2019版一轮创新思维文数(人教版A版)练习：第二章 第六节 幂函数、二次函数

课时规范练 A 组 基础对点练

1．已知命题p ：存在n ∈R ，使得f (x )＝nx

22n n

＋是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题

q ：“?x 0∈R ，x 2

0＋2>3x 0”的否定是“?x ∈R ，x 2＋2<3x ”．则下列命题为真命题的是( )

A ．p ∧q

B ．綈p ∧q

C ．p ∧綈q

D ．綈p ∧綈q

解析：当n ＝1时，f (x )＝x 3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p 是真命题，则綈p

是假命题；“?x 0∈R ，x 20＋2>3x 0”的否定是“?x ∈R ，x 2＋2≤3x ”，故q 是假命题，綈q

是真命题．所以p ∧q ，綈p ∧q ，綈p ∧綈q 均为假命题，p ∧綈q 为真命题，选C. 答案：C

2．已知幂函数f (x )＝x n ，n ∈{－2，－1,1,3}的图象关于y 轴对称，则下列选项正确的是( ) A ．f (－2)>f (1) B ．f (－2)

D ．f (－2)>f (－1)

解析：由于幂函数f (x )＝x n 的图象关于y 轴对称，可知f (x )＝x n 为偶函数，所以n ＝－2，即f (x )＝x －

2，则有f (－2)＝f (2)＝14，f (－1)＝f (1)＝1，所以f (－2)

答案：B

3．已知0a n B ．b m n a

D ．m b

解析：∵f (x )＝x a (a >1)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且0

4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( )

解析：∵a ＞b ＞c ，a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＞0，c ＜0，

∴y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向上，且与y 轴的交点(0，c )在负半轴上．选D. 答案：D

5．设函数f (x )＝x 2－x ＋a (a ＞0)．若f (m )＜0，则f (m －1)的值为( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数

D ．正数、负数和零都有可能

解析：函数f (x )＝x 2－x ＋a 图象的对称轴为直线x ＝1

2，图象开口向上，且f (0)＝f (1)＝a ＞0.

所以当f (m )＜0时，必有0＜m ＜1，而－1＜m －1＜0，所以f (m －1)＞0. 答案：A

6．已知函数f (x )＝x 2－m

是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则下列成立的是( )

A ．f (m )＜f (0)

B ．f (m )＝f (0)

C ．f (m )＞f (0)

D ．f (m )与f (0)大小不确定

解析：因为函数f (x )是奇函数，所以－3－m ＋m 2－m ＝0，解得m ＝3或－1.当m ＝3时，函数f (x )＝x －

1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m ＝－1时，函数f (x )＝x 3在定义域[－2,2]

上单调递增，又m ＜0，所以f (m )＜f (0)． 答案：A

7．(2018·资阳模拟)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值范围是( ) A ．[1,2] B ．(0,1] C ．(0,2]

D ．[1，＋∞)

解析：作出函数的图象如图所示，从图中可以看出当1≤m ≤2时，函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m ＞0)上的最大值为4，最小值为3.故选A.

答案：A

8．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x >0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )

解析：因为a >0，所以f (x )＝x a 在(0，＋∞)上为增函数，故A 错．在B 中，由f (x )的图象知a >1，由g (x )的图象知01，矛盾，故C 错．在D 中，由f (x )的图象知0

9.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3

D.322

解析：易知函数y ＝(3－a )(a ＋6)的两个零点是3，－6，其图象的对称轴为a ＝－3

2，y ＝(3

－a )(a ＋6)的最大值为????3＋32×????－32＋6＝????922，则(3－a )(6＋a )的最大值为9

2，选B. 答案：B

10．已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝?

????

x 3

，x ≤0，

g (x )，x >0，若f (2

－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－∞，1)∪(2，＋∞) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(1,2) D ．(－2,1)

解析：设x >0，则－x <0，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝?

????

x 3，x ≤0，

ln (1＋x )，x >0，并且

函数f (x )是R 上的单调递增函数，所以当f (2－x 2)>f (x )时，满足2－x 2>x ，解得－2

11．已知y ＝f (x )是奇函数，且满足f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x 2－2x ，则当x ∈[－4，－2]时，f (x )的最小值为( )

A ．－1

B ．－13

C ．－19

D.19

解析：设x ∈[－4，－2]，则x ＋4∈[0,2]．∵y ＝f (x )是奇函数，∴由f (x ＋2)＋3f (－x )＝0，可得f (x ＋2)＝－3f (－x )＝3f (x )，∴f (x ＋4)＝3f (x ＋2)，故有f (x )＝13f (x ＋2)＝f (x ＋4)9.故f (x )＝1

9f (x

＋4)＝19[(x ＋4)2

－2(x ＋4)]＝19[x 2＋6x ＋8]＝(x ＋3)2－19.∴当x ＝－3时，函数f (x )取得最小值

为－1

9.故选C.

答案：C

12．设函数f (x )＝?

????

e x －1

，x ＜1，

x 13，x ≥1，则使得f (x )≤4成立的x 的取值范围是________．

解析：

f (x )的图象如图所示，

要使f (x )≤4，只需x 1

3

≤4，∴x ≤64. 答案：(－∞，64]

13．已知函数f (x )＝?

