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计量经济学中相关证明

课本中相关章节的证明过程

第2章有关的证明过程

2.1 一元线性回归模型

有一元线性回归模型为：y t = β0 + β1 x t + u t

上式表示变量y t 和x t之间的真实关系。其中y t 称被解释变量（因变量），x t称解释变量（自变量），u t称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。上模型可以分为两部分。（1）回归函数部分，E(y t) = β0 + β1 x t,

（2）随机部分，u t。

图2.8 真实的回归直线

这种模型可以赋予各种实际意义，收入与支出的关系；如脉搏与血压的关系；商品价格与供给量的关系；文件容量与保存时间的关系；林区木材采伐量与木材剩余物的关系；身高与体重的关系等。

以收入与支出的关系为例。

假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。但实际上数据来自各个家庭，来自各个不同收入水平，使其他条件不变成为不可能，所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。随机误差项u t中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。所以，在经济问题上“控制其他因素不变”实际是不可能的。

回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容，（1）非重要解释变量的省略，（2）人的随机行为，（3）数学模型形式欠妥，（4）归并误差（粮食的归并）（5）测量误差等。

回归模型存在两个特点。（1）建立在某些假定条件不变前提下抽象出来的回归函数不能百分之百地再现所研究的经济过程。（2）也正是由于这些假定与抽象，才使我们能够透过复杂的经济现象，深刻认识到该经济过程的本质。

通常，线性回归函数E(y t) = β0 + β1 x t是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t) = β0 + β1 x t 的估计，即对β0和β1的估计。

在对回归函数进行估计之前应该对随机误差项u t做出如下假定。

(1) u t 是一个随机变量，u t 的取值服从概率分布。

(2) E(u t) = 0。

(3) D(u t) = E[u t - E(u t) ]2 = E(u t)2 = σ2。称u i 具有同方差性。

(4) u t 为正态分布（根据中心极限定理）。以上四个假定可作如下表达：u t~ N (0,σ2)。

(5) Cov(u i, u j) = E[(u i - E(u i) ) ( u j - E(u j) )] = E(u i, u j) = 0, (i≠j )。含义是不同观测值所对应的随机项相互独立。称为u i 的非自相关性。

(6) x i是非随机的。

(7) Cov(u i , x i ) = E[(u i - E(u i ) ) (x i - E(x i ) )] = E[u i (x i - E(x i ) ] = E[u i x i - u i E(x i ) ] = E(u i x i ) = 0. u i 与x i 相互独立。否则，分不清是谁对y t 的贡献。

(8) 对于多元线性回归模型，解释变量之间不能完全相关或高度相关（非多重共线性）。

在假定（1），（2）成立条件下有E(y t ) = E(β0 + β1 x t + u t ) = β0 + β1 x t 。

2.2 最小二乘估计（OLS ）

对于所研究的经济问题，通常真实的回归直线是观测不到的。收集样本的目的就是要对这条真实的回归直线做出估计。

图2.9

怎样估计这条直线呢？显然综合起来看，这条直线处于样本数据的中心位置最合理。怎样用数学语言描述“处于样本数据的中心位置”？设估计的直线用

t y ? =0?β+1

?β x t 表示。其中t y ?称y t 的拟合值（fitted value ），0?β和1?β分别是 β0 和β1的估计量。观测值到这条直线的纵向距离用t u

?表示，称为残差。 y t =t y ?+t u ?=0?β+1

?β x t +t u ? 称为估计的模型。假定样本容量为T 。（1）用“残差和最小”确定直线位置是一个途径。但很快发现计算“残差和”存在相互抵消的问题。（2）用“残差绝对值和最小”确定直线位置也是一个途径。但绝对值的计算比较麻烦。（3）最小二乘法的原则是以“残差平方和最小”确定直线位置。用最小二乘法除了计算比较方便外，得到的估计量还具有优良特性（这种方法对异常值非常敏感）。设残差平方和用Q 表示，

Q = ∑=T

i t u

?= ∑=-T i t t y

y 1

)?(= ∑

=--T

i t

t x y 1

10)??(ββ，

则通过Q 最小确定这条直线，即确定0?β和1?β的估计值。以0?β和1?β为变量，把Q 看作是0?β和

?β的函数，这是一个求极值的问题。求Q 对0?β和1?β的偏导数并令其为零，得正规方程，

?β

??Q = 2∑

=--T

i t

t x y 110)??(ββ(-1) = 0 (2.7)

?β

??Q = 2∑

=--T

i t

t x y 1

10)??(ββ(- x t ) = 0 (2.8)

下面用代数和矩阵两种形式推导计算结果。

首先用代数形式推导。由（2.7）、（2.8）式得，

∑

=--T

i t

t x y 110)??(ββ= 0 (2.9) ∑

=--T

i t

t x y 1

10)??(ββx t = 0 (2.10) （2.9）式两侧用除T ，并整理得，

0?β= x y 1

?β- (2.11)

把（2.11）式代入（2.10）式并整理，得，

])(?)[(11∑=---T

i t

x x y y

βx t = 0 (2.12) ∑∑

==---T

i t t

i t t x x x

x y y 1

)(?)(β= 0 (2.13)

?β= ∑∑--t t

t t

x x y y x )()( (2.14) 因为∑=-T

i t y y x 1

)(= 0，∑=-T

i t x x x 1

)(= 0，[采用离差和为零的结论：∑==-T

i t x x 1

0)(，

0)(1

=-∑=T

i t

y y

]。

所以，通过配方法，分别在（2.14）式的分子和分母上减∑=-T i t y y x 1

)(和∑=-T

i t x x x 1

)(得，

?β= ∑∑∑∑------)

()()()(x x

x x x x y y

x y y x t

t t t

(2.15)

= ∑

∑---2

)())((x x y y x x t

t t

(2.16) 即有结果：

1?β=

∑∑---2

)

())((x x y y x x t t t t t （2.17）

0?β= x y 1

?β- 这是观测值形式。如果以离差形式表示，就更加简洁好记。 1?β=

∑∑2

t x

y x

0?β= x y 1

?β-

矩阵形式推导计算结果：

由正规方程，

?β

??Q = 2∑

=--T

i t

t x y 110)??(ββ(-1) = 0

?β

??Q = 2∑

=--T

i t

t x y 1

10)??(ββ(- x t ) = 0

βT +1

β (∑

i t

x 1

) = ∑

i t

y 1

β∑

=T i t x 1

?β (∑

i t

x 1

) = ∑

i t

t y x 1

??∑∑∑2t t

x x

T ???????

?10??ββ=???

∑∑t t t y x y ??

??????10??ββ

2-???

??∑∑∑t t t x x x T

???

??∑∑t

t t

y x y

)

(

∑∑-t t

x x T

????????--∑∑∑T x x x t t t 2???

???

?∑∑

t t t y x y = ????????

? ?

----∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑

)

()

(t t t

t t t t t t

t t t t

x x T y x y x T

x x T y x x y x 注意：关键是求逆矩阵1

2-???

??∑∑∑t t t x x x T

。它等于其伴随阵除以其行列式，伴随阵是其行列

式对应的代数余子式构成的方阵的转置。写成观测值形式。 1?

β= ∑∑---2

)())((x x y y x x t

t t t t 0?β= x y 1

?β- 如果，以离式形式表示更为简洁： 1

β=

∑∑2

t x

y x

0?β= x y 1

?β-

2.3 一元线性回归模型的特性

1．线性特性（将结果离差转化为观测值表现形式）

∑∑∑∑-=

=222)(?i i i i i i x Y Y x x y x β

∑∑∑∑∑=-=i

i i i

Y K x x Y Y x x 22

∑-=-=i i Y K X Y X Y 21??ββ

∑∑∑??

??-=-=i i i i i Y X K n Y X K Y n 11

2．无偏性

∑∑++==)(?212i i i i i u X K Y K βββ

∑∑∑++=i

i i i i u K X K K 21ββ

∑∑∑++=i i i i i u K X K K 21ββ

其中：

=-=

=∑∑

∑

∑∑

i i

i x X X x x x x K （

∑

∑∑∑+-=

i i i i

i i x X X X x X x x X K

∑∑∑+-=

)(i

i i i x X

x X X x

∑∑∑

∑

i x x x x X

故有：∑+=i i u K 22

?ββ 2222)(?ββββ=+=+=∑∑i i i i Eu K u K E E

i i Y X K n ∑??? ??-=1?1β

()

i i i u X X K n ++???

