运筹学模型与数学建模竞赛1(1)

运筹学模型与数学建模竞赛

一、引言

一般来说，大学生数学建模竞赛所涉及到的运筹学模型包括数学规划（线性规划和非线性规划），网络优化（含网络计划技术），排队模型，动态规划等，请看下表

下面重点介绍运筹学模型的数学规划。 二、数学规划的一般形式

))(max ()(min x f or x f

??

?

??≤≤=≤==ub x lb m j x g l i x h t s j i ,,2,1,

0)(,,2,1,0)(.

. 线性规划： 整数规划： 非线性规划：

三、数学规划问题举例

1 下料问题

现要用100×50厘米的板料裁剪出规格分别为40×40 厘米与50×20厘米的零件，前者需要25件，后者需要30件。问如何裁剪，才能最省料？

解：先设计几个裁剪方案

记 A---------40×40；B-----------50×20

注：还有别的方案吗？

显然，若只用其中一个方案，都不是最省料的方法。最佳方法应是三个方案的优化组合。设方案i 使用原材料x i 件(i =1,2,3)。共用原材料f 件。则根据题意，可用如下数学式子表示：

???

??=≥≥++≥+++=)3,2,1(0305325

2.

.min 321213

21j x x x x x x t s x x x f j

，整数 这是一个整数线性规划模型。

2 运输问题

现要从两个仓库（发点）运送库存原棉来满足三个纺织厂（收点）的需要，数据如下表，试问在保证各纺织厂的需求都得到满足的条件下应采取哪个运输方案，才能使总运费达到最小？（运价（元/吨）如下表）

方案1

方案2

方案3

解：题意即要确定从i 号仓库运到j 号工厂的原棉数量。故设ij x 表示从i 号仓运到j 号工厂的原棉数量（吨）f 表示总运费.则运输模型为：

??????

?????

??==≥?

??

??=+=+=+???

≤++≤+++++++=运输量非负约束；需求量约束运出量受存量约束),,j ,i (x x x x x x x x x x x x x .t .s x x x x x x f m in ij 32121025154030504223223

1322122111232221131211232221131211 一般地，对于有m 个发点和n 个收点的运输模型为

?????

??????==≥===≤=∑∑∑∑====),...2,1;,...2,1(0)...2,1(),...3,2,1(..min 1

1

11

n j m i x n j b x m i a x t s x c f ij m

i j ij n

j i ij m i n

j ij

ij 其中a i 为i 号发点的运出量，b j 为j 号收点的需求量，c ij 为从i 号发点到j 号收点的单位运

价。 特别当

∑∑===m i n

j j

i b

a 1

1

时，存货必须全部运走，故上述约束条件中的

∑=≤n

j i ij

a x

1

可改为等

式：

),...2,1(1

m i a x

i n

j ij

==∑=

3 选址问题

某地区有m 座煤矿，i # 矿每年产量为a i 吨，现有火力发电厂一个，每年需用煤b 0

吨，每年运行的固定费用（包括折旧费，但不包括煤的运费）为h 0元。现规划新建一个发电厂，m 座煤矿每年开采的原煤将全部供给这两个电厂发电用。现有n 个备选的厂址。若在j #备选厂址建电厂，每年运行的固定费用为h j 元，每吨原煤从i # 矿运送到j #备选厂址的运费为c ij 元(i =1,2,…m , j =1,2…n )。每吨原煤从i # 矿运送到原有电厂的运费为c i0 (i =1,2,…m )。试问：

[1] 应把新电厂厂址选在何处？

[2] m 座煤矿开采的原煤应如何分配给两个电厂？

才能使每年的总费用（电厂运行的固定费用与原煤运费之和）为最小？

模型的建立

(1) 变量的设置为了解决问题[1]，我们使用0-1变量

n

j j y j ,2,10

#1=??

?=否则

备选厂址选中

为了解决问题[2]，设从i #煤矿运到j #备选的厂址的运量为x ij 吨（i=1,2,…m ，j=0,1,2,…,n ）

(2)目标函数的表达 总运费：

ij m i n

o

j ij

x c

∑∑==1（对不被选中的备选厂址运费x ij,将由约束条件限制为0）.

固定费用 h 0+

∑=n

j j j

y h

1

每年总费用 z =

01

1

h y h x c

n

j j j m

i n

j ij ij

++∑∑∑===

(3)约束条件的表达 （i ）煤矿产量约束

m ,,i a x

i

n

j ij

210==∑=

（ii ）旧电厂用煤量约束

01

b x

m

i i =∑=

（iii ）新电厂用煤量约束 记 01

b a

b m i i

-=

∑=，当j #

备选厂址被选中时∑==m

i ij b x 1

，当

j #

备选厂址没被选中时

∑==m

i ij

x

1

0，综合表达为n j y b x j

m

i ij ,...2,11

==∑=

（iv ）选址约束 由于只选一个厂址，所以

11

=∑=n

j j

y

(v)非负及整数约束

n

j y n

j m

i x j ij ,2,11

0,2,1,0,2,10====≥或

综合得数学规划模型：

10

1

00011

11

min ,1,...,,1,...,..10,1,...,;0,...,0,1;1,...,m n n

ij ij j j i j j n

ij i j m

i i m

ij j i m i i n

j j ij

j z c x h y h x a i m x b x by j n s t b a b y x i m j n y j n =========++?==???=???==????

=-???=???≥==??==????

∑∑∑∑∑∑∑∑ 4布点问题

某市有6个区，每个区都可建消防站，为了节省开支，市政府希望设置的消防站最少，但必须保证在该市任何地区发生火警时，消防车能在15分钟内赶到现场。假定各区的消防站要建的话,就建在区的中心，根据实地测量,各区之间消防车行使的最长时间如下表:(单位:分钟)

请你为该市制定一个设置消防站的最节省的计划。建模并求解。

解：本题实际上是要确定各个区是否要建立消防站，使其既满足要求，又最节省。这自然可引入0-1变量，故设

）

（区建消防站时

当不在第区建消防站时

当在第621 0 1,,,j j ,j ,x j =???= 目标是∑==

6

1

j j

x

f 最少。以下考虑约束条件。

若1区发生火警，按照“消防车要在15分钟内赶到现场”的要求，则l 区和2区至少应有一个消防站，即121≥+x x 。同理得：

1 1 1 1 165265454343621≥++≥++≥++≥+≥++x x x ,x x x ,x x x ,x x ,x x x

从而得模型为：

621101*********

5454343621216

1

?

?????

???

??==≥++≥++≥++≥+≥++≥+=∑=)

,,,j (,,x x x x x x x x x x x x x x x x x .t .s x f m in j j j

再仔细观察知，若满足第一、三个约束条件，则必然满足第二、四个约束条件，故后者是多余的，可省略。从而化简得：

621101

11

16

5265443216

1

?????

??

??==≥++≥++≥+≥+=∑=)

,,,j (,,x x x x x x x x x x x .t .s x f m in j j j

此模型当然可用软件求解，但由于比较简单,故可直接试算。若要求只有一个1=j x ，则显然不可行；若要求只有两个

1=j x ，则有唯一可行解

0 1653142======x x x x ,x x ，故这就是最优解，即只需在2区和4区建立消防

站。

附程序：

c=[1 1 1 1 1 1]

a=-[1 1 0 0 0 0;0 0 1 1 0 0;0 0 0 1 1 1;0 1 0 0 1 1]

b=-[1 1 1 1]

v=zeros(1,6)

u=[1 1 1 1 1 1]

[x fval]=linprog(c,a,b,[],[],v,u)

Optimization terminated.

x =

0.0000

1.0000

0.0000

1.0000

0.0000

0.0000

fval =

2.0000

5 配套问题

设有n个车间要生产m种产品，第j车间每天生产第i种产品至多a ij件（即全天只安排生产产品i而不安排生产其他产品时的最大产量），假设这m种产品每种一件配成一套，问如何安排生产任务才能使生产出的成套产品最多？（i=1,2,...,m；j=1,2,...,n）

（1）建模方法（一）

设x ij——车间j安排用于生产产品i的数量，Z——每天生产的成套产品数目，

原问题可以转化为以下数学模型：

11

max min n

ij i m

j f z x ≤≤===∑

..0(1,,;1,,)

ij ij

ij f z s t x a x i m j n ?≥?

≤??

≥ ==? 模型改进为：

max f z =

1(1,,)..0(1,,;1,,)n

ij j ij ij ij x z i m s t x a x i m j n =?≥ =???≤??