????

－x 2－2x ，x ≥0，

x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)

解析：如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－

a 2)2a ，解得－3

14．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间????

12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是__________．

解析：函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间????12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝

a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝1

2的左侧，即应有a －12≤12

，解得a ≤2，∴f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7. 答案：[7，＋∞)

15．若x ＞1，x a －

1＜1，则a 的取值范围是________．

解析：因为x ＞1，x a －1

＜1，所以a －1＜0，解得a ＜1.

答案：a ＜1

B 组 能力提升练

1．若幂函数f (x )＝mx α的图象经过点A ????

14，12，则它在点A 处的切线方程是( ) A ．2x －y ＝0 B ．2x ＋y ＝0 C ．4x －4y ＋1＝0

D ．4x ＋4y ＋1＝0

解析：因为f (x )＝mx α为幂函数，所以m ＝1，因为函数f (x )的图象经过点A ????14，12，所以????1

4α＝12，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，f ′(x )＝12x ，f ′????14＝1，所以所求切线的方程是y －1

2＝x －1

4，即4x －4y ＋1＝0，故选C. 答案：C

2．(2018·衡阳模拟)已知a 为正实数，函数f (x )＝x 2－2x ＋a ，且对任意的x ∈[0，a ]，都有f (x )∈[－a ，a ]，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．(0，＋∞)

D ．(0,2]

解析：当0

3．下面四个图象中有一个是函数f (x )＝1

3x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R)的导函数y ＝f ′(x )的图

象，则f (－1)等于( )

A.13 B ．－13

C.53

D ．－13或53

解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上．根据导函数图象分析，若图象不过原点，则a ＝0，f (－1)＝5

3；若图象过原点，则a 2－1＝0，又对称轴x ＝－a ＞0，∴a ＝

－1，∴f (－1)＝－1

3.

答案：D

4．已知函数f (x )＝?

????

x ＋3，x >a ，

x 2＋6x ＋3，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a

的取值范围是( ) A ．[－1,3) B ．[－3，－1] C ．[－3,3)

D ．[－1,1)

解析：因为f (x )＝?????

x ＋3，x >a ，

x 2＋6x ＋3，x ≤a ，

所以g (x )＝?

???

?

3－x ，x >a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a .

又g (x )有三个不同的零点，则方程3－x ＝0，x >a 有一个解，解得x ＝3，所以a <3，方程x 2＋4x ＋3＝0，x ≤a 有两个不同的解，解得x ＝－1或x ＝－3，又因为x ≤a ，所以a ≥－1.故a 的取值范围为[－1,3)． 答案：A

5．(2018·江西九江地区七校联考)幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x 268

m m －＋在(0，＋∞)上为增函

数，则m 的值为( ) A ．1或3 B ．1 C ．3

D ．2

解析：由题意知?

????

m 2

－4m ＋4＝1，

m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1.故选B.

答案：B

6．(2018·安阳模拟)下列选项正确的是( ) A ．0.20.2>0.30.2

B ．2

1

3

-

<3

13

-

C ．0.8

－0.1

>1.250.2 D ．1.70.3>0.93.1

解析：A 中，∵函数y ＝x 0.2在(0，＋∞)上为增函数，0.2<0.3，∴0.20.2<0.30.2； B 中，∵函数y ＝x

13

-

在(0，＋∞)上为减函数，∴2

13

-

>3

13

-

；

C 中，∵0.8－

1＝1.25，y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2， 即0.8

－0.1

<1.250.2；

D 中，1.70.3>1,0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1.故选D. 答案：D

7．(2018·湖北四校联考)已知二次函数f (x )＝ax 2－bx ＋c ，f ′(0)<0，且f (x )∈[0，＋∞)，则

f (－1)

f ′(0)

的最大值为( ) A ．－3 B ．－2 C ．－52

D ．－32

解析：由题意得f ′(x )＝2ax －b ，因为f ′(0)<0，所以b >0.由f (x )∈[0，＋∞)得

?????

a >0

Δ＝b 2

－4ac ≤0，即?????

a >0

4ac b

2≥1

，所以c >0，a ＋c b >0，f (－1)f ′(0)

＝－????1＋a ＋c b ，因为????a ＋c b 2

＝a 2＋c 2＋2ac b 2

≥4ac b 2≥1，所以a ＋c b ≥1，当且仅当a ＝c ＝b

2时，等号成立，所以f (－1)f ′(0)

＝－?

???1＋a ＋c b ≤－2. 答案：B

8．函数f (x )＝(m 2－m －1)x

9541

m m －－是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满

足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＞0，若a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，ab ＜0，则f (a )＋f (b )的值( )

A ．恒大于0

B ．恒小于0

C ．等于0

D ．无法判断

解析：∵f (x )＝(m 2－m －1)x

9541

m m －－是幂函数，

∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.

当m ＝2时，指数4×29－25－1＝2 015＞0，满足题意．

当m ＝－1时，指数4×(－1)9－(－1)5－1＝－4＜0，不满足题意． ∴f (x )＝x 2 015.

