《初等数论》模拟试卷
浙江师范大学《初等数论》考试卷（G
卷）
一、填空（30分）
1、d （1001）= 6 。σ（2002）= 4032
2、c x a x a x a n n =++....2211有解的充要条件是c a a a n |),...,(21 。
3、不能表示成5X+6Y （X 、Y 非负）的最大整数为 19 。
4、2003！中末尾连续有 499 个零。
5、（21a+4，14a+3）= 1 。
6、222z y x =+通解为 。
7、两个素数的和是39，这两个素数是 2 、 37 。 8、从1001到2000的所有整数中，13的倍数有 77 。
9、p,q 是小于是100的素数，pq- 1=x 为奇数，则x 的最大值是 193 。 二、解同余方程组（12分）
??
?
??≡+≡≡)7mod 25)5(mod 1)4(mod 1x x x 由孙子定理得).140(mod 81≡x
三、证明费尔马定理。 （10分） 四、明：设ｄ是自然数ｎ的正因子，则有
∏=n
d n d n
d )(2
1
（10分）
答、设d 是n 的因子，则
d
n
也是n 的因子，而n 的因子数为d （n ） 所以∏∏=n d n d d n d |，所以∏=n
d n d n d )(2)(即有∏=n d n d n d )(2
1
五、Ｐ为奇素数，则有（10分）
)(m od )(p b a b a p p p +≡+
答、由费尔马小定理知对一切整数有 a p ≡a （p ） b p ≡b (P )，
由同余性质知有 a p +b p ≡a+b (p )
又由费尔马小定理有（a+b ）p ≡a+b (p ) （a+b ）p ≡a p +b p (p )
六、用初等方法解不定方程01996202=+-xy x 。 （10分） 答：由题意知x 为偶数，设12x x =，则有04991012
1=+-y x x 即有
499)10(11-=-y x x
由499为素数有两因子只能取499,1μ±，从而 得
???==502y x ???-=-=502y x ???==50998y x ?
?
?-=-=50998
y x 七、解不定方程式15x+25y=-100. (8分) 答： Z t t y t x ∈+-=-=,34,5
八、请用1到9这九个数中的六个（不重复）写出一个最大的能被6整除的六位数（10分）答：987654
浙江师范大学《初等数论》考试卷（A 卷）
一、填空（30分）
1、d （1000）= 16 (2的3次*5的3次 。φ（1000）= 2340 [（2∧4-1）]/(2-1)*[(5^4-1)]/(5-1) 。(
101
74
)=__1____ 。 2、 ax+bY=c 有解的充要条件是 (a,b)/c 。
3、2002
2002
被3除后余数为
1 。
4、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X —2Y+3Z]可能的值为 3，4，5，6，7，8，9，10，11 。
5、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（n
P ）=
n p 。
6、高斯互反律是 )()
1()(2
121q
p
p
q
q p ---=，p ，q 为奇素数 。 7、两个素数的和为31，则这两个素数是 2和29 。
8、带余除法定理是 a 和b 是整数，b>=0,则存在唯一的整数，使得a=b*q+r, 0= 二、解同余方程组（12分） ?? ? ??≡≡-≡)15(mod 1)10(mod 6)12(mod 2x x x 答：原方程等价于?? ? ??≡-≡-≡)5(mod 1)3(mod 2)4(mod 2x x x 由孙子定理得)60(mod 46≡x 三、叙述并且证明威尔逊定理。（10分） 四、解方程 474 ++x x ≡0（mod ２７） （10分） 答： )27(mod 22≡x 五、设2Ｐ+1为素数,试证)12(m od 0)1()!(2 +≡-+p p p （10分） 答：因n=2Ｐ+1为素数，由威尔逊定理)(mod 01)!1(n n ≡+-即有 )(mod 1)()2(2)1(1123)2)(1(1)!1(n p n p n n n n n +--??-?≡??--≡+-ΛΛ)12(m od 01)1()!(2+≡+-≡p p p 即证 六、设P=4n+3是素数，证明当q=2p+1也是素数时，梅森数12-=P P M 不是素数。（10 分） 答：因q=8n+7，由性质2是q=8n+7的平方剩余，)(mod 1)2 (q q ≡即 12|34-+n q 七、证3 3 3 93z y x =+ 无正整数解。（8分） 八、 设n 是大于2的整数，证明)(n ?为偶数（10分） 答：假设3 3 3 93z y x =+有解，设（x ，y ，z ）是一组正整数解，则有x 是3的倍 数，设x =3x 1,又得到y 为3的倍数，设13y y =,又有13z z =，3 1313193z y x =+则有解),,(111z y x 且z>z 1 这样可以一直进行下去，z>z 1>z 2> z 3>z 4>… 但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾。 浙江师范大学《初等数论》考试卷（B 卷） 七、填空（30分） 1、d （37）= 2 。σ（37）= 38 。 2、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（n P ）= n p 。 3、不能表示成5X+3Y （X 、Y 非负）的最大整数为 7 。 4、7在2004！中的最高幂指数是 331 。 5、（1501 ，300）= 1 。 6、)(mod m b ax ≡有解的充要条件是b |),(m a 。 7、威尔逊定理是 P 为素数，)(mod 01)!1(p p ≡+- 。 8、写出6的一个绝对值最小的简化系 1，5 。 9、4342 1Λ43421Λ50 50 6666688888?被7除后的余数为 5 。 八、解同余方程组（12分） ?? ? ??≡≡≡)7(mod 1)8(mod 3)5(mod 2x x x 答：).280(mod 267≡x 九、证明当n 是奇数时，有)12(3+n .（10分） 答：证明： 因为)3(mod 12-≡,所以 )3(m od 1)1(12+-≡+n n . 于是,当n 是奇数时,我们可以令12+=k n . 从而有)3(m od 01)1(121 2≡+-≡++k n , 即)12(3+n . 