(完整版)2016四川高职单招数学试题(附答案)
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二 .数学 单项选择（共10小题，计30分）
1．设集合{}{}0,1,2,0,1M N ==，则M N =I ( ) A ．{}2 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2 2. 不等式的解集是( )
A ．x<3
B ．x>－1
C ．x<－1或x>3
D ．－1 A. 减函数 B. 增函数 C. 非增非减函数 D. 既增又减函数 5. 设 1.5 0.9 0.48 14,8 ,2a b c -??=== ? ?? ，则,,a b c 的大小顺序为 （ ） A 、a b c >> B 、a c b >> C 、b a c >> D 、c a b >> 6.已知a (1,2)=，b (),1x =，当2a +b 与2a -b 共线时，x 值为（ ） A. 1 B.2 C . 13 D.12 7. 已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 8．已知向量a (2,1)=，b (3,)λ=，且a ⊥b ，则λ=（ ） A ．6- B ．6 C ． 32 D ．3 2 - 点)5,0(到直线x y 2=的距离为( ) 21<-x A ．2 5 B ．5 C ． 2 3 D ． 2 5 10. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每 个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种 D ．8种 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2014?四川）复数 = _________ ． 12．（5分）（2014?四川）设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f （x ）= ，则f （）= _________ ． 13．（5分）（2014?四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 _________ m ．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， ≈1.73） 14．（5分）（2014?四川）设m ∈R ，过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣m+3=0交于点P （x ，y ）．则|PA|?|PB|的最大值是 _________ ． 15．（5分）（2014?四川）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ（x ）组成的集合：对于函数φ（x ），存在一个正数M ，使得函数φ（x ）的值域包含于区间[﹣M ，M ]．例如，当φ1（x ）=x 3，φ2（x ）=sinx 时，φ1（x ）∈A ，φ2（x ）∈B ．现有如下命题： ①设函数f （x ）的定义域为D ，则“f （x ）∈A ”的充要条件是“?b ∈R ，?a ∈D ，f （a ）=b ”； ②函数f （x ）∈B 的充要条件是f （x ）有最大值和最小值； ③若函数f （x ），g （x ）的定义域相同，且f （x ）∈A ，g （x ）∈B ，则f （x ）+g （x ）?B ． ④若函数f （x ）=aln （x+2）+ （x ＞﹣2，a ∈R ）有最大值，则f （x ）∈B ． 其中的真命题有 _________ ．（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题12分）设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列。 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列1 {}n a 的前n 项和n T ，求得使1|1|1000 n T -<成立的n 的最小值。 17．（12分）（2014?四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次 击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立． （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ （3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因． 18.（本小题满分12分） 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N 。 （I ）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （II ）证明：直线//MN 平面BDH （III ）求二面角A EG M --余弦值 19．（12分）（2014?四川）设等差数列{a n }的公差为d ，点（a n ，b n ）在函数f （x ）=2x 的图象上（n ∈N *）． （1）若a 1=﹣2，点（a 8，4b 7）在函数f （x ）的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； G F H E C D A B （2）若a 1=1，函数f （x ）的图象在点（a 2，b 2）处的切线在x 轴上的截距为2﹣，求 数列{ }的前n 项和T n ． 20.（本小题13分）如图，椭圆2 2 2 2 : 1+ =x y E a b 的离心率是 2 ，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两点。