≥ ==???

∑ 模型问题：没有将一天的生产时间约束考虑到！ 2、建模方法（二）

设 x ij ——车间j 安排用于生产产品i 的时间（占全天的比例）

Z ——每天生产的成套产品数目

则a ij x ij ——车间j 每天生产产品i 的数目。例如：车间2每天至多生产某产品6件，若安排1/3天时间去生产，则可产出2件），而

x

a ij

n

j ij

∑=1

——每天全厂产出产品i 的总量。

于是则有模型

max Z ( 11

min

n

ij

i m

j z x

≤≤==∑)

(*) ??????

?????≥==≥=≤=≥∑∑==整数

02121 0211211

1

Z )n ,...,,j ;m ,...,,i (x )n ,...,,j ()m ,...,,i (Z .t .s ij m i ij n

j ij ij x x a

其中常数1表示1天。

注：(1)此模型着重考虑安排生产的时间；(2)从实际情况考虑，安排生产的时间必须

是每件产品耗用生产时间的整数倍才合适。例如，每3分钟生产一件产品，安排5分钟，也只能生产1件，不能认为生产了1.67件。模型（*）没有考虑到这些因素，故是不合适的。

（2）建模方法（二）——改进（*）

显然，

ij

a 1

——车间j 生产每件产品i 的耗用时间（天）。从以上分析应有 ???

?

??=a x ij ij 1? (?是非负整数) 从而令 y ij =a ij x ij , y ij 是非负整数,表示车间j 每天生产产品i 的数目，将它代入（*）后得

max Z

(**) ?????

???

?

??

≥==≥=≤???

? ??=≥∑∑==整数整数02121021112111

Z )n ,...,,j ;m ,...,,i ()n ,...,,j ()m ,...,,i (Z .t .s y y a y ij m i ij ij

n

j ij 这是一个整数线性规划模型。

注：此模型着重考虑安排生产产品的数目。

四、数学规划在数学建模中的应用举例

1．钻井布局

勘探部门在某地区找矿。初步勘探时期已零散地在若干位置上钻井，取得了地质资料。进入系统勘探时期后，要在一个区域内按纵横等距的网格点来布置井位，进行“撒网式”全面钻探。由于钻一口井的费用很高，如果新设计的井位与原有井位重合（或相当接近），便可利用旧井的地质资料，不必打这口新井。因此，应该尽量利用旧井，少打新井，以节约钻探费用。比如钻一口新井的费用为500万元，利用旧井资料的费用为10万元，则利用一口旧井就节约费用490万元.

设平面上有n个点P i，其坐标为(a i,b i),i=1,2,…,n，表示已有的n个井位。新布置的井位是一个正方形网格N的所有结点（所谓“正方形网格”是指每个格子都是正方形的网格；结点是指纵线和横线的交叉点）。假定每个格子的边长（井位的纵横间距）都是1单位（比如100米）。整个网格是可以在平面上任意移动的。若一个已知点P i与某个网格结点X i的距离不超过给定误差ε（=0.05单位），则认为P i处的旧井资料可以利用，不必在结点X i处打新井。

为进行辅助决策，勘探部门要求我们研究如下问题：

1)假定网格的横向和纵向是固定的（比如东西向和南北向），并规定两点间的距离为其横向距离（横坐标之差绝对值）及纵向距离（纵坐标之差绝对值）的最大值。在平面上平行移动网格N，使可利用的旧井数尽可能大。试提供数值计算方法，并对下面的数值例子用计算机进行计算。

2)在欧氏距离的误差意义下，考虑网格的横向和纵向不固定（可以旋转）的情形，给出算法及计算结果。

3)如果有n口旧井，给出判定这些井均可利用的条件和算法（你可以任意选定一种距离）。

②问题分析

布局问题是在一定约束条件下的最优化问题，勘探部门要求尽可能多地利用旧井，因此我们必须围绕这个问题来移动网格。

问题（1）：网格的横向和纵向是固定的，网格只能平移。如果考虑网格上所有的结点通过平移后与旧井位的距离，由于网格结点数较多，运算量较大，虽然可以解决问题，但并非一个好的解法。因此我们从旧井位考虑，通过四舍五入法找到与其相邻的网格结点（相互关系如图所示），然后我们通过两个控制变量（角度与距离）对这些结点进行平移，使网格结点尽可能多的与旧井位重合。

问题（2）：网格不固定移动，需要我们考虑平移和旋转，对于旋转我们同样从旧井位出发，通过旧井位与网格结点的相对关系，不难得出：旧井位的旋转是网格旋转的逆过程，因此我们利用旧井位旋转来替代网格的旋转问题，然后，根据问题（1）的方法，再解

决网格平移问题，这样就将网格的移动问题简化成为旧井位的旋转问题和网格的平移问题。

问题（3）：以上两个问题都是在正方形网格情况下进行的求解，在此问中我们不妨假设网格是长方形的，通过调整长和宽的比例关系使n 个旧井位都可以被利用。因此问题（3），就是在问题（2）的基础上，使n 个旧井位都可以被利用的长方形的长、宽比例问题。具体实现方法如下：把目标函数值定为12，通过对问题（2）的反向求解来确定长方形的长、宽比例。

③模型假设和符号说明

模型假设：

1． 若一个旧井位与某个网格结点不超过0.05单位，则视为重合； 2． 网格是足够大且平铺的；

3． 模型采用直角坐标系，在网格未移动时，网格的横向和纵向就是直角坐标系的两

坐标轴方向。

4． 逆时针旋转为正，顺时针方向为负； 5． 长方形网格的长是1单位。

符号说明：

i…i 旧井位,i=1,2,…,12; Pi…第i 个旧井位;

ai,bi…第i 个旧井位的横坐标、纵坐标; Ai,Bi…第i 个旧井位旋转的横坐标、纵坐标; W i…与第i 个旧井位相邻的网格结点;

xi,yi…与第i 个旧井位相邻的网格结点的横坐标、纵坐标;

xli,yli…与第i 个旧井位相邻的网格结点移动后的横坐标、纵坐标; di…第i 个旧井位与其相邻的网格结点距离; s…网格平移长度; an…网格平移角度; bn…旧井位点旋转角度;

pi…第i 个旧井位到坐标原点的距离; qi…第i 个旧井位与坐标原点连线的倾角; T …可被利用的旧井位数;

ti…第i 个旧井位数是否被利用的函数(1表示可被利用;0表示不可被利用); c…长方形的宽与长的比例;

um, tm…分别为宽与长之比的上、下线. ④模型的建立

我们的目标是使旧井位利用数最多的T, 它由ti(d)决定，即T=

∑=12

1

)(i d ti 。而由要求

知 ti(d)=otherwise

i d 05

.0)(00

1≤≤??

? (1)

d(i)的表达式在下面给出。

由于问题（1）是问题（2）的特殊情况，所以这里只给出问题（2）的模型。我们先将旧井位进行旋转。

第i 个旧井位到坐标原点的距离为

p(i)=2

2)()(i b i a +. (2)

第i 个旧井位与坐标原点连线的倾角为

q(i)=arctan(b(i)/a(i)). (3)

所以第i 个旧井位旋转的横坐标、纵坐标分别为

A(i)=p(i)cos[q(i)+bn(i)], B(i)=p(i)sin[q(i)+bn(i)] (4)

(bn 旧井位点旋转角度)。然后用四舍五入法求旧井位的相邻网格结点坐标：

x(i)=[A(i)+0.5], y(i)=[B(i)+0.5] (5)

由此得出网格结点平移后的坐标为

xl(i)=x(i)+s*cos(an), yl(i)=y(i)+s*sin(an) (6)

所以，网格结点与旧井位的误差距离为

d(i)=2

2)]()([)]()([i B i yl i A i xl -+- (7)

综上所述，本问题的数学模型可表示为：

目标函数： maxT= ∑=12

1

)(i d ti

约束条件是满足(1)-(7)式。

注：以上模型说明：当bn=0, d(i)=max{|xl(i)-A(i)|, |yl(i)-B(i)|}时，目标函

数的解即为问题（1）的解。 ⑤模型的求解

我们的目标是使目标函数最大化，这是一个有约束的优化问题，我们采用穷举法来求它的极值。所谓穷举法就是逐点确定寻优方向，然后利用固定的步长，进行搜索的方法。为使目标函数值最大，我们列出主要步骤如下：