??-=∑211ββ

∑

++=n

u n

X n

i i

ββ

∑∑∑---i i i i i u X K X X K X K 21ββ

∑∑∑---++=i

i i i i u K X X K X K X u X 2121ββββ

∑-+=i

i u K X n

)1(

1β

∑=-+=∴1

11)1(?βββi i Eu X K n E

3．有效性

首先讨论参数估计量的方差。

2222))?(?()?(βββE E Var -=

22222)

(

)

)(()?(∑

∑

=-+=-=i i i i u K E u K E E ββββ())

)((221122112

n n n n i i u K u K u K u K u K u K u K ++++++=∑

∑∑∑≠+=j

i j

i j i i i u u K K u K 2

)(

∑∑∑

∑

≠+=∴j

i j

i j i i i i i u u K K E

u K E

u K E 2

)()

(

∑

???

? ?

?==

22i

i i

i i x x x Eu K ο

即：

∑

)?(i

x Var ο

同理有：

∑∑

)?(i

x n X Var οβ

∑

? ??-=-=22111)1

())?(?()?(i i u X K n

E E E Var βββ

11i i i i u X K n u X K n ∑

∑

??? ??-=

? ?

???? ??-

j i j j i i u u X K n X K n ???

??-??? ??+

∑∑

≠11

1)?(∑

? ??-=X K n Var i οβ

∑

+-=)

1(2

X K n

i i ο

∑

i K X

K n

X n

οοο

∑

∑+

)

i x n

X n

οο

????

?+=∑

∑

)(

)(i

i i x X x n n ο

∑

? ?

)

(

1)(i

i i

x n

X n

X n X

n ο

∑∑

x n X ο

显然各自的标准误差为：

∑

)?(i

x se ο

β，

∑∑

)?(i

x n X se οβ

标准差的作用：衡量估计值的精度。

由于σ为总体方差，也需要用样本进行估计。

∑

n e i

证明过程如下：

i i i u X Y ++=21:ββ回顾

因此有： u

X Y ++=21ββ

那么：

)()()(2121u X u X y Y Y i i i i ++-++==-ββββ

)(2u u x i i -+=β

根据定义：

i i i x y e 2?β-=，（实际观测值与样本回归线的差值）则有：

i i i i i i x u u x u u x e )?()(?))((2222ββββ---=--+=

两边平方，再求和：

∑

-+---

222222

))?(()?)((2)

i i i x x u u u u e ββββ

i i i i x u u u u x ∑

∑∑

----+

-=)()?(2)()?(2

222

2ββββ

对上式两边取期望有：

)?()(

∑∑

-=ββE x e E i i

(

)[]i i i x u u E u u E ∑∑

----+)(?2))((

22ββ

B A -+=

其中：

∑

x x A

∑

∑-=-=2

(

1i i

u n

n u

nE u E

B ο

∑∑∑

≠+

i j i i u u u E n

n )

(

)1()(1ο

οο

-=-=n n n

()∑∑∑∑-????

=i i i i i i x u x u x u x E C 2

()

∑

∑∑-=???

222

)?(22i

i i x E x u x E ββ

∑

222

x x ο

2ο

故有：

2)1(ο

-=∑

n e E

即有：

????????-=∑

222

n e E

i ο，令

∑

n e i

，则问题得证。

关于

∑

e 的计算：

∑∑

∑

i i i i i i y x y x y e 2

??ββ

关于2

R ≤的证明：

(

)()

222

111

11R a k n n R

-?-=----=，其中：1≥a 。

当 11=?=a k

(

)()2

1111

11R R n n R

R =--=--?--=

当11>?>a k ，当102

≤≤R

时，有：

(

)[]

a R

?---=-2

1aR

a R -+-=

()112

---=a R

()()0

112

>--=R a

≥? Q.E.D.

关于2

R 可能小于0的证明。

设：

t t t u X Y +=2β

则有：

()

∑∑

-==2

2?2

??min

min 2

t t X Y e J ββ

那么

0?2

=??β

()

0?22=?--=∑∑t t t t t e X X X Y β

但：

0≠∑t e ，因为没有

0?1

=??β

存在。

同时，还有：

e X Y +=2?β

t t t

e Y X Y Y +-=-2?β ()

t t e e X X ++-=22??ββ ()()e e X X t t -+-=2?β

()2

n Y Y

Y TSS t t

∑

()()()∑-+-=2

2?e

e X X t t β

()()()()()∑∑∑--+-+-=

e e X X e e X X t t t

t 222

2?2?ββ

其中：

()()()()∑∑∑---=--e e X e e X e e X X t t t t t

0--=

∑∑t t t X e e X

()0

=-=-=-∑∑∑∑t

t t t e n n e e n e e e

，

和

0=∑t t e X

()()e X n e e X X t t -=--∴

∑

则：

()()e X n e e X X TSS t t 2

2222?2?ββ--+-=∑∑

e X n e n e X n X t t 222222222?2??βββ--+-=∑∑

222222222??2?X n e X n e n e X t t βββ---+=∑∑ ()

2222222?2??e e X X n e X t t ++-+=∑∑βββ

考虑到：

()

2222

22?2??e e X X n e X n Y

n ++=+=βββ

()

∑∑∑∑∑++=+=22222222

?2??t t t t t t t e e X X e X Y βββ

∑∑+=2222?t t e X β

若定义

(

)22

22222

222

2?2??e e X X n e X Y

n Y TSS t t t ++-+

=-=

∑

βββ

∑

-=2

X TSS RSS β

∑

()

∑

-++=-2

2222222??2?t

X e e X X n TSS RSS βββ

∑

-???

? ??

++??? ??=2

2222222??21?t

t X e e X X n n βββ

()()∑∑-++=22222222??2?t t X e e X n X n βββ

()

∑

∑∑

-++?

=≠2

22222

22??2?t

t s t t

X e e X n X X X n βββ

()()

222

?2??1e e X n X X n X n s

t s t t +++-=∑∑

∑

≠βββ

可能小于0。

参考书：

Dennis J. Aigner Basic Econometrics, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J. 1971,pp85-88

第二章

2.1 简单线性回归最小二乘估计最小方差性质的证明

对于OLS 估计式^

1β和^

2β,已知其方差为

12()i i

X Var N x

βσ

=∑∑

22()i

Var x

β=

∑

这里只证明^

2()V ar β最小，^

1()Var β最小的证明可以类似得出。设2β的另一个线性无偏估计为*

2β，即

w Y

β=

∑ 其中

2,i

i i i i

x w k k x

≠=

∑

2()()

i i E E w Y β=∑

12[()]i i i E w X u ββ=++∑

12i i i

w w X ββ=+∑∑

因为*

2β也是2β的无偏估计，即*

22()E ββ=，必须有 0

i w =∑，1

i i w X =∑

同时

2()()

i i Var Var w Y β=∑

2()i

w Var Y =

∑

σ=∑ [因为

()i Var Y σ

()

i i w k k σ=-+∑

()2()i i i i

i i

w k k w

k k σσ

=-++-∑∑

∑

()2()

i i

i i i w

k k w k k σ

σσ=-++-∑∑∑∑

上式最后一项中

22222

()

i i

w x x w k k

x -=

∑∑∑∑∑∑

2()1

i i

w X X x x

-∑∑∑

221

w X X w

∑∑∑∑

0= （因为0i w =∑，1

i i w X =∑）

所以

()()[]

(

)

i i x Var w

k x βσ

=-+∑∑∑

2()i

i i

k x

=-+

∑∑

2()()

i w

k Var σ

β=-+∑

而20σ≥，因为i i w k ≠，则有2

()0i i w k -≥，为此

2()()Var Var ββ≥ 只有

i i

w k =时，^

2()()Var Var ββ=，由于*

2β是任意设定的2β的线性无偏估计式，这表明

2β的OLS 估计式具有最小方差性。

2.2 2

σ最小二乘估计的证明

用离差形式表示模型时

i i y Y Y

1212()()

i i X u X u ββββ=++-++

2()i i

u u x β=-+

而且

i i y Y Y

1212()()

i X X ββββ=+-+

x β=

因此 ^

22()()i i i i i

e y y u u x ββ=-=--- 则有

22[()()]

i i e u u x ββ=

---∑∑

22222()()

