直线AB 的点方向式方程是
2332x y --=- 故答案为2332
x y --=- 6
． 【解析】
∵直线20x y -+=的方向向量是()1,1
∴直线l 与20x y -+=
= ∴直线l 与20x y -+=
的夹角为arccos 10
故答案为arccos
10
7．10
【解析】
由线性约束条件10304x y x y y -+≤??+-≥??≤?
，得可行域如图：
联立4
{10y x y =-+=，得(3,4)A
由图象知：当函数2z x y =+的图象过点(3,4)A 时，2z x y =+取得最大值为10 故答案为10
点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值
的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；
（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.
8．2318023-80x y x y ++=+=或
【解析】
依题意可得与直线2350x y ++=平行的直线方程可设为230x y b ++=
=∴8b =-或者18
∴与直线2350x y ++=平行的直线方程为23180x y ++=或2380x y +-= 故答案为23180x y ++=或2380x y +-=
点晴：本题考查的是两条平行直线间的距离的运用.根据两条平行直线
1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=
之间的距离公式为d =，
即可求出直
9．(,)62
ππ
【解析】
若直线:l y kx =2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：
则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角
为2π，当交点为()3,0B 时，斜率(0303k -==-，直线l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ?? ???
． 故答案为,62ππ??
??? 10．10-
【解析】
∵D 为BC 中点 ∴1()2
AD AB AC =+ ∵BC BA AC =+ ∴2211()()()22
AD BC AB AC BA AC AC AB ?=+?+=- ∵AB =6，AC =4
∴221(46)102
AD BC ?=?-=- 故答案为10-
11．()2
212x y -+=
试题分析：因为直线210mx y m ---=恒过定点(2,1)-，所以圆心(1,0)到直线210mx y m ---=的最大距离为22(21)(01)2d =-++=，所以半径最大时的半径
，所以半径最大的圆的标准方程为22
(1)2x y -+=．
考点：1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系．
【方法点睛】解决直线与圆的问题时，一方面，注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用．
12．【解析】
以AB 所在直线为x 轴,以AB 的垂直平分线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系：
∵2AB BC ==
∴()3,0C
设(),P x y
∵过动点P 作半圆的切线PQ ，且PC =
=∴226110x y x ++-=
∴点P 的轨迹方程是以3,0为圆心，以r =为半径的圆,
∴当点P 在直线3x =-上时,PAC ?的面积的最大
∴()max 142
PAC S ?=
??=
故答案为点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
13．A
【解析】
对于A ，000a ?=≠，故A 错误；对于B ，当,m n R ∈时，()()m na mn a mn a ?=?=?，故B 正确；对于C ，因为,AB BA 大小相等，方向相反，则AB BA =，故C 正确；对于D ，当,m n R ∈时，()m n a m a n a +?=?+?，故D 正确
故选A
14．C
【详解】
由曲线与方程的对应关系,可知:由于不能判断以方程0(),f x y =的解为坐标的点是否都在曲线C 上,
故方程0(),f x y =的曲线不一定是C,所以曲线C 是方程0(),f x y =的曲线不正确; 方程0(),f x y =的每一组解对应的点都在曲线C 上也不正确;
不能推出曲线C 是方程0(),f x y =的轨迹,
从而得到A,B,D 均不正确,
不满足方程0(),f x y =的点(,)x y 不在曲线C 上是正确的.
故选 C.
15．B
【解析】
当PQ 所在直线过圆心且垂直于直线x ＝－3时，|PQ|有最小值，且最小值为圆心(3，－1)到直线x ＝－3的距离减去半径2，即最小值为4，故选B.
16．C
【解析】
对于①，当0a =时，两条直线分别化为:1,1y x ==-，此时两条直线互相垂直，当0a ≠时，两条直线斜率分别为:1,a a -,满足11a a ???-=- ???
,此时两条直线互相垂直，因此不论a 为何值时，1l 与2l 都互相垂直，故①正确；
对于②，当a 变化时，代入验证可得:1l 与2l 分别经过定点()0,1A 和()1,0B -，故②正确； 对于③，由①可知:两条直线交点在以AB 为直径的圆上，不一定在直线0x y +=上，因此1l 与2l 关于直线0x y +=不一定对称，故③不正确；
对于④，如果1l 与2l 交于点M ，由③可知:22
2MA MB +=，则22?MA MB ≥，所以·MA MB 的最大值是1，故④正确.
所有正确结论的个数是3.
故选C
17．2m ≠-且3m ≠方程组有唯一解；3m =方程组无解；2m =-方程组有无穷多解.
【解析】
试题分析：对m 进行分类讨论，即可得方程组的解的情况.
试题解析：①当2m =-时，一元二次方程组为222{333
x y x y -+=-=-，则方程组有无穷多解 ②当3m =时，一元二次方程组为322
{327x y x y +=+=，则方程组无解
③当2m ≠-且3m ≠时，方程组有唯一解
综上，2m ≠-且3m ≠方程组有唯一解；3m =方程组无解；2m =-方程组有无穷多解.
