行程问题柳卡图
行程问题-柳卡图
1、关于柳卡图
在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。轮船在途中所花的时间来去都是7昼夜，而且都
是匀速航行在同一条航线上。问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？”
此题的叙述如下：
每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛.轮船在途中均要航行七天七夜.试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？
他先画了如下一幅图：
这是一张运行图.画两条平行线，一条直线表示哈佛，另一条表示纽约.那么，从
哈佛或纽约开出的轮船，可用图中的两组平行线簇来表示.图中每条线段分别表示每条船的运行情况.粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即
从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）. 而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜.女口果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船.这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船.
2、在多次相遇里的行程问题应用
多次相遇行程问题的必备工具一一柳卡图。柳卡图，也称为折线图，可以很好的解决复杂的行程问题。快速的解法是直接画时间-距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。折线示意图往往能够清晰的体现运动过程中“相遇的次数”，
“相遇的地点”，以及“由相遇的地点求出全程”，使用折线示意图法一般需要我们知道每个物体走完一个全程时所用的时间是多少。其中相遇”两字广义上讲，只要两人在同一地点就算相遇，因次分为两种情况，一种叫做迎面相遇（即我们平时说的相遇问题），一种叫做追及相遇（即我们平时说的追及问题），一般题目说的相遇，我们默认指的是迎面相遇，若题目说只要两人在同一地点算做一次相遇，那么这时两种情况都要算，那么柳卡图怎么画呢？
I：铺垫】长途汽车有甲*乙两个终点站.再车要用斗时才能驶完全程。从上午6点开始，每隔？时从甲、乙两站同时发出一辆公共汽车，最后一班车在下午4点发岀口问’从甲站发车的汽车司机最多能看到几辆迎面驶来的公共汽车?最少能看到几辆？
【分撈】这暹一道基杠不用作图的題’能相遇药车敖專决于出发和到迨射时间忑阖内对面笈由妁车敷丁足到畳少车釣妁是最耳一班’6:00-10:00.这个区两內乙站发出§鋼：最多的则是10:00出岌的车尸在10:0074:00这个区同內可遇吐匸站6：00~1400之问发出的车，共9辅°
运用柳卡图可以很清晰地表示出题申车翱的行驶我况，痕们苓妨哄此为例.熟懸一下椰启囲的作用知囲法
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
甲----- ?-- ?--- ?--- ?--- ?-- ? -- ? -- *--- ?---- ? -- ?--- ?--- ?--- ?-----
乙----- ? --- ? -- ?---- ?--- ? --- *--- ?--- ?--- ?---- ? --- ?--- ?--- ?---- ? ----
6 7 8 9 10 II 12 13 14 15 16 17 18
3.第一対从甲站岌出詢车应是六点出发到这乙站是10点，先連接上方线上的6场下力线
上的10.
第二辆从甲站发出的车^<7点发出，［1点對，材应连按上芳的7与下君的11,低次美推得到T国。文案大全
4.和上一步类似，将从乙姑发去的车线段连接起来，最好用不同的嶽，如图。
6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
乙
67 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18
两种线的辜一个变点就表示一次相遇.视幕團中可说发现.一条蓝嶽（甲站发出的车）產少頁红线也有5个克点，也就是说有5次相遇’最多可扭友9次相遇口此题关绽就是求出两人的往趣时PL煤后作團就行了.
?基本的林图肓舗决的间題-般都有下面的特隹
1 两人在固定的一段路程上往返行走，且彳讨呈的过程有规定的时间‘并不是无限时卧
2.多次相遇，求解多次相遇的次数*
3.往返的时间题目中给岀，或者容易求岀，
工给岀了两人行走一个全程时候所用时间的比例关系或者给岀两人速度之比等’可陕依此求岀时间比。
基本柳卡图的作图方注一?分为下面几步:
5-画岀两条平行线表示行程的两端I
6.分别在两条线段上标岀时间；
7-将两人的行程过程用线段连起来，从起点线段找出出发时间与相对疝的到达线段上的到达时间连起来即可，两人的线段最好用不同的线，易于区分：
8.每两个线段的交点都代表一枕相遇=每一个连接上下两条线的线段都表示i全程’观察图中两种线段
的交点和线段的长度，根据题意找岀答案。
一、解决哆枕相遇”——明視方向（打娜儿来.到哪儿去？）
大卡车小汽车在甲乙两地之间往返行驶，小汽车的速度是大卡车的？倍.也们分别在甲乙两地同时相对起跑,当他们在途中处于同一地点即为相遇，相遇了12枕，大卡车跑了多少个全程？期间有几次是同向追及相遇的？
【分析】一般的歩次相遇可通过速度比得到路蓉比，进而画出脱段示意酸而这道题申渉及到基次相理的亦向间題’一罐的践段示意图就显博力不从心了T為措助柳卡圉则能直现迪表示出爾车的相適3青况
图申的时间没奁标注’僅是部是相同的间藩■时闻之比是13揍下来画出議段：
可权皤出第12次相遇的时候小汽卑和大卡车一共＜711 + 3 + 1 = 15/-全程其申大卡车
3
起了15 + (1 + 3) = 3 —个全癮◎霸间克4次A同向進及相遇.
二杀手^—少漏模型
曲两地相距400米，甲乙分别从乩丘两地同时岀发，在血两地间往返锻炼甲每分钟跑300米乙每分钟跑240米，在20分钟后惇止运动一第三次迎面相遇的地点距离B 地多远？
实用标准
【分折】甲匸二人的速度之比为300:240 = 5:4; 方法一：第三次相遇两人共合走5金全程.其申审走了 3x2 = 2?金全程； 9 9 2 2 S? 比冲自葛丘地土 P 全程'即4OOx-=E8- A. 9 9 9 方法二：君二人建受之比为5:4,慰走一个全桂二人的廿闵之比为4：5P 捋此描绘林卡 图如F; 在第三处相遇址，上下沙漏妁鐵比为：〈15-?:(12-10)=化2 ;可见莲篙B 地 400X- =88-? K 二变速的多次相遇 —条大河有As B 两个港口.水由A 流向B,水流速度是4千米时＜■甲、乙两船同时 由心向B 行驶，各自不停地在川B 之间往返航行，甲在静水中的速度是签千米时, 乙在静水中速度是20千米时,已知两船第二次迎面相遇地点与甲豁第二袂追上乙船(不 算幵始时曰r 乙在A 处的那一汝)的地点相距牝千米，求d B 两港□之间
的距离