十、如果整系数的二次三项式1,0)(2 =++=x c bx x x p 当 时的值都是奇数，证明 0)(=x p 没有整数根（8分） 答、由条件可得c 为奇数，b 为偶数 如果p （x ）=0有根q ，若q 为偶数，则有c bq q ++2为奇数，而p （q ）=0为偶数，不可能，若q 为奇数，则有c bq q ++2为奇数，而p （q ）=0为偶数，也不可能，所以0)(=x p 没有整数根 十一、 解方程)132(mod 2145≡x .（10分） 解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解. 将同余式化简为等价的同余方程 )44(mod 715≡x . 我们再解不定方程 74415=-y x , 得到一解(21,7). 因此同余式的3个解为 )132(mod 21≡x , )132(mod 65)132(mod 3132 21≡+ ≡x , )132(mod 109)132(mod 3 132 221≡?+≡x 七、证明：用算术基本定理证明3是无理数。（10分） 答：假设3是有理数，则存在二个正整数p ，q ，使得3= q p ，由对数定义可得有32q =2p ,则同一个数左边含奇数个因子，右边含偶数个因子，与算术基本定理矛盾。∴3为无理数。 八、证明：对任何正整数ｎ,若ｎ不能被4整除，则有 5|n n n n 4321+++ （10分） 答：则题意知n=4q+r ，r=1，2，3。因为)5,(i =1,i=1,2,3,4所以有)5(m od 14≡i 当r=1时有)5(mod 04321≡+++ 当r=2时有)5(m od 043212 2 2 2 ≡+++ 当r=3时有)5(m od 043213333≡+++ 从而证明了结论。 九、 解不定方程1054=+y x （10分） 答：由观察得有特解x=0，y=2所以方程的解为Z t t y t x ∈-==,42,5 浙江师范大学《初等数论》考试卷（C 卷） 十、 填空（30分） 1、d （31）= 2 。σ（3600）= 29 。 2、四位数13AA 被9整除，则A= 7 。 3、17X+2Y=3通解为 Z t t y t x ∈--=+=,172,21 。 4、费尔马大定理是 )3(≥=+n z y x n n n 无正整数解 。 5、写出12的一个简化系，要求每项都是5的倍数 5，25，35，55 。 6、{}4.2-= 0．6 。 7、1 28574.0&&化为分数是 7 3 。 8、15！的标准分解是 131175322 3 6 11 ????? 。 9、1000到2003的所有整数中13的倍数有 78 个。 十一、 解同余方程组（12分） ?? ? ??≡≡≡)7(mod 6)5(mod 2)4(mod 3x x x 答：).140(mod 97≡x 十二、 叙述并且证明欧拉定理。（12分） 十三、 )11(mod 98≡x （10分） 答：)11(mod 311 89 89-≡-≡≡ x 五、证明梅森数12-=P P M 的素因子p q >.（10分） 答：设q 是2p -1的质因数，由于2p -1为奇数，∴ q ≠2， ∴ （2，q ）=1,由条件q|2p -1,即2p ≡1（mod q ） 又∵ （q ,2）=1，2p ≡1（mod q ） 设i 是使得2x ≡1（mod p ）成立最小正整数 若1 六、试证若5,2≠p 且是素数，则32 1Λ1 999-p p （9分） 答：5,2≠p 且是素数（p ，10）=1，由欧拉定理有)(mod 1101p p ≡-，从而 有 32 1Λ1 999-p p 七、证明：对任何的正整数a ，5a+2不可能是平方数（9分） 答：因为平方数被5除后的余数为1，4，而5a+2被5除后的余数为2，不同余，所以不相等 八、判断方程2 x ≡３（mod ８３）是否有解，若有解则有几解（8分） 答：因为1)83 3 ( =，所以有解，由性质有两解。 浙江师范大学《初等数论》考试卷（E 卷） 十四、 填空（30分） 1、d （1200）= 24 。 2、梅森数n M 是素数，则n 是 素数 。 3、不能表示成7X+6Y （X 、Y 非负）的最大整数为 29 4、1×3×5×7……×1999×2001的标准分解中13的幂指数是 83 5、（13a+21b ，34a+55b ）= 1 。已知（a ，b ）=1。 6、费尔马猜想是 )3(≥=+n z y x n n n 无正整数解 。 7、写出12的一个简化系，要求每项都是7的倍数 7，35，49，77 。 8、aX ≡b （mod m ）有解的充要条件是 b |),(m a 。 9、2002 2002 被3除后余数为 1 。 10、[X]=3，[Y]=4，[Z]=2，则[X —2Y+Z]可能的值为 -5，-4，-3，-2 。 十五、 解方程组（10分） ?? ? ??≡≡≡)9(mod 3)8(mod 2)7(mod 1x x x 解 因为7,8,9两两互素,所以可以利用孙子定理.我们先解同余式 )7(m od 172,1≡M ,)8(mod 163, 2 ≡M ,)9(mod 156,3≡M , 得到4,1,43, 2,, 1-=-==M M M .于是所求的解为 ). 494(mod 478)494(mod 510 ) 494(mod 3)4(562)1(631472≡-≡?-?+?-?+??≡x 十六、 叙述并且证明欧拉定理。（10分） 十七、 解方程222 ++x x ≡0 （mod １２５）（10分） 答：由222++x x ≡0 （mod5）得)5(mod 2,1≡x 对)5(mod 1≡x 得x=1+5t 代入 222++x x ≡0 （mod25）有)5(mod 14-≡t 有151t t +=代入x=1+5t 得1256t x += 代入222 ++x x ≡0 （mod125）有)5(m od 2141-≡t 2152t t +=代入有 212556t x +=，)125(mod 56≡x ，同理另一解为)125(mod 67≡x 十八、 设Ｐ为素数，试证对任整数ａ，都有Ｐ|（Ｐ－１）！P a ＋a 。（10分） 答：由威尔逊定理 )(mod 1)!1(p p -≡-由欧拉定理)(mod p a a p ≡，两式相乘即得 十九、 证明：对任何正整数ｋ，ｍ，ｎ 有１１|35452 5345 +++++n m k （10分） 答：（5，11）=1，（4，11）=1，（3，11）=1由欧拉定理得 )11(mod 1510≡，)11(mod 1310≡，)11(mod 1410≡，进一步有 )11(m od 155≡，)11(m od 135≡，)11(m od 145≡ 对任何正整数ｋ，ｍ，ｎ有 )11(m od 0345345342354525≡++≡+++++n m k 即有 １１|354525345+++++n m k 七、证明梅森数12-=P P M 的素因子ｑ一定为２ｐｔ＋１型。