角形角平分线、中线、高线证明题

2．证题的思路：

性质 1、全等三角形的

对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

(以上可以简称:全等三角形的对应元素相等) 7、三边对应相等的两个三角形全等。（SSS)

8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形

全等。(ASA) 10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。(AAS)

11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。(HL)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法

常见辅助线的作法有以下几种：

1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解

题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维

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??）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）

找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）

找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS

模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定

线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

三角形辅助线做法

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关

系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试

试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可

试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等

中线。

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.

例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.

二、截长补短

1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC

3、如图，已知在ABC V 内，0

60BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP

4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0180=∠+∠C A

5、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC

三、借助角平分线造全等

1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD

2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.

（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的长.

三、解答题:(共55分)

10.如图,△ABC中,∠C=90°,AB=2AC,M是AB的中点,点N在BC上,MN ⊥AB.

求证:AN平分∠BAC.(7分)

11.已知:如图AC、BD相交于点O,AC=BD,∠C=∠D=90°,求证:OC=OD.(8分)

12.已知:如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,AF⊥CD,F为垂足,求证:CF=DF.(8分)

13.在△ABC中,BD、CE是高,BD与CE交于点O,且BE=CD,求证:AE=AD.(8分)

14.已知如图,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,且B、C在DE的异侧,BD⊥AE于D,CE⊥AE于E,求证:BD=DE+CE.(8分)

15.已知如图,在△ABC中,∠BAC=2∠B,AB=2AC,求证:△ABC是直角三角形?( 8分)

16.已知如图,在△ABC中,以AB、AC为直角边, 分别向外作等腰直角三角形ABE、ACF,连结EF,过点A作AD⊥BC,垂足为D,反向延长DA交EF于点M.

(1)用圆规比较EM与FM的大小.

(2)你能说明由(1)中所得结论的道理吗?(8分)

全等三角形

1．将直角三角形（∠ACB为直角）沿线段CD折叠使B落在B’处，若∠ACB’=60°，则∠ACD度数为______．

2．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠BAC=150°，则∠EFC 的度数为_________．

3．已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC=4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为_______．

4．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、

CA 上的点， （1）若AD BE CF ==，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论；

（2）若△DEF 是等边三角形，问AD BE CF ==成立吗？试证明你的结

论． 5．如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）

6．△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC 、AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由．

题图

第3题图

第2题图

第1

7.已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．

（1）求证：BF AC =； （2）求证：12

CE BF =；

8. 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=o ，．将BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60o 得ADC △，连接OD ．（1）求证：COD △是等边三角形；

（2）当150α=o 时，试判断AOD △的形状，并说明理由；

（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？

9．如图，△ABC 中，E 、F 分别是AB 、AC 上的点．①AD 平分∠BAC ；②DE ⊥AB ，DF ⊥AC ；③AD ⊥EF ．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即①②?③，①③?②，②③?①． 试判断上述三个命题是否正确，并证明你认为正确的命题．

10 ．已知：如图，ABC △是等边三角形，

过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB =，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△；

（2）过点E作EF DC

△

∥，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF 是怎样的三角形，试证明你的结论．

11.如图所示,已知点C为线段AB上一点,△ACM、△BCN是等边三角形.试说明:

（1）AN = BM;

（2） CD = CE

（3）连接DE，猜想：①△CDE的形状②DE与AB的位置关系。

(4)若把原题中“△ACM和△BCN是两个等边三角形”换成两个正方形(如图所示),AN与BM的关系如何?请说明理由.

12、工人师傅常用角尺平分一个任意角,做法如下:如图所示,∠AOB 是一个任意角,在边OA、OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M、N重合. 过角尺顶点P的射线OP便是∠AOB 的平分线,根据做法,结合图形写出已知、求证、证明.

13、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC 边于M、N两点，连接MN．

探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．

14、已知: 如图分别以△ABC的每一条边, 在三角形外作等边三角形, △ABD、△BCE、△ACF, 求证：CD＝AE＝BF.

15、已知：如图,在等边三角形AB,AD=BE=CF,D,E,F不是各边的中点,AE,BF,CD分别交于P,M,N在每一组全等三角形中,有三个三角形全等,在图中全等三角形的有几组？请指出它们，并且选择一组给出证明

16.(2003·广东)如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,O为BC的中点.