∴幂函数f (x )＝x 2 015是定义域R 上的奇函数，且是增函数． 又∵a ，b ∈R ，且a ＋b ＞0，∴a ＞－b ， 又ab ＜0，不妨设b ＜0，

则a ＞－b ＞0，∴f (a )＞f (－b )＞0， 又f (－b )＝－f (b )，

∴f (a )＞－f (b )，∴f (a )＋f (b )＞0.故选A. 答案：A

9．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)的定义域和值域分别为A ，B ，若集合{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }对应的平面区域是正方形区域，则实数a ，b ，c 满足( ) A ．|a |＝4

B ．a ＝－4且b 2＋16c ＞0

C ．a ＜0且b 2＋4ac ≤0

D ．以上说法都不对

解析：由题意可知a ＜0，且ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＞0.设y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于两点(x 1,0)，(x 2,0)， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c

a ，f (x )的定义域为[x 1，x 2]，

∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2

－4x 1x 2＝????－b a 2－4c a ＝b 2

－4ac －a

. 由题意可知

4ac －b 24a ＝b 2－4ac

－a

，解得a ＝－4. ∴实数a ，b ，c 满足a ＝－4，b 2＋16c ＞0，故选B. 答案：B

10．(2018·安徽皖北联考)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上的最大值为2，则a 的值为( ) A ．2 B ．－1或－3 C ．2或－3

D ．－1或2

解析：函数f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1图象的对称轴为x ＝a ，且开口向下，分三种情况讨论如下：

①当a ≤0时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是减函数，∴f (x )max ＝f (0)＝1－a ，由1－a ＝2，得a ＝－1.

②当0

2，

∵0

③当a >1时，函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在区间[0,1]上是增函数，∴f (x )max ＝f (1)＝－1＋2a ＋1－a ＝2，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2. 答案：D

11．对二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a 为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A ．－1是f (x )的零点 B ．1是f (x )的极值点 C ．3是f (x )的极值 D ．点(2,8)在曲线y ＝f (x )上

解析：由已知得，f ′(x )＝2ax ＋b ，则f (x )只有一个极值点，若A 、B 正确，则有?

??

??

a －

b ＋

c ＝0，

2a ＋b ＝0，

解得b ＝－2a ，c ＝－3a ，则f (x )＝ax 2－2ax －3a . 由于a 为非零整数，所以f (1)＝－4a ≠3，则C 错．

而f (2)＝－3a ≠8，则D 也错，与题意不符，故A 、B 中有一个错误，C 、D 都正确． 若A 、C 、D 正确，则有???

??

a －

b ＋

c ＝0， ①4a ＋2b ＋c ＝8， ②

4ac －b 2

4a ＝3， ③

由①②得???

b ＝8

3

－a ，c ＝8

3－2a ，

代入③中并整理得9a 2－4a ＋

64

9

＝0， 又a 为非零整数，则9a 2－4a 为整数，故方程9a 2－4a ＋64

9＝0无整数解，故A 错．

若B 、C 、D 正确，则有????

?

2a ＋b ＝0，a ＋b ＋c ＝3，

4a ＋2b ＋c ＝8，

解得a ＝5，b ＝－10，c ＝8，则f (x )＝5x 2－10x ＋8， 此时f (－1)＝23≠0，符合题意．故选A. 答案：A

12．已知幂函数f (x )＝x

223

m m －－＋ (m ∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则

f (2)的值为__________．

解析：因为幂函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m 2－2m ＋3>0，解得－3

13．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内，则b －2

a －1

的取值范围是__________．

解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0,1)内，另一个根在(1,2)内， ∴????

? f (0)>0，f (1)<0，f (2)>0.∴?????

b >0，a ＋2b <－1，a ＋b >－2.

根据约束条件作出可行域，可知14

a －1

<1.

答案：????

14，1

14．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x ＞0)图象上一动点．若点P ，

A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为________． 解析：设P ???

?x ，1

x ，x ＞0， 则|P A |2＝(x －a )2＋????1x －a 2＝x 2＋1x 2－2a ????x ＋1x ＋2a 2＝????x ＋1x 2－2a ????x ＋1

x ＋2a 2－2. 令t ＝x ＋1

x

，则由x ＞0，得t ≥2.

所以|P A |2＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2， 由|P A |取得最小值得

??? a ≤222－4a ＋2a 2－2＝(22)2或???

a ＞2

a 2－2＝(22)

2，

解得a ＝－1或a ＝10. 答案：－1，10

15．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝?

????

a 2－a

b ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关

于x 的方程f (x )＝m (m ∈R)恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．

解析：函数f (x )＝?

????

2x 2

－x ，x ≤0，

－x 2＋x ，x ＞0的图象如图所示．

设y ＝m 与y ＝f (x )图象交点的横坐标从小到大分别为x 1、x 2、x 3. 由y ＝－x 2＋x ＝－????x －122＋1

4，得顶点坐标为????12，14. 当y ＝14时，代入y ＝2x 2－x ，得1

4＝2x 2－x ，

解得x ＝1－34(舍去正值)，

∴x 1∈?