1．定一个能包含所有解的初始范围与固定的搜索步； 2．据运行时间，再对搜索步长用穷举法进行精度调整。 根据这种方法我们得到了问题答案：

问题（1）：最多可利用的旧井位数t=4, 网格的平移方向an0=5.400000(弧度)，网格的平移距离s0=0.583000(单位)；

问题（2）：最多可利用的旧井位数t=6, 网格的平移方向an0=2.760000(弧度)，网格的平移距离s0=0.230000(单位), 网格旋转角度：bn0=-0.780000(弧度)（旧井点的相对旋转角度为：5.500000弧度）。 ⑥模型的改进

降落伞的选择

一、问题的重述：

为向灾区空投一批救灾物资共2000kg ，需选购一些降落伞。已知空投高度为500m ，要求降落伞落地时的速度不能超过20m /s ，降落伞的伞面是半径为r 的半球面，用每根长L 共16根绳索连接的重m 位于球心正下方球面处，如下图：

每个降落伞的价格由三部分组成，伞面费用C 1由伞的半径r 决定，见下表；绳索费用

由绳索总长度及单价4元每米决定，固定费用C 为200元。

的面积的乘积成正比。为了确定阻力系数，用半径r =3m ，载重m =300kg 的降落伞从500m

试确定降落伞的选购方案，即共需多少个伞，每个伞的半径多大（在给定半径的伞中选），在满足空投要求的条件下，使费用最低。

二、问题的分析：

根据题意，每种伞的价格是确定的。要确定降落伞的选购方案，即共需多少个伞，每个伞的半径多大（在给定半径的伞中选），在满足空投要求的条件下，使费用最低。首先，必须知道每种伞在满足空投要求的条件下最大的载重量M (r )，然后就是一个线性整数规划了。欲得到M (r )，必须先求出空气阻力系数k ，然后根据运动方程得出M (r )。最后运用分支定界法求解线性整数规划，得出问题要求的解。

三、基本假设：

1．救灾物资2000kg 可任意分割；

2．降落伞落地时的速度不能超过20m /s ； 3．降落伞与绳索的质量可以忽略；

4．降落伞下落过程中，只受到重力和空气阻力的作用； 5．空气阻力的阻力系数k 是定值，与其他因素无关。

四、符号说明：

M (r )------ 半径为r 的伞在满足空投要求的条件下最大的载重量； t ------ 降落伞从开始下降开始记时的时间； k ------空气阻力系数

H (t )------降落伞从降落位置到t 时刻所下降的距离； m ------降落伞负重重量； g------重力加速度； s------降落伞伞面面积；

n r ------选购的半径为r 的降落伞的个数

五、模型的建立与求解

1、计算每种伞的单价如下：单位为元，C 2=4162??r

2、 定空气阻力系数k 。

对给定的r=3m ，m=300kg ，取g=9.8m/s 2，s=2πr 2，有数据

作出H(m)~t(s)的关系图1:

图1

从图1可看出：一方面，H(m)~t(s)在后阶段基本是线性关系，即降落伞作匀速运动。从

mg =kVs

有又由于若在500米的物体做匀速运动，则50017/30

s v m s t =

= ， 代回mg =kVs 中，估算出 k =2.9。

另一方面，根据题意，物体在降落过程中一直做匀速直线运动是不可能的。

题中注意到：降落伞在下降过程中只受到重力和空气阻力的作用，而且初速度为0， 由牛顿第二定理知：

()dV t F ma m

mg kvs dt ===-，()dV t kvs

g dt m

? =- ??

???=-=0)0()

(V m kvs g dt t dV （1） 解得: ks

m ge

ks m g t V m

kst

-

-=

)( （2）

由（2）式，并代入k =2.9，r =3m ，m =300kg ，取g=9.8m/s 2，s=2πr 2，作出下图

2

图2

从图2可以看出当09t ≤≤时，V (t)迅速增长，但由于负项是成负指数衰减的，所以

很快就接近极限值mg/ks 。当9t ≥时，0,kst m

kst m

mge mg ks

kse

-

-

=-

→(),mg

v t ks

→

所以9秒以后可以看作近似的匀速运动。下面就9秒以后的数据运用最小二乘法进行线性拟合。

设H (t)=V t+b+δ，其中δ服从正态分布。Matlab 程序如下： x=[9 12 15 18 21 24 27 30];

H=[128 183 236 285 340 392 445 499]; P=polyfit(x,H,1)

从而得到p=[17.5794 –29.2976]，所以V=17.5794(m/s)，并由mg =kVs 得到k=2.9575。

3、 瞬时速度与高度

（3）

积分求得

2222

22)(s

k g

m s k ge

m ks mgt t H m

kst

-+

=-

（4）

4、求半径为r 的降落伞在满足空投要求的条件下最大的载重量M (r ).

222222

()()kst m

kst

m mg mge V t ks ks

mgt m ge m g H t ks k s k s --

??=-????=+-?

()v t 与t 直接相关，也与m 相关。m 越大，则v 越大。由（2）式知：V(m)是关于m 的增

函数。当v 最大时，m 也达到最大M ，即为最大的载重量。

特别的，在给定从500m 的高空空投时，降落伞落地瞬间的速度在给定g, k, s 后又有等式约束H(t)=500，即

2222

22

500s

k g m s k ge m ks m gt m

kst

-+

=-

的情况下，V(m)是关于m 的增函数；反之，其反函数也是关于V 的增函数。所以要求半径为r 的降落伞在满足空投要求的条件下最大的载重量M (r )，就是要在V 取最大值时取得，即取V=20m/s 时求出指定半径r 的M(r)，于是得到如下方程组：

ks

m ge

ks m g t V m

kst

-

-=

)(

2222

22

)(s

k g

m s k ge

m ks mgt t H m

kst -+

=- （5） 由此导出：

ks

mV

s k mg ksV g m t H --

?-=)/()1ln()(222 （6） 如前所述，取H(t)=500，V=20m/s ，得到方程：

ks

mV

s k mg ksV g m --

?-=)/()1ln(500222 （7） 将参数g=9.8，k=2.9575代入上式，有

s

m s m s m ?-??-

?-=9575.220)9575.2/()8.99575.2201ln(8.9500222

由s=2πr 2，分别代入r=2，r=2.5；r=3；r=3.5；r=4，并调用Matlab 的命令solve ，分别解

3． 4．原问题就是如下的一个线性整数规划问题：

设n r 为选购的半径为r 的降落伞的个数，则有

}15621177822596446min{45.335.22n n n n n ++++

s.t. 2 2.53 3.541512373414646062000

,2,2.5,3,3.5,4r r n n n n n n r n N ++++≥??

=∈?

（8）

运用分支定界法可求得：6,

0345.35.22=====n n n n n

总费用为4932元，即在需要空投2000kg 的情况下，需要选购半径为3米的降落伞6把。

六、模型的检验及推广

1．在求解空气阻力系数k 时，我们分析数据得出在运动后期降落伞作近似的匀速运动，并由此为前提对数据进行拟合求出了k 。下面在问题已经基本得到解决后，运用获得数据对

可以看出，M/s 几乎是常数，又有mg =kVs 是降落伞后期运动为匀速运动的充分必要条件，即 m/s=kV/g 为常数，而k ，g 为常数，所以降落伞在运动后期为近似匀速运动。因此，在求解空气阻力系数k 时，假设后期运动为近似匀速运动是合理的。

2．从图2可以看出降落伞的大幅度加速过程很快就结束了，对给定的伞和给定的承载质量很快就进入近似匀速运动，而且速度与空投高度基本上是无关的，所以空投高度并不十分重要，只要能保证空投位置准确，高一些投放也可以，这样可降低空投高度。

3．题目中要求的是空投2000kg 的救灾物资，若数据有变动，例如3000kg ，5000kg ，则只需将（8）式的第一个约束右端改为3000kg ，5000kg ，然后再运用分支定界法可求得结果。

数学建模 运筹学模型(五)

运筹学模型（五） 3. 试求如表4所示运输问题的最优运输方案和最小运输费用： 表4 单位：百元/吨 解：易见，这是一个产销平衡且为最小值类型的运输问题.我们有 （1） 利用最小元素法可得初始方案如表5， 表5 （2）使用闭回路法可得负检验数为12λ= -1，故令12x 进基 （3）使用闭回路法进行调整知11x 出基，便得新的运输方案如表6 表6 （4）再进行检验知，所有检验数0≥ij λ，故得最优运销图如图2：