当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的 线段长为。 （1） 球椭圆E 的方程； （2） 在平面直角坐标系xoy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得= QA PA QB PB 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 21．（14分）（2014?四川）已知函数f （x ）=e x ﹣ax 2﹣bx ﹣1，其中a ，b ∈R ，e=2.71828…为自然对数的底数． （1）设g （x ）是函数f （x ）的导函数，求函数g （x ）在区间[0，1]上的最小值； （2）若f （1）=0，函数f （x ）在区间（0，1）内有零点，求a 的取值范围． 11. 解 答： 解：复数= = =﹣2i ， 故答案为：﹣2i ． 12. 解答： 解：∵f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数， ∴=1． 故答案为：1． 13. 解答： 解：过A 点作AD 垂直于CB 的延长线，垂足为D ， 则Rt △ACD 中，∠C=30°，AD=46m ∴CD= =46 ≈79.58m ． 又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD==≈19.5m ∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m 故答案为：60m 14. 解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0）， 动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3）， 注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10． 故|PA|?|PB|≤=5（当且仅当时取“=”） 故答案为：5 15. 解答：解：（1）对于命题① “f（x）∈A”即函数f（x）值域为R， “?b∈R，?a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值， 故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“?b∈R，?a∈D，f （a）=b” ∴命题①是真命题； （2）对于命题② 若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]． ∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值． ∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③ 若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B， 则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞）， 并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M． ∴f（x）+g（x）∈R． 则f（x）+g（x）?B． ∴命题③是真命题． （4）对于命题④ ∵函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值， ∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f （x）→+∞．与题意不符； 假设a＜0，当x→﹣2时，→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符． ∴a=0． 即函数f （x ）=（x ＞﹣2） 当x ＞0时， ，∴ ，即 ； 当x=0时，f （x ）=0； 当x ＜0时，，∴ ，即 ． ∴ ．即f （x ）∈B ． 故命题④是真命题． 故答案为①③④． 三、解答题 16. 解：（1）当2n ≥时有，11112(2)n n n n n a S S a a a a --=-=--- 则12n n a a -=(2)n ≥ 1 2n n a a -= （2n 3） 则{}n a 是以1a 为首项，2为公比的等比数列。 又由题意得21322a a a +=+1112224a a a ??+=+12a ?= 则2n n a = *()n N ∈ （2）由题意得 11 2 n n a = *()n N ∈ 由等比数列求和公式得11[1()] 12 21()1212 n n n T -==-- 则2111-=()22n n T （）-= 又Q 当10n =时， 10911=1024=51222 （），（） 1 11000 n T ∴-< 成立时，n 的最小值的10n =。 点评：此题放在简答题的第一题，考察前n 项和n S 与通项n a 的关系和等比数列的求和公式，难度较易，考察常规。可以说是知识点的直接运用。所以也提醒我们在复习时要紧抓课本，着重基础。 17. 解答： 解：（1）X 可能取值有﹣200，10，20，100． 则P （X=﹣200）=， P （X=10）== P （X=20）==， P （X=100）==， 故分布列为： X ﹣200 10 20 100 P 由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=， 则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣ ． 