??

?

?1－34，0.

又∵y ＝－x 2＋x 图象的对称轴为x ＝1

2，

∴x 2＋x 3＝1，又x 2，x 3＞0， ∴0＜x 2x 3＜??

??x 2＋x 322＝14.

又∵0＜－x 1<

3－1

4， ∴0＜－x 1x 2x 3＜

3－1

16

， ∴1－316＜x 1x 2x 3＜0.

答案：? ??

?

?1－316，0

课时跟踪检测(十二) 二次函数与幂函数

课时跟踪检测（十二） 二次函数与幂函数 一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．函数y ＝x 的图象是( ) 解析：选B 由幂函数y ＝x α，若0＜α＜1，在第一象限内过(1,1)，排除A 、D ， 又其图象上凸，则排除C ，故选B. 2．(2018·丽水调研)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R)，对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )成立，在函数值f (－1)，f (1)，f (2)，f (5)中，最小的一个不可能是( ) A ．f (－1) B ．f (1) C ．f (2) D ．f (5) 解析：选B 由f (2＋t )＝f (2－t )知函数y ＝f (x )的图象对称轴为x ＝2. 当a >0时，易知f (5)＝f (－1)>f (1)>f (2)； 当a <0时，f (5)＝f (－1)

∴函数f (x )的单调递增区间是(－∞，0)． 4．设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈ [a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为____________． 解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0,3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0,3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2,3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈????－9 4，－2，故当m ∈????－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2 －5x ＋4(x ∈[0,3])的图象有两个交点． 答案：??? ?－9 4，－2 5．若二次函数f (x )＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t ＝________. 解析：由于f (x )＝－x 2＋4x ＋t ＝－(x －2)2＋t ＋4图象的顶点在x 轴上， 所以f (2)＝t ＋4＝0，所以t ＝－4. 答案：－4 二保高考，全练题型做到高考达标 1．已知f (x )＝x ，若00，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )

幂函数与二次函数

幂函数与二次函数基础梳理 1．幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数． 2．幂函数的图象 在同一平面直角坐标系下，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3 ，y ＝x 12， y ＝x －1的图象分别如右图． 3.二次函数的图象和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ???? ??4ac －b 24a ，＋∞ ? ????－∞，4ac －b 24a 单调性 在x ∈??????－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈? ????－∞，－b 2a 上单调递减 在x ∈? ????－∞，－b 2a 上单调递增 在x ∈??????－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ? ????－b 2a ，4ac －b 24a 对称性 图象关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形 5.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0) (2)顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)

(3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)

函数y ＝f (x )对称轴的判断方法 (1)对于二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝x 1＋x 2 2对称． (2)一般地，函数y ＝f (x )对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)． 练习检测 1．(2011·安徽)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x 2－x ，则f (1)＝( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－3. 答案 A 2.如图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限的图象．已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为( )． A ．－2，－12，12，2 B ．2，12，－12，－2 C ．－12，－2,2，12 D ．2，12，－2，－12 答案 B 3．(2011·浙江)设函数f (x )＝? ???? －x ，x ≤0，x 2，x ＞0.若f (α)＝4，则实数α等于( )． A ．－4或－2 B ．－4或2 C ．－2或4 D ．－2或2 解析 由????? α≤0，－α＝4或? ???? α＞0，α2＝4，得α＝－4或α＝2，故选B. 答案 B 4．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2的定义域和值域均为[1，b ]，则b 等于( )． A ．3 B ．2或3 C ．2 D ．1或2 解析 函数f (x )＝x 2－2x ＋2在[1，b ]上递增，

第6讲 幂函数与二次函数

第6讲 幂函数与二次函数 一、选择题 1．已知幂函数y ＝f (x )的图像经过点? ? ???4，12，则f (2)＝( ) A.1 4 B ．4 C.22 D. 2 解析 设f (x )＝x α，因为图像过点? ????4， 12，代入解析式得：α＝－1 2 ，∴f (2)＝2－12＝2 2. 答案 C 2．若函数f (x )是幂函数，且满足 f 4f 2＝3，则f (1 2 )的值为( ) A ．－3 B ．－1 3 C ．3 D.1 3 解析 设f (x )＝x α，则由 f 4f 2＝3，得4α 2 α＝3. ∴2α＝3，∴f (12)＝(12)α＝12α＝1 3. 答案 D 3．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3，若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为 ( )． A ．[2－2，2＋2] B ．(2－2，2＋2) C ．[1,3] D ．(1,3)