(1)写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系(不证明);

(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动,在移动中保持AN=BM,请判断△OMN?的形状,并证明你的结论.

2、如图，已知∠1=∠2，∠C=∠D

证明：∠A=∠F

3、已知：如图，AB∥CD，∠1＝∠B，∠2＝∠D．求证：BE⊥DE．

4、如图，AB∥CD，求证：∠A+∠C+∠AEC=360°

5、如图，若AB∥CD，猜想∠A、∠E、∠D之间的关系，并证明之。

7、如图，平行四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为AD的中点，

在不添其他字母和线段的情况下，回答下列问题：

（1）图中哪一个三角形的面积与三角形ABE的面积相等？

（2）图中哪些三角形的面积与三角形ABC的面积相等？

（3）如果平行四边形ABCD的面积为8平方厘米，分别求出图中所有三角形的面积。

8、如图，已知S△ABC=5，S△BCD=,9，S△CDA=10，S△DAB=6，求S△OAB的值

10、如图所示，AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，求∠C的度数。

15、已知：如图，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCD．

求证：EF平分∠BED．

16、如图，已知DE∥BC，EF平分∠AED，EF⊥AB，CD⊥AB，试说明CD平分∠ACB。

完整版三角形角平分线中线高线证明题

已知两角找两角的夹边（ASA ） 找 任意一边（AAS ） 性质1、全等三角形的 对应角相等、对应边相 等。 2、 全等三角形的 对应边上的高对应相 等。 3、 全等三角形的 对应角平分线相等。 4、 全等三角形的 对应中线相等。 5、 全等三角形面积相等。 6、 全等三角形周长相等。 （以上可以简称：全等三角形的对应元素相等） 7、 三边对应相等的两个三角形全等。（SSS ） 8两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 （SAS ） 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形 全等。（ASA ） 10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。 （AAS ） 11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 （HL ） 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种： 1） 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解 题，思维模式是全等变换中的“对折”. 2） 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构 造 全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”. 3） 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线， 利 用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常 常是角平分线的性质定理或逆定理. 4） 过图形上某一点作特定的平分线， 构造全等三角形，利用的思维 模 式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5） 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定 线 段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用 三角形全等的有关性质加以说明. 这种作法，适合于证明线段的 和、差、倍、分等类的题目. 2.证题的思路： 找夹角（SAS ） 已知两边找直角（HL ） 找第三边（SSS 若边为角的对边，则找任意角（AAS ） ” 亠& 找已知角的另一边（SAS 已知一边一角 边为角的邻边找已知边的对角（AAS ）

几何证明角平分线模型(高级)

几何证明——角平分线模型(高级) 【经典例题】 例1、已知如图，ABC ?中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若ο 100=∠C ，求证：CD AD AB +=。 例2、如图，已知在ABC ?中，ο 60=∠B ，ABC ?的角平分线CE AD ,相交于点O ，求证：AC CD AE =+。 E O B 例3、如图，BD 平分ABC ∠，?=∠45ADB ，BC AE ⊥，求AED ∠. A B C D 例4、已知，如图ABC ?中，AD 为ABC ?的角平分线，求证：BD AC DC AB ?=?．

例5、如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ，，的垂线，垂足分别为F E D ，，，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ；如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线。 A B C N M P D E F 例6、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，?=∠80ABC ，E 是腰CD 上一点，连接BE 、AC 、 AE ，若?=∠60ACB ，?=∠50EBC ，求EAC ∠的度数． B C E 例7、已知：ABC ?中，BC AB <，AC 的中点为M ，AC MN ⊥交ABC ∠的角平分线于N ． （1）如图1，若?=∠60ABC ，求证：BN BC BA 3= +；

（2）如图2，若?=∠120ABC ，则BA 、BC 、BN 之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明． A C 【提升训练】 1、在ABC ?中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-． B 2、如图，在ABC ?中，A ∠等于ο 60，BE 平分CD ABC ,∠平分ACB ∠，求证：EH DH =。 3、如图所示，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证：2AB AC AM +=。