（其中ｐ>２为素数）。（10 答：设q 是2p -1的质因数，由于2p -1为奇数，∴ q ≠2， ∴ （2·q ）=1,由条件q|2p -1,即2p ≡1（mod q ） 又∵ （q ,2）=1，2p ≡1（mod q ） 设i 是使得2x ≡1（mod p ）成立最小正整数 若1 ∴ i=p , ∴ p |q -1 又∵ q -1为偶数，2|q -1, ∴ 2p |q -1,q -1=2pk ,即q =2pk +1 八、试证3 3 3 93z y x =+ 无正整数解。（10分） 答：假设33393z y x =+有解，设（x ，y ，z ）是一组正整数解，则有x 是3的倍数，设x =3x 1,又得到y 为3的倍数，设13y y =,又有13z z =，3 13 13 193z y x =+则有 解),,(111z y x 且z>z 1这样可以一直进行下去，z>z 1>z 2> z 3>z 4>… 但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾。 浙江师范大学《初等数论》考试卷（F 卷） 二十、 填空（36分） 1、d （1000）= 16 。σ（1000）= 2340 。φ（1000）= 9360 。 2、n 1?， 若)(mod 01)!1(n n ≡+-则n 为 素数 。 3、不能表示成5X+3Y （X 、Y 非负）的最大整数为 7 。 4、7在2003！中的最高幂指数是 331 。 5、（1515 ，600）= 15 。 6、)(mod m b ax ≡有解的充要条件是 b |),(m a 。 7、威尔逊定理是 )(mod 01)!1(p p ≡+- 。 8、写出6的一个简化系，要求每项都是5的倍数 5，25 。 9、2 3.0&化为分数是 9029 。 10、20032的末位数是 8 。 11、[-2.3]= - 3 。 12、φ（1）＋φ（P ）＋…φ（n P ）= n p 。 13、1>x 且能被4、5、7整除，则最小的x 是 140 。 14、4342 1Λ43421Λ50 50 6666688888?被7除后的余数为 5 。 15、两个素数的和为31，则这两个素数是 2，29 。 16、带余除法定理是 a ，b 是两个整数，b>0,则存在两个惟一的整数q ，r 使得b r r bq a <≤+=0, 。 二十一、 解同余方程组（12分） ?? ? ??≡≡≡)7(mod 1)8(mod 3)5(mod 2x x x 答：由孙子定理)280(mod 267≡x 二十二、 叙述并且证明费尔马小定理。（12分） 答：费尔马定理：对任意的素数p 有)(mod p a a p ≡ 证明：设p|a ，则有p a p |，有)(mod p a a p ≡， 若（a ，p ）=1，由欧拉定理有)(m od 11p a p ≡-两边同乘a 即有)(mod p a a p ≡ 二十三、 如果整系数的二次三项式1,0)(2=++=x c bx x x p 当 时的值都是奇 数，证明 0)(=x p 没有整数根（6分） 答：由条件可得c 为奇数，b 为偶数 如果p （x ）=0有根q ，若q 为偶数，则有c bq q ++2为奇数，而p （q ）=0为偶数，不可能，若q 为奇数，则有c bq q ++2为奇数，而p （q ）=0为偶数，也不可能，所以0)(=x p 没有整数根 二十四、 设Ｐ为奇素数，则有（8分） （1）)(m od 1)1(21111p p p p p -≡-+++---Λ 答：由欧拉定理 )(m od 11111)1(21111p p p p p p -≡-≡++≡-+++---ΛΛ （2）)(m od 0)1(21p p p p p ≡-+++Λ 答：由费尔马定理 )(m od 0121)1(21111p p p p p p ≡-++≡-+++---ΛΛ 二十五、 证明：对任何正整数ｋ，ｍ，ｎ 有１１|354525345+++++n m k （6分） 答：（5，11）=1，（4，11）=1，（3，11）=1由欧拉定理得 )11(mod 1510≡，)11(mod 1310≡，)11(mod 1410≡，进一步有 )11(m od 155≡，)11(m od 135≡，)11(m od 145≡ 对任何正整数ｋ，ｍ，ｎ有 )11(m od 0345345342354525≡++≡+++++n m k 即有 １１|354525345+++++n m k 七、证明：3是无理数。（8分） 答：证：假设3是有理数，则存在自数数a,b 使得满足223y x =即223b a =，容易知道a 是3的倍数，设a =3a 1，代入得2123a b =,又得到b 为3的倍数，a b a <<1，设13b b =，则21213b a =,这里12a b < 这样可以进一步求得a 2，b 2…且有a>b>a 1>b 1> a 2>b 2>… 但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾，∴3为无理数。 八、试证：对任何的正整数2,2+n n 不能被4整除。（6分） 答：n=2k 时有22+n =242+k ，不能被4整除 当n=2k+1时有22+n =3442++k k ，不能被4整除，所以有 对任何的正整数2,2+n n 不能被4整除 九、解不定方程1054=+y x （6分） 答：为（4，5）=1，所以不定方程有解，由观察得有特解x=0，y=5 所以不定方程的解为???+=-=t y t x 4250 t 为整数 初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。 课程名称：初等数论（Elementary Number Theory） 《初等数论》教学大纲 一、课程说明 “初等数论”课程是数学与应用数学专业（师范）的一门专业选修课。数学与应用数学专业的学生学习一些初等数论的基础知识可以加深对数的性质的了解与认识，便于理解和学习与其相关的一些课程。 通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除性、不定方程、同余式、原根与指标及简单连分数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的学习奠定必要的基础。 