2()()i

i i

u x

u u x ββββ=

-+----∑∑∑

取2i

e ∑

的期望

2222()[()]()2[()()]

i i

i i E e E u u x E E u u x ββββ=-+----∑∑∑∑

式中 (1)

222

[()][()]

i i E u u E u n u -=-∑∑

1()()

i i E u E u n

∑

222

121211(22)

n n n E u u u u u u u n σ-=

-++++++∑

121()n E u u u n σ=

-+++∑

1(1)n n n

σσ

=-∑

(2)

222()i

E x

ββσ

=∑∑∑

(3)

2222[()()]2[

()]

i i i i i

i i

x u E u u x E x u

u x x ββ---=--∑∑∑∑∑

2()

]

i i i

x u E x

=-∑∑

2222[()

]

E x

ββ=--∑

222()2i

x E ββσ

=--=-∑

所以

()(1)2(2)i E e n n σσσ

=-+-=-∑

如果定义

n σ

-∑

其期望值为

()[

e E E n σ

==-∑

这说明

n σ

-∑是2

σ的无偏估计。

第三章

3.1 多元线性回归最小二乘估计无偏性的证明

因为 ''''^

-1-1

β=(X X)X Y =(X X)X (Xβ+U ) ''''=-1-1

(X X)(X X)β+(X X)X U ''-1

=β+(X X)X U

对两边取期望, []E E ''^

-1

(β)=β+(X X)X (U )

=β [由假定1:E (U)=0]

即^

β是β的无偏估计。

3.2 多元线性回归最小二乘估计最小方差性的证明设*

β为β的另一个关于Y 的线性无偏估计式，可知 *

β=AY （A 为常数矩阵）由无偏性可得 E E E *

(β)=(A Y )=[A (Xβ+U )] E E =(AX β)+A (U) E =AX (β)=β 所以必须有 A X =I

要证明最小二乘法估计式的方差^

()V ar β小于其他线性去偏估计式的方差*

()Var β，只要证明协方差矩阵之差

[(][]E E ''-^

β-β)(β-β)(β-β)(β-β)

为半正定矩阵，则称最小二乘估计^

β是β的最小方差线性无偏估计式。因为 *

β-β=A Y -β=A (Xβ+U )-β =AX β+AU -β =β+AU -β=AU

所以 [[]()E E E ''''

==**

(β-β)(β-β)](A U )(A U )A U U A 2

σ'''

=AE(UU )A =AA

由于 ''''

-1-1

β=(X X)X Y =β+(X X)X U

[][]E E ''''''=^^

-1-1

(β-β)(β-β)(X X)X U ][(X X)X U []E '''''=-1-1

(X X)X U ][U X(X X) E ''''=-1-1

(X X)X (U U )X(X X) 2

σ''''==-1-1-1(X X)X X(X X)(X X)

所以 2

[][E E σσ''''--^

-1(β-β)(β-β)(β-β)(β-β)]=A A (X X)

[]σ''=-1

A A -(X X) 由于

['''''''''-1

-1

A -(X X)X ][A -(X X)X ]=[A -(X X)X ][A -X(X X)] ''''''''=-1

-1

AA -(X X)X A -AX(X X)+(X X)X X(X X) ''=-1A A -(X X)

由线性代数知，对任一非奇异矩阵C ，'C C 为半正定矩阵。如果令[]''-1

A -(X X)X =C 则 ''''''''-1

-1

C C =[A -(X X)X ][A -(X X)X ]=A A -(X X) 由于半正定矩阵对角线元素非负，因此有''≥-1

A A -(X X)0 即 ^

()()0

j j j E E ββββ---≥ （1,2,j k = ）

这证明了

β的最小二乘估计

β在

β的所有无偏估计中是方差最小的估计式。

3.3 残差平方和2i

∑

的均值为2

()n k σ-的证明

由残差向量的定义及参数的最小二乘估计式，有

e =Y -Y =Y -X β ''=-1

Y -X(X X)X Y ''=-1[I -X(X X)X ]Y

可以记''-1P =I -X(X X)X ，则

-1

e =P Y =[I -X(X X)X ][X β+U] ''

=-1

X β-X(X X)X Xβ+P U

=P U 容易验证，P 为对称等冪矩阵，即 'P =P

P =PP =P 残差向量的协方差矩阵为

()[]Var E E ''==e (ee )PU(PU) []E ''=P(UU )P []E ''=P (UU )P

σ'=P (I)P 22

σσ'==PP P 利用矩阵迹的性质，有 2()

tr ''==∑

e e ee

两边取期望得

()()[()]

i E e E E tr ''=-∑e e ee

[()][]tr E tr σ'==e e P 2

[]tr σ''=-1

I -X(X X)X 2

{()[]}tr tr σ''=--1

I (X X)X X 2[()]n tr σ=-I 2

()n k σ=-

第五章

5.1在异方差性条件下参数估计统计性质的证明 1、参数估计的无偏性仍然成立

设模型为 n i v X Y i i i ,,2,1,21 =++=ββ （1）用离差形式表示

i i u x y +=2β (其中

v u i i -=) （2）

参数2β的估计量2?

β为

)

4()

()()?()

3()

(?2

222

ββ

ββββββ=+

=+=+

+==∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑i

i i

u x E x

x E E x

u x x

x x x

u x x x y x

在证明中仅用到了假定0)(=i i u x E 。 2、参数估计的有效性不成立

假设（1）式存在异方差，且2

)var(i

i i X u σσ==，则参数2β的估计2?

β的方差为

[]

()

2222

2*2?)?(?)?(??

?? ??

=-=-=∑∑βββββββi i

i x

u x E E E E Var

∑∑∑∑∑∑∑∑=≠=≠+=?

???

+=?

???

?=2

()

(2)()(2i j

i j

i j i j i i i

i j

i j i j i i i

i i i x u u E x x u E x

x u u x x u x

E x u x E

∑∑∑∑∑∑∑∑∑?

==22222

2222

()

()()

i i

i i i

X x x

x X x x x

x u E x

σ (5)

在上述推导中用了假定

i u u E j i ≠=,0)(。

下面对（2）式运用加权最小二乘法（WLS ）。设权数为

i i z w 1

，对（2）式变换为

i i

z u z x z y +=2

β （6）

可求得参数的估计2?

β，根据本章第四节变量变换法的讨论，这时新的随机误差项i i

z u 为同方

差，即

)var(

i z u ，而 2?

β的方差为

∑

???

??=2

2)?var(i i wls

z x σ

β （7）

为了便于区别，用(2?

β)wls 表示加权最小二乘法估计的2β，用(2?

β)ols 表示OLS 法估计的2β。比较（5）式与（7）式，即在异方差下用OLS 法得到参数估计的方差与用WLS 法得到参数估计的方差相比较为

()

∑

∑∑∑∑∑∑∑∑???

? ??=???

??=????

??=2

22222

222

2)?var()?var(i

i i i

i i i i

i i i i ols

wls

z x

z x x x z x z x x x z x σσ

σσ

β （8）

令i

i i i i

b x z a z x ==,，由初等数学知识有()1

≤∑

∑∑b

a a

b ，因此（10）式右端有

()

22≤???

? ??∑

∑∑i

i i i

z x

z x x （9）

从而，有

ols wls )?

var()?var(22ββ≤

这就证明了在异方差下，仍然用普通最小二乘法所得到的参数估计值的方差不再最小。

5.2 对数变换后残差为相对误差的证明

事实上，设样本回归函数为

i i i e X Y ++=21?

?ββ （10）其中Y Y e i i ?