角平分线定理

角平分线定理 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 ■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。 【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。 ■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。 ■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。 ■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 ■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例， 如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC 提供四种证明方法： 已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC 已知和证明1图 证明：方法1：（面积法） S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM, S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM, ∴S△ABM：S△ACM=AB:AC 又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，

证明2图 即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB／AC=MB／MC 方法2（相似形） 过C作CN‖AB交AM的延长线于N 则△ABM∽△NCM ∴AB/NC=BM/CM 又可证明∠CAN=∠ANC ∴AC=CN ∴AB／AC=MB／MC 证明3图 方法3（相似形） 过M作MN‖AB交AC于N 则△ABC∽△NMC, ∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN ∴AN=MN ∴AB/AC=AN/NC ∴AB／AC=MB／MC

几何证明——角平分线模型

B P A B P A B P C A E B M P A D A B C 几何证明——角平分线模型(中级) 【知识要点】 １、角平分线: (1)角平分线性质定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等(作用:证明两条线段相等); (2)逆定理:在角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。(作用:证明两角相等或一条射线 就是一个角的角平分线)。 2、角平分线常见用法(或辅助线作法): ①垂两边:如图1,已知BP 平分ABC ∠,过点P 作PA AB ⊥,PC BC ⊥,则PA PC =。 ②截两边:如图2,已知BP 平分MBN ∠,点A BM 上,在BN 上截取BC BA =,则ABP ?≌CBP ?。 ③角平分线+平行线→等腰三角形: 如图3,已知BP 平分ABC ∠,//PA AC ,则AB AP =; 如图4,已知BP 平分ABC ∠,//EF PB ,则BE BF =。 (1) (2) (3) (4) ④三线合一(利用角平分线+垂线→等腰三角形): 如图5,已知AD 平分BAC AD BC ⊥AB AC =,BD CD =。 (5) 3、角平分线比例定理 如图6,AD 为ABC ?的角平分线,则 AB BD AC CD =或AB AC BD CD = 。 (6) 【经典例题】 例1、已知如图,ABC ?中,BC AC =,AD 平分CAB ∠,若ο 90=∠C ,求证:CD AC AB +=; 例2、如图,在ABC Rt ?中,ο 90=∠ACB ,AB CD ⊥于D ,AF 平分CAB ∠交CD 于E ,交CB 于F ,且 AB EG //交CB 于G 。试求:CF 与GB 的大小关系如何？ C A B

证明角平分线的三种途径

证明角平分线的三种途径 从一个角的顶点引一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.几何学习中，关于角平分线的证明问题屡见不鲜.解答它们，既可以根据定义，又可以利用角平分线的判定定理，还可以借助等腰三角形的性质. 一、考虑要证明的角平分线把角分成两个相等的角，根据定义证明 例1. 如图，E 、F分别为△ABC的边AB及边CA的延长线上的点，且AE＝AF，AD∥EF.求证：AD平分∠BAC. 简析：要证明AD平分∠BAC，只要证明∠1＝∠2. 证明：在△AEF中， 因为AE＝AF, 所以∠AEF＝∠F. 因为AD∥EF， 所以∠1＝∠AEF，∠2＝∠F. 所以∠1＝∠2. 所以AD平分∠BAC. 二、考虑要证明的角平分线上某一点到角的两边距离相等，利用角平分线的判定定理证明 例2.如图，在△ABC中，外角∠BCE和外角∠CBD的平分线CF、BF相交于点F.求证：AF平分∠BAC. D A C 简析：要证明AF平分∠BAC，只要证明点F到∠BAC的两边AB和AC的距离相等. 证明：过F作FM⊥AB于点M，FN⊥BC于点N，FP⊥AC于点P. 因为BF平分∠CBD，所以FM＝FN. 因为CF平分∠BCE，所以FP＝FN.所以FM＝FP. 所以点F到∠BAC的两边AB和AC的距离相等. 所以点F在∠BAC的平分线上.所以AF平分∠BAC. 三、考虑要证明的角平分线为等腰三角形底边上的中线或高，借助等腰三角形的性质证明 例3. 如图，点D是△ABC的BC边的中点，且DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF.求证：AD平分

∠BAC. B C D 简析：要证明AD平分∠BAC，只要证明AD是等腰△ABC底边BC上的中线. 证明：在△ABD和△ACD中，因为DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F,所以∠1＝90°，∠2＝90°. 所以△BDE和△CDF都是直角三角形. 因为BE＝CF，BD＝CD,所以△BDE≌△CDF（HL）. 所以∠B＝∠C, △ABC是等腰三角形.所以AD是等腰△ABC底边BC上的中线. 所以AD平分∠BAC.