本课程属于数学与数学专业（师范）的专业选修课。 本课程的教学时间安排：每周2节课，计划教学周为16周，总课时数32学时，其中实践时数0学时。 本课程总学分数为2学分。 本课程安排在第5学期开设。 二、学时分配表 三、教学目的与要求 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。 通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。 四、教学内容纲要 第一章整数的可除性（ 6学时） 目的要求： 1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。 2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。 3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。 难点：定理的证明处理方法，定理的灵活运用。 讲授内容： 1、整除的概念、带余数除法 （1）整除、因数；（2）带余数除法、不完全商、余数。 2、最大公约数与辗转相除法 （1）公因数、最大公因数、互素；（2）最大公因数的性质；（3）最大公因数的求法。 3、整除的进一步性质及最小公倍数 （1）整除的性质；（2）公倍数、最小公倍数；（3）最小公倍数的性质。 4、质数、算术基本定理 （1）质数与性质；（2）算术基本定理；（3）筛法。 5、函数[x]，{x}及其在数论中的一个应用 （1）[x]，{x}与性质；（2）n!中素因子的指数。 第二章不定方程（ 6学时） 目的要求： 1、了解二元一次不定方程解的形式、二元一次不定方程有整数解的条件，熟练掌握利用剩余定理（辗转相除法）求二元一次不定方程的方法。 2、知道多元一次不定方程有解的条件，会求解简单的多元一次不定方程。 1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．20被-30除的余数是（ ） A ．-20 B ．-10 C ．10 D ．20 2．176至545的正整数中，13的倍数的个数是（ ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 3．200!中末尾相继的0的个数是（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（ ） A ．2的倍数 B ．3的倍数 C ．4的倍数 D ．5的倍数 5．设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ） A ． 3144 21++n n B ． 121 -+n n C ．2 512+-n n D ．1 31++n n 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1．d(120)=___________。 2．314162被163除的余数是___________。 3．欧拉定理是___________。 4．同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 5．不定方程10x-8y=12的通解是___________。 2 6．ο ___________)1847 365 ( = 7．［-π］＝___________。 8．为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件___________。 9．如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是___________。 10．同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1．解同余方程组 ???? ?? ?≡≡≡≡) 9(mod 4)7(mod 32)4(mod 23) 25(mod 1x x x x 2．解不定方程15x+10y+6z=19。 3．试求出所有正整数n ，使得2n -1能被7整除。 4．判断同余方程 x 2≡-1457(mod 2389) 是否有解？ 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1．证明形如4n+3的素数有无穷多个。 2．证明不定方程 x 2+y 2+z 2=x 2y 2 没有正整数解。 西南大学线性代数作业答案 第一次 行列式部分的填空题 1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符 号应取 + 号。 2．排列45312的逆序数为 5 。 3．行列式2 5 1122 1 4---x 中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10 2 3 25403--中元素-2的代数余子式是 —11 。 5．行列式25 11 22 14--x 中，x 的代数余子式是 — 5 。 6．计算00000d c b a = 0 行列式部分计算题 1．计算三阶行列式 3 811411 02--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）× （—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—4 2．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。 3．(7分)已知0010413≠x x x ，求x 的值． 解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2 所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组 ?? ? ??=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。 解：()211 1 1 010001 1 111111-=--= =λλλλλD 由D=0 得 λ=1 5．用克莱姆法则求下列方程组： ?? ? ??