图2 最小费用为385（百元）. 4.从城市s到城市t可经城市1-6到达，其间有直达客车的城际乘车费用依次为 1s l= 4， 2s l=1， 3s l=3， 14 l=2， 25 l=6， 36 l=1， 12 l=3， 23 l=5， 45 l=5， t l 4 =6， 56 l=3， t l 5 = 4， t l 6 =7 单位是拾元.试建立图模型以确定乘直达车从城市s到各城市间的最小乘车费用及相应的乘车路线. 解：本题属于图模型中较为简单的最短路问题.为使用图理论求解，首先要建立其图模型，然后才能使用相应的解法求解之.根据题设，除去始点和终点，中间点应为6个.分别以t s,为始点、终点，根据各点之间通车情况（注意下标），从左到右画出其图模型如图3： 再根据 到城市1：s 到城市2：s 到城市3：s 到城市4 到城市5：s 到城市6：s 到城市t s?②?⑤? s③?⑥? s③?⑥?⑤?t 其最小乘车费用均为110元. 注意：要求写出所有路线，每少写一条都要扣除相应的分数. 图4 11 2 A1 B3 B2 5 15A2 B2 B1 10 5A3 B4 B2 10 15

补充：运筹学经典案例

运筹学经典案例 一、鲍德西（B a w d s e y）雷达站的研究 20世纪30年代，德国内部民族沙文主义及纳粹主义日渐抬头。以希特勒为首的纳粹势力夺取了政权开始为以战争扩充版图，以武力称霸世界的构想作战争准备。欧洲上空战云密布。英国海军大臣丘吉尔反对主政者的“绥靖”政策，认为英德之战不可避免，而且已日益临近。他在自己的权力范围内作着迎战德国的准备，其中最重要、最有成效之一者是英国本土防空准备。1935年，英国科学家沃森—瓦特：（R．Watson-Wart）发明了雷达。丘吉尔敏锐地认识到它的重要意义，并下令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密的雷达站。当时，德国已拥有一支强大的空军，起飞17分钟即可到达英国。在如此短的时间内，如何预警及做好拦截，甚至在本土之外或海上拦截德机，就成为一大难题。雷达技术帮助了英国，即使在当时的演习中已经可以探测到160公里之外的飞机，但空防中仍有许多漏洞，1939年，由曼彻斯特大学物理学家、英国战斗机司令部科学顾问、战后获诺贝尔奖金的P.M.S.Blachett为首，组织了一个小组，代号为“Blachett马戏团”，专门就改进空防系统进行研究。 这个小组包括三名心理学家、两名数学家、两名应用数学家、一名天文物理学家、一名普通物理学家、一名海军军官、一名陆军军官及一名测量人员。研究的问题是：设计将雷达信息传送给指挥系统及武器系统的最佳方式；雷达与防空武器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与防空火力的协调，作了系统的研究，并获得了成功，从而大大提高了英国本土防空能力，在以后不久对抗德国对英伦三岛的狂轰滥炸中，发挥了极大的作用。二战史专家评论说，如果没有这项技术及研究，英国就不可能赢得这场战争，甚至在一开始就被击败。 “Blackett马戏团”是世界上第一个运筹学小组。在他们就此项研究所写的秘密报告中，使用了“Operational Research”一词，意指作战研究”或“运用研究”。就是我们所说的运筹学。Bawdseg雷达站的研究是运筹学的发祥与典范。项目的巨大实际价值、明确的目标、整体化的思想、数量化的分析、多学科的协同、最优化的结果，以及简明朴素的表述，都展示了运筹学的本色与特色，使人难以忘怀。

运筹学课设 doc(1)

西安建筑科技大学课程设计（论文）任务书 一、本次课程设计应达到的目的 1. 掌握运筹学知识在管理问题中应用的基本方法与步骤； 2. 巩固和加深对所学运筹学理论知识及方法的理解与掌握； 3. 培养与锻炼学生从管理实践中提炼问题、分析问题、构建模型求解问题的综合应用能力； 4. 上机练习，了解与掌握几种常用的运筹学计算软件及其使用与操作方法； 5. 锻炼并初步掌握运筹学模型求解程序的编写方法与技术。 6. 初步了解学术研究的基本方法与步骤，并通过设计报告的撰写，了解学术报告的写作方法。 二、本次课程设计任务的主要内容和要求 1. 结合专业知识，对某一实际管理问题进行分析，调查收集相关数据，并整理出符合问题特征的数据，包括目标因素、约束因素以及必须的参数与系数等等； 2. 在上一步分析基础上，按照运筹学建模的基本方法与要求，通过抽象处理，建立所研究问题的运筹学模型，判断模型的类型并选择求解方法； 3. 上机练习，学习常用运筹学计算软件的使用与基本操作方法，并选择其中一种对所建运筹学模型进行求解，得出最优解、灵敏度计算等相关计算结果； 4. 结合理论课以及计算机程序设计课程所学的基本知识，编写线性规划单纯形法的计算程序，别用所编写程序和已学习的某种运筹学计算软件，并分求解相关课后习题，对所编写的算程序进行验证； 5. 总结设计过程，整理与记录设计中的关键工作与成果，撰写设计报告。 三、应收集的资料及主要参考文献： 1. 应收集的资料： ［1］研究对象的现状数据材料 ［2］与所建模型的参数、系数、约束条件等因素相关的数据材料 2. 主要参考文献： ［1］杨茂盛.运筹学(第三版).陕西科学技术出版社，2006 ［2］运筹学编写组. 运筹学(第三版).清华大学出版社，2005 ［3］徐玖平, 胡知能, 王緌. 运筹学(第二版). 北京: 科学出版社, 2004 ［4］胡运权. 运筹学基础及应用. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 1998 ［5］陈汝栋，于延荣. 数学模型与数学建模(第2版).国防工业出版社，2009 ［6］刘建永.运筹学算法与编程实践：Delphi实现.清华大学出版社，2004 ［7］谢金星，薛毅.建优化建模LINDO/LINGO软件.清华大学出版社，2005

运筹学 参考书

参考书 1.《运筹学》（科学版精品课程立体化教材·管理学系列）(第2版)，张伯生等编著，科学出版社，2012年； 2.《数据、模型与决策》(第13版)，戴维·R·安德森/丹尼斯·J·斯威尼编著，于淼译，机械出版社，2012年； 3、《运筹学》（新体系经济管理系列教材），李成标，刘新卫主编，清华大学出版社，2012年； 4．《运筹学——优化模型与算法》，（美）拉丁（Rardin，R.L.) 著，电子工业出版社，2007年 5.《Introduction to Operations Research》（第6 版）（外原版经典教材）， F. S. Hillier and G. J. Lieberman 著，McGraw-Hill 出版社； 6. 《运筹学》，党耀国，李帮义等编著，科学出版社，2009年； 7. 《物流运筹学》，刘蓉主编，电子工业出版社，2012年； 8. 《运筹学导论》（第9版）（美国麦格劳-希尔教育出版公司工商管理最新教材（英文版）），（美）希利尔，（美）利伯曼著，清华大学出版社，2010年； 9. 《运筹学》（第4版）（面向21世纪课程教材（信息管理与信息系统专业教材系列），《运筹学》教材编写组编，清华大学出版社，2012年； 10.《运筹学：应用与解决方法》（第4版）（美国商学院原版教材精选系列），（美）温斯顿著，清华大学出版社，2011年； 11.《管理运筹学》（高等学校经济与工商管理系列教材），茹少峰，申卯兴编著，清华大学出版社，2008年； 12.《运筹学》（第3版），刁在筠等编，高等教育出版社，2007年；

13.《实用运筹学：模型、方法与计算》，韩中庚主编，清华大学出版社，2007年； 14.《运筹学》（现代信息管理与信息系统系列教材），李红艳，范君晖主编，清华大学出版社，2012 年； 15.《管理运筹学：管理科学方法》（21世纪管理科学与工程系列教材），谢家平著，中国人民大学出版社，2010年； 16.《运筹学与实验》，薛毅，耿美英编著，电子工业出版社，2008年； 17.《实用运筹学——上机实验指导及习题解答》，叶向编，中国人民大学出版社，2007年； 18.《应用运筹学》（第二版），曹勇，周晓光，李宗元编著，经济管理出版社，2008年； 19.《运筹学导论》（第8版），（美）希利尔（Hillier,F.S.），（美）利伯曼（Lieberman,G.J.）著，胡运权等译，清华大学出版社，2007年； 20.《经济管理运筹学习题集》，王玉梅，孙在东，张志耀编著，中国标准出版社，2012年； 21.《运筹学习题集》(第4版),胡运权主编，清华大学出版社，2010年； 22.《运筹学解题指导》，周华任主编，清华大学出版社，2006年； 23.《运筹学概率模型应用范例与解法》（第4版），（美）温斯顿（Winston，W.L.）著，李乃文等译，清华大学出版社，2006年； 24.《运筹学学习辅导与习题解析》(第3版)，戎晓霞，宿洁，刘桂真编，高等教育出版社，2009年； 25.《管理运筹学习题集》(普通高等学校管理科学与工程类学科核心课程教材辅