证明垂直平分线与角平分线

第二节 证明（二） ——垂直平分线与角平分线 【知识要点】 1．你知道线段的垂直平分线如何运用尺规作图吗?从做法上你得到什么启示? 2．你知道如何运用尺规作图做已知角的平分线吗?从做法上你得到什么启示? 3．你能说明为什么三角形的外心和内心相交于一点吗? 4．你能举出一些运用三角形外心和内心来解决实际生活问题的例子吗? 【典型例题】 # 例1 如图，AB=AC ，DE 垂直平分AB 交AB 于D ，交AC 于E ．若 ABC ?的周长为28，BC=8，求BCE ?的周长． # 例2 如图，AB ＞AC ，A ∠的平分线与BC 的 垂直平分线DM 相交于D ，自D 作AB DE ⊥于E ， AC DF ⊥于F ．求证：BE=CF A

# 例3 如图，在ABC ?中，ο108=∠A ， AB=AC ，21∠=∠．求证：BC=AC+CD # 例4 如图，AB=AC ，C B ∠=∠，BAC ∠的平分线AF 交DE 于F ．求证：AF 为DE 的垂直平分线． A E F B D C

例5 如图，P 为ABC ?的BC 边的垂直平分线PG 上 一点，且A PBC ∠=∠2 1 ．BP ，CP 的延长线分别交 AC ，AB 于点D ，E ．求证：BE=CD 例6 如图，在ABC ?中，C ABC ∠=∠3， 21∠=∠，BD AD ⊥．求证：AC=AB+2BD C G A E B D P

例7 如图，已知 AD 是 ABC ?中A ∠的平分线， DE ABC ?ο 60=∠B BAC ∠ACB ∠ABC ?BDC ?ο120=∠BDC ο60AMN ?AMN ?ABC ?AOC MON ∠=∠2MBN ?AC PAQ ∠ACB ∠AC ∠ABC ∠PAB ?PAB ?ABC ?BC DE ⊥ο25=∠B ο25=∠B ADC ∠ACB ∠ABC ?BDC ?ο40=∠A DBC ∠ABC ?ο120=∠BAC PAQ ∠9cm APQ ? # 7．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，已知 ο100=∠BDC ．则A ∠的度数为 ． # 8．在ABC ?中，B ∠，C ∠的平分线交于D 点，过D 作 EF ∥BC ，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，若AB=6，AC=5，则AEF ? 的周长为 ． # 9．如图，在ABC Rt ?中，ο90=∠C ，BE 平分 ABC ∠，交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线， 且DE=1cm ，则AC= cm. 10．如图，P 为正方形外一点，ο15=∠=∠PBC PAD ， 求证：PDC ?为等边三角形．

角平分线定理的多种证明方法

三角形内角平分线定理的多种证明办法 令狐采学 已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB ／AC=MB／MC 证明：办法一：（面积法） 三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM, 三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM, 所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积 S=AB:AC 又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面积 的比即是底的比， 即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM 所以AB／AC=MB／MC 办法二（相似形） 过C作CN平行于AB交AM的延长线于N 三角形ABM相似三角形NCM, AB/NC=BM/CM, 又可证明∠CAN=∠ANC 所以AC=CN，所以AB／AC=MB／MC 办法三（相似形） 过M作MN平行于AB交AC于N 三角形ABC相似三角形NMC,

AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN 所以AN=MN，所以AB/AC=AN/NC所以AB／AC=MB／MC 办法四（正弦定理） 作三角形的外接圆，AM交圆于D， 由正弦定理，得， AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180 sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, 所以AB／AC=MB／MC 阅读下面资料，按要求完成后面作业。 三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。已知：△ABC中，AD是角平分线（如图1），求证：=。 阐发：要证=，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似，现在B、D、C在一条直线，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用另外办法换比。 在比例式=中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项， 所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而获得BD、DC、AB的 第四比例项AE，这样，证明=，就可转化证=。