=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为 33113 210421711 7021 04 21 911 7018904 2 1 351 1321 5 421231 312≠-=?-?=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算： 81 1 11021 29 42311-=-=D 108 1 103229543112-==D 135 10 13291 5 31213=-=D 因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是： 初等代数研究2016教学大纲 黔南民族幼儿师范高等专科学校数学教育专业 《初等代数研究》课程 教 学 大 纲 执笔人： 审定人： 批准人： 基教系 2016年7月 第二章整数 教学内容：整数环、带余除法、最大公因数与最小公倍数、质数与合数、同余、欧拉函数 教学要求：掌握整数的性质；掌握带余除法的应用并能够灵活应用带余除法解决相关的问题；掌握最大公因数和最小公倍数的性质，能够灵活应用相关性质解决问题；能够灵活应用同余的性质解决一些数论问题；了解欧拉函数的性质和应用。 教学重点：整数的性质、同余 教学难点：欧拉函数的性质和应用 教学建议：本章教学内容可结合初等数论课程相关章节讲授。 第三章有理数 教学内容：有理数域；十进循环小数 教学要求：掌握有理数域的性质；了解分数和循环小数的互化理论基础。 教学重点：分数和循环小数的互化 教学难点：有理数域的性质 第四章实数 教学内容：实数集；实数集的基本性质；实数的四则运算；实数的开方；一些常用的无理数；[X]函数及应用 教学要求：了解无理数的存在性；掌握实数域的基本性质；了解实数的可开方性；掌握取整函数[X]的性质，并灵活解决相关问题。 教学重点：实数集的性质与运算 教学难点：[X]、{X}的性质及应用 第五章复数 教学内容：复数域；复数的代数形式、几何形式；复数的三角表示、复数的开方、复数模的性质 教学要求：掌握复数域的基本性质；了解从实数扩张到复数的合理性；灵活应用根的性质、几何性质、三角性质解决问题。 教学重点：复数的性质 教学难点：复数性质的应用 教学建议：可结合中学数学中的复数内容以及复变函数中的内容讲授本章内容。 第六章多项式 教学内容：多项式的一般概念；多项式的恒等变形；多项式的因式分解 教学要求：掌握多项式的定义、掌握零多项式、多项式相等的定理、掌握用待定系数法求多项式系数的方法；掌握常用的多项式乘法公式并能够灵活应 初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10; 初等数论 初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。 第一部分：整除 初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。整除理论首先涉及整除。现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。 Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件： （ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）； （ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继； （ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b; (ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N. 这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。 其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。如果 （1）当n=1时，P(1)不成立； （2）设n>1,若对所有的自然数m 附录1：教学大纲的格式 为便于各院系编辑印制课程教学大纲，建议理论课程、实验课程、专业实习课程分别采用以下格式： 1、理论课程教学大纲建议格式：（小括号内为说明文字）： 初等数论 Elementary Number Theory 【课程编号】（必备项1）【课程类别】专业主干课 【学分数】2 【适用专业】数学与应用数学 【学时数】36 【编写日期】2006.9 一、教学目标让学生了解经常出现在生活中的自然数和整数的一些性质，了解初等数论与算数的关系，同时，让学生知道，数论在我国的古代就已有极其光辉的成就，如勾股数、孙子定理等，通过较为系统的学习，对这门学科的基本数学思想和方法有一个初步的了解，认识到研究整数的性质和方程的整数解是很有意义的事情。 二、教学内容和学时分配 第一章整数的可除性（6学时） 1.整除的概念带余数除法 2.最大公因数与辗转相除法 3.整除的进一步性质及最小公倍数 4.质数算数基本定理 5.函数[x],{x}及其在数论中的一个应用 第二章不定方程（4学时） 1.二元一次不定方程 2.多元一次不定方程 3.勾股数 4.费马问题的介绍 第三章同余（6学时） 1.同余的概念及其基本性质 2.剩余类及完全剩余系 3.简化剩余系与欧拉函数 4.欧拉定理费马定理及其对循环小数的应用 5.公开密钥—RSA体制 6.三角和的概念 第四章同余式（6学时） 1.基本概念及一次同余式 2.孙子定理 3.高次同余式的解数及解法 4.质数模的同余式 第五章二次同余式与平方剩余（8学时） 1.一般二次同余式 2.单质数的平方剩余与平方非剩余 3.勒让德符号 4.前节定理的证明 5.雅可比符号 6.和数模的情形 7.把单质数表成二数平方和 8.把正整数表成平方和 第六章原根与指标（6学时） 1.指数及其基本性质 2.原根存在的条件 3.指标及n次剩余 4.模2a及合数模的指标组 5.特征函数 （一）总论让学生了解经常出现在生活中的自然数和整数的一些性质，了解初等数论与算数的关系，同时，让学生知道，数论在我国的古代就已有极其光辉的成就，如勾股数、孙子定理等，通过较为系统的学习，对这门学科的基本数学思想和方法有一个初步的了解，认识到研究整数的性质和方程的整数解是很有意义的事情。 学时（课堂讲授学时+课程实验学时）36 主要内容：整数的可除性、不定方程、同余、同余式、二次同余式与平方剩余、原根与指标 教学要求：有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。 