-=为残差，取对数后的样本回归函数为

21ln ??ln e X Y ++=αα

（11）

其中残差为Y Y e ?

ln ln *-=，因此

)

??1ln()???ln()?ln(?ln ln *

Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y e -+=-+==-= （12）

对（12）式的右端，依据泰勒展式

+-++-

=+-n

X X X X X X n

n 1

)

1(4

)1ln( （13）

将（13）式中的X 用

Y ??-替换，则*

e 可近似地表示为

Y Y e ??*

-≈

（14）

即表明（11）式中的误差项为相对误差。

计量经济学习题

《计量经济学》习题河北经贸大学应用经济学教研室 2004年7月

第一章绪论 ⒈为什么说计量经济学是经济理论、数学和经济统计学的结合？ ⒉为什么说计量经济学是一门经济学科？它在经济学科体系中的地位是什么？它在经济研究中的作用是什么？ ⒊建立与应用计量经济学模型的主要步骤有哪些？ ⒋计量经济学模型有哪些主要应用领域？各自的原理是什么？ ⒌下列假想模型是否属于揭示因果关系的计量经济学模型？为什么？ ⑴St=112.0+0.12Rt 其中，St为第t年农村居民储蓄增加额（亿元），Rt为第t年城镇居民可支配收入总额（亿元）。 ⑵S t-1=4432.0+0.30R t 其中，S t-1为第（t-1）年底农村居民储蓄余额（亿元），Rt为第t年农村居民纯收入总额（亿元）。 ⒍指出下列假想模型中两个最明显的错误，并说明理由： RS t=8300.0-0.24RI t+1.12IV t 其中，RS t为第t年社会消费品零售总额（亿元），RI t为第t年居民收入总额（亿元）（城镇居民可支配收入总额与农村居民纯收入总额之和），IV t为第t年全社会固定资产投资总额（亿元）。第二章一元线性回归模型

⒈ 对于设定的回归模型作回归分析，需对模型作哪些假定，这些假定为什么是必要的？ ⒉ 试说明利用样本决定系数R 2为什么能够判定回归直线与样本观测值的拟和优度。 ⒊ 说明利用) (0∧ βS 、)(1∧βS 衡量 ∧ β、∧ 1β对 β、1β估计稳定性的道理。 ⒋ 为什么对 ∧ β、∧ 1β进行显著性检验？试述检验方法及步骤。 ⒌ 对于求得的回归方程为什么进行显著性检验？试述检验方法及步骤。 ⒍ 阐述回归分析的步骤。 ⒎ 试述计量经济模型与一般的经济模型有什么不同？ ⒏ 一元线性回归模型有时采用如下形式： i i i X Y μβ+=1 模型中的截距为零，叫做通过原点的回归模型。试证明该模型中：（1） ∑∑=∧ 21i i i X Y X β （2） ∑ = ∧ 2 2 1)var(i X μ σ β ⒐ 下述结果是从一个样本中获得的，该样本包含某企业的销售额（Y ）及相应价格（X ）的11个观测值。 18 .519_ =X ； 82 .217_ =Y ； ∑=3134543 2 i X ； ∑=1296836 i i Y X ； ∑=539512 2i Y （1）估计销售额对价格的样本回归直线，并解释其结果。（2）回归直线的判定系数是多少？ ⒑ 已知某地区26年的工农业总产值与货运周转量的数据见下表。试作一元线性回归分析，若下一年计划该地区工农业总产值为8亿元，预测货运周转量。

计量经济学-李子奈-计算题整理集合

计算分析题（共3小题，每题15分，共计45分） 1、下表给出了一含有3个实解释变量的模型的回归结果：方差来源平方和（SS ）自由度（d.f.）来自回归65965 — 来自残差— — 总离差(TSS) 66056 43 （1）求样本容量n 、RSS 、ESS 的自由度、RSS 的自由度（2）求可决系数)37.0(-和调整的可决系数2 R （3）在5%的显著性水平下检验1X 、2X 和3X 总体上对Y 的影响的显著性（已知0.05(3,40) 2.84F =）（4）根据以上信息能否确定1X 、2X 和3X 各自对Y 的贡献？为什么？ 1、（1）样本容量n=43+1=44 （1分） RSS=TSS-ESS=66056-65965=91 （1分） ESS 的自由度为: 3 （1分） RSS 的自由度为: d.f.=44-3-1=40 （1分）（2）R 2=ESS/TSS=65965/66056=0.9986 （1分） 2R =1-(1- R 2)(n-1)/(n-k-1)=1-0.0014?43/40=0.9985 （2分）（3）H 0：1230βββ=== （1分） F=/65965/39665.2/(1)91/40 ESS k RSS n k ==-- （2分） F >0.05(3,40) 2.84F = 拒绝原假设（2分）所以，1X 、2X 和3X 总体上对Y 的影响显著（1分）（4）不能。（1分）因为仅通过上述信息，可初步判断X 1，X 2，X 3联合起来对Y 有线性影响，三者的变化解释了Y 变化的约99.9%。但由于无法知道回归X 1，X 2，X 3前参数的具体估计值，因此还无法判断它们各自对Y 的影响有多大。 2、以某地区22年的年度数据估计了如下工业就业模型 i i i i i X X X Y μββββ++++=3322110ln ln ln 回归方程如下： i i i i X X X Y 321ln 62.0ln 25.0ln 51.089.3?+-+-= （-0.56）(2.3) (-1.7) (5.8) 2 0.996R = 147.3=DW 式中，Y 为总就业量；X 1为总收入；X 2为平均月工资率；X 3为地方政府的

西南财经大学计量经济学期末考试试题

西南财经大学计量经济学期末考试试题计量经济学试题一 (2) 计量经济学试题一答案 (5) 计量经济学试题二 (11) 计量经济学试题二答案 (13) 计量经济学试题三 (16) 计量经济学试题三答案 (19) 计量经济学试题四 (24) 计量经济学试题四答案 (26)

计量经济学试题一课程号：课序号：开课系：数量经济系一、判断题（20分） 1．线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果。（） 2．多元回归模型统计显著是指模型中每个变量都是统计显著的。（） 3．在存在异方差情况下，常用的OLS 法总是高估了估计量的标准差。（） 4．总体回归线是当解释变量取给定值时因变量的条件均值的轨迹。（） 5．线性回归是指解释变量和被解释变量之间呈现线性关系。（） 6．判定系数的大小不受到回归模型中所包含的解释变量个数的影响。（） 7．多重共线性是一种随机误差现象。（） 8．当存在自相关时，OLS 估计量是有偏的并且也是无效的。（） 9．在异方差的情况下， OLS 估计量误差放大的原因是从属回归的变大。（） 10．任何两个计量经济模型的都是可以比较的。（）二．简答题（10） 1．计量经济模型分析经济问题的基本步骤。（4分） 2．举例说明如何引进加法模式和乘法模式建立虚拟变量模型。（6分） 2R 2 R 2 R

三．下面是我国1990-2003年GDP 对M1之间回归的结果。（5分） 1．求出空白处的数值，填在括号内。（2分） 2．系数是否显著，给出理由。（3分）四．试述异方差的后果及其补救措施。（10分）五．多重共线性的后果及修正措施。（10分）六．试述D-W 检验的适用条件及其检验步骤？（10分）七．（15分）下面是宏观经济模型变量分别为货币供给、投资、价格指数和产出。 1．指出模型中哪些是内是变量，哪些是外生变量。（5分） ln() 1.37 0.76ln(1)se (0.15) ( )t ( ) ( 23 ) GDP M =+()1.7820.05,12P t >==自由度； ()()()()()1(1)*(2)*3*4*5*6*7*D t t t t t t C t t t t A t t t M C P C Y C I C M u I C M C Y u Y C I u -=++++=++=+M I P Y

计量经济学期末考试重点

第一章绪论 1、什么是计量经济学？由哪三组组成？答：计量经济学是经济学的一个分支学科，是以揭示经济活动中客观存在的数量关系为内容的分支学科。统计学、经济理论和数学三者结合起来便构成了计量经济学。 2、计量经济学的内容体系，重点是理论计量和应用计量和经典计量经济学理论方法方面的特征答：1）广义计量经济学和狭义计量经济学 2）初、中、高级计量经济学3）理论计量经济学和应用计量经济理论计量经济学是以介绍、研究计量经济学的理论与方法为主要内容，侧重于理论与方法的数学证明与推导，与数理统计联系极为密切。除了介绍计量经济模型的数学理论基础、普遍应用的计量经济模型的参数估计方法与检验方法外，还研究特殊模型的估计方法与检验方法，应用了广泛的数学知识。应用计量经济学则以建立与应用计量经济学模型为主要内容，强调应用模型的经济学和经济统计学基础，侧重于建立与应用模型过程中实际问题的处理。本课程是二者的结合。 4）、经典计量经济学和非经典计量经济学经典计量经济学（Classical Econometrics）一般指20世纪70年代以前发展并广泛应用的计量经济学。经典计量经济学在理论方法方面特征是： ⑴模型类型—随机模型； ⑵模型导向—理论导向； ⑶模型结构—线性或者可以化为线性，因果分析，解释变量具有同等地位，模型具有明

