总复习 第1章 质点运动学

质点运动学

1.1 要求

1 掌握：矢量、位移、速度、加速度、角速度等描述质点运动和运动变

化的物理量；

2 能借助于直角坐标系，计算质点在平面运动时的速度、加速度；

3 能计算质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向和法向加速度。

1.2 内容提要

1 质点

具有质量而其线度在所处理的问题中，可以忽略的物体，称为质点。质点是实际物体抽象化的力学模型。

2 参考系

由于物体运动的相对性，描述一个物体的机械运动时，选择一个或几个相对静止的物体为比较的基准，用以确定物体位置的物体群，称为参考系。

同一物体的同一运动，对于不同的参考系，其描述是不同的。一般说来，研究运动学问题时，只要描述的方便，参考系可以任意选取。

3 坐标系

定量地表示一个物体在各时刻相对于参考系的位置，必须选取坐标系。常用的坐标系，有笛卡儿直角坐标系、平面极坐标系和球面坐标系等。

4 位置矢量

质点（P ）在笛卡尔直角坐标系中的位置，可以用从原点到此点的一有向线段来表示，并记为矢量，矢量的大小和方向完全确定了质点（P ）相对于参考系的位置，称为位置矢量；简称位矢。其数学表达式为

图1.1 位置矢量

（1） 位置坐标 质点在笛卡尔直角

坐标系中的位置，称为位置坐

标。质点某时刻t 在P 点的位

置坐标可用坐标原点O 指向P 点的有向线段来表示，矢量称为位置矢量，如图1.1所示。

从图1.1中，可以看出，

位置矢量在y x ,和z 轴上的投

影（即P 点的坐标）为z y x ,,。

质点P 某时刻t 在坐标系

中的位置，表示为),,(z y x P 。

（2） 位置矢量

k z j y i x r ++=

式中,.分别为y x ,和z 轴正方向的单位矢量。位置矢量的大小为 ||=222z y x ++，单位为米用符号m 表示。

方向余弦为

cos α||r cos β =||r 、cos γ = ||r 。

5 运动方程

表示质点的位置随时间变化的

函数，称为质点的运动方程。

质点的位置用位矢)(t 表示，

运动（函数）方程为：),,,(z y x t r 。

6 平均速度（如图1.2 所示）

位移Δr 与发生这段位移所经

历的时间Δt 的比值，用表示。

t

t t t t r v ?-?+=??=)()( 称为质点的平均速度。 图1.2 运动速度 7 瞬间速度

质点位置矢量对时间的变化率，称为瞬时速。 数学表达式为 dt

d t v t =??=→?0lim 8 速度的直角坐标法

k dt

dz j dt dy i dt dx dt d v ++== = v v v z y x ++ 222||z y x v v v v ++== ，速度的大小常称为速率。

9 平均速率

路程与经历这段路程的比值，称为质点在这段时间内的平均速率，数学表

达式为 t

S v ??= 即质点在单位时间内所通过的路程，并不给出运动的方向。

10 平均加速度（如图1.3 所示）

速度改变v ?与发生改变所经历时间t ?的比值，称为平均加速度，数学表

达式为t

a ??=

； 11 瞬时加速度（当0→?t 时，曲线转化为直线！）

dt v d t v t =??=→?0lim =22dt

r d = i a x + j a y + a z ||=2

22z y x a a a ++ 22dt x d dt dv a x x ==，2222,dt

z d dt dv a dt y d dt dv a z z y y ====； 12 自然坐标系中质点运动加速度

（1） 切向加速度—— dt

dv a =

τ为质点在某一位置（或某一时刻）速度矢量沿切线方向的投影v 的变化率，方向与切线方向平行； （2） 法向加速度—— 给出因速度方向（即切线方向单位矢量τ的方

向）改变而具有的加速度。

v a n ρ2

=，故 v a ρτ2

+=

22222)()(ρ

τv dt dv a a a n

+=+= 图1.3

13 矢量运算法则

（1） 解析法

1） 坐标法则

A A A z y x ++=，

B B B z y x ++=

B A B A B A z z y y x x )()()(±+±+±=±

2）、矢量的标积和矢积

10cos cos =?==?αi i ，10cos cos =?==?β，10cos cos =?==?γ； ?=?==?==?090cos cos ?，

相同矢量的标积为1，相异矢量的标积为零；

故有 z z y y x x B A B A B A ++=?。

00sin sin =?==?α，00sin sin =?==?β，00sin sin =?==?γ

k k k j i =?==?90sin sin ?， 同理： i k j =?， j i k =?，

相同矢量的矢积为零，相异矢量的矢积为1；

故有 A A B A B A B A B A B A x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+-=?。

