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指数函数及其性质()

2.1.2指数函数及其性质

一、教材与内容解析

（一）内容与内容解析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学（1）》第二章第一节第二课。本节的主要内容是研究指数函数定义、图形与性质。回顾一元一次函数和一元二次函数的学习可以发现其研究的方法是先作图再观察图像特征然后研究函数性质，这样的安排符合学生由直观到抽象的认知规律；研究的内容虽有些不同，但是结合第一章内容可以发现主要包括定义域、值域、单调性、奇偶性、最值、定点等。所以，这种数形结合的研究方法和从整体及系统的高度认识问题的方法是本节内容学习中的核心方法。对研究指数函数及性质所体现的方法和角度对以后对数函数、幂函数、三角函数等基本初等函数的学习起着范式的作用。对指数函数学习而言，“特殊→一般→特殊”认知过程、分类讨论和归纳推理的思想方法可以培养学生数学思维能力。

（二）地位与作用解析

函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。指数函数是高中数学中引进的第一个基本初等函数，本节课是在学生已掌握了函数的一般性质和在认识指数函数概念的基础上，进一步研究指数函数。作为重要的基本初等函数之一，指数函数既是函数近代定义及性质的第一次应用，也为今后研究对数函数、幂函数、三角函数提供了方法和模式，为后续的学习奠定基础。指数函数在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，因此它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以指数函数应重点研究。

二、教学问题诊断

1．学生已有的经验和基础：（1）知识层面。在初中，学生已经学习过一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数。在高中，学生已经从运算角度学习了指数，学生对函数和函数性质的已有了一定的认识。（2）在方法层面。学生把握了研究函数的一般线索：定义——图像——线索。初步把握了特殊到一般的学习方法。（3）在能力层面：学生已经掌握了用描点法和对称性描绘函数图象的方法，通过第一章集合与函数的概念后初步具备了数形结合的思想。（4）情感层面：高一学生的认知水平从形象向抽象、从特殊向一般过渡，思维能力的提高是一个转折期，但是，学生的自主意识强，有主动学习的愿望与能力。有好奇心、好

胜心、进取心，富有激情、思维活跃。

2．学生可能遇到的问题与困难．

(1)在性质研究中忽视结合解析式、结合图像研究，只单一看到图像。(2)从图像上得到信息，忽视理性研究：为什么图像在x 轴上方；为什么与y 轴交于（0,1）点；为什么底数分为10 a 和1 a 两类。

(2)学生的学习不可避免地缺乏对知识系统性、整体性的认识，学生可能对性质的归纳比较零散，教学中教师有必要站在系统和整体的高度组织教学，让学生对知识的发生、发展有一定的认识

三、教学重难点解析

重点：指数函数的性质及简单应用;

难点：对底数的分类，指数函数图象与底数关系，如何从图象归纳函数性质。

四、教学目标

知识与技能

能用两种方法作出指数函数的图象，能结合数与形认识指数函数性质，会用指数函数性质解决简单问题。

过程与方法

经历观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质过程，领会数形结合、分类讨论、特殊到一般以及猜想与验证相结合的数学思想方法，培养学生发现、分析、解决问题的能力。

情感态度与价值观

感受数学问题探索的乐趣和成功的喜悦，体会数学的理性、严谨及数与形的和谐统一美，体会信息技术是学习研究数学与认识世界的重要手段，认识数学实用价值及其在社会进步、人类文明发展中的重要作用。

五、教学方法与手段

教法解析

（1）引导发现法：通过问题情境，引导学生利用图形研究性质。

（2）直观教学法，以直观图形为基础，结合理性思维展开研究。

学法解析

以问题为中心，以解决问题为主线展开，学生参与观察、分析、归纳、概括、阅读、探究等学习活动。

以方法为导向，以定义——图像——性质线路展开研究；以图形观察和理性思维相结合学习基本函数。

六、教具准备

几何画板：几何画板演示图像过程，直观，生动。

七、教学过程

(一)创设情境、形成概念

（1）创设故事情境，设疑激趣

杰米是百万富翁，一天，他碰到上一件奇怪的事。一个叫韦伯的人对他说，我想和你订个合同，我将在整整一个月中每天给你10万元，而你第一天只需给我2分钱，以后你每天给我的钱是前一天的两倍。杰米说，真的？！你说话算数？

一个月后，杰米收到了300万，而韦伯收到了一千多万。

你能抽象出函数模型吗？

[设计意图]:设疑激趣，在学生动手操作的过程中激发学生学习热情和探索新知的欲望。

（2）引出具体定义，探究条件

设问：这是我们上节课学习的指数函数。你能再举出几个指数函数的例子嘛？

[设计意图]：为学生作出函数图形奠定基础。

(二) 发现问题、探究新知

（1）以问题为载体，探求新知

提出问题:

① 以前是怎么研究函数的步骤是什么？如何研究函数性质？

从定义到图像，然后是性质。

研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质。从特殊到一般。

② 如何作出指数函数的图象？（描点法和利用对称性）

画出x y 2=、x y )21(=、x y 3=、 x

y ??

? ??=31的图像。 [设计意图]:掌握指数函数的图像与性质，是本节的重点。关键在于弄清底数a 对于函数值变化的影响。对于时函数值变化的不同情况，学生往往容易混淆，这是教学中的一个难点。为此，作方法引领，体会研究函数的一般线索；通过作出具体函数，为数形结合研究性质做铺垫。学生亲自在课前准备好的坐标系里画图，而不是采用几何画板直接得到图像，目的是使学生更加信服，加深印象。

（2）、从图像得出性质

① 你画出的函数图像有什么相同特征呢？不同点呢？

引导学生从以下方面观察图形特点，感受指数函数性质特点：

（1）图像范围；（2）图像经过的特殊点；（3）图像从左向右的变化趋势展开研究。 ② 对于一般的情况，指数函数y=a x (a>0且a≠1)的图象有哪些特征？

通过几何画板演示，观察分析图像，让学生在讨论中发现指数函数y=a x (a>0且a≠1)的a>1和0

③ 根据指数函数的图象能总结出那些性质？

图像定义域

R 值域

（0，+∞）定点

（0,1）单调性在(-∞，+∞)上单调递减在(-∞，+∞)上单调递增

[设计意图]:通过观察、分析、验证、总结方式突出重点；利用数形结合和多媒体几何画板结合理性思维让学生发现分类科学性，突破难点。同时要充分调动学生的积极性、主动性，发挥他们的潜能，尽量由学生自主得出性质，以便能够更深刻的记忆、更熟练的运用。

（三）深入探究，加深理解