解析 f (a )＝g (b )?e a －1＝－b 2＋4b －3?e a ＝－b 2＋4b －2成立，故－b 2＋4b －2>0，解得2－20， x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于 ( )． A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3 解析 f (a )＋f (1)＝0?f (a )＋2＝0???? a >0，2a ＋2＝0或??? a ≤0，a ＋1＋2＝0，解得a ＝ －3. 答案 A 5 .函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－ b 2a 对称．据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是( )． A ．{1,2} B ．{1,4} C ．{1,2,3,4} D ．{1,4,16,64} 解析 设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－ b 2a 对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－b 2a 对称．而选项D 中4＋162≠1＋642 . 答案 D 6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，a 为正整数，c ≥1，a ＋b ＋c ≥1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值是 ( )． A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 解析 由题意得f (0)＝c ≥1，f (1)＝a ＋b ＋c ≥1.当a 越大，y ＝f (x )的开口越小，当a 越小，y ＝f (x )的开口越大，而y ＝f (x )的开口最大时，y ＝f (x )过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1.a ＋b ＝0，a ＝－b ，－b 2a ＝1 2，又b 2－4ac >0，a (a －4)>0，

幂函数与二次函数专题

幂函数与二次函数专题 [最新考纲] 1．了解幂函数的概念． 2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝x 3 ，y ＝1 x ，y ＝ 的图象，了解它们的变化情况． 3．理解并掌握二次函数的定义、图象及性质． 4．能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知 识 梳 理 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数． (2)常见的5种幂函数的图象 (3)常见的5种幂函数的性质 函数 特征 性质 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 1 2 y ＝x －1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R ，且 x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R ，且 y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 (－∞，0] 减，[0，＋∞)增 增 增 (－∞，0)减，(0，＋∞)减

定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 2.二次函数 (1)二次函数的定义 形如f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)； ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，(m ，n )为顶点坐标； ③两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)其中x 1，x 2分别是f (x )＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质 函数 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0) 图象 a >0 a <0 定义域 R R 值域 y ∈?? ?? ?? 4ac －b 2 4a ，＋∞ y ∈? ? ???－∞，4ac －b 2 4a 对称轴 x ＝－b 2a 顶点 坐标 ? ????－b 2a ，4ac －b 2 4a 奇偶性 b ＝0?y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数 递增 区间 ? ?? ?? －b 2a ，＋∞ ? ? ???－∞，－b 2a 递减 区间 ? ? ???－∞，－b 2a ? ???? －b 2a ，＋∞ 最值 当x ＝－b 2a 时，y 有最小值y min ＝4ac －b 24a 当x ＝－ b 2a 时，y 有最大值y max ＝4ac －b 2 4a

二次函数与幂函数专题复习

学校：年级：教学课题：二次函数与幂函数学员姓名：辅导科目：数学学科教师： 教学目标专题复习二次函数和幂函数的图像与性质 教学内容 一. 【复习目标】 1.准确理解函数的有关概念. 2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法. 一、幂函数 (1)幂函数的定义 形如 (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数 (2)幂函数的图象 函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x 1 2 y＝x－1 定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0} 值域R [0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇 单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x ∈(－∞，0]时，减 增增 x∈(－∞，0)时， 减 定点(0,0)，(1,1) (1,1)

例1.下列函数中是幂函数的是（ ） A ．y ＝2x 2 B ．y ＝1x 2 C ．y ＝x 2＋x D ．y ＝－1 x 例2. (2011·陕西高考)函数y ＝ 13 x 的图象是( ) 例3.幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )． A ．－1＜m ＜3 B ．0 C ．1 D ．2 练习：已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点? ? ? ??－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x ) ＝g (x )，则x ＝________. 已知点M ? ?? ?? 33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝x －2 C ．f (x )＝x 1 2 x D ．f (x )＝ 12 x - 设α ∈?????? ????－1，1，1 2，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （ ） A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,3 对于函数y ＝x 2 ，y ＝x 1 2 有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型． 其中正确的有________． 二、二次函数 1、二次函数的三种形式【1】

高考数学复习、高中数学 幂函数与二次函数附答案解析

第4节 幂函数与二次函数 基础巩固题组 （建议用时：40分钟） 一、单项选择题 1．下列命题正确的是( ) A ．y ＝x 0的图像是一条直线 B ．幂函数的图像都过点(0，0)，(1，1) C ．若幂函数y ＝x a 是奇函数，则y ＝x a 是增函数 D ．幂函数的图像不可能出现在第四象限 2．已知幂函数f (x )＝k 2·x a ＋1 的图象过点??? ?12，2 2，则k ＋a ＝( ) A ．1 2 B ．－32 C ．12或－32 D ．2 3．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点在第一象限，与x 轴的两个交点分别位于原点两侧，则a ， b ， c 的符号为( ) A ．a ＜0，b ＜0，c ＜0 B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 4．二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 满足条件f (1)＝f (3)，则函数f (x )( ) A ．在(－∞，2)上递减，在(2，＋∞)上递增 B ．在(－∞，3)上递增 C ．在(1，3)上递增 D ．单调性无法确定 5．对任意的x ∈[－2,1]，不等式x 2＋2x －a ≤0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，3] C ．[0，＋∞) D ．[3，＋∞) 6．若函数f (x )＝x 2－2x ＋1在区间[a ，a ＋2]上的最小值为4，则实数a 的取值集合为( ) A ．[－3,3] B ．[－1,3] C ．{－3,3} D ．{－1，－3,3} 二、多项选择题 7．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1， 下列说法正确的是( ) A ．b 2＞4ac B ．2a －b ＝1 C ．a －b ＋c ＝0 D ．5a ＜b 8．已知函数f (x )＝x 2＋2x ，g (x )＝＝－x 2＋4x －3，下列说法正确的是( ) A ．若f (x )是[a －1，a ＋1](a ∈R )上的增函数，则a ＞0