图1.4 几何法 （3） 三角函数法（余弦定理）

若矢量与矢量的夹角为α，则αcos 2222AB OA

AB OA OB ?-+=。

（4） 旋转矢量法 如图1.5所示，矢量OA 用极坐标),(θr 表示，其以（恒定）匀角速度ω沿逆时针方向旋转，经过时间t 后，矢量 OA 旋转的角度为t ωθ=；矢量OA 在极坐标系与直角坐标系之间的转换：θ)

t R R x ωθcos cos ==t R R y ωθsin sin == 称为运动学方程 已知质点的运动学方程，求其轨迹方程：数理逻辑推理 图1.5 旋转矢量法

t R x ω222cos =

t R y ω222s i n =

O A

B （2） 几何法（平行四边形法则）

如图1.4所示，以O 为起点先画出矢量，再从A 为起点画出矢量至B 点；连

接OB ，即可得矢量B 。 所以 B C A =+，C A B =-。

v

得 222222)sin (cos R t t R y x =+=+ωω，

即 222R y x =+ 为质点的轨迹方程。

14 自然坐标下的速度

dt

d v dt dv dt v d dt v d τ+=?=)( 1）、切向加速度—— dt

dv a =

τ为质点在某一位置（或某一时刻）速度矢量沿切线方向的投影V 的变化率，方向与切线方向平行； 2）、法向加速度—— v ·

dt

d 给出因速度方向（即切线方向单位矢量τ的方向）改变而具有的加速度。 n v a n ρ2

=，故n v a a ρτ2

+=， 22222)()(ρ

τv dt dv a a a n +=+=

16 圆周运动的加速度：t n a a +=，βR a t =，R R v a n 2ω== 222

2

2)()(βR R

v a a a t n +=+= 17 伽利略速度变换：设S ˊ参考系在S 系中，以速度u 匀速运动；在S

ˊ中的质点的速度为v '，则在同一时刻它在S 系中的速度为：

)()()('+=t v t u t v ； 加速度为：'+=a a a 0。

牛顿运动定律

2.1 要求

1、掌握牛顿三定律及其适应条件，能应用微积分方法求解一维变力作用下的

简单的质点动力学问题；

2、掌握分析质点受力的方法，能分析简单系统在平面内的运动的力学问题；

3、了解4种基本自然力。

2.2 内容提要

1、牛顿力学基础知识系统图

质

点

质点系

2、惯性—— 物体保持静止或匀速直线运动状态的这种特性，称为惯性；

3、惯性（参考）系

（1）、惯性系定义—— 在研究物体相对运动时，选取的参考系本身具有惯性，这样的系统称为惯性（参考）系；

（2）、惯性系属性—— 凡是相对于某一已知的惯性系，静止或作匀速直线运动的参考系也都是惯性参考系。

4、牛顿运动定律：

牛顿第一定律

任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体的作用的力迫

使它改变这种状态为止，称为牛顿运动第一定律。

牛顿第二定律： 运动的变化与所加的动力成正比，并且发生在这力所沿的直线的方向上。数学表达方式： m dt

m d dt d ===)( 牛顿第三定律： 当两个质点相互作用时，作用在一个质点上的力，与作用在另一个质点上的力大小相等，方向相反，且在同一直线上（它是力的概念和动量守恒定律的推论）—— f 12 = - f 21

5、力： 力是物体之间的相互作用，它能使物体运动的状态发生变化或使物体发生形变。

力是矢量，有大小和方向，其对物体作用的效果还与作用点的位置有关。力的大小、方向和作用点，称为力的三要素。力的单位是N （牛顿）。质量为kg 1的物体产生2/1s m 的加速度所需的力，即为1N 。