重点、难点（可选项2） 其它教学环节（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）： （二）第一章整数的可除性学时（课堂讲授学时+课程实验学时）6 主要内容： 1.整除的概念带余数除法 2.最大公因数与辗转相除法 3.整除的进一步性质及最小公倍数 4.质数算数基本定理 5.函数[x],{x}及其在数论中的一个应用 教学要求：1、理解整数整除、公因子、公倍数的概念及相关性质，理解剩余定理，熟练掌握用剩余定理求最大公因子、最小公倍数的方法。 2、理解素数与合数的概念、素数的性质，理解整数的素数分解定理，会用筛法求素数。 3、了解函数[x]与{x}的概念、性质，n!的素数分解、组合数为整数的性质。 4、了解抽屉原理的简单与一般形式、会用抽屉原理构造一些具有特殊性质整数。 重点、难点：（可选项）整除的概念带余数除法、最大公因数与辗转相除法、整除的进一步性质及最小公倍数、质数算数基本定理、函数[x],{x}及其在数论中的一个应用 其它教学环节：（如实验、习题课、讨论课、其它实践活动）：1学时习题课 《竞赛数学中的初等数论》 贾广素编著 2006-8-21 序 言 数论是竞赛数学中最重要的一部分，特别是在1991年，IMO 在中国举行，国际上戏称那一年为数论年，因为6道IMO 试题中有5道与数论有关。 数论的魅力在于它可以适合小孩到老头，只要有算术基础的人均可以研究数论――在前几年还盛传广东的一位农民数学爱好者证明了哥德巴赫猜想，当然，这一谣言最终被澄清了。可是这也说明了最难的数论问题，适合于任何人去研究。 初等数论最基础的理论在于整除，由它可以演化出许多数论定理。做数论题，其实只要整除理论即可，然而要很快地解决数论问题，则要我们多见识，以及学习大量的解题技巧。这里我们介绍一下数论中必需的一个内容：对于N r q N b a ∈?∈?,,,，满足r bq a +=，其中b r <≤0。 除了在题目上选择我们努力做到精挑细选，在内容的安排上我们也尽量做到讲解详尽，明白。相信通过对本书学习，您可以对数论有一个大致的了解。希望我们共同学习，相互交流，在学习交流中，共同提高。 编者：贾广素 2006-8-21于山东济宁 第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制， 这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国内与 国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理 数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m --，则此数可以简记为：021a a a A m m --=（其中01≠-m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1-m 次多项式，即 012211101010a a a a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{-=∈m i a i 且 01≠-m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m --=。在我们的日常 生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m --=，以后我们 所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的 普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是 现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种 数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是 一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012211a p a p a p a A m m m m +?++?+?=---- ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{-=-∈m i p a i 且 01≠-m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 --=。 典例分析 例1．将一个十进制数字2004（若没有指明，我们也认为是十进制的数字）转化成二进制与 八进制，并将其表示成多项式形式。 分析与解答 分析：用2作为除数（若化为p 进位制就以p 作为除数），除2004商1002，余数为0；再 用2作为除数，除1002商501余数为0；如此继续下去，起到商为0为止。所得的各次余 数按从左到右的顺序排列出来，便得到所化出的二进位制的数。 解： 《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数. 《初等数论》教学大纲 课程编码：110823 课程名称：初等数论 学时/学分：54/3 先修课程：《数学分析》、《高等代数》 适用专业：信息与计算科学 开设教研室：代数与几何教研室 一、课程性质与任务 1．课程性质：初等数论是信息与计算科学专业的一门专业必修课程。该课程是研究整数性质和方程（组）整数解的一门学科，也是一个古老的数学分支。初等数论是现代密码学的一门基础课程，也是高等学校信息安全专业的一门重要的基础课。初等数论在计算技术、通信技术等技术学科中也得到了广泛的应用。 2．课程任务：初等数论是信息与计算科学专业的一门重要的专业必修课，开设的目的在于使学生熟悉和掌握数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系，为进一步学习信息安全领域的其它学科打下坚实的基础。 二、课程教学基本要求 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。 通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。 1. 有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。 2. 本课程开设在第5学期，总学时54，其中课堂讲授54学时，课堂实践0学时。