几何证明——角平分线模型中级

B B B D A B C 几何证明——角平分线模型(中级) 【知识要点】 １、角平分线： （1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用：证明两条线段相等）； （2）逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（作用：证明两角相等或一 条射线是一个角的角平分线）。 2、角平分线常见用法（或辅助线作法）： ①垂两边：如图1，已知BP 平分ABC ∠，过点P 作PA AB ⊥，PC BC ⊥，则PA PC =。 ②截两边：如图2，已知BP 平分MBN ∠，点A BM 上，在BN 上截取BC BA =，则ABP ?≌CBP ?。 ③角平分线+平行线→等腰三角形： 如图3，已知BP 平分ABC ∠，//PA AC ，则AB AP =； 如图4，已知BP 平分ABC ∠，//EF PB ，则BE BF =。 (1) (2) (3) (4) ④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）： 如图5，已知AD 平分BAC ∠，且AD BC ⊥，则AB AC =，BD CD =。 （5） 3、角平分线比例定理 如图6，AD 为ABC ?的角平分线，则 AB BD AC CD =或AB AC BD CD = 。 （6） 【经典例题】 例1、已知如图，ABC ?中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若ο 90=∠C ，求证：CD AC AB +=； C

例2、如图，在ABC Rt ?中，ο 90=∠ACB ，AB CD ⊥于D ，AF 平分CAB ∠交CD 于E ，交CB 于F ， 且AB EG //交CB 于G 。试求：CF 与GB 的大小关系如何？ E C A B D F G 例3、已知如图，ABC ?中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若ο 108=∠C ，求证：BD AC AB +=； 例4、如图：已知I 是ABC ?的内心，//DI AB 交BC 于点D ，//EI AC 交BC 于E 。求证：DIE ?的周长等于BC 。 A B C I D E 例5、如图：已知在ABC ?中，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线交于点D ，DE ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：FC BE EF -=。

角平分线定理的多种证明方法

三角形内角平分线定理的多种证明方法 已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC? 证明：方法一：（面积法）? 三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM, 三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM, 所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=AB:AC? 又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面积的比等于底的比， 即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM 所以AB／AC=MB／MC? 方法二（相似形）? 过C作CN平行于AB交AM的延长线于N? 三角形ABM相似三角形NCM, AB/NC=BM/CM, 又可证明∠CAN=∠ANC 所以AC=CN，所以AB／AC=MB／MC 方法三（相似形）? 过M作MN平行于AB交AC于N? 三角形ABC相似三角形NMC, AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN 所以AN=MN，所以AB/AC=AN/NC 所以AB／AC=MB／MC 方法四（正弦定理） 作三角形的外接圆，AM交圆于D， 由正弦定理，得， AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180 sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, 所以AB／AC=MB／MC 阅读下面材料，按要求完成后面作业。 三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。?已知：△ABC中，AD是角平分线（如图1），求证：=。

分析：要证=，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似，现在B、D、C在一条直线，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。 ? 在比例式=中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项， 所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的 第四比例项AE，这样，证明=，就可转化证=。 （1）完成证明过程：?? 证明： （2）上述证明过程中，用到了哪些定理（写对两个即可） 答：用了：①____________；②_____________。 （3）在上述分析和你的证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种：①数形结合思想②转化思想③分类讨论思想答：____________。 （4）用三角形内角平分线定理解答问题： 如图2，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BD=7cm，求BC之长。 （1）证明：过点C作CE//AD交BA的延长线于点E， 则∠E=∠BAD=∠DAC=∠ECA，所以AE=AC，由CE//AD， 可得=，∴=。 （2）两直线平行，同位角相等；等腰三角形的判定；三角形相似的判定的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。 （3）②； （4）“略”