6、常见的几种力：重力 mg W =；压力和张力；弹簧的弹力kx f -=； 静摩擦力 N f μ≤；滑动摩擦力：N f μ=。在平动加速参考系中，

0a m F i -=；在平动加速参考系中，惯性离心力： r m F i 2ω-=。

2.3 解题思路

1、应用牛顿三定律分析问题的方法和步骤，一般可总结为“三字经”： 认物体 认清题目内容后，要选一个物体（抽象为质点）作为分析的对象。如果问题涉及几个物体，则要依次选每个物体逐个进行分析，对每个物体要标出其质量；

看运动 对认定的物体要分析出题目給出的（或演示）的运动状况，包括其运动的轨迹、速度和加速度。同时涉及几个问题时，要逐个进行分析它们

运动的状态，并还要找出它们速度和加速度的关系。要注明速度和加速度是相对什么参考系而言，一般都是对惯性系（如：地面、地心或把太阳都看成是惯性参考系）说的；

查受力 要找出被认定的物体所受的力，并用箭头标出其受的力，箭头的尾部画在物体的作用点上。物体对其他物体的反作用力与该物体的加速度无关，一般受到的力就是那几种常见的力。为做到清楚无误地分析物体的受力，要画出清晰的示力图和物体运动的轨迹，以及其速度和加速度的方向。特别要注意参考系，一定要用选用惯性系解题；

列方程 把上面分析出的物体的质量、加速度和它受的力（矢量和）用牛顿第二定律联系起来列出方程式，涉及几个物体时还要应用牛顿第三定律把它们受的力联系起来。最简单化原理在解物理问题时，体现在矢量分量法：常列牛顿第二定律的分量式，在应用直角坐标时，要在力图中画出坐标轴的方向。画图是形象思维和抽象思维的有效结合，是训练我们的思维能力和表达能力的一个重要方法。

动量守恒

3.1 要求

1 掌握质点的动量定理、动量守恒定律；

2 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法，能分析简单系统在平面内的运动的力学问题。

3.2 内容提要

1 动量

质量为m 的物体以速度运动时，其动量为m =。 动量是矢量，它的方向与速度的方向相同。动量是物体作机械运动的

度量。动量的单位是s m kg /?。当物体作高速（接近光速）运动时，其动量为：

220/1c v v

m m -==

式中0m 为物体静止时的质量。

2 冲量：作用在物体上的力和力的作用时间的乘积称为在段时间内作用在物体上的冲量。冲量是矢量，只是恒力的冲量其方向才与力的方向一致， 恒力的冲量为

)(12t t t -=?= 冲量的单位是s N ?。

变力的冲量为 dt t t ?=2

1

称为在该时间间隔内作用在该质点上的冲量。

3 动量定理：合外力的冲量等于质点（或质点系）动量的增量称为动量定理，即

?-=-=2

11212t t v m v m P P

dt

它是牛顿第二定律的另一种表达形式，阐述力对时间累计效应的物理规律。 微分形式

dm d dt == 其中 m =；

4 动量守恒定律 系统所受合外力为零时，其总动量不随时间改变，即对系统：0=∑i

i F ，则

有

∑=i

i v m =常矢量。

3.3 解题思路

1、利用动量定理分析问题的方法和步骤，仍然是解题“三字经”：

认物体 认清题目内容后，要选一个物体（抽象为质点）作为分析的对象。如果问题涉及几个物体，则要依此选一个物体逐个进行分析，对每个物体要标出其质量；

看运动 对认定的物体要分析出题目给出的（或演示）的运动状况，包括其运动的轨迹、速度和加速度。同时涉及几个问题时，要逐个进行分析它们运动的状态，并还要找出它们速度和加速度的关系。要注明速度和加速度是相对什么参考系而言，一般都是对惯性系（如：地面、地心或把太阳都看成是惯性参考系）说的；

