二项式定理知识点总结汇编
二项式定理
一、二项式定理：
()n
n n k k n k n n n n n n b C b a C b a C a C b a +++++=+-- 110（*∈N n ）等号右边的多项式叫做
()n b a +的二项展开式，其中各项的系数k
n C )3,2,1,0(n k ???=叫做二项式系数。
对二项式定理的理解： （1）二项展开式有1+n 项
（2）字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1到0；字母b 按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1到n
（3）二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数b a ,，等式都成立，通过对b a ,取不同的特殊值，可为某些问题的解决带来方便。在定理中假设x b a ==，1，则
()n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x +++++=+- 101（*∈N n ）
（4）要注意二项式定理的双向功能：一方面可将二项式()n
b a +展开，得到一个多项式；
另一方面，也可将展开式合并成二项式()n
b a +
二、二项展开式的通项：k
k n k n
k b a C T -+=1 二项展开式的通项k
k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=是二项展开式的第1+k 项，它体现了
二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）及其系数等方面有广泛应用
对通项k
k n k n k b a C T -+=1)3,2,1,0(n k ???=的理解：
（1）字母b 的次数和组合数的上标相同 （2）a 与b 的次数之和为n
（3）在通项公式中共含有1,,,,+k T k n b a 这5个元素，知道4个元素便可求第5个元素
例1．n
n
n n n n C C C C 13
21393-++++ 等于 （ ） A ．n
4 B 。n
43? C 。134-n D.3
1
4-n
例2．（1）求7
(12)x +的展开式的第四项的系数；
（2）求91
()x x
-的展开式中3
x 的系数及二项式系数
三、二项展开式系数的性质：
①对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
,,,,22110k n n k n n n n n n n n n n C C C C C C C C ---====
②增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减，且在中间取得最大值。 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大，即n 偶数：()
2max
n n
k
n C C
=；
如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并最大，即()
2121max
+-==n n
n n
k
n
C
C C
③二项展开式的各系数的和等于n
2，令1=a ，1=b 即n n n n n n C C C 2)11(10=+=+++ ；
④奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等，令1=a ，1-=b 即
131202-=++=++n n n n n C C C C
例题：写出11
)(y x -的展开式中： （1）二项式系数最大的项； （2）项的系数绝对值最大的项； （3）项的系数最大的项和系数最小的项； （4）二项式系数的和； （5）各项系数的和
四、多项式的展开式及展开式中的特定项
（1）求多项式n
n a a a )(21+++ 的展开式，可以把其中几项结合转化为二项式，再利用
二项式定理展开。 例题：求多项式3
2
2
)21(-+x
x 的展开式
（2）求二项式之间四则运算所组成的式子展开式中的特定项，可以先写出各个二项式的通项再分析。
例题：求5
2
)1()1(x x -?+的展开式中3
x 的系数
例题：（1）如果在n
x x ???? ?
?+4
21 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项。
（2）求3
21???
? ??-+x x 的展开式的常数项。
【思维点拨】 求展开式中某一特定的项的问题时，常用通项公式，用待定系数法确定k
五、展开式的系数和
求展开式的系数和关键是给字母赋值，赋值的选择则根据所求的展开式系数和特征来定
例题：已知72
70127(12)x a a x a x a x -=+++
+，求：
（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a +++.
六、二项式定理的应用：
1、二项式定理还应用与以下几方面： （1）进行近似计算
（2）证明某些整除性问题或求余数
（3）证明有关的等式和不等式。如证明：()N n n n n
∈≥>,322取()n
n 112+=的展开式
中的四项即可。
2、各种问题的常用处理方法 （1）近似计算的处理方法
当n 不是很大，|x |比较小时可以用展开式的前几项求n
x )1(+的近似值。
例题：6
)05.1(的计算结果精确到0.01的近似值是
（ ）
A ．1.23
B ．1.24
C ．1.33
D ．1.34
（2）整除性问题或求余数的处理方法
①解决这类问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式
②用二项式定理处理整除问题，通常把幂的底数写成除数的倍数与某数k 的和或差的形式，再利用二项式定理展开，这里的k 通常为±1，若k 为其他数，则需对幂的底数k 再次构造和或差的形式再展开，只考虑后面（或者是某项）一、二项就可以了
③要注意余数的范围，对给定的整数)0(,≠b b a ，有确定的一对整数q 和r ，满足r bq a +=，其中b 为除数，r 为余数，[]
b r ,0∈，利用二项式定理展开变形后，若剩余部分是负数，要注意转换成正数
例题：求63
2013除以7所得的余数
例题： 若n 为奇数，则77
771
2211---++++n n n n n n n C C C 被9除得的余数是 （ ） A ．0 B 。2 C 。7 D.8
例题：当N n ∈且n >1，求证3)11(2<+ n 【思维点拨】这类是二项式定理的应用问题，它的取舍根据题目而定