2020年角平分线定理的多种证明方法

作者：旧在几 作品编号：2254487796631145587263GF24000022 时间：2020.12.13 三角形内角平分线定理的多种证明方法已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC 证明：方法一：（面积法） 三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM, 三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM, 所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=AB:AC 又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面积的比等于底的比， 即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM 所以AB／AC=MB／MC 方法二（相似形） 过C作CN平行于AB交AM的延长线于N 三角形ABM相似三角形NCM, AB/NC=BM/CM, 又可证明∠CAN=∠ANC 所以AC=CN，所以AB／AC=MB／MC 方法三（相似形） 过M作MN平行于AB交AC于N 三角形ABC相似三角形NMC, AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN 所以AN=MN，所以AB/AC=AN/NC 所以AB／AC=MB／MC 方法四（正弦定理） 作三角形的外接圆，AM交圆于D， 由正弦定理，得， AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180 sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC, 所以AB／AC=MB／MC

阅读下面材料，按要求完成后面作业。 三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。 已知：△ABC中，AD是角平分线（如图1），求证：=。 分析：要证=，一般只要证BD、DC与AB、AC或BD、AB与DC、AC所在的三角形相似，现在B、D、C在一条直线，△ABD与△ADC不相似，需要考虑用别的方法换比。 在比例式=中，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例项， 所以考虑过C作CE∥AD交BA的延长线于E，从而得到BD、DC、AB的 第四比例项AE，这样，证明=，就可转化证=。 （1）完成证明过程： 证明： （2）上述证明过程中，用到了哪些定理（写对两个即可） 答：用了：①____________；②_____________。 （3）在上述分析和你的证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种：①数形结合思想②转化思想③分类讨论思想答：____________。 （4）用三角形内角平分线定理解答问题： 如图2，△ABC中，AD是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BD=7cm，求BC之长。 （1）证明：过点C作CE//AD交BA的延长线于点E， 则∠E=∠BAD=∠DAC=∠ECA，所以AE=AC，由CE//AD，

几何证明角平分线模型中级

B B 几何证明——角平分线模型(中级) 【知识要点】 １、角平分线： （1）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等（作用：证明两条线段相等）； （2）逆定理：在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。（作用：证明两角相等或一 条射线是一个角的角平分线）。 2、角平分线常见用法（或辅助线作法）： ①垂两边：如图1，已知BP 平分ABC ∠，过点P 作PA AB ⊥，PC BC ⊥，则PA PC =。 ②截两边：如图2，已知BP 平分MBN ∠，点A BM 上，在BN 上截取BC BA =，则ABP ?≌CBP ?。 ③角平分线+平行线→等腰三角形： 如图3，已知BP 平分ABC ∠，//PA AC ，则AB AP =； 如图4，已知BP 平分ABC ∠，//EF PB ，则BE BF =。 ④ 如图5，已知AD 平分AB AC =，BD CD =3、角平分线比例定理 如图6，AD 为ABC ?的角平分线，则AB AC = 【经典例题】 例1、已知如图，ABC ?中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若ο90=∠C ，求证：CD AC AB +=； 例2、如图，在ABC Rt ?中，ο90=∠ACB ，AB CD ⊥于D ，AF 平分CAB ∠交CD 于E ，交CB 于F ， 且AB EG //交CB 于G 。试求：CF 与GB 的大小关系如何 例3、已知如图，ABC ?中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若ο 108=∠C ，求证：BD AC AB +=； 例4、如图：已知I 是ABC ?的内心，//DI AB 交BC 于点D ，//EI AC 交BC 于E 。求证：DIE ?的周长等于BC 。 例5、如图：已知在ABC ?中，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线交于点D ，DE ∥BC ，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求证：FC BE EF -=。 例6、如图，已知ABC ?中CD AC AB BAC ,,90==∠ο垂直于ABC ∠的平分线BD 于D ，BD 交AC 于E ，求证：CD BE 2=。 【提升训练】 1、如图，已知ABC ?的周长是OC OB ,,21分别平分ABC ∠和ACB ∠，BC OD ⊥于D ，且3=OD ，求ABC ?的面积． C