查受力 要找出被认定的物体所受的力，并用箭头标出其受的力，箭头的尾部画在物体的作用点上。物体对其他物体的反作用力与该物体的加速度无关，一般受到的力就是那几种常见的力。为做到清楚无误地分析物体的受力，要画出清晰的示力图和物体运动的轨迹，以及其速度和加速度的方向。特别要注意参考系，如果要用非惯性系解题，要事先明确所选的有加速度的参考物，然后在每一个分析对象上还要加上一个惯性力的作用；

不过有时直接用矢量表示式，根据矢量图的几何关系求解更为方便和直观。

2、应用动量守恒定律解题时，也用解题“三字经”，不过这里要注意：首先要认定相互作用的几个物体作为分析的对象，对它们的运动要分清初始和终了的两个状态。在分析力时，要特别分析系统所受的合外力（即系统内各物体所受系统外物体的外力的矢量和）是否为零？只有当合外力为零时，才能有总动量守恒的结果（有时外力可以忽略，也可以用动量守恒公式）。很多的情况是系统所受的合外力在某一方向上为零，则总动量沿这一方向的分量也守恒。

功 和 能

4.1 基本要求

1、掌握：保守力、功、场、势能物理量的概念和动能定理；

2、能借助于形象思维和联想，建立质点动力学方程求功和能；

3、能熟练地应用能量守恒和微积分求解功、保守力场的势能等问题。

4.2 内容提要

1、功

功是度量能量转换和传递的物理量。功的大小等于质点所受到的力和它位置的标积，即 dr F r d F dA αcos =?=，式中α为F 与r d 的夹角。

若质点在变力作用下，从a 点沿曲线路径运动到b 点，则变力在这过程中所作的功为 ???==b a b

a

r d F dA A 。功是标量，其单位时是J （焦耳）。

（1）、重力的功

质点在地面上方不高的范围内，从高度1h 经任一路径到达高度2h 的过程中，重力所作的功为：P E mgh mgh mgh mgh A ?-=--=-=)(1221；

（2）、弹力的功

径动系数为k 的弹簧，在弹性限度内，使质量为m 的质点从平衡位置1x 处到

达位置2x 处，弹力所作的功为：22212

121kx kx A -=； （3）、万有引力的功

一质点1m 受到另一质点2m 的引力的作用，从离2m 的距离1r 经任一路径到达

2r 处，引力对1m 所作的功为：)(1

21221r m m G r m m G A --=； （4）、保守力的功

重力、弹力和万有引力所作的功都与运动的路径无关，只与始末位置有关，这种力称为保守力。保守力的特点可表示为

0=??d ，即质点所受的保守力，经任一路径回到原处时，作功为零。 摩擦力和阻力等则是非保守力。

3、弹力的功

kx F -=可见，弹性力是保守力X

O a b ???弹簧振子222

121b a kx kx -=初态量

末态量)(222121a b x x kx kx kxdx A b a --=?-=4、引力的功两个质点之间在引力作用下相对运动时，以M 所在处为原点,M 指向m 的

方向为矢径的正方向。m 受的引力方向与矢径方向相反。可见万有引力是保守力rdr r d r r d r =θ=?cos )1(1 1 2b a r r b a r GMm r GMm dr r GMm r d f A b

a ---=-=?=?? r a

b r dr F M m

r

dr a b

θ力在单位时间内所作的功，称为功率，即 dt

dA P ?==。 功的单位是W （瓦），常用的单位还有HP （马力），并规定 W HP 7351=。有时把功率和时间的单位相结合作为功的单位，例如：h kW ?（千瓦小时），)(106.314J kW h ?=。