一次函数、二次函数和幂函数-含答案

【知识要点】 一、在现实生活中有许多问题，往往隐含着量与量之间的关系，可通过建立变量之间的函数关系和对所得函数的研究，使问题得到解决. 数学模型方法是把实际问题加以抽象概括，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法；数学模型则是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时所得出的关于实际问题的数学描述. 数学模型来源于实际，它是对实际问题抽象概括加以数学描述后的产物，它又要回到实际中去检验，因此对实际问题有深刻的理解是运用数学模型方法的前提. 二、函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化现象需要用不同的函数模型来描述，数学应用题的建模过程就是信息的获取、存储、处理、综合、输出的过程，熟悉一些基本的数学模型，有助于提高我们解决实际问题的能力. 三、一次函数、二次函数和幂函数的图像和性质 1、一次函数的一般形式为,y kx b =+当0k >时，函数单调递增，当0k <时，函数单调递减，当0k =时，函数是常数函数. 2、二次函数的一般形式是2 (0)y ax bx c a =++≠，当0a >时，函数的图像抛物线开口向上，顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，函数在(,)2b a -∞-单调递减，在(,)2b a -+∞单调递增.当2b x a =-时，函数有最小值244ac b a -.当0a <时，函数的图像抛物线开口向下，顶点坐标为24(,)24b ac b a a --，函数在(,)2b a -∞-单调递增，在(,)2b a -+∞单调递减.当2b x a =-时，函数有最大值244ac b a -. 3、 幂函数的一般形式为(,a y x a R a x =∈是常数，是自变量），其特征是以幂的底为自变量，指数为常数，其定义域随着常数a 取值的不同而不同. 所有幂函数都在(0,)+∞有定义，并且图像都过点（1， 1）；0,a >幂函数在(0,)+∞是增函数，0a <，幂函数在(0,)+∞是减函数. 四、解决实际问题的解题过程

二次函数与幂函数

二次函数与幂函数 1．二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞) 值域 ? ? ? ? 4ac－b2 4a，＋∞? ? ? ? －∞， 4ac－b2 4a 单调性 在x∈? ? ? ? －∞，－ b 2a上单调递减； 在x∈? ? ? ? － b 2a，＋∞上单调递增 在x∈? ? ? ? －∞，－ b 2a上单调递增； 在x∈? ? ? ? － b 2a，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x＝－ b 2a对称 2. (1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的图象比较

(3)幂函数的性质比较 函数 特征 性质 y＝x y＝x2y＝x3y＝12x y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R且y≠0}奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数 单调性增 x∈[0，＋∞)时，增； x∈(－∞，0]时，减 增增 x∈(0，＋∞) 时，减； x∈(－∞，0)时，减判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是 4ac－b2 4a.(×) (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R，不可能是偶函数．(×) (3)幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)．(×) (4)当n>0时，幂函数y＝x n是定义域上的增函数．(×) (5)若函数f(x)＝(k2－1)x2＋2x－3在(－∞，2)上单调递增，则k＝± 2 2.(×) (6)已知f(x)＝x2－4x＋5，x∈[0,3)，则f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(3)＝2.(×) 1．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为() C．1 D．－1 答案D 解析因为b>0，故对称轴不可能为y轴，由给出的图可知对称轴在y轴右侧，故a<0，所以二次函数的图象为第三个图，图象过原点，故a2－1＝0，a＝±1，又a<0，所以a＝－1，故选D. 2．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为 ________． 答案[1,2]

二次函数与幂函数典型例题含答案

二次函数与幂函数 1．求二次函数的解析式． 2．求二次函数的值域与最值． 3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题． 【复习指导】 本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用． 基础梳理 1．二次函数的基本知识 (1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R. (2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是. ①当a＞0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当x＝－时，f(x)min ＝； ②当a＜0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当x＝－时，f(x)max ＝. ③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝. (3)二次函数的解析式的三种形式： ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋h(a≠0)； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．幂函数 (1)幂函数的定义 形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． (2)幂函数的图象 (3)幂函数的性质

第一象限一定有图像且过点（1，1）； 第四象限一定无图像； 当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限； 第一象限图像的变化趋势；当a<0时，递减，a>0时，递增，其中a>1时，递增速度越来越快，0

二次函数与幂函数

二次函数与幂函数 1．五种常见幂函数的图象与性质 R R R{x|x≥0}{x|x≠0} (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)； (3)零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．二次函数的图象和性质 x∈R