数学建模 运筹学模型(一)

运筹学模型（一） 本章重点： 线性规划基础模型、目标规划模型、运输模型及其应用、图论模型、最小树问题、最短路问题 复习要求： 1.进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵. 2.进一步理解数学模型的作用与特点. 本章复习重点是线性规划基础模型、运输问题模型和目标规划模型.具体说来，要求大家会建立简单的线性规划模型，把实际问题转化为线性规划模型的方法要掌握，当然比较简单.运输问题模型主要要求善于将非线性规划模型转化为运输规化模型，这种转化后求解相当简单.你至少把一个很实际的问题转化为用表格形式写出的模型，至于求解是另外一回事，一般不要求.目标模型一般是比较简单的线性规模模型在提出新的要求之后转化为目标规划模型.另外，关于图论模型的问题涉及到最短路问题，具体说来用双标号法来求解一个最短路模型.这之前恐怕要善于将一个实际问题转化为图论模型.还有一个最小数的问题，该如何把一个网络中的最小数找到.另外在个别场合可能会涉及一笔划问题. 1.营养配餐问题的数学模型 或更简洁地表为 其中的常数C j 表示第j 种食品的市场价格，a ij 表示第j 种食品含第i 种营养的数量，b i 表示人或动物对第i 种营养的最低需求量. 2.合理配料问题的数学模型 有m 种资源B 1，B 2，…，B m ，可用于生产n 种代号为A 1，A 2，…，A n 的产品.单位产品A j 需用资源B i 的数量为a ij ，获利为C j 单位，第i 种资源可供给总量为b i 个单位.问如何安排生产，使总利润达到最大？ 设生产第j 种产品x j 个单位（j =1，2，…，n ），则有 或更简单地写为 3.运输问题模型 运输问题也是一种线性规划问题，只是决策变量设置为双下标变量.假如问题具有m 个产地和n 个销地，第i 个产地用A i 表示，其产量为a i （i =1，2，…，m ），第j 个销地用B j 表示，其销量为b j （j =1，2，…，n ），从A i 运往B j 的运价为c ij ， 而∑∑===m i n j j i b a 11表示产销平衡.那么产销平衡运输问题的一般模型可以写成为 4.目标规划模型 某工厂生产代号为Ⅰ、Ⅱ的两种产品，这两种产品都要经甲、乙两个车间加工，并经检验与销售两部门处理.已知甲、乙两车间每月可用生产工时分别为120小时和150小时，每小时费用分别为80元和20元，其它数据如下表 表4-1 工厂领导希望给出一个可行性生产方案，使生产销售及检验等方面都能达标. 问题分析与模型假设 经与工厂总经理交谈，确定下列几条： p 1： 检验和销售费每月不超过4600元； p 2： 每月售出产品I 不少于50件；

运筹学答案_第_11_章__图与网络模型

第11章图与网络模型 习题1 配送的最短距离。用解：这是一个最短路问题，要求我们求出从v1到v 7 Dijkstra算法求解可得到这问题的解为27。我们也可以用此书附带的管理运筹学软件进行计算而得出最终结果为： 从节点1到节点7的最短路 ************************* 起点终点距离 ------------ 124 2312 356 575 此问题的解为:27 → 12357 习题2 解：这是一个最短路的问题，用Dijkstra算法求解可得到这问题的解为4.8，即在4年内购买、更换及运行维修最小的总费用为：4.8万元。 最优更新策略为：第一年末不更新 第二年末更新 第三年末不更新 第四年末处理机器 我们也可以用此书附带的管理运筹学软件进行求解，结果也可以得出此问题的解为4.8。 习题3 解：此题是一个求解最小生成树的问题，根据题意可知它要求出连接v1到v8的最小生成树。解此题可以得出结果为18。也可以使用管理运筹学软件，得出如下结果： 此问题的最小生成树如下： ************************* 起点终点距离 ------------ 132 342 124 252 573

习题4 782 763此问题的解为:18 解：此题是一个求解最大流的问题，根据题意可知它要求出连接v1到 v6 的最 大流量。解此题可以得出最大流量为 出结果为： 22。使用管理运筹学软件，我们也可以得v1从节点1到节点6的最大流 ************************* 起点终点距离 ------------ 126 146 1310 240 256 345 365 455 466 5611 此问题的解为:22 即从v1到v6的最大流量为：22 习题5 解：此题是一个求解最小费用最大流的问题，根据题意可知它要求出连接v1到v6的最小费用最大流量。解此问题可以得出最大流为5，最小费用为39。使用管理运筹学软件，我们也可以得出结果如下： 从节点1到节点6的最大流 ************************* 起点终点流量费用 ---------------- 1213 1341 2424 3211 3533 4624

运筹学模型

第5章 运筹学模型 5.2 图论模型 图论是运筹学的一个重要分支，它是建立和处理离散类数学模型的一个重要工具。用图论的方法往往能帮助人们解决一些用其它方法难于解决的问题。图论的发展可以追溯到1736年欧拉所发表的一篇关于解决著名的“哥尼斯堡七桥问题”的论文。由于这种数学模型和方法直观形象，富有启发性和趣味性，深受人们的青睐。到目前为止，已被广泛地应用于系统工程、通讯工程、计算机科学及经济领域。传统的物理、化学、生命科学也越来越广泛地使用了图论模型方法。本章将在介绍图的一些基本概念的基础上，着重介绍最小生成树、最短路、最大流及最小费用最大流问题。 5.2.1 图的基本概念 城市之间的交通关系，家族成员之间的关系，工厂、企业、事业单位内部，部门之间的上下关系，工程中各个工序之间的先后关系等等，用图形来描述往往是很有益的。图论是研究某种特定关系的一门学问。 1.图 图 (graph) 由若干个点 (称作顶点，vertex) 和若干条连接两两顶点的线段（称edge ）组成。通常，顶点可用来表示某一事物，边用来表示这些事之间的某种关系。如图5-1中的五个顶点可以代表五个城市。如果两个顶点之间有一条边连接，就表示这两个城市之间有一条铁路。同样，它也可以代表五个人。如果两个人认识，则用一条边把这两个顶点连接 起来。 图5-1 由于图是用来表示某些事物之间的联系，因而在画图时，顶点位置，边的长短、曲直是无关紧要的。只要两个图的顶点可以一一对应，并且 使得对应的顶点之间是否有边相连完全相同，就可以认为是同一个图。例如：图5-1也可以画成图5-2的形式。 图 5-2 设图的顶点集合V ={n v v v ,...,, 21}, 边的集合 E ={m e e e , ... ,,21} 把图记作 ) , (E V G =。这里大括号 { } 内的元素是没有顺序的，而小括号（ ）内的元素是有顺序 的。如果边e 连接顶点u 和v ，则记作e = {v u ,}。u 和v 称作e 的端点，e 称作u 和v 的关联边。如果u 和v 之间有一条边，即{v u ,}∈E ，则称u 和v 相邻。如果两条边有一个共同的端点，则称这两条边相邻。没有关联边的顶点称作孤立点。两个顶点之间可以有不止一条