3、动能

质点由于运动而具有的能量，称为动能。质量为m ，速度为v 的质点的动

能为 22

1mv E k =。当质点的运动速度接近真空中的光速C 时，质点的质量将随速度而变化。此时，它的动能由相对论给出，为

202c m mc E k -=，式中0m 为质点的静止质量，m 为运动质量。

4、势能

物体系统中，各物体之间或物体内部各部分之间存在保守力的相互作用，与相对位置有关的能量，称为势能。势能是属于系统的，不是单个物体所具有。

（1）、重力势能

地球与地面附近物体之间因引力作用为具有势能，称为重力势能。若以地球表面的重力势能为零，则质量为m 的物体离地面高为h 处的重力势能为

mgh E p =。

（2）、弹性势能

物体形变时，由于各部分之间存在弹力的相互作用二具有的势能，称为弹性势能。在弹性限度内，如以弹簧的自然长度为零势能点，则弹簧的弹性势能为22

1kx E p =，式中k 为弹簧的劲度常数，x 是其拉伸或压缩的距离。 （3）、引力势能

物体系统中各物体之间，由于万有引力作用而具有的势能，称为引力势能。若以无限远处为引力势能的零点，则引力势能为：r

mM G E p -=， 式中m 和M 分别为两物体的质量，r 为它们间的距离。

5、动能定理

作用于质点的合力在某一路程中对质点所做的功，等于质点在该路程的始末状态动能的增量。即

k ka kb b

a

E E E d A ?=-=?=?。

6、质点系的动能定理

对于系统来说,质点除受外力外,还要受到质点间相互作用的内力。因此，一个质点系的总动能的增量等于质点系的外力和内力做功的总和。即

k ka kb E E E A A ?=-=+内外。

7、功能原理

一个质点系的机械能的增量等于外力的功和非保守内力的功的和，称为系统的功能原理；

数学表达式： E E E A A ?=-=+0内外

8、机械能守恒定律

在一个孤立系统内非保守力不做功，则该系统的机械能保持不变；

数学表达式：0=外A 和 0=非保内A ；p k E E + = 恒量 。

或者说，如果一个系统只有保守力作功，其他内力和一切内力都不作功，或者它们的总功为零，则系统内的各物体的动能和势能可以相互转换，但是机械能的总能量保持不变。这个结论叫做机械能守恒定律。

9、能量守恒定律

能量是物质运动的一种度量。自然界的一切物质都具有能量，对应于物质的各种运动形式，能量具有不同的形式，能量既不能消灭，也不能产生；它只能从一种形式转换为另一种形式，其总和保持不变。

能量守恒定律是自然界中具有最大普适性的定律之一。

4.3 解题思路

1、要明确功是一个质点运动过程有关的量，即“过程量”。计算功时要清楚质点移动的路径，然后沿着路径进行力的线积分。只有保守力的功才与路径无关，而用势能差来求相应的保守力从初始位置到终了位置的过程中所做的功。功是两矢量的标积，是标量，但是有正负；

2、动能定理说明功和能的关系。这一关系显示了功的正负的意义。外力对质点做正功，质点的动能增加；而负功意味着质点的动能将减小。利用关于质点系的动能定理计算质点系的动能变化时，不可忘记系统内力做功的影响；

3、利用机械能守恒定律解题和利用动量守恒定律解题的思路相同。在分析系统的运动状态时，要着重分清初态和终态系统内各质点动能和势能，从而计算出初态和终态系统的总机械能。如果系统内无非保守力作用，机械能的改变就只由系统所受的外力的功决定。关于势能的计算，一定要明确势能零点的选择；

4、关于质点和质点系的问题，有三条守恒定律（动量、角动量和机械能）可利用。因此，在解力学问题时，除直接利用牛顿定律外，要自觉地想到用守恒定律进行分析。当然，要注意这些守恒定律的条件是各不相同的。

刚体力学

5.1 本章要求：

1、通过质点在平面内的运动情况理解角动量、动量矩和角动量守恒定律,了解转动惯量的概念；

2、理解刚体的定轴转动的转动定律和刚体在定轴转动情况下的角动量定理和角动量守恒定律；

3、能应用角动量定理和角动量守恒定律解简单的刚体运动的力学问题。

5.2 内容提要

1、质点的角动量 m ?=?=；

2、质点的角动量定理

作用于质点的冲量矩等于质点的角动量的增量。

积分形式 00

0L L d dt L

L t t -==?? ，

微分形式

dt

d =外 3、角动量守恒定律

如果某一固定点，质点所受合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。则 0=dt

d ，

∑=i

i L L = 常矢量

4、刚体

物体内任意两点间的距离在外力作用下始终保持不变，从而其大小和形状都保持不变的物体，称为刚体。刚体也是物体的一种理想模型。

5、平动

刚体运动时，连接刚体中任意两点的直线始终保持它的方位不变。这种运动称为刚体的平动或平移。

6、转动

刚体运动时，如果刚体内各点都绕同一直线作圆周运动，这种运动称为刚体的转动；这一直线称为转轴。如果转轴相对于所取的参考系是固定不动的，就称为定轴转动。如果转轴上一点静止于参考系，而转动的方位在变动，这种转动称为定点转动。