确的形式和参数； ⑷数据类型—以时间序列数据或者截面数据为样本，被解释变量为服从正态分布的连续随机变量； ⑸估计方法—仅利用样本信息，采用最小二乘方法或者最大似然方法估计模型。经典计量经济学在应用方面的特征是： ⑴应用模型方法论基础—实证分析、经验分析、归纳； ⑵应用模型的功能—结构分析、政策评价、经济预测、理论检验与发展； ⑶应用模型的领域—传统的应用领域，例如生产、需求、消费、投资、货币需求，以及宏观经济等。 5）、微观计量经济学和宏观计量经济学 3、为什么说计量经济学是经济学的一个分支？（4点和综述）答：（1）、从计量经济学的定义看（2）、从计量经济学在西方国家经济学科中的地位看（3）、从计量经济学与数理统计学的区别看（4）、从建立与应用计量经济学模型的全过程看综上所述，计量经济学是一门经济学科，而不是应用数学或其他。 4、理论模型的设计主要包含三部分工作，即选择变量，确定变量之间的数学关系，拟定模型中待估计参数的数值范围。 5、常用的样本数据：时间序列，截面，面板（虚变量数据是错的，改为面板数据。主要要求时间数据序列数据和截面数据）答：1、时间序列是一批按照时间先后排列的统计数据。要注意问题：

计量经济学

名词解释 1、因果效应：在理想化随机对照实验中得到的，某一给定的行为或处理对结果的影响 2、实验数据：来源于为评价某种处理（某项政策）抑或某种因果效应而设计的实验 3、观测数据：通过观察实验之外的实际行为而获得的数据 4、截面数据：对不同个体如工人、消费者、公司或政府机关等在某一特定时间段内收集到的数据 5、时间序列数据：对同一个体（个人、公司、国家等）在多个时期内收集到的数据 6、面板数据：即纵向数据，是多个个体分别在两个或多个时期内观测到的数据 7、离散型随机变量：一些随机变量是离散的连续型随机变量：一些随机变量是连续的 8、期望值：随机变量经过多次重复实验出现的长期平均值，记作E （Y ） 9、期望：Y 的长期平均值，记作μY 10、方差：是Y 距离其均值的偏差平方的期望值，记作var （Y ） 11、标准差：方差的平方根来表示偏差程度，记作σY 12、独立性：两个随机变量X 和Y 中的一个变量无法提供另一个变量的相关信息 13、标准正态分布：指那些均值102==σμ、方差的正态分布，记作N （0，1） 14、简单随机抽样：n 个对象从总体中抽取，且总体中的每一个个体都有相等的可能性被选入样本 15、独立分布：两个随机变量X 和Y 中的一个变量无法提供另一个变量的相关信息，那么这两个变量X 和Y 独立分布 16、偏差：设Y Y E Y Y μμμμ-??）（为的一个估计量，则偏差是；一致性：当样本容量增大时，Y μ ?落入真实值Y μ的微小领域区间内的概率接近于1，即Y Y μμ与?是一致的有效性：如果Y μ ?的方差比Y μ~更小，那么可以说Y Y μμ~?比更有效 17、最小二乘估计量：21)(m i n i -Y ∑ =最小化误差m -i Y 平方和的估计量m 18、P 值：即显著性概率，指原假设为真的情况下，抽取到的统计量与原假设之间的差异程度至少等于样本计算值与原假设之间差异程度的概率 19、第一类错误：拒绝了实际上为真的原假设 20、一元线性回归模型：i i 10i μββ+X +=Y ；1β代表1X 变化一个单位所导致Y 的变化量 21、普通最小二乘（OLS ）估：选择使得估计的回归线与观测数据尽可能接近的回归系数，其中近似程度用给定X 时预测Y 的误差的平方和来度量 22、回归2R ：可以由i X 解释（或预测）的i Y 样本方差的比例，即TSS SSR TSS ESS R -==12 23、最小二乘假设：①给定i X 时误差项i μ的条件均值为零：0)(i i =X μE ； ②从联合总体中抽取的，，，，），，（n ...21i i i =Y X 满足独立同分布； ③大异常值不存在：即i i Y X 和具有非零有限的四阶距 24、1β置信区间：以95%的概率包含1β真值的区间，即在所有可能随机抽取的样本中有95%包含了1β的真值 25、同方差：若对于任意i=1，2，...，n ，给定）（条件分布的方差时χμμ=X X i i i i var 为常数且不依赖于χ，则称误差项i μ是同方差

计量经济学期末考试题库完整版及答案

计量经济学题库令狐采学、单项选择题（每小题1分） 1．计量经济学是下列哪门学科的分支学科（C）。 A．统计学 B．数学 C．经济学D．数理统计学 2．计量经济学成为一门自力学科的标记是（B）。 A．1930年世界计量经济学会成立B．1933年《计量经济学》会刊出版 C．1969年诺贝尔经济学奖设立 D．1926年计量经济学（Economics）一词构造出来 3．外生变量和滞后变量统称为（D）。 A．控制变量 B．解释变量 C．被解释变量 D．前定变量 4．横截面数据是指（A）。 A．同一时点上不合统计单位相同统计指标组成的数据B．同一时点上相同统计单位相同统计指标组成的数据 C．同一时点上相同统计单位不合统计指标组成的数据D．同一时点上不合统计单位不合统计指标组成的数据 5．同一统计指标，同一统计单位按时间顺序记录形成的数据列是（C）。 A．时期数据 B．混合数据 C．时间序列

数据D．横截面数据 6．在计量经济模型中，由模型系统内部因素决定，表示为具有一定的几率散布的随机变量，其数值受模型中其他变量影响的变量是（ B ）。 A．内生变量 B．外生变量 C．滞后变量 D．前定变量 7．描述微观主体经济活动中的变量关系的计量经济模型是（ A ）。 A．微观计量经济模型 B．宏观计量经济模型 C．理论计量经济模型 D．应用计量经济模型 8．经济计量模型的被解释变量一定是（ C ）。 A．控制变量 B．政策变量 C．内生变量 D．外生变量 9．下面属于横截面数据的是（ D ）。 A．1991－各年某地区20个乡镇企业的平均工业产值 B．1991－各年某地区20个乡镇企业各镇的工业产值 C．某年某地区20个乡镇工业产值的合计数 D．某年某地区20个乡镇各镇的工业产值 10．经济计量阐发工作的基本步调是（ A ）。 A．设定理论模型→收集样本资料→估计模型参数→检验模型B．设定模型→估计参数→检验模型→应用模型 C．个体设计→总体估计→估计模型→应用模型D．确定模型导向→确定变量及方程式→估计模型→应用模型

计量经济学例题

一、单项选择题 4．横截面数据是指（A）。 A．同一时点上不同统计单位相同统计指标组成的数据 B．同一时点上相同统计单位相同统计指标组成的数据 C．同一时点上相同统计单位不同统计指标组成的数据 D．同一时点上不同统计单位不同统计指标组成的数据 5．同一统计指标，同一统计单位按时间顺序记录形成的数据列是（C）。 A．时期数据B．混合数据C．时间序列数据D．横截面数据9．下面属于横截面数据的是（ D ）。 A．1991－2003年各年某地区20个乡镇企业的平均工业产值 B．1991－2003年各年某地区20个乡镇企业各镇的工业产值 C．某年某地区20个乡镇工业产值的合计数 D．某年某地区20个乡镇各镇的工业产值 10．经济计量分析工作的基本步骤是（ A ）。 A．设定理论模型→收集样本资料→估计模型参数→检验模型 B．设定模型→估计参数→检验模型→应用模型 C．个体设计→总体估计→估计模型→应用模型 D．确定模型导向→确定变量及方程式→估计模型→应用模型 13．同一统计指标按时间顺序记录的数据列称为（ B ）。 A．横截面数据B．时间序列数据C．修匀数据D．原始数据14．计量经济模型的基本应用领域有（ A ）。 A．结构分析、经济预测、政策评价B．弹性分析、乘数分析、政策模拟 C．消费需求分析、生产技术分析、D．季度分析、年度分析、中长期分析