运筹学定义

1.运筹学定义：用数学的方法研究各问题的变化。 2.线性规划：数学模型的目标函数为变量的线性函数，约束条件也为变量的线性等式或不 等式，故此模型称之为线性规划 3.可行解：把满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。 4.最优解：把目标函数值最大（即利润最大）的可行解称为该线性规划的最优解。 5.最优值：在最优解条件下的目标函数值为最优目标函数值，简称最优值。 6.松弛量：在线性规划中，一个“≤”约束条件中没使用的资源或能力称之为松弛量 7.松弛变量：为了把一个线性规划标准化，需要有代表没使用的资源或能力的变量，诚挚 为松弛变量。 8.标准化: 把所有约束条件都写成等式，称为线性规划模型的标准化。所得结果称为线性 规划的标准形式。 9.剩余变量：对于“≥”约束条件，可以增加一些代表最低限约束的超过量，称之为剩余 变量。 10.灵敏度分析：建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数Ci,Gij,bj的 变化对最优解产生的影响。 11.对偶价格：在约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量称之 为这个约束条件的对偶价格 12.单纯形法的基本思路：一，找出一个初始基本可行解二，最优性检验三，基变换 13.线性规划的基本解：由线性规划的知识知道，如果我们在约束方程组系数矩阵中找到一 个基，令这个基的非基变量为零，再求解这个m元线性方程组就可得到唯一的解，这个解称之为线性规划的基本解。 14.基本可行解：一个基本解可以是可行解，也可以是非可行解，他们之间的主要区别在于 其所有变量的解是否满足非负的条件，我们把满足非负条件的一个基本解叫做基本可行解，并把这样的基叫做可行基。 15.初始可行基：在第一次找可行基时，所找到的基或为单位矩阵或由单位矩阵的各列向量 所组成，称之为初始可行基，其相应的基本可行解叫初始基本可行解。 16.最优性检验：判断已求得的基本可行解是否是最优解。 17.最优性检验的依据-----检验数σj:目标函数中所有变量的系数即为各变量的检验数， 把变量xi的检验数记为σi,显然所有基变量的检验数必为零。 18.最优解判别定理：在求最大目标函数的问题中，对于某个基本可行解，如果所有检验数 σj≤0,则这个基本可行解是最优解，这就是最优解判别定理。 19.确定基变量的方法：把已确定的入基变量在各约束方程中的正的系数除其所在约束方程 中的常数项的值，把其中最小比值所在的约束方程中的原基变量确定为出基变量。这样在下一步迭代的矩阵中可以确保新得到的bj值都大于等于零。 20.大M法:像这样，为了构造初始可行基得到初始可行解，把人工变量“强行”地加到原 来的约束方程中去，又为了尽力地把人工变量从基变量中替换出来，就令人工变量在求最大值的目标函数里的系数为-M的方法叫做大M法，M叫做罚因子。 21.几种特殊情况：一，无可行解，二，无界解，三，无穷多最优解，四，退化问题。 22.一般的运输问题：就是要解决把某种产品从若干个产地调运到若干个销地，在每个产地 的供应量与每个销地的需求量已知，并知道各地之间的运输单价的前提下，如何确定一个使得总得运输费用最小的方案的问题。 23.纯整数规划问题：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整数，则称之为纯整数规划 问题。 24.混合整数规划问题：如果只有一部分变量为非负整数，则称之为混合整数规划问题

运筹学经典案例

运筹学经典案例 案例一：鲍德西（（B AWDSEY）雷达站的研究 20世纪30年代，德国内部民族沙文主义及纳粹主义日渐抬头。以希特勒为首的纳粹势力夺取了政权开始为以战争扩充版图，以武力称霸世界的构想作战争准备。欧洲上空战云密布。英国海军大臣丘吉尔反对主政者的“绥靖”政策，认为英德之战不可避免，而且已日益临近。他在自己的权力范围内作着迎战德国的准备，其中最重要、最有成效之一者是英国本土防空准备。 1935年，英国科学家沃森—瓦特（R．Watson-Wart）发明了雷达。丘吉尔敏锐地认识到它的重要意义，并下令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密的雷达站。 当时，德国已拥有一支强大的空军，起飞17分钟即可到达英国。在如此短的时间内，如何预警及做好拦截，甚至在本土之外或海上拦截德机，就成为一大难题。雷达技术帮助了英国，即使在当时的演习中已经可以探测到160公里之外的飞机，但空防中仍有许多漏洞，1939年，由曼彻斯特大学物理学家、英国战斗机司令部科学顾问、战后获诺贝尔奖金的P.M.S.Blachett为首，组织了一个小组，代号为“Blachett 马戏团”，专门就改进空防系统进行研究。 这个小组包括三名心理学家、两名数学家、两名应用数学家、一名天文物理学家、一名普通物理学家、一名海军军官、一名陆军军官及一名测量人员。研究的问题是：设计将雷达信息传送给指挥系统及武器系统的最佳方式；雷达与防空武器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与防空火力的协调，作了系统的研究，并获得了成功，从而大大提高了英国本土防空能力，在以后不久对抗德国对英伦三岛的狂轰滥炸中，发挥了极大的作用。二战史专家评论说，如果没有这项技术及研究，英国就不可能赢得这场战争，甚至在一开始就被击败。“Blackett马戏团”是世界上第一个运筹学小组。在他们就此项研究所写的秘密报告中，使用了 “Operational Research”一词，意指作战研究”或“运用研究”。就是我们所说的运筹学。Bawdseg雷达站的研究是运筹学的发祥与典范。项目的巨大实际价值、明确的目标、整体化的思想、数量化的分析、多学科的协同、最优化的结果，以及简明朴素的表述，都展示了运筹学的本色与特色，使人难以忘怀。

《运筹学》期末复习题

《运筹学》期末复习题 第一讲运筹学概念 一、填空题 1.运筹学的主要研究对象就是各种有组织系统的管理问题,经营活动。 2.运筹学的核心主要就是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案,为决策者提供科学决策的依据。 3.模型就是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件,它可以表示成一个等式或不等式的集合。5.运筹学研究与解决问题的基础就是最优化技术,并强调系统整体优化功能。运筹学研究与解决问题的效果具有连续性。 6.运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7.运筹学研究与解决问题的优势就是应用各学科交叉的方法,具有典型综合应用特性。 8.运筹学的发展趋势就是进一步依赖于_计算机的应用与发展。 9.运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10.用运筹学分析与解决问题,就是一个科学决策的过程。 11、运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力与财力的最佳方案。 12.运筹学中所使用的模型就是数学模型。用运筹学解决问题的核心就是建立数学模型,并对模型求解。 13用运筹学解决问题时,要分析,定议待决策的问题。 14.运筹学的系统特征之一就是用系统的观点研究功能关系。 15、数学模型中,“s·t”表示约束。 16.建立数学模型时,需要回答的问题有性能的客观量度,可控制因素,不可控因素。 17.运筹学的主要研究对象就是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18、1940年8月,英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组,该小组简称为OR。 二、单选题 1．建立数学模型时,考虑可以由决策者控制的因素就是( A ) A.销售数量 B.销售价格 C.顾客的需求 D.竞争价格 2.我们可以通过( C )来验证模型最优解。 A.观察 B.应用 C.实验 D.调查 3.建立运筹学模型的过程不包括( A )阶段。 A.观察环境 B.数据分析 C.模型设计 D.模型实施 4、建立模型的一个基本理由就是去揭晓那些重要的或有关的( B ) A数量B变量 C 约束条件 D 目标函数 5、模型中要求变量取值( D ) A可正B可负C非正D非负 6、运筹学研究与解决问题的效果具有( A ) A 连续性 B 整体性 C 阶段性 D 再生性 7、运筹学运用数学方法分析与解决问题,以达到系统的最优目标。可以说这个过程就是一个(C) A解决问题过程B分析问题过程C科学决策过程D前期预策过程8、从趋势上瞧,运筹学的进一步发展依赖于一些外部条件及手段,其中最主要的就是 ( C )

运筹学

课程设计（论文） 课程名称：运筹学 题目：企业钢管下料问题 院（系）： 专业班级： 姓名： 学号： 指导教师： 2010年7 月12日

课程设计（论文）任务书 一、本次课程设计（论文）应达到的目的 1. 掌握运筹学知识在管理问题中应用的基本方法与步骤； 2. 巩固和加深对所学运筹学理论知识及方法的理解与掌握； 3. 培养与锻炼学生从管理实践中提炼问题、分析问题、构建模型求解问题的综合应用能力； 4. 上机练习，了解与掌握几种常用的运筹学计算软件及其使用与操作方法； 5. 锻炼并初步掌握运筹学模型求解程序的编写方法与技术。 6. 初步了解学术研究的基本方法与步骤，并通过设计报告（论文）的撰写，了解学术报告（论文）的写作方法。 二、本次课程设计（论文）任务的主要内容和要求（包括原始数据、技术参数、设计要求等） 1. 结合专业知识，对某一实际管理问题进行分析，调查收集相关数据，并整理出符合问题特征的数据，包括目标因素、约束因素以及必须的参数与系数等等； 2. 在上一步分析基础上，按照运筹学建模的基本方法与要求，通过抽象处理，建立所研究问题的运筹学模型，判断模型的类型并选择求解方法； 3. 上机练习，学习常用运筹学计算软件的使用与基本操作方法，并选择其中一种对所建运筹学模型进行求解，得出最优解、灵敏度计算等相关计算结果； 4. 结合理论课以及计算机程序设计课程所学的基本知识，编写线性规划单纯形法（或自选一种学过的运筹学问题的计算方法）的计算程序，别用所编写程序和已学习的某种运筹学计算软件，并分求解相关课后习题，对所编写的算程序进行验证； 5. 总结设计过程，整理与记录设计中的关键工作与成果，撰写设计报告。 三、应收集的资料及主要参考文献： 1. 应收集的资料： ［1］研究对象的现状数据材料 ［2］与所建模型的参数、系数、约束条件等因素相关的数据材料 2. 主要参考文献： ［1］杨茂盛.运筹学(第三版).陕西科学技术出版社，2006 ［2］运筹学编写组. 运筹学(第三版).清华大学出版社，2005 ［3］徐玖平, 胡知能, 王緌. 运筹学(第二版). 北京: 科学出版社, 2004 ［4］胡运权. 运筹学基础及应用. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 1998 ［5］陈汝栋，于延荣. 数学模型与数学建模(第2版).国防工业出版社，2009