刚体的一般运动，可以看作平动和转动所合成。

7、刚体转动的功和能

力矩的功

?=2

1

θθθMd A ，

转动动能

22

1ωJ E =， 质心势能

c p mgh E =

8、刚体的转动惯量

刚体对转轴的转动惯量等于其质元的质量与各自到转轴距离的平方的乘积之和，即

∑=i

i i r m I 2

若质量是连续性分布，则为

?=dm r I 2。

14、转动惯量的计算公式：

（1）、圆环（转轴通过中心与环面垂直）

2mr I =

（2）、薄圆盘（转轴通过中心与盘面垂直）

22

1mr I = （3）细棒（转轴通过中心与棒垂直）

212

1mr I = 转轴通过棒的端点

3

2

m l I =

9、刚体定轴转动定律

刚体在合外力矩作用下，所获得的角加速度β与合外力矩的大小成正比，并与转动惯量成反比，即

dt

d I dt dL J M ωβ=== 此式称为刚体定轴转动定律。

10、刚体定轴转动的角动量定理

在定轴转动中，刚体对转轴Z 的角动量对时间的变化率，等于作用在刚体上所有外力对该轴的力矩之和——刚体定轴转动的角动量定理；

微分形式

dt

dL dt I d dt d I

M ===)(ωω，或 dL I d =)(ω 积分形式

,00ωωz z t t I I Mdt -=?

式中0ωωz z I I -是t ?时间内的冲量矩。

11、定轴转动的角动量守恒定律

在定轴转动的过程中，当 z M = 0时，

z z I L =（常数矢量）.

5,3 解题思路

1、解题思路基本上还是“三字经”，不过此处的“认物体”是认定一个刚体，此刻要特别注意轴在何处，并由此而来确定刚体的转动惯量。“查受力”时，不但要找出刚体受的力,而且要能计算出力对轴的力矩，然后用βJ M =求解；

2、由于转动惯量的可知性，所以求有缺陷的规则形状的刚体的转动惯量时，可用“补偿法”求解；

3、在用角动量守恒求解问题时，要注意参考系的确定，应以定轴所在的参考系为准；

4、解刚体问题的思路和解质点问题的思路相似，可参考类比进行。在应用刚体定轴转动定律解题时，要注意轴在何处，并由此确定其转动惯量，要找出刚体受的力而且要能计算出力对转轴的力矩，然后用转动定律。

5.4 思考题解答

5.1、质点的动量守恒与角动量守恒的条件是什么？两者能否同时守恒？试说明之。

解答：由动量守恒定律：系统所受合外力为零时，其总动量不随时间改变，即对系统

0=∑i i F

，则有 ∑=i

i v m =常矢量；

角动量守恒定律：如果某一固定点，质点所受合外力矩为零，则此质点对该固定点的角动量矢量保持不变。则

0=dt L d ， ∑=i

i L = 常矢量（对质点系也成立）. 一般的情况下，角动量守恒定律是对某一固定点，而动量守恒定律是对两个以上的物体，研究对象不同。由此可以看出：在研究对象不同时，两者守恒的条件也完全不同，根本不存在两者能否同时守恒的问题。即便在两者的研究的对象有时可能是相同的（对质点系），但是由于守恒的条件不同，不可能两者同时守恒。只有在不受任何力（并不等于合外力为零）的情况下，两者才能同时守恒。在这里主要强调的是：守恒的条件，前者为合外力为零；而后者是合外力矩为零。

5．2、如果一个刚体很大，它的重力势能还能等于它的全部质量集中在质心时的势能吗？

答：不能。因为刚体很大时，其中相隔较远的各部分的质元所受的重力不再平行，其“重心”和其质心不再重合。“重力势能”这一概念只适用于质点。一个物体的重力势能只有在各质元所受重力平行时，才有意义；不平行时连重力势能的零势能平面都无法确定。