证明角平分线的三种途经

证明角平分线地三种途径 从一个角地顶点引一条射线，把这个角分成两个相等地角，这条射线叫做这个角地平分线.几何学习中，关于角平分线地证明问题屡见不鲜.解答它们，既可以根据定义，又可以利用角平分线地判定定理，还可以借助等腰三角形地性质. 一、考虑要证明地角平分线把角分成两个相等地角，根据定义证明 例１.如图，、分别为△地边及边地延长线上地点，且＝，∥.求证：平分∠.资料个人收集整理，勿做商业用途 B C D 简析：要证明平分∠，只要证明∠＝∠. 证明：在△中， 因为＝, 所以∠＝∠. 因为∥， 所以∠＝∠，∠＝∠. 所以∠＝∠. 所以平分∠. 二、考虑要证明地角平分线上某一点到角地两边距离相等，利用角平分线地判定定理证明例.如图，在△中，外角∠和外角∠地平分线、相交于点.求证：平分∠.资料个人收集整理，勿做商业用途 D A C 简析：要证明平分∠，只要证明点到∠地两边和地距离相等. 证明：过作⊥于点，⊥于点，⊥于点. 因为平分∠， 所以＝. 因为平分∠， 所以＝. 所以＝. 所以点到∠地两边和地距离相等. 所以点在∠地平分线上.

所以平分∠. 三、考虑要证明地角平分线为等腰三角形底边上地中线或高，借助等腰三角形地性质证明例如图，点是△地边地中点，且⊥于点，⊥于点，＝.求证：平分∠.资料个人收集整理，勿做商业用途 A C B D 简析：要证明平分∠，只要证明是等腰△底边上地中线. 证明：在△和△中， 因为⊥于点，⊥于点, 所以∠＝°，∠＝°. 所以△和△都是直角三角形. 因为＝，＝, 所以△≌△（）. 所以∠＝∠, △是等腰三角形. 所以是等腰△底边上地中线. 所以平分∠.

角平分线和全等三角形证明分类.docx

精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号：年级：初二课时数：3 学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 授课类型T角平分线C专题精讲 授课日期时段 教学内容 N同步 J M f -S-_ 卑厂H I 匕kS‰> 1. 角平分线的作法（尺规作图） ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA、OB于C、D两点； ②分别以C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧交于点P； ③过点P作射线OP ,射线OP即为所求. 如图所示，???PA 丄OM , PB 丄ON , PA = PB, ∕?∠ 1 = ∠ 2 （OP 平分∠ MON ）（3）三角形三个内角平分线的性质：三角形三条内角平分线交于一点，且这一点到三角形三边的距离相等。

3. 角平分线性质及判定的应用 ① 为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ② 实际生活中的应用. 例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为 300米?在 F 图中标出工厂的位置，并说明理由. 【例题讲解】 1.在厶 ABC 中，AC ⊥ Bq AD 为∠ BAC 的平分线，DE l AB, AB= 7 cm, AC= 3 cm,求 BE 的长。 2 .如图：在△ ABC 中，∠ C=90° AD 是∠ BAC 的平分线，DEL AB 于 E , F 在 AC 上，BD=DF 求证：CF=EB 3.如图，P 为∠ AOB 内一点，OA=OB ,且△ OPA 与厶OPB 面积相等，求证∠ AoP= ∠ BOP. 比例尺1 : 20 00 A

4. 如图， AB=AC , AD=AE , BD、CE 交于0,求证Ao 平分∠ BAC. 【同步练习】 1.在Rt △ ABC中，BD平分∠ ABC DE⊥ AB于E,则： ⑴图中相等的线段有哪些？相等的角呢？ ⑵哪条线段与DE相等？为什么？ ⑶若AB= 10 , BC= 8, AC= 6, 求BE, AE的长和△ AED的周长 2. 已知，如图DABC中，AB=AC D是BC的中点。求证：D到AB AC的距离相等。 34ABC 中，∠ C=90° , AD 为角平分线，BC=64 , BD : DC=9 : 7,求D 到AB 的距离. D