运筹学经典案例

案例一：鲍德西（（B AWDSEY）雷达站的研究 20世纪30年代，德国内部民族沙文主义及纳粹主义日渐抬头。以希特勒为首的纳粹势力夺取了政权开始为以战争扩充版图，以武力称霸世界的构想作战争准备。欧洲上空战云密布。英国海军大臣丘吉尔反对主政者的“绥靖”政策，认为英德之战不可避免，而且已日益临近。他在自己的权力范围内作着迎战德国的准备，其中最重要、最有成效之一者是英国本土防空准备。 1935年，英国科学家沃森—瓦特（R．Watson-Wart）发明了雷达。丘吉尔敏锐地认识到它的重要意义，并下令在英国东海岸的Bawdsey建立了一个秘密的雷达站。 当时，德国已拥有一支强大的空军，起飞17分钟即可到达英国。在如此短的时间内，如何预警及做好拦截，甚至在本土之外或海上拦截德机，就成为一大难题。雷达技术帮助了英国，即使在当时的演习中已经可以探测到160公里之外的飞机，但空防中仍有许多漏洞，1939年，由曼彻斯特大学物理学家、英国战斗机司令部科学顾问、战后获诺贝尔奖金的为首，组织了一个小组，代号为“Blachett马戏团”，专门就改进空防系统进行研究。 这个小组包括三名心理学家、两名数学家、两名应用数学家、一名天文物理学家、一名普通物理学家、一名海军军官、一名陆军军官及一名测量人员。研究的问题是：设计将雷达信息传送给指挥系统及武器系统的最佳方式；雷达与防空武器的最佳配置；对探测、信息传递、作战指挥、战斗机与防空火力的协调，作了系统的研究，并获得了成功，从而大大提高了英国本土防空能力，在以后不久对抗德国对英伦三岛的狂轰滥炸中，发挥了极大的作用。二战史专家评论说，如果没有这项技术及研究，英国就不可能赢得这场战争，甚至在一开始就被击败。“Blackett马戏团” 是世界上第一个运筹学小组。在他们就此项研究所写的秘密报告中，使用了 “Operational Research”一词，意指作战研究”或“运用研究”。就是我们所说的运筹学。Bawdseg雷达站的研究是运筹学的发祥与典范。项目的巨大实际价值、明确的目标、整体化的思想、数量化的分析、多学科的协同、最优化的结果，以及简明朴素的表述，都展示了运筹学的本色与特色，使人难以忘怀。

运筹学教学大纲

《运筹学》教学大纲 学时：72 适用专业：物流管理、工商管理等经济管理类专业 一、课程的性质与任务 课程的性质： 《运筹学》是20世纪40年代开始形成的一门应用性学科。它主要应用定量分析的方法，研究现实系统的运行规律，从而提出具有共性、典型意义的优化模型，寻求解决模型的方法，最终形成决策方案。其目的是提高管理者统筹规划、纵揽全局的能力，帮助管理者科学地确定行动方向和行动方案，使之既合乎客观规律，又能获得尽可能好的结果。 课程的任务： 本课程将通过系统地讲授《运筹学》的基本原理和基本方法、指导学生解题、个人研究与小组讨论相结合的案例分析等环节，培养学生全局优化的思想，使学生掌握若干类常用的运筹学模型，了解运筹学模型在解决经济管理领域中的问题所起的作用；使学生初步掌握对实际问题建模的方法和技巧，运用计算机软件求解所学运筹学模型，并能够对求解结果进行误差分析和改进处理。 通过本课程的学习，培养学生面对实际背景运用运筹学知识提出并解决问题的能力，使学生在理论与实践结合的能力方面有明显提高。 前导课程：经济数学、管理学概论 二、教学基本要求 1 ．掌握线性规划、运输模型、动态规划、网络计划、存储模型，排队论等几种重要而成熟的运筹学模型，包括模型条件、结构特点、基本方法步骤及应用范围等； 2 ．通过对具体方法与模型的学习，认识运筹学在经营管理决策中作为提高决策水平的方法和工具的作用； 3 ．了解其它相关的经营管理数量方法与模型以及发展方向； 4 ．领会运筹学在分析与解决实际问题过程中的基本思想和的基本思路，并进行以实际应用为导向的训练。 三、教学条件 多媒体教学设备，必要的运筹学工具软件 四、教学内容及学时安排

__运筹学概述

第一讲运筹学概述 一、运筹学是什么 ----------------------晕愁学 其实，这绝对一种误解，事实上运筹学方法及应用早在中小学就比较系统地学过，并且在我们每时每刻的生活过程中都在利用。 北师大版小学语文第六册教材中就有一篇课文《田忌赛马》，在座的各位应该都不陌生。这是战国时期运筹学思想成功应用的典型实例。孙膑同志合理地利用当时的现有资源、条件和比赛规则，只建议田忌调换了赛马的出场顺序，就使得原来屡战屡败的战局得到了彻底的扭转，以获胜而告终。形成了本文主题中“初战失败”、“孙膑献计”、“再赛获胜”的三部分内容。 运筹学思想体现的是，将现有资源的作用得到充分发挥，以获得最优的结果。运筹让生活得更有条理的艺术。 谈起运筹学，是否会想到很通俗的例子——沏茶水。沏茶，看起来是一件日常生活中再小不过的事情，却包含着运筹学的道理。让我们来看一看，沏茶的过程可以分为烧开水、洗茶壶、放茶叶多道“工序”。其中，烧开水所需的时间最长，洗茶壶、放茶叶的时间则较短。善于运筹的人，应该是先将水烧上，在烧水的过程中，从从容容地把茶壶洗净，把茶叶放好。而不善运筹的人，可能会先把茶壶洗净，把茶叶放好，才想起来水还没有烧；或者先把水烧开了，才急急忙忙去洗茶壶、放茶叶，搞得手忙脚乱。 另外还有一个例子我们外地生到上海的路线选择，虽然条条大路都能通到上海，但我们都有一个明确的目标，有些人的目标是准备用最短的时间到达，有些人的目标是用最少费用到达，这样基于不同的目标，就会选择不同的最佳路线。 这两个生活中的运筹学实例说明了运筹学应用的思想并不神秘，而现实的生活中，从沏茶、选择路线这样一件小事，到规模宏大的建设项目，都能运用运筹学的原理。在人生大事的安排上，也同样需要下功夫好好运筹一番。 从技术是，也就是运筹学解决决策问题的工具方面，在初中的数学教材中有一个重要的内容是《线性规划》，其中比较详细地讲述了线性规划的数学表述形式和求解方法。只不过没有详细介绍在实际决策过程中的应用。而线性规划是运筹学的主要决策工具，并且我们