统计物理学基础

10.1要求

1 了解气体分子热运动的基本概念，从而建立模型，进行统计平均的思

想方法；麦克斯韦速率分布规律、分布函数和分布曲线的物理意义；

2 理解分子运动论、平衡态、理想气体内能；从微观和宏观上理解压强、温度和内能的概念；通过理想气体的刚性模型，理解气体分子平均碰撞

频率、平均自由程；

3 掌握理想气体状态方程、压强公式、温度公式和能量按自由度均分原理、分子平均自由程和麦克斯韦速率分布率；

4熟练掌握气体分子运动速度的算术平均值、方均根速率和最概然速率。

10.2 统计物理学提要

1 平衡态

在不受外界影响的条件下，一个系统的宏观性质不随时间改变的状态称为平衡态。

2 理想气体压强公式

w n v nm P 3

2312== 压强单位换算 1mmHg=133.322Pa ，Pa cmHg atm 51001325.17601?==；

3 温度的宏观统计意义（理想气体分子平均平动动能）

KT w 2

3= 4 等温气压公式 RT gh e

P P μ-=0 5 理想气体状态方程

描述在平衡态的理想气体的宏观量有下述关系

nkT P RT M PV ==,μ

， 玻耳兹曼常数 k K J N R /1038.1230

-?== 普适气体常数 K mol J R ?=/31.8

式中 n 为分子密度，M 为气体质量，μ为摩尔质量。

6 能量均分定理：在平衡态下，分子热运动的每一个自由度的平均动能都相等，且等于KT 2

1；以i 表示分子热运动的总自由度，则一个分子的总 平均动能为 KT i t 2

=ε ν个mol 理想气体的内能 RT i M RT i E 2

2μν==； 1） 平均速率 μRT v 60

.1= 2） 方均根速率 μ

RT m KT v 332==≈μRT 73.1 3） 最概然（可几）速率 μμRT

RT

v p 41.12==。

10.3 解题思路

1 首先要建立统计概念，这里包括两点

一是要理解平均值的意义,对于分子的微观运动，我们不能给出某一个分子的

确定的信息，只能求出平均值，如分子数密度、平均平动动能、平均速率、平均自由程等都是大量分子的平均值；

二是要理解分布的概念，这是从宏观上说明气体微观运动情况的方法。应注意的是速率分布公式中的)(v f 也是一种平均值。因为由于分子间的无停息地无规则的碰撞，在某一给定速率区间的分子数在微观上是不可能恒定的，只有其平均值才有实际的意义。

2 本章多数习题都可以直接选取已有的公式来求。但是要注意分析题目所给出的条件是否真的符合所用公式的条件。

3 利用理想气体状态方法解题，首先要确定分析的系统，然后辨别其所处的状态，最后将同一平衡态的相关的状态参数（P 、V 、T 、M ）代入状态方程求解。解题时要注意各量的单位。

热力学基础

11.1 要求

1 了解：可逆过程和不可逆过程；热力学第二定律及其统计意义；

2 理解：功和热量的概念和热力学第一定律;

3 掌握：定压热容、定体热容和内能的计算；

4 熟练应用热力学第一定律求解等体、等压、等温和绝热过程中的功、

热量和内能；卡诺循环及简单循环的效率。

11.2 热力学基础摘要

1 功的微观本质

做功是系统内分子的无规则运动能量和外界分子的有规则运动能量通过宏观做功相互转化与传递的.体积功总是和系统的边界的宏观位移相联系，功是过程量。

热传递是系统和外界（或两个物体）的分子的无规则运动能量(内能)通过分子碰撞时的微观功相互传递的过程。热传递只有在系统和外界的温度不同时才能发生，所传递的内能叫热量。

2 热力学第一定律

E A Q ?+=

dA dE dQ +=，

其中Q 为系统吸收的热量，A 为系统对外界做的功。

3 准静态过程

过程进行中的每一时刻，系统的状态都无限接近于平衡态，准静态过程可以用状态图上的曲线表示。

4 准静态过程（无摩擦）中系统对外做的体积功为

?=

=2

1,v v pdV A pdV dA 。

5 热容