由（1）知，每盘游戏或得的分数为X 的数学期望是E （X ）=（﹣200）×+10×+20× ×100=﹣ = ． 这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少． 18. 【答案】 （I ）直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可 如图 （II ） 连接BD ，取BD 的中点Q ，连接MQ 因为M 、Q 为线段BC 、BD 中点，所以////MQ CD GH 且11 22 MQ CD GH == 又因N 为GH 中点，所以1 2 NH GH = 得到NH MQ =且//NH MQ 所以四边形QMNH 为Y 得到//QH MN 又因为QH ?平面BDH 所以//MN 平面BDH （得证） （III ） 连接AC ，EG ，过点M 作MK AC ⊥，垂足在AC 上，过点K 作平面ABCD 垂线，交EG 于点L ，连接ML ，则二面角A EG M MLK --=∠ 因为MK ?平面ABCD ，且AE ABCD ⊥,所以MK AE ⊥ Q L K M H N G E F D C A B 又AE ，AC ?平面AEG ,所以MK ⊥平面AEG 且KL AEG ?，所以MK ⊥KL ，所以三角形MKL 为RT ? 设正方体棱长为a ，则AB BC KL a ===， 所以2 a MC = ， 因为45MCK ∠=?，三角形MCK 为RT ? ，所以cos 454 MK MC =∠?= 所以4tan 4MK MLK KL a ∠=== ，所以cos 3MLK ∠= 所以cos cos 3 A EG M MLK <-->=∠= 19. 解答： 解：（1）∵点（a 8，4b 7）在函数f （x ）=2x 的图象上， ∴， 又等差数列{a n }的公差为d ， ∴ = =2d ， ∵点（a 8，4b 7）在函数f （x ）的图象上， ∴=b 8， ∴ =4=2d ，解得d=2． 又a 1=﹣2，∴S n = =﹣2n+ =n 2﹣3n ． （2）由f （x ）=2x ，∴f ′（x ）=2x ln2， ∴函数f （x ）的图象在点（a 2，b 2）处的切线方程为 ， 又，令y=0可得x= ， ∴ ，解得a 2=2． ∴d=a 2﹣a 1=2﹣1=1． ∴a n =a 1+（n ﹣1）d=1+（n ﹣1）×1=n ， ∴b n =2n ． ∴． ∴T n = +…++， ∴2T n =1++ +…+ ， 两式相减得T n =1++…+﹣=﹣ = = ． 20: 【答案】 解：（1 ）由题知椭圆过点 ) 。得 22222221 1?==? ? ?+=???=+?? c e a a b a b c 解得：2,===a b c 所以，椭圆方程为：22 142 + =x y 。 (2)假设存在满足题意的定点Q 。 当直线l 平行于x 轴时，1==QA PA QB PB ，,A B 两点关于y 轴对称，得Q 在y 轴上。不妨设()0,Q a 当直线l 为y 轴时， 1= =≠QA PA a QB PB 。解得2=a 下证对一般的直线:1=+l y kx ，()0,2Q 也满足题意。 由 = QA PA QB PB 得y 轴为∠AQB 的角平分线。所以=-QA QB k k 。 不妨设()()1122,,,A x y B x y 11221,1=+=+y kx y kx 1212 22 --=-y y x x ，化简得12122=+kx x x x ① 又椭圆方程与直线方程联立得： 22 124 =+??+=?y kx x y ，()22 12420++-=k x kx 121222 42 ,1212-+=- =++k x x x x k k 带入①得成立。故假设成立。综上存在点满足题意。 21: 解答： 解：∵f （x ）=e x ﹣ax 2﹣bx ﹣1，∴g （x ）=f ′（x ）=e x ﹣2ax ﹣b ， 又g ′（x ）=e x ﹣2a ，x ∈[0，1]，∴1≤e x ≤e ， ∴①当 时，则2a ≤1，g ′（x ）=e x ﹣2a ≥0， ∴函数g （x ）在区间[0，1]上单调递增，g （x ）min =g （0）=1﹣b ； ②当 ，则1＜2a ＜e ， ∴当0＜x ＜ln （2a ）时，g ′（x ）=e x ﹣2a ＜0，当ln （2a ）＜x ＜1时，g ′（x ）=e x ﹣2a ＞0， ∴函数g （x ）在区间[0，ln （2a ）]上单调递减，在区间[ln （2a ），1]上单调递增， g （x ）min =g[ln （2a ）]=2a ﹣2aln （2a ）﹣b ； ③当 时，则2a ≥e ，g ′（x ）=e x ﹣2a ≤0， ∴函数g （x ）在区间[0，1]上单调递减，g （x ）min =g （1）=e ﹣2a ﹣b ， 综上：函数g （x ）在区间[0，1]上的最小值为 ； （2）由f （1）=0，?e ﹣a ﹣b ﹣1=0?b=e ﹣a ﹣1，又f （0）=0， 若函数f （x ）在区间（0，1）内有零点，则函数f （x ）在区间（0，1）内至少有三个单调区间， 由（1）知当a ≤或a ≥时，函数g （x ）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f （x ）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求． 若 ，则g min （x ）=2a ﹣2aln （2a ）﹣b=3a ﹣2aln （2a ）﹣e+1 令h（x）=（1＜x＜e） 则．由＞0?x＜ ∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减， =+＜0，即g min（x）＜0 恒成立， ∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间??， 又，所以e﹣2＜a＜1， 综上得：e﹣2＜a＜1．