18．表示x 和y 之间真实线性关系的是（ C ）。 A ．01???t t Y X ββ=+ B ．01()t t E Y X ββ=+ C ．01t t t Y X u ββ=++ D ．01t t Y X ββ=+ 19．参数β的估计量?β具备有效性是指（ B ）。 A ．?var ()=0β B ．?var ()β为最小 C ．?()0ββ－＝ D ．?()ββ－为最小 25．对回归模型i 01i i Y X u ββ+＝＋进行检验时，通常假定i u 服从（ C ）。 A ．2i N 0) σ（， B ． t(n-2) C ．2N 0)σ（， D ．t(n) 26．以Y 表示实际观测值，?Y 表示回归估计值，则普通最小二乘法估计参数的准则是使（ D ）。 A ．i i ?Y Y 0∑（－）＝ B ．2i i ?Y Y 0∑（－）＝ C ．i i ?Y Y ∑（－）＝最小 D ．2i i ?Y Y ∑（－）＝最小 27．设Y 表示实际观测值，?Y 表示OLS 估计回归值，则下列哪项成立（ D ）。 A ．?Y Y ＝ B ．?Y Y ＝ C ．?Y Y ＝ D ．?Y Y ＝ 28．用OLS 估计经典线性模型i 01i i Y X u ββ+＝＋，则样本回归直线通过点___D______。 A ．X Y （，） B ． ?X Y （，） C ．?X Y （，） D ．X Y （，） 29．以Y 表示实际观测值，?Y 表示OLS 估计回归值，则用OLS 得到的样本回归直线i 01i ???Y X ββ+＝满足（ A ）。 A ．i i ?Y Y 0∑（－）＝ B ．2i i Y Y 0∑（－）＝ C ． 2i i ?Y Y 0∑（－）＝ D ．2i i ?Y Y 0∑（－）＝ 30．用一组有30个观测值的样本估计模型i 01i i Y X u ββ+＝＋，在0.05的显著性水平下对1β的显著性作t 检验，则1β显著地不等于零的条件是其统计量t 大于（ D ）。 A ．t 0.05(30) B ．t 0.025(30) C ．t 0.05(28) D ．t 0.025(28) 31．已知某一直线回归方程的决定系数为0.64，则解释变量与被解释变量间的线性相关系数为（ B ）。 A ．0.64 B ．0.8 C ．0.4 D ．0.32

计量经济学分析计算题Word版

计量经济学分析计算题（每小题10分） 1．下表为日本的汇率与汽车出口数量数据， X:年均汇率（日元/美元） Y:汽车出口数量（万辆）问题：（1）画出X 与Y 关系的散点图。（2）计算X 与Y 的相关系数。其中X 129.3＝，Y 554.2＝，2 X X 4432.1∑ （－）＝，2 Y Y 68113.6∑（－）＝，()()X X Y Y ∑－－＝16195.4 （3）采用直线回归方程拟和出的模型为 ?81.72 3.65Y X =+ t 值 1.2427 7.2797 R 2=0.8688 F=52.99 解释参数的经济意义。 2．已知一模型的最小二乘的回归结果如下： i i ?Y =101.4-4.78X 标准差（45.2）（1.53） n=30 R 2=0.31 其中，Y ：政府债券价格（百美元），X ：利率（%）。回答以下问题：（1）系数的符号是否正确，并说明理由；（2）为什么左边是i ?Y 而不是i Y ；（3）在此模型中是否漏了误差项i u ；（4）该模型参数的经济意义是什么。 3．估计消费函数模型i i i C =Y u αβ++得 i i ?C =150.81Y + t 值（13.1）（18.7） n=19 R 2=0.81 其中，C ：消费（元） Y ：收入（元）已知0.025(19) 2.0930t =，0.05(19) 1.729t =，0.025(17) 2.1098t =，0.05(17) 1.7396t =。

问：（1）利用t 值检验参数β的显著性（α＝0.05）；（2）确定参数β的标准差；（3）判断一下该模型的拟合情况。 4．已知估计回归模型得 i i ?Y =81.7230 3.6541X + 且2X X 4432.1∑ （－）＝，2 Y Y 68113.6∑ （－）＝，求判定系数和相关系数。 5．有如下表数据日本物价上涨率与失业率的关系（1）设横轴是U ，纵轴是P ，画出散点图。根据图形判断，物价上涨率与失业率之间是什么样的关系？拟合什么样的模型比较合适？（2）根据以上数据，分别拟合了以下两个模型：模型一：1 6.3219.14 P U =-+ 模型二：8.64 2.87P U =- 分别求两个模型的样本决定系数。 7．根据容量n=30的样本观测值数据计算得到下列数据：XY 146.5＝，X 12.6＝，Y 11.3＝，2X 164.2＝，2Y ＝134.6，试估计Y 对X 的回归直线。 8．下表中的数据是从某个行业5个不同的工厂收集的，请回答以下问题：

计量经济学期末考试题库完整版)及答案

计量经济学题库、单项选择题（每小题1分） 1．计量经济学是下列哪门学科的分支学科（C）。 A．统计学B．数学C．经济学D．数理统计学 2．计量经济学成为一门独立学科的标志是（B）。 A．1930年世界计量经济学会成立B．1933年《计量经济学》会刊出版 C．1969年诺贝尔经济学奖设立D．1926年计量经济学（Economics）一词构造出来 3．外生变量和滞后变量统称为（D）。 A．控制变量B．解释变量C．被解释变量D．前定变量4．横截面数据是指（A）。 A．同一时点上不同统计单位相同统计指标组成的数据B．同一时点上相同统计单位相同统计指标组成的数据 C．同一时点上相同统计单位不同统计指标组成的数据D．同一时点上不同统计单位不同统计指标组成的数据 5．同一统计指标，同一统计单位按时间顺序记录形成的数据列是（C）。 A．时期数据B．混合数据C．时间序列数据D．横截面数据6．在计量经济模型中，由模型系统内部因素决定，表现为具有一定的概率分布的随机变量，其数值受模型中其他变量影响的变量是（ B ）。 A．内生变量B．外生变量C．滞后变量D．前定变量7．描述微观主体经济活动中的变量关系的计量经济模型是（A ）。 A．微观计量经济模型B．宏观计量经济模型C．理论计量经济模型D．应用计量经济模型 8．经济计量模型的被解释变量一定是（ C ）。 A．控制变量B．政策变量C．内生变量D．外生变量9．下面属于横截面数据的是（ D ）。

A．1991－2003年各年某地区20个乡镇企业的平均工业产值 B．1991－2003年各年某地区20个乡镇企业各镇的工业产值 C．某年某地区20个乡镇工业产值的合计数D．某年某地区20个乡镇各镇的工业产值 10．经济计量分析工作的基本步骤是（ A ）。 A．设定理论模型→收集样本资料→估计模型参数→检验模型B．设定模型→估计参数→检验模型→应用模型 C．个体设计→总体估计→估计模型→应用模型D．确定模型导向→确定变量及方程式→估计模型→应用模型 11．将内生变量的前期值作解释变量，这样的变量称为（ D ）。 A．虚拟变量B．控制变量C．政策变量D．滞后变量 12．（ B ）是具有一定概率分布的随机变量，它的数值由模型本身决定。 A．外生变量B．内生变量C．前定变量D．滞后变量 13．同一统计指标按时间顺序记录的数据列称为（ B ）。 A．横截面数据B．时间序列数据C．修匀数据D．原始数据 14．计量经济模型的基本应用领域有（ A ）。 A．结构分析、经济预测、政策评价B．弹性分析、乘数分析、政策模拟 C．消费需求分析、生产技术分析、D．季度分析、年度分析、中长期分析 15．变量之间的关系可以分为两大类，它们是（ A ）。 A．函数关系与相关关系B．线性相关关系和非线性相关关系 C．正相关关系和负相关关系D．简单相关关系和复杂相关关系 16．相关关系是指（ D ）。 A．变量间的非独立关系B．变量间的因果关系C．变量间的函数关系D．变量间不确定性