8上三角形内外角平分线有关命题的证明及应用

三角形外角平分线 一.命题的证明及应用 在中考常有与三角形外角平分线有关的题目，若平时不注意总结是很难一下子解决的．下面来一起学习一下． 命题1 如图１，点D是△ABC两个角平分线的交点，则∠D=90°+∠A． 证明：如图１： ∵∠1＝∠，∠２＝∠， ∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°① ∠1＋∠2＋∠D=180°② ①－②得： ∠1＋∠2＋∠A＝∠D③ 由②得： ∠1＋∠2=180°－∠D④ 把③代入④得： ∴180°－∠D＋∠A＝∠D ∠D=90°+∠A． 点评利用角平分线的定义和三角形的角和等于180°，不难证明. 命题2 如图２，点D是△ABC两个角平分线的交点，则∠D=90°－∠A． 证明：如图２： ∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线， ∴∠D=180°－∠1－∠2 =180°－（∠DBE+∠DCF） =180°－（∠A+∠4+∠A+∠3） =180°－（∠A+180°） =180°－∠A－90° =90°－∠A； 点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的角和等于180°，可以证明. 命题3 如图3，点E是△ABC一个角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．证明：如图3： ∵∠1=∠2，∠3=∠4， ∠A+2∠1=2∠4① ∠1+∠E=∠4② ①×代入②得： ∠E=∠A．

点评利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明. 命题4如图４，点E是△ABC一个角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线. 证明：如图3： ∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EF CE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF ∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等. 即EF=EG=EH ∵EG=EH ∴AE是△ABC的外角平分线． 点评利用角平分线的性质和判定能够证明． 应用上面的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来一起看． 例1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线． ①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数. ②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于什么三角形？ 解析：①由命题2的结论直接得：∠P=90°－∠A=90°－×60°=60° ②根据命题2的结论∠P=90°－∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形． 点评此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 例２如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠= 度． 解析：由命题③的结论不难发现规律∠∠A． 可以直接得：∠=×96°=3°． 点评此题是要找出规律的但对要有命题③的结论作为基础知识． 例３（203第一大题填空题第八小题，此题３分）如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°， 则∠CAP=_______________． 解析：此题直接运用命题４的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题３的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．点评对命题3、4研究过的读者此题不难，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．

角平分线定理的多种证明方法

三角形内角平分线定理的多种证明方法 四川省资阳市雁江区南津中学陈彬 一、三角形内角平分线定理的多种证明方法 已知，如图1，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC 方法一：（面积法） 证明：三角形ABM面积S=(1/2)*AB*AM*sin∠BAM, 三角形ACM面积S=(1/2)*AC*AM*sin∠CAM, 所以三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=AB:AC 又三角形ABM和三角形ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，如图1即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM，所以AB／AC=MB／MC 方法二（相似形） 证明：如图2，过C作CN平行于AB交AM的延长线于N 三角形ABM相似三角形NCM,AB/NC=BM/CM, 又可证明∠CAN=∠ANC，所以AC=CN，所以AB／AC=MB／MC 方法三（相似形）如图2 证明：如图3，过M作MN平行于AB交AC于N， 可得三角形ABC相似三角形NMC, 故AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC， 又可证明∠CAM=∠AMN 所以AN=MN，所以AB/AC=AN/NC， 所以AB／AC=MB／MC 如图3 方法四（正弦定理） 证明：如图4，作三角形的外接圆，AM交圆于D， 由正弦定理，得： AB/sin∠BMA=BM/sin∠BAM, AC/sin∠CMA=CM/sin∠CAM 又∠BAM=∠CAM，∠BMA+∠AMC=180 sin∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,如图4 所以AB／AC=MB／MC

二、三角形内角平分线定理的应用 阅读下面材料，按要求完成后面作业。 三角形内角平分线性质定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。已知：如图1，△ABC 中，AD 是角平分线，求证：=。 分析：要证=，一般只要证BD、DC 与AB、AC 或BD、AB 与DC、AC 所在的三角形相似，现在B、D、 C 在一条直线，△AB D 与△ADC 不相似，需要考虑用别的方法换比。在比例式=中，AC 恰好是BD、DC、AB 的第四比例项，所以考虑过C 作CE∥AD 交BA 的延长线于E，从而得BD、DC、AB 的第四比例项AE， 这样，证明=，就可转化证=。 （1）完成证明过程： 证明： （2）上述证明过程中，用到了哪些定理（写对两个即可） 答：用了：①____________；②_____________。 （3）在上述分析和你的证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种： ①数形结合思想②转化思想③分类讨论思想答：____________。 （4）用三角形内角平分线定理解答问题： 如图2，△ABC 中，AD 是角平分线，AB=5cm，AC=4cm，BD=7cm，求BC 之长。