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2011全国卷1理科数学

2011年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（全国卷Ⅰ）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.复数

212i

+-的共轭复数是( ) A.35i - B.35

i C.i - D.i 2.下列函数中，既是偶函数又在+∞（0，）

单调递增的函数是( ) A.3y x = B.1y x =+ C.2

1y x =-+ D.2

y -=

3.执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是( ) A.120 B.720 C.1440 D.5040

4.有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.

13 B.12 C.23 D.34

5.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=( ) A.45-

B.35-

C.35

D.45

6.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，

则相应的俯视图可以为( )

7.设直线L 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，L 与C 交于A ,B 两点，

AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为( )

A.2

B.3

C.2

D.3

8.5

12a x x x x ?

???+- ????

???的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )

A.-40

B.-20

C.20

D.40 9.由曲线y x =

，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为( )

103 B.4 C.163

D.6 10.已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

12:10,3P a b πθ??+>?∈???? 22:1,3P a b πθπ??

+>?∈

???

3:10,3P a b πθ??->?∈???? 4:1,3P a b πθπ??

->?∈ ???

其中的真命题是( )

A.14,P P

B.13,P P

C.23,P P

D.24,P P 11.设函数()sin()cos()(0,)2

f x x x π

ω?ω?ω?=+++><

的最小正周期为π，且

()()f x f x -=，则( )

A.()f x 在0,

2π?? ???

单调递减 B.()f x 在3,44ππ

???单调递减 C.()f x 在0,2π?? ???

单调递增 D.()f x 在3,

44ππ

???

单调递增 12.函数1

y x =

-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于( )

A.2

B. 4

C.6

D.8

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.若变量,x y 满足约束条件329,

69,x y x y ≤+≤??≤-≤?

则2z x y =+的最小值为 .

14.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，.过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 .

15.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==则棱锥O ABCD -的体积为 .

16.在ABC 中，60,B AC ==2AB BC +的最大值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）

等比数列{}n a 的各项均为正数，且2

12326231,9.a a a a a +==

（Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ??

???

的前n 项和.

18.(本小题满分12分)

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四

边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

(Ⅰ)证明：P A⊥BD；

(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.

某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：

（Ⅰ）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（Ⅱ）已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t的关系式

为

2,94

2,94102

4,102

y t

=≤<

?≥

, 从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：

元），求X的分布列及数学期望.（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）

在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,-1)，B 点在直线y = -3上，M 点满足//MB OA ，

MA AB MB BA ?=?，M 点的轨迹为曲线C .

（Ⅰ）求C 的方程；

（Ⅱ）P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处得切线，求O 点到l 距离的最小值.

21.（本小题满分12分）

已知函数ln ()1a x b

f x x x

++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=.

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k

f x x x

>+-，求k 的取值范围.

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，D ，E 分别为ABC ?的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ?的顶点重合.已知AE 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2

140x x mn -+=的两个根. （Ⅰ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；

（Ⅱ）若90A ∠=?，且4,6m n ==，求C ，B ，D ，E 所在圆的半径.

23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y α

=??

=+?（α为参数）

M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程

(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3

θ=与C 1的异于极

点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .

24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

设函数()3f x x a x =-+,其中0a >.

（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集；（Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1

x x ≤- ，求a 的值.