18．（100y y 或++=+=；（2）22(3)(-6)20x y ++=
【解析】
试题分析：（1）求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，即可求出直线l 的方程；（2）两圆相切，则切点与两圆的圆心三点共线，设出所求圆的圆心为(,)C a b ，列方程求得a ，b ，结合圆的半径即可得圆的方程．
试题解析：（1）∵圆22
:5O x y +=
∴圆心O 为()0,0
∵直线l ：20ax y a ++=与圆O 相交于A 、B 两点，且AB
=
=
=
∴a =
∴直线l
0y ++=
或者0y +-=
（2）设所求圆的的圆心为(,)C a b
∵切点(1,2)-与两圆的圆心O 、C 三点共线 ∴0201
b b a a --=-+
∵所求圆的半径为
∴222(1)(2)a b ++-=
∴3a =-，6b =
∴所求圆的方程为22(3)(6)20x y ++-=
点睛：本题主要考查直线方程与圆的方程，解答第（2）问时，切点与两圆的圆心三点共线是解答此问的关键，考查方程思想与运算能力.
19．（1）1；（2
（3
）?.
【解析】
试题分析：（1）由射影定义可得a 在b 方向上的投影；（2）利用公式22a a =可求得向量的模；（3）由(2)a b λ-与(3)a b λ-的夹角是锐角，可得(2)(3)0a b a b λλ-?->，且(2)a b λ-与(3)a b λ-不能同向共线，即可解出实数λ的取值范围.
试题解析：（1）∵2a =，1b =，a 与b 的夹角为45?
∴cos 4512
a ?==
∴a 在b 方向上的投影为1
（2）∵222224cos 452244a b a b a a b b +=
+=+?+=++= ∴210a b +=
（3）∵(2)a b λ-与(3)a b λ-的夹角是锐角
∴(2)(3)0a b a b λλ-?->，且(2)a b λ-与(3)a b λ-不能同向共线
∴2760λλ-+<，2(3)a b k a b λλ-≠-，0k >
∴1λ<<6λ<
20．（1）-1y x =+；（2）2122
k y kx =++；(3). 【解析】
试题分析：（1）若折痕的斜率为1-时，由于A 点落在线段DC 上，可得折痕必过点(0,1)D ，即可得出；（2）当0k =时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程12y =，当0k ≠时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为(),1G a ，可知A 与G 关于折痕所在的直线对称，有?1OG k k =-，故G 点坐标为(),1G k -，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标即线段OG 的中点为M ，即可得出；（3）当0k =时，折痕为2，当
20k -≤<时，折痕所在直线交BC 于点212,222k E k ??++ ??
?，交y 轴于210,2k F ??+ ???
，利用两点之间的距离公式、二次函数的单调性即可得出． 试题解析：（1）∵折痕的斜率为1-时，A 点落在线段DC 上
∴折痕必过点(0,1)D
∴直线方程为1y x =-+
（2）①当0k =时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程12
y =. ②当0k ≠时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为(),1G a ，()02a ≤＜ 则A 与G 关于折痕所在的直线对称，有1OG k k ?=-，即a k =-．
∴G 点坐标为()(),1,20G k k --≤＜
从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标即线段OG 的中点为1,22k M ??- ??
?，折痕所在的直线方程122k y k x ??-=+ ???，即()212022
k y kx k =++-≤<． 综上所述，由①②得折痕所在的直线方程为：()212022
k y kx k =++-≤≤． （3）当0k =时，折痕长为2．
当20k -≤<时，折痕所在直线交BC 于点212,222k E k ??++ ??
?，交y 轴于210,2k F ??+ ??
?．
∵(22222211224444732222k k y EF k k ????+==+-++=+≤+-=-?? ?????，
2
2==>.
∴综上所述，折痕长度的最大值为2 点睛：本题考查了关于折叠问题转化为轴对称问题，考查了直线的方程、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题
21．（1）)2y x =-；（2）()()22339x y ++-=或()()22
131x y -+-= ；（3）存在()7111,1,,55??--
??
?. 【解析】
【详解】 试题分析：（1）由题意可知斜率不存在时不满足题意，所以设过()2,0P 的直线方程为()2y k x =-，求得已知圆的圆心和半径，由新定义，可得方程，求得k ，即可得到所求直线方程；（2）设圆C 的方程为()()22
2x a y b r -+-=，由题意可得
(
)2223,a b r a r +-===，解方程可得a ，b ，r ，进而得到所求圆的方
程；（3）假设存在点()P m n ,，设过P 的两直线为()y n k x m -=-和
()1y n x m k
-=--，求得两圆的圆心和半径，由新定义可得方程，化简整理可得()()21230k m n m n +-+--=或()()25320k m n m n -++--=，再由恒成立思想可得m ，n 的方程，解方程可得P 的坐标．
试题解析：（1）设过()2,0P 的直线方程为()2y k x =-
∵圆220:1C x y +=的圆心为()0,0，半径为1
=
∴k =
即所求直线为)2y x =-;
（2）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=
根据题意可得(
)2223,a b r a r +-===
∴解方程可得3,3,3a b c =-==或1,3,1a b r ===，则有圆C 的方程为
()()22339x y ++-=或()()22131x y -+-=
（3）假设存在点()P m n ,，设过P 的两直线为()y n k x m -=-和()1y n x m k
-=-- 又∵()221:11C x y ++=的圆心为()1,0-，半径为1，()()2
22:334C x y -+-=的圆心为()3,3，半径为2
=，即()()21230k m n m n +-+--=或()()25320k m n m n -++--=
∴21{23m n m n +=-=或25{23
m n m n -=-+=,
∴
1
{
1
m
n
=
=-
或
7
5
{
11
5
m
n
=-
=
，则存在这样的点()
1,1
P-和
711
,
55
??
-
?
??
，使得使过P的任意两条
互相垂直的直线分别关于相应两圆的距离比始终相等.
点睛：本题考查新定义的理解和运用，考查直线和圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查恒成立问题的解法，属于中档题．