《运筹学》期末复习与答案

运筹学概念部分 一、填空题 1．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题，经营活动。 2．运筹学的核心主要是运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。 3．模型是一件实际事物或现实情况的代表或抽象。 4通常对问题中变量值的限制称为约束条件，它可以表示成一个等式或不等式的集合。5．运筹学研究和解决问题的基础是最优化技术，并强调系统整体优化功能。 6．运筹学用系统的观点研究功能之间的关系。 7．运筹学研究和解决问题的优势是应用各学科交叉的方法，具有典型综合应用特性。8．运筹学的发展趋势是进一步依赖于_计算机的应用和发展。 9．运筹学解决问题时首先要观察待决策问题所处的环境。 10．用运筹学分析与解决问题，是一个科学决策的过程。 11.运筹学的主要目的在于求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案。 12．运筹学中所使用的模型是数学模型。用运筹学解决问题的核心是建立数学模型，并对模型求解。 13用运筹学解决问题时，要分析，定义待决策的问题。 14．运筹学的系统特征之一是用系统的观点研究功能关系。 15.数学模型中，“s·t”表示约束（subject to 的缩写）。 16．建立数学模型时，需要回答的问题有性能的客观量度，可控制因素，不可控因素。17．运筹学的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及经营活动。 18. 1940年8月，英国管理部门成立了一个跨学科的11人的运筹学小组，该小组简称为OR。 二、单选题 19．建立数学模型时，考虑可以由决策者控制的因素是（ A ） A．销售数量B．销售价格C．顾客的需求 D．竞争价格 20．我们可以通过（ C）来验证模型最优解。 A．观察B．应用C．实验D．调查 21．建立运筹学模型的过程不包括（ A ）阶段。 A．观察环境B．数据分析C．模型设计D．模型实施 22.建立模型的一个基本理由是去揭晓那些重要的或有关的（B ） A数量B变量C约束条件 D 目标函数 23.模型中要求变量取值（ D ） A可正 B可负 C非正 D非负 24.运筹学研究和解决问题的效果具有（A ） A 连续性 B整体性 C 阶段性D再生性

运筹学 数据模型与决策教材习题答案

教材习题答案 工厂每月生产A 、B 、C 三种产品 ,单件产品的原材料消耗量、设备台时的消耗量、资源限量及单件产品利润如表1－22所示． 表1－ 试建立该问题的数学模型,使每月利润最大． 【解】设x 1、x 2、x 3分别为产品A 、B 、C 的产量，则数学模型为 建筑公司需要用6m 长的塑钢材料制作A 、B 两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示： 表1－23 【解】 设x j （j =1,2,…，14）为第j 种方案使用原材料的根数，则 （1）用料最少数学模型为 用单纯形法求解得到两个基本最优解 X (1)=( 50 ,200 ,0 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=534 X (2)=( 0 ,200 ,100 ,0,84 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,150 ,0 ,0 );Z=534 （2）余料最少数学模型为 用单纯形法求解得到两个基本最优解 X (1)=( 0 ,300 ,0 ,0,50 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料550根 X (2)=( 0 ,450 ,0 ,0,0 ,0,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,200 ,0 ,0 );Z=0，用料650根 显然用料最少的方案最优。 图解下列线性规划并指出解的形式： (1) 12 121212 max 2131,0Z x x x x x x x x =-++≥?? -≥-??≥? 【解】最优解X ＝（1/2，1/2）；最优值Z=－1/2

(2) 12 12121 2min 32223120,0 Z x x x x x x x x =---≥-?? +≤??≥≥? 【解】最优解X ＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4 (3)121212 1212 12min 32211 410 2731 ,0 Z x x x x x x x x x x x x =-++≤??-+≤?? -≤??-≤??≥? 【解】最优解X ＝（4，1）；最优值Z=－10 (4) 12 1212112max 3812223,0 Z x x x x x x x x x =++≤??+≤?? ≤??≥? 【解】最优解X ＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4 (5) ?????? ?≥≤≥≥-+=0 ,6322min 2121212 1x x x x x x x x Z 【解】最优解X ＝（3，0）；最优值Z=3 (6) ?????? ?≥≤≥≥-+=0 ,6322max 21212121x x x x x x x x Z 【解】无界解。 (7)12 121212 min 25262,0Z x x x x x x x x =-+≥?? +≤??≥? 【解】无可行解。 (8) 12 1211212max 2.52280.5 1.5210,0 Z x x x x x x x x x =++≤??≤?? +≤??≥? 【解】最优解X ＝（2，4）；最优值Z=13

运筹学课程设计

长安大学 《运筹学》课程设计 姓名： 学号： 班级： 指导老师： 2010 年7 月

运筹学课程设计任务书 一、课程设计的目的 1、初步掌握运筹学知识在管理问题中应用的基本方法与步骤； 2、巩固和加深对所学运筹学理论知识及方法的理解与掌握； 3、锻炼从管理实践中发掘提炼问题，分析问题，选择建立运筹学模型，利用模型求解问题，并对问题的解进行分析与评价的综合应用能力； 4、通过利用运筹学计算机软件求解模型的操作，掌握运筹学计算软件的基本操作方法，并了解计算机在运筹学中的应用； 5、初步了解学术研究的基本方法与步骤，并通过设计报告的撰写，了解学术报告的写作方法。 二、课程设计的主要内容和要求 1、问题的选择与提出。结合本课程的知识与所学专业的知识，从某一具体的管理实践活动中，确定具体的研究对象，提炼具体的研究问题； 2、方法与模型的选择。根据问题的性质和特点，结合所学的运筹学知识，选择分析和解决问题的方法及拟采用运筹学模型； 3、数据的调查、收集与统计分析，以及具体模型的建立。收集和统计上述拟定之模型所需要的各种基础数据，并最终将数据整理形成分析和解决问题的具体模型； 4、运筹学计算软件的运用。运用运筹学计算软件（主要是指Lindo软件）求解所建立的运筹学模型，并打印计算结果，列入设计成果； 5、解的分析与评价。结合所研究问题的实际背景，对模型的解进行评价、分析以及调整，并对解的实施与控制提出合理化的建议； 6、设计工作的总结与成果整理，撰写设计报告，报告要复合规范要求。 三、应收集的资料及主要参考文献： 应收集的资料： ［1］研究对象的现状数据材料 ［2］与所建模型的参数、系数、约束条件等因素相关的数据材料 主要参考文献： ［1］徐玖平, 胡知能, 王緌. 运筹学(第二版). 北京: 科学出版社, 2004 ［2］胡运权. 运筹学基础及应用. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 1998 ［3］蒋绍忠管理运筹学教程. 杭州: 浙江大学出版社2006

生产管理运筹学软件实例分析

序言 本实验指导书紧密配合《运筹学》课程的理论教案，系统地介绍了教案应用软件WINQSB (Quantitation Systems for Business Plus)和最新的建模与求解方法( Excel Spreadsheet方法)。WINQSB是运筹学上机实验软件，它技术成熟稳定，内容齐全，使用方便，对于加深理解课程内容，提高初学者学习掌握本课程的兴趣具有良好的补充作用。Excel Spreadsheet建模与求解方法是近年来国际上在经管科学教案与应用方面流行而有效的方法。它为经管科学提供了一种问题描述、数据处理、模型建立与求解的有效工具，是在Excel(或其它)背景下就所需求解的问题进行描述与展开，然后建立数学模型，并使用Excel的命令与功能进行预测、模拟、决策、优化等运算与分析。 指导书分为两部分，第一部分是WINQSB的使用，通过五个实验来完成，每个实验主要包括三个方面内容：①内容简介；②操作步骤；③实例分析与操作，另外对WINQSB进行了简要说明。第二部分是Spreadsheet建模与求解方法介绍，以实例的形式说明其中的重点和常用部分，实验内容基本同winQSB，对其余内容感兴趣的同学可参考相关资料自学。五个实验分别为：①线性规划；②灵敏度分析；③运输问题；④整数规划；⑤图与网络分析。 目录 第一部分 WinQSB软件操作指南2

1. WinQSB软件简介2 2. WinQSB的一般操作3 3. WinQSB的求解模块3 第二部分 WINQSB实验内容5 1.实验教案目的和要求5 2.实验工程名称和学时分配6 3.单项实验的内容和要求6 实验1：线性规划的WinQSB应用6 实验1作业11 实验2：对偶线性规划的WinQSB应用12 实验2作业14 实验3：运输问题的WINQSB应用16 实验4：整数规划的WinQSB应用26 实验4作业27 实验5：指派问题的WINQSB应用27 实验5作业29 实验6：网络问题的WINQSB应用30 实验6作业39 第三部分 Spreadsheet建模与求解41 第一章Spreadsheet建模41 第一节模型的概念与建立41 第二节Spreadsheet方法的应用41 第二章应用Spreadsheet方法建立运筹学模型与求解45 第一节线性规划问题建模和求解45 第二节运输问题49 第四节最大流问题54 第一部分WinQSB软件操作指南 1.WinQSB软件简介 QSB是Quantitative Systems for Business的缩写，早期的版本是在DOS操作系统下运行的，后来发展成为在Windows操作系统下运行的WinQSB软件，目前已经有2.0版。该软件是由美