计量经济学中相关证明

课本中相关章节的证明过程第2章有关的证明过程 2.1 一元线性回归模型有一元线性回归模型为：y t = β0 + β1 x t + u t 上式表示变量y t 和x t之间的真实关系。其中y t 称被解释变量（因变量），x t称解释变量（自变量），u t称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。上模型可以分为两部分。（1）回归函数部分，E(y t) = β0 + β1 x t, （2）随机部分，u t。图2.8 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，收入与支出的关系；如脉搏与血压的关系；商品价格与供给量的关系；文件容量与保存时间的关系；林区木材采伐量与木材剩余物的关系；身高与体重的关系等。以收入与支出的关系为例。假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。但实际上数据来自各个家庭，来自各个不同收入水平，使其他条件不变成为不可能，所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。随机误差项u t中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。所以，在经济问题上“控制其他因素不变”实际是不可能的。回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容，（1）非重要解释变量的省略，（2）人的随机行为，（3）数学模型形式欠妥，（4）归并误差（粮食的归并）（5）测量误差等。回归模型存在两个特点。（1）建立在某些假定条件不变前提下抽象出来的回归函数不能百分之百地再现所研究的经济过程。（2）也正是由于这些假定与抽象，才使我们能够透过复杂的经济现象，深刻认识到该经济过程的本质。

计量经济学期末考试试题()

计量经济学期末考试试题 1、选择题（每题2分，共60分） 1、下列数据中属于面板数据（panel data ）的是：（） A 、某地区1991-2004年各年20个乡镇的平均农业产值； B 、某地区1991-2004年各年20个乡镇的各镇农业产值； C 、某年某地区20个乡镇农业产值的总和； D 、某年某地区20个乡镇各镇的农业产值。 2、参数 β 的估计量β? 具有有效性是指：（） A 、0)?var(=β ； B 、)?var(β为最小； C 、0)?(=-ββ ； D 、)?(ββ-为最小。 3、对于i i u x y ++=110??ββ，以σ?表示估计的标准误，i y ?表示回归的估计值，则：（） A 、σ?=0时，∑-)?(i i y y =0； B 、σ?=0时，2 )?(∑-i i y y =0； C 、σ ?=0时，∑-)?(i i y y 为最小； D 、σ?=0时，2)?(∑-i i y y 为最小。 4、对回归模型i i u x y ++=110ββ进行统计检验时，通常假定i u 服从：（） A 、),0(2i N σ； B 、t (n-2) ； C 、 ),0(2 σN ； D 、t (n)。 5、用OLS 估计经典线性模型i i u x y ++=110ββ，则样本回归线通过点：（） A 、),(y x ； B 、)?,(y x ； C 、)?,(y x ； D 、),(y x 。 6、已知回归模型i i u x y ++=110ββ的判定系数为0.64，则解释变量与被解释变量之间的相关系数为：（） A 、0.64； B 、0.8； C 、0.4； D 、0.32

计量经济学计算题解法汇总

计量经济学：部分计算题解法汇总 1、求判别系数——R^2 已知估计回归模型得 i i ?Y =81.7230 3.6541X + 且2X X 4432.1∑ （－）＝，2Y Y 68113.6∑（－）＝， 2、置信区间有10户家庭的收入（X ，元）和消费（Y ，百元）数据如下表： 10户家庭的收入（X ）与消费（Y ）的资料 X 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43 Y 7 9 8 11 5 4 8 10 9 10 若建立的消费Y 对收入X 的回归直线的Eviews 输出结果如下： Dependent Variable: Y Adjusted R-squared F-statistic Durbin-Watson （1（2）在95%的置信度下检验参数的显著性。（0.025(10) 2.2281t =，0.05(10) 1.8125t =，0.025(8) 2.3060t =，0.05(8) 1.8595t =）（3）在90%的置信度下，预测当X ＝45（百元）时，消费（Y ）的置信区间。（其中29.3x =，2()992.1x x - =∑）答：（1）回归模型的R 2 ＝，表明在消费Y 的总变差中，由回归直线解释的部分占到90％以上，回归直线的代表性及解释能力较好。（2分）家庭收入对消费有显著影响。（2分）对于截距项，

检验。（2分）（3）Y f =+×45＝（2分） 90%置信区间为（，+），即（，）。（2分）注意：a 水平下的t 统计量的的重要性水平，由于是双边检验，应当减半 3、求SSE 、SST 、R^2等已知相关系数r ＝，估计标准误差?8σ＝，样本容量n=62。求：（1）剩余变差；（2）决定系数；（3）总变差。（2）2220.60.36R r ===（2分） 4、联系相关系数与方差（标准差），注意是n-1 在相关和回归分析中，已知下列资料： 222X Y i 1610n=20r=0.9(Y -Y)=2000σσ∑＝，＝，，，。（1）计算Y 对X 的回归直线的斜率系数。（2）计算回归变差和剩余变差。（3）（2）R 2=r 2==，总变差：TSS ＝RSS/(1-R 2)=2000/=（2分）

计量经济学考试试题(2004)

华中师范大学2003——2004年度第二学期期末试题计量经济学试卷 (A) 一、填空题（10分）： 1) 在计量经济模型中的随机项t u 满足的古典假设条件： ① ；②同方差；③ ； ④ ；⑤),0(~2 u t N u σ。 2) 高斯—马尔可夫定理是指在总体参数的各种线性无偏估计中，最小二乘估计具有___________________的特性。 3) 检验样本是否存在多重共线性的常见方法有：___________________和逐步分析检验法。处理多重共线性的方法有：保留重要解释变量、去掉不重要解释变量、___________________、___________________。 4) 在计量经济建摸时，对非线性模型的处理方法之一是线性化，写出模型 X X e e Y βαβα+++=1线性化的变量变换：__________________。 5) 计量经济模型的计量经济检验通常包括__________________、多重共线性检验、 __________________。二、选择题（单选或多选；12分）： 1) 回归分析中使用的距离是点到直线的垂直坐标距离。最小二乘准则是指（）。 A 、使() ∑=-n t t t Y Y 1 ?达到最小值 B 、使∑=-n t t t Y Y 1 ?达到最小值 C 、使t t Y Y ?max -达到最小值 D 、使() 2 1?∑=-n t t t Y Y 达到最小值 2) 在多元线性回归分析中，修正的决定系数2 R 与一般决定系数2 R 之间（）。 A 、2 R ≤2 R B 、2 R ≥2 R B 、2 R 只能大于零 D 、2 R 可能为负值

计量经济学计算题

1、某农产品试验产量Y （公斤/亩）和施肥量X （公斤/亩）7块地的数据资料汇总如下： ∑=255i X ∑=3050i Y ∑=71.12172i x ∑=429.83712i y ∑=857.3122i i y x 后来发现遗漏的第八块地的数据：208=X ，4008=Y 。要求汇总全部8块地数据后进行以下各项计算，并对计算结果的经济意义和统计意义做简要的解释。（1）该农产品试验产量对施肥量X （公斤/亩）回归模型Y a bX u =++进行估计；（2）对回归系数（斜率）进行统计假设检验，信度为；（3）估计可决系数并进行统计假设检验，信度为。解：首先汇总全部8块地数据： 871 81 X X X i i i i +=∑∑== =255+20 =275 n X X i i ∑==8 1 )8(375.348 275 == 2) 7(7 127 127X x X i i i i +=∑∑== =+7?2 7255?? ? ??=10507 287 1 28 1 2X X X i i i i +=∑∑== =10507+202 = 10907 2) 8(8 1 28 1 28X X x i i i i +=∑∑== = 10907-8?2 8275?? ? ??= 87 1 81 Y Y Y i i i i +=∑∑===3050+400=3450 25.4318 3450 8 1 )8(== =∑=n Y Y i i 2) 7(7 1 2 712 7Y y Y i i i i +=∑∑== =+7?2 73050??? ??=1337300 287 1 2 81 2Y Y Y i i i i +=∑∑== =1337300+4002 = 1497300 2)8(8 1 28128Y Y y i i i i +=∑∑== =1497300 -8?( 8 3450)2 == ) 7()7(7 1 7 17Y X y x Y X i i i i i i +=∑∑== ==+7??? ??7255??? ? ??73050 =114230 887 1 81 Y X Y X Y X i i i i i i +=∑∑== =114230+20?400 =122230