1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则函数的解析式为________________． 答案：f (x )＝x 12 (x ≥0) 2．函数y ＝2x 2－6x ＋3，x ∈[－1,1]，则y 的最小值是________． 解析：函数y ＝2x 2－6x ＋3的图象的对称轴为x ＝3 2>1， ∴函数y ＝2x 2－6x ＋3在x ∈[－1,1]上为单调递减函数， ∴y min ＝2－6＋3＝－1. 答案：－1 1．对于函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，要认为它是二次函数，就必须满足a ≠0，当题目条件中未说明a ≠0时，就要讨论a ＝0和a ≠0两种情况． 2．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． [小题纠偏] 1．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.????0，1 20 B.????－∞，－1 20 C.??? ?1 20，＋∞ D.??? ?－1 20，0 解析：选C 由题意知????? a >0，Δ<0，即????? a >0，1－20a <0， 解得a >1 20. 2．给出下列命题： ①函数y ＝2x 是幂函数； ②如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点； ③当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数； ④二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[m ，n ]的最值一定是 4ac －b 2 4a . 其中正确的是________． 答案：②

二次函数与幂函数练习题

二次函数与幂函数 1．已知幂函数f (x )＝x α 的部分对应值如下表： 则不等式f (|x |)≤2的解集是( A ．{x |0b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( ) 3．已知f (x )＝x 2 ＋bx ＋c 且f (－1)＝f (3)，则( ) A ．f(－3)0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈? ?????－2，－12时，n≤f(x)≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( ) A.13 B.12 C.34 D ．1 10.已知函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 且f (1＋x )＝f (－x )，则下列不等式中成立的是( )

二次函数和幂函数

二次函数与幂函数 自我检测： 1．若f (x )既是幂函数又是二次函数，则f (x )可以是( ) A ．f (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝5x 2 C ．f (x )＝－x 2 D ．f (x )＝x 2 2．(教材习题改编)设α∈? ?????－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为( ) A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,3 3．(教材习题改编)已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.? ????0，120 B.? ????－∞，－120 C.? ????120，＋∞ D.? ?? ??－120，0 4．(教材习题改编)已知点M ? ????33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为________． 5．如果函数f (x )＝x 2＋(a ＋2)x ＋b (x ∈[a ，b ])的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的 最小值为________． [例1] 已知幂函数m ＝________. 练习1．(1)如图给出4个幂函数大致的图象，则图象与函数对应正确的是( ) A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1 B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12 ，④y ＝x －1 C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1 D ．①y ＝x 13，②y ＝x 12 ，③y ＝x 2，④y ＝x －1 (2)(2013·淄博模拟)若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a >? ????12a >(0.2)a B ．(0.2)a >? ????12a >2a C.? ????12a >(0.2)a >2a D ．2a >(0.2)a >? ?? ??12a 例2．设f (x )y ＝f (x )的图象是

幂函数与二次函数专题练习

幂函数与二次函数专题练习 一、选择题 1.(2020·郑州外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为() A.1，3 B.－1，1 C.－1，3 D.－1，1，3 解析因为函数y＝xα为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y＝x－1的值域为{y|y≠0}，函数y＝x，y＝x3的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.答案 A 2.已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则() A.a>0，4a＋b＝0 B.a<0，4a＋b＝0 C.a>0，2a＋b＝0 D.a<0，2a＋b＝0 解析因为f(0)＝f(4)>f(1)，所以函数图象应开口向上，即a>0，且其对称轴为 x＝2，即－b 2a ＝2，所以4a＋b＝0. 答案 A 3.在同一坐标系内，函数y＝x a(a≠0)和y＝ax＋1 a的图象可能是() 解析若a<0，由y＝x a的图象知排除C，D选项，由y＝ax＋1 a 的图象知应选 B；若a>0，y＝x a的图象知排除A，B选项，但y＝ax＋1 a 的图象均不适合，综 上选B.

答案 B 4.若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间[0，2]上的最大值为1，则实数a 等于( ) A.－1 B.1 C.2 D.－2 解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得， ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ， ∴?????－a ≥4－3a ，－a ＝1或?????－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1. 答案 B 5.若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A.(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C.(－6，＋∞) D.(－∞，－6) 解析 不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ， 令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)， 所以f (x )12>25，得? ?? ? ? 223 >? ?? ?? 123 >? ?? ?? 253 ，即P >R >Q . 答案 P >R >Q 7.若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝a x ＋1 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的取值范围是________.

二次函数和幂函数知识点

教 学 内 容 二次函数与幂函数 1． 二次函数的定义与解析式 (1)二次函数的定义 形如：f (x )＝ax 2＋bx ＋c _(a ≠0)的函数叫作二次函数． (2)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c _(a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)_(a ≠0)． 2． 二次函数的图像和性质 解析式 f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图像 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 ????4ac －b 2 4a ，＋∞ ? ???－∞，4ac －b 2 4a 单调性 在x ∈????－∞，－b 2a 上单调递减； 在x ∈??? ?－b 2a ，＋∞上单调递增 在x ∈????－∞，－b 2a 上单调递增； 在x ∈??? ?－b 2a ，＋∞上单调递减 奇偶性 当b ＝0时为偶函数，b ≠0时为非奇非偶函数 顶点 ????－b 2a ，4ac －b 2 4a