教学环节以课堂讲授为主，研制电子教案和多媒体幻灯片以及CAI课件，在教学方法和手段上采用现代教育技术。 3. 成绩考核形式：期终成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％）。成绩评定采用百分制，60分为及格。 初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； < Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± （ 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ 《数论》课程教学大纲 一课程说明 1.课程基本情况 课程名称：初等数论 英文名称：Elementary Number Theory 课程编号：2411218 开课专业：数学与应用数学 开课学期：第5学期 学分/周学时：3/3 课程类型：专业方向选修课 2．课程性质（本课程在该专业的地位作用） 初等数论是我院数学与应用数学专业的一门重要的基础课，是研究整数性质和方程（组）整数解的一门学科。初等数论与中学数学教育有着密切的联系，并给现代数学提供理论基础。 3．本课程的教学目的和任务 本课程开设的目的在于使学生熟悉和掌握数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，为从事中学数学教学，指导数学课外小组活动和进一步学习其它数学学科打下坚实的基础。 4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求 本课程的先修课程是《高等代数》，初等数论的理论和方法在计算机科学、代数编码、密码学、计算方法等领域内得到了广泛的应用，成为数学、计算机科学等相关专业不可缺少的数学基础。同时由于数论问题的丰富性、多样性及解题所具有的高度技巧，对培养灵活创新的思维品质，逻辑思维、发散思维能力，系统地掌握各种数学思维方法都是不可缺少的。本课程主要使学生熟悉和掌握数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，为从 事中学数学教学，指导数学课外小组活动和进一步学习其它数学学科打下坚实的基础。 5．教学时数及课时分配 二教材及主要参考书 1、闵嗣鹤，严士健，初等数论（第三版）.北京.高等教育出版社，2003 2、郑克明，数论基础（第一版），重庆.西南师范大学出版社，1991 3、潘承洞，潘承彪，初等数论（第二版）.北京.北京大学出版社， 2004 三教学方法和教学手段说明 教学方法：讲授法 四成绩考核办法 本课程以教务处相关文件规定考核。 第一部分整数的可除性（14学时） 一、教学目的 1、掌握整除的概念及有关性质，熟悉带余数除法定理。 第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间 《初等数论》教学大纲 Elementary number theory 一、本大纲适用专业 数学与应用数学。 二、课程性质与目的 1. 课程目标 初等数论是数学与应用数学专业一门专业选修课。通过这门课的学习，使学生获得关于整数的整除、不定方程、同余、原根与指数的基本知识，掌握数论中的最基本的理论和常用的方法，加强他们的理解和解决数学问题的能力，为今后的实际工作打下良好基础。 2. 与其它课程的关系 本课程是初等数学研究、C语言程序设计A，近世代数等课程的后续课程。 3. 开设学期 按培养方案规定的学期开设。 三、教学方式及学时分配 四、教学内容、重点 第一章整数的可除性 1. 教学目标 理解整数整除的概念、最大公约数的概念、最小公倍数的概念，掌握带余除法与辗转相除法；理解素数与合数的概念；理解和掌握素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数的求法；掌握函数[x]和 {x} 的性质。 2. 教学内容 （1）整数整除、剩余定理：带余除法与辗转相除法；最大公约数的概念、性质及求最大公约数的方法；最小公倍数的概念、性质及最小公倍数的求法。（2）素数与合数：素数与合数的概念、素数的性质、整数关于素数的分解定理、素数 的求法；函数[x] {x} 的性质及其应用。 3. 教学方法 讲解教学。 4. 本章重点 辗转相除法，整数的素数分解定理。 5. 本章难点 求最大公因子的方法。 第二章不定方程 1. 教学目标 理解不定方程的概念，理解和掌握元不定方程有整数解的条件，会求一次不定方程的解。 2. 教学内容 （1）一次不定方程，多元一次不定方程的形式，多元一次不定方程有解条件，求简单的多元一次不定方程的解。（2）二元一次不定方程有整数解的条件，求一次不定方程的解。 3. 教学方法 讲解教学。 4. 本章重点 多元一次不定方程有解条件，二元一次不定方程有整数解的条件。 5. 本章难点 不定方程的整数解的形式，求多元不定方程的整数解。 第三章同余、同余式 1. 教学目标 理解整数同余的概念，理解和掌握同余的基本性质、整数具有素因子的条件函数相关性质；理解剩余类与完全剩余系的概念，理解欧拉函数的定义及性质；掌握欧拉定理、费马定理、孙子定理。 2. 教学内容 （1）整数同余：整数同余的概念、同余的基本性质；整数具有素因子的条件；利用同余简单验证整数乘积运算的结果。（2）剩余类与完全剩余系：剩余类与完全剩余系的概念；判断剩余系的方法；欧拉函数的定义及性质；欧拉定理、费马定理。（3）同余式的基本概念、孙子定理。 3. 教学方法 讲解教学。 4. 本章重点 剩余系的判定，欧拉函数的定义及性质，中国剩余定理。 5. 本章难点 100个著名初等数学问题 https://www.wendangku.net/doc/b018193918.html,/xyp 2003-10-26 数学园地 第01题阿基米德分牛问题Archimedes' Problema Bovinum 太阳神有一牛群，由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成. 在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于白牛数的1/6+1/7. 在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7. 问这牛群是怎样组成的？ 第02题德·梅齐里亚克的法码问题The Weight Problem of Bachet de Meziriac 一位商人有一个40磅的砝码，由于跌落在地而碎成4块.