计量经济学试题库和答案

计量经济学题库(超完整版)及答案一、单项选择题（每小题1分） 1．计量经济学是下列哪门学科的分支学科（C ）。 A ．统计学 B ．数学 C ．经济学 D ．数理统计学 2．计量经济学成为一门独立学科的标志是（B ）。 A ．1930年世界计量经济学会成立 B ．1933年《计量经济学》会刊出版 C ．1969年诺贝尔经济学奖设立 D ．1926年计量经济学（Economics ）一词构造出来3．外生变量和滞后变量统称为（D ）。 A ．控制变量 B ．解释变量 C ．被解释变量 D ．前定变量 4．横截面数据是指（A ）。 A ．同一时点上不同统计单位相同统计指标组成的数据 B ．同一时点上相同统计单位相同统计指标组成的数据 C ．同一时点上相同统计单位不同统计指标组成的数据 D ．同一时点上不同统计单位不同统计指标组成的数据 5．同一统计指标，同一统计单位按时间顺序记录形成的数据列是（C ）。 A ．时期数据 B ．混合数据 C ．时间序列数据 D ．横截面数据 6．在计量经济模型中，由模型系统内部因素决定，表现为具有一定的概率分布的随机变量，其数值受模型中其他变量影响的变量是（）。 A ．内生变量 B ．外生变量 C ．滞后变量 D ．前定变量 7．描述微观主体经济活动中的变量关系的计量经济模型是（）。 A ．微观计量经济模型 B ．宏观计量经济模型 C ．理论计量经济模型 D ．应用计量经济模型 8．经济计量模型的被解释变量一定是（）。 A ．控制变量 B ．政策变量 C ．内生变量 D ．外生变量 9．下面属于横截面数据的是（）。 A ．1991－2003年各年某地区20个乡镇企业的平均工业产值 B ．1991－2003年各年某地区20个乡镇企业各镇的工业产值 C ．某年某地区20个乡镇工业产值的合计数 D ．某年某地区20个乡镇各镇的工业产值10．经济计量分析工作的基本步骤是（）。 A ．设定理论模型→收集样本资料→估计模型参数→检验模型 B ．设定模型→估计参数→检验模型→应用模型 C ．个体设计→总体估计→估计模型→应用模型 D ．确定模型导向→确定变量及方程式→估计模型→应用模型 11．将内生变量的前期值作解释变量，这样的变量称为（）。 A ．虚拟变量 B ．控制变量 C ．政策变量 D ．滞后变量 12．（）是具有一定概率分布的随机变量，它的数值由模型本身决定。 A ．外生变量 B ．内生变量 C ．前定变量 D ．滞后变量 13．同一统计指标按时间顺序记录的数据列称为（）。 A ．横截面数据 B ．时间序列数据 C ．修匀数据 D ．原始数据 14．计量经济模型的基本应用领域有（）。 A ．结构分析、经济预测、政策评价 B ．弹性分析、乘数分析、政策模拟 C ．消费需求分析、生产技术分析、 D ．季度分析、年度分析、中长期分析 15．变量之间的关系可以分为两大类，它们是（）。 A ．函数关系与相关关系 B ．线性相关关系和非线性相关关系

计量经济学中相关证明

计量经济学中相关证明https://www.wendangku.net/doc/ba136730.html,work Information Technology Company.2020YEAR

课本中相关章节的证明过程第2章有关的证明过程 2.1 一元线性回归模型有一元线性回归模型为：y t = 0 + 1 x t + u t 上式表示变量y t 和x t之间的真实关系。其中y t 称被解释变量（因变量），x t称解释变量（自变量），u t称随机误差项，0称常数项，1称回归系数（通常未知）。上模型可以分为两部分。（1）回归函数部分，E(y t) = 0 + 1 x t,（2）随机部分，u t。图2.8 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，收入与支出的关系；如脉搏与血压的关系；商品价格与供给量的关系；文件容量与保存时间的关系；林区木材采伐量与木材剩余物的关系；身高与体重的关系等。以收入与支出的关系为例。假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。但实际上数据来自各个家庭，来自各个不同收入水平，使其他条件不变成为不可能，所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。随机误差项u t中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。所以，在经济问题上“控制其他因素不变”实际是不可能的。回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容，（1）非重要解释变量的省略，（2）人的随机行为，（3）数学模型形式欠妥，（4）归并误差（粮食的归并）（5）测量误差等。回归模型存在两个特点。（1）建立在某些假定条件不变前提下抽象出来的回归函数不能百分之百地再现所研究的经济过程。（2）也正是由于这些假定与抽象，才使我们能够透过复杂的经济现象，深刻认识到该经济过程的本质。通常，线性回归函数E(y t) = 0 + 1 x t是观察不到的，利用样本得到的只是对E(y t) = 0 + 1 x t 的估计，即对0和1的估计。在对回归函数进行估计之前应该对随机误差项u t做出如下假定。 (1) u t 是一个随机变量，u t 的取值服从概率分布。 (2) E(u t) = 0。 (3) D(u t) = E[u t - E(u t) ]2 = E(u t)2 = 2。称u i 具有同方差性。 (4) u t 为正态分布（根据中心极限定理）。以上四个假定可作如下表达：u t N (0,)。

计量经济学计算题

计量经济学计算题例题 0626 一元线性回归模型相关例题 1.假定在家计调查中得出一个关于家庭年收入X 和每年生活必须品综合支出 Y 的横截面样根据表中数据: (1) 用普通最小二乘法估计线性模型 Y t 0 1 X t u t (2) 用G — Q 检验法进行异方差性检验 (3) 用加权最小二乘法对模型加以改进答案：（1）丫=+（ 2）存在异方差（3）丫=+ 2 ?已知某公司的广告费用 X 与销售额（Y ）的统计数据如下表所示: （1）估计销售额关于广告费用的一元线性回归模型（2）说明参数的经济意义（3）在 0.05的显著水平下对参数的显著性进行 t 检验答案：（1）一元线性回归模型 Y t 319.086 4 185X i （2）参数经济意义：当广告费用每增加 1万元，销售额平均增加万元

（3）t=> t o.025（10），广告费对销售额有显著影响

3. : 根据表中数据: (1) 求Y 对X 的线性回归方程； (2) 用t 检验法对回归系数进行显著性检验（a =) ； (3) 求样本相关系数r; 答案：Y =+ 用t 检验法对回归系数进行显著性检验（a =）；答案：显著 2 2 假设y 对x 的回归模型为％ b o biX u ,，且Var （uJ x ,，试用适当的方法估计此回归模型。 2 2 解：原模型： y b 0 b 1x 1 U i , Var （u ,）为模型存在异方差性为消除异方差性，模型两边同除以 X ,, 得: bo — a u._ (2分) X , X x , * y , * 1 u , 令: y ,x , ■,v , x x X , 得: * y , * b box ' （2分）

计量经济学期末考试试卷集(含答案)完整

财大计量经济学期末考试标准试题计量经济学试题一 (2) 计量经济学试题一答案 (5) 计量经济学试题二 (12) 计量经济学试题二答案 (14) 计量经济学试题三 (18) 计量经济学试题三答案 (20) 计量经济学试题四 (25) 计量经济学试题四答案 (27)

计量经济学试题一课程号：课序号：开课系：数量经济系一、判断题（20分） 1．线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果。（） 2．多元回归模型统计显著是指模型中每个变量都是统计显著的。（） 3．在存在异方差情况下，常用的OLS法总是高估了估计量的标准差。（）4．总体回归线是当解释变量取给定值时因变量的条件均值的轨迹。（）5．线性回归是指解释变量和被解释变量之间呈现线性关系。（） 6．判定系数2R的大小不受到回归模型中所包含的解释变量个数的影响。（）7．多重共线性是一种随机误差现象。（） 8．当存在自相关时，OLS估计量是有偏的并且也是无效的。（） 9．在异方差的情况下，OLS估计量误差放大的原因是从属回归的2R变大。（） 10．任何两个计量经济模型的2R都是可以比较的。（）二．简答题（10） 1．计量经济模型分析经济问题的基本步骤。（4分）

2．举例说明如何引进加法模式和乘法模式建立虚拟变量模型。（6分）三．下面是我国1990-2003年GDP 对M1之间回归的结果。（5分） ln() 1.37 0.76ln(1)se (0.15) ( )t ( ) ( 23 ) GDP M =+ ()1.7820.05,12P t >==自由度； 1．求出空白处的数值，填在括号内。（2分） 2．系数是否显著，给出理由。（3分）四．试述异方差的后果及其补救措施。（10分）五．多重共线性的后果及修正措施。（10分）六．试述D-W 检验的适用条件及其检验步骤？（10分）七．（15分）下面是宏观经济模型