对称性 图像关于直线x ＝－b 2a 成轴对称图形 3. 幂函数 形如y ＝x α (α∈R )的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 4． 幂函数的图像及性质 (1)幂函数的图像比较 (2)幂函数的性质比较 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 1 2 y ＝x － 1 定义域 R R R [0，＋∞) {x |x ∈R 且x ≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y |y ∈R 且y ≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函 数 奇函数 单调性 增 x ∈[0，＋∞) 时，增；x ∈(－∞，0]时，减 增 增 x ∈(0，＋∞) 时，减；x ∈(－∞，0)时，减 [难点正本 疑点清源] 1． 二次函数的三种形式 (1)已知三个点的坐标时，宜用一般式． (2)已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关时，常使用顶点式． (3)已知二次函数与x 轴有两个交点，且横坐标已知时，选用零点式求f (x )更方便． 2． 幂函数的图像 (1)在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图像越靠近x 轴，在(1，＋∞)上幂函数中指数越大，函数图像越远离x 轴． (2)函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 1 2，y ＝x －1可作为研究和学习幂函数图像和性质的代表．

二次函数与幂函数知识梳理

二次函数与幂函数 【考纲要求】 1.理解常数函数、一次函数、二次函数、反比例函数的概念、图象与性质。 2.幂函数 (1)了解幂函数的概念． (2)结合函数1(1,2,3,1,)2 y x α α==-的图象，了解它们的图象的变化情况． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、初中学过的函数 （一）函数的图象与性质 1.过原点的直线的方程,图象,性质； 2.函数的最高次项的系数能否为零。 （二）二次函数的最值 1.二次函数有以下三种解析式： 一般式：2 y ax bx c =++（0≠a ）， 顶点式：2 ()y a x h k =-+（0≠a ），其中顶点为(,)h k ，对称轴为直线x h =， 基 本 初 等 函 数 图象与性质 一次函数 二次函数 幂函数 常数函数

零点式：12()()y a x x x x =--（0≠a ），其中21,x x 是方程02 =++c bx ax 的根 2. 二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最值： 二次函数2y ax bx c =++（0a >）在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令 01 ()2 x p q = + . （1） （2） （3） （4） （1）若2b p a - <，则min ()()f x f p m ==，max ()()f x f q M ==； （2）若02b p x a ≤-<，则min ()()2b f x f m a =-=，max ()()f x f q M ==； （3）若02b x q a ≤-<，则min ()()2b f x f m a =-=，max ()()f x f p M ==； （4）若2b q a ≤-，则min ()()f x f q m ==，max ()()f x f p M ==. 要点诠释： 1．二次函数的最值只可能在三处取得：两个区间端点以及顶点的函数值； 2. 求二次函数的最值一般要数形结合。 考点二、幂的运算 m n a =　，1n n a a -= ，m n m n a a -11 =(,1)m n N n +∈>、　 ； (2) (,1)n a n N n =∈>　 ， (1,a n n =>为奇数） ， (0)((0)a a a n a a ≥?=?-

2020届高三理数一轮讲义：2.4-幂函数与二次函数(练习版)

第4节 幂函数与二次函数 最新考纲 1.了解幂函数的概念；结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 1 2，y ＝1 x 的图象，了 解它们的变化情况；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 知 识 梳 理 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0). 顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ). 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.

(2)二次函数的图象和性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象(抛物线) 定义域 R 值域 ???? ??4ac －b 24a ，＋∞ ? ? ???－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b 2a 顶点坐标 ? ????－b 2a ，4ac －b 24a 奇偶性 当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数 单调性 在? ? ???－∞，－b 2a 上是减函数； 在???? ?? －b 2a ，＋∞上是增函数 在? ? ???－∞，－b 2a 上是增函数； 在???? ?? －b 2a ，＋∞上是减函数 [微点提醒] 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当???a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当???a <0， Δ<0 时，恒有f (x )<0. 基 础 自 测

第4节幂函数与二次函数

第4节幂函数与二次函数【考试要求】 1.通过具体实例，结合y＝x，y＝1 x ，y＝x2，y＝x，y＝x3的图象，理解它们的变 化规律，了解幂函数；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 【教学重点】幂函数的概念，三个二次的关系 【教学难点】幂函数性质，三个二次的转换 【教学方法】知识梳理、典例启发讲练 【教学手段】多媒体辅助教学 【教学过程】 【知识梳理】 1.幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数， 其中x是自变量，α为常数. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减. 2.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n). 零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质 函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 ???? ??4ac －b 24a ，＋∞ ? ? ???－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－ b 2a 顶点 坐标 ? ???? －b 2a ，4ac －b 24a 奇偶性 当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数 单调性 在? ? ???－∞，－b 2a 上是减函数； 在???? ?? －b 2a ，＋∞上是增函数 在? ? ???－∞，－b 2a 上是增函数； 在???? ?? －b 2a ，＋∞上是减函数 1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 2.若f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，则当???a >0，Δ<0时恒有f (x )>0；当???a <0， Δ<0 时，恒有f (x )<0. 3.(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限； (2)幂函数的图象过定点(1，1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. 【诊 断 自 测】 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝2x 1 3是幂函数.( ) (2)当α>0时，幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上是增函数.( ) (3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的两个零点可以确定函数的解析式.( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 2 4a .( )