后来，称得每块碎片的重量都是整磅数，而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物. 问这4块砝码碎片各重多少？ 第03题牛顿的草地与母牛问题Newton's Problem of the Fields and Cows a头母牛将b块地上的牧草在c天内吃完了； a'头母牛将b'块地上的牧草在c'天内吃完了； a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天内吃完了； 求出从a到c"9个数量之间的关系？ 第04题贝韦克的七个7的问题Berwick's Problem of the Seven Sevens 在下面除法例题中，被除数被除数除尽： * * 7 * * * * * * * ÷ * * * * 7 * = * * 7 * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * 7 * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * * 7 * * * * * * * * * * * * * * 用星号（*）标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了，那些不见了的是些什么数字呢？ 第05题柯克曼的女学生问题Kirkman's Schoolgirl Problem 电大数学思想与方法网上作业答案： 01任务_0001 一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。） 1. 古埃及数学最辉煌的成就可以说是（）的发现。 A. 进位制的发明 B. 四棱锥台体积公式 C. 圆面积公式 D. 球体积公式 2. 欧几里得的《几何原本》几乎概括了古希腊当时所有理论的（），成为近代西方数学的主要源泉。 A. 几何 B. 代数与数论 C. 数论及几何学 D. 几何与代数 3. 金字塔的四面都正确地指向东南西北，在没有罗盘的四、五千年的古代，方位能如此精确，无疑是使用了（） 的方法。 A. 几何测量 B. 代数计算 C. 占卜 D. 天文测量 4. 《几何原本》中的素材并非是欧几里得所独创，大部分材料来自同他一起学习的（）。 A. 爱奥尼亚学派 B. 毕达哥拉斯学派 C. 亚历山大学派 D. 柏拉图学派 5. 数学在中国萌芽以后，得到较快的发展，至少在（）已经形成了一些几何与数目概念。 A. 五千年前 B. 春秋战国时期 C. 六七千年前 D. 新石器时代 6. 在丢番图时代(约250)以前的一切代数学都是用（）表示的，甚至在十五世纪以前，西欧的代数学几乎都是 用（）表示。 A. 符号，符号 B. 文字，文字 C. 文字，符号 D. 符号，文字 7. 古印度人对时间和空间的看法与现代天文学十分相像，他们认为一劫（“劫”指时间长度）的长度就是（）， 这个数字和现代人们计算的宇宙年龄十分接近。 A. 100亿年 B. 10亿年 C. 1亿年 D. 1000亿年 8. 巴比伦人是最早将数学应用于（）的。在现有的泥板中有复利问题及指数方程 A. 商业 B. 农业 C. 运输 D. 工程 9. 《九章算术》成书于（），它包括了算术、代数、几何的绝大部分初等数学知识。 A. 西汉末年 B. 汉朝 C. 战国时期 D. 商朝 10. 根据亚里士多德的想法，一个完整的理论体系应该是一种演绎体系的结构，知识都是从（）中演绎出的结 论。 A. 最终原理 B. 一般原理 C. 自然命题 D. 初始原理 02任务 一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。） 1. 《几何原本》就是用（）的链子由此及彼的展开全部几何学，它的诞生，标志着几何学已成为一个有着比 较严密的理论系统和科学方法的学科。 A. 代数 黔南民族幼儿师范高等专科学校数学教育专业 《初等数论》课程 教 学 大 纲 执笔人： 审定人： 批准人： 基教系 2016年7月 《初等数论》课程教学大纲 一、课程简介 课程定位与目标：初等数论是研究整数最基本性质的课程，数学教育专业一门十分重要的专业课，它与小学数学有着十分紧密的联系，通过本门课程的学习，使学生系统掌握整数的基本性质，掌握研究整数的一些初等方法，并将这些知识应用到小学数学中去。 先修课程：高等代数 选用的教材版本：闵嗣鹤，严士健主编，初等数论第三版，高等教育出版社，2003，7. 课程主要内容：整数的可除性、不定方程、同余、同余式、二次同余式与平方剩余 课程教学方法：讲授法为主，注意联系初等数学中数论部分竞赛知识。 考核方案：闭卷:采用百分制,33分及以上为合格。采用平时考查与期末闭卷书面考核相结合的方式进行，平时成绩占40分，期末闭卷书面考试占60分。 二、理论课程教学大纲 （一）课程的性质、目的和任务 1．课程的性质：专业课。 2．课程的目的和任务 目的：通过本门课程的学习，使学生系统掌握整数的基本性质，掌握研究整数的一些初等方法，并将这些知识应用到小学数学中去。 任务：使学生掌握整数最基本的性质、算数基本定理、同余的概念与性质；掌握n元一次不定方程与商高不定方程的求解方法与公式；掌握欧氏定理与费马小定理的应用及欧拉函数的计算、掌握一次同余方程组的求法及孙子定理，（二）总学时与学分数 总学时数：54 学分数：3 （三）课程基本内容、要求、重难点、建议 第一章：整数的可除性 1.1 整除的概念、整除的性质、带余数除法； 1.2 最大公因数、辗转相除法； 1．3整数的进一步性质及最小公倍数； 1. 4 质数、算数基本定理及其应用； 1. 5 函数[X]、{X}}及其在数论中中的应用 教学要求：通过本章的学习，使学生掌握带余除法，最小公因数与最大公倍数的概念及其求法；掌握质数的概念及其性质；能熟练应用算数基本定理解决整数中的有关问题；理解函数[X]、{X}的概念 本章重点：整除的基本性质、最大公因数与最小公倍数的性质及其应用、质数的性质及算数基本定理的应用； 本章难点：质数的性质及算数基本定理的应用 初等数论试卷和答案 初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分） 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] ------------(4分) = 17391 1768?初等数论练习题及答案
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