(完整版)2019年全国中考数学真题分类汇编13：规律探索

规律探索

一、选择题

1. （2019年山东省菏泽市）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，

其移动路线如图所示，第一次移动到点A1，第二次移动到点A2……第n次移动到点A n，则点A2019的坐标是（）

A．（1010，0）B．（1010，1）C．（1009，0）D．（1009，1）【考点】坐标、平移、规律探索

【解答】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…，2019÷4＝504…3，

所以A2019的坐标为（504×2+1，0），

则A2019的坐标是（1009，0）．

故选：C．

2. （2019年山东省济宁市）已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒

数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2

的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（）

A．﹣7.5 B．7.5 C．5.5 D．﹣5.5

【考点】规律探索

【解答】解：∵a1＝﹣2，

∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……

∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，

∵100÷3＝33…1，

∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，

故选：A．

3. （2019年山东省枣庄市）如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（）

A．B．C．D．

【考点】规律探索、图形的变化规律

【解答】解：由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，

符合此要求的只有

故选：D．

4. （2019年四川省达州市）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒

数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差

倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）

A．5 B．﹣C．D．

【考点】规律探索、数字的变化规律

【解答】解：∵a1＝5，

a2＝＝＝﹣，

a3＝＝＝，

a4＝＝＝5，

…

∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，

∵2019÷3＝673，

∴a2019＝a3＝，

故选：D．

5. （2019年云南省）按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……

第n个单项式是（）

A.（－1）n－1x2n－1

B.（－1）n x2n－1

C.（－1）n－1x2n＋1

D.（－1）n x2n＋1

【考点】规律探索、数字的变化规律

【解答】观察可知，奇数项系数为正，偶数项系数为负，∴可以用1

)

1(--n 或1

)

1(+-n ，

（n 为大于等于1的整数）来控制正负，指数为从第3开始的奇数，所以指数部分规律为

12+n ，故选C

6. （2019年广西贺州市）计算+

+

+

+…+

的结果是

（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【考点】规律探索、数字的变化规律、有理数的混合运算 【解答】解：原式＝

＝

＝

．

故选：B ．

7.（2019年河南省）如图，在△OAB 中，顶点O （0，0），A （﹣3，4），B （3，4）， 将△OAB 与正方形ABCD 组成的图形绕点O 顺时针旋转，每次旋转90°，则第70次旋转结 束时，点D 的坐标为（ ）

A ．（10，3）

B ．（﹣3，10）

C ．（10，﹣3）

D ．（3，﹣10）

【考点】规律探索、旋转

【解答】解：∵A （﹣3，4），B （3，4），

∴AB＝3+3＝6，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AD＝AB＝6，

∴D（﹣3，10），

∵70＝4×17+2，

∴每4次一个循环，第70次旋转结束时，相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次，每次旋转90°，

∴点D的坐标为（3，﹣10）．

故选：D．

8. （2019年湖北省十堰市）一列数按某规律排列如下：，，，，，，，

，，，…，若第n个数为，则n＝（）

A．50 B．60 C．62 D．71

【考点】规律探索、数字的变化

【解答】解：，，，，，，，，，，…，可写为：，（，），（，，），（，，，），…，

∴分母为11开头到分母为1的数有11个，分别为

，

∴第n个数为，则n＝1+2+3+4+…+10+5＝60，

故选：B．

9. （2019年内蒙古赤峰市）如图，小聪用一张面积为1的正方形纸片，按如下方式操作：

①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角

三角形扔掉；②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为（）

A．22019B．C．D．

【考点】规律探索、中点四边形

【解答】解：正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，

第一次：余下面积，

第二次：余下面积，

第三次：余下面积，

当完成第2019次操作时，余下纸片的面积为，

故选：C．

二、填空题

1.（2019年山东省滨州市）观察下列一组数：

a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，它们是按一定规律排列的，请利

用其中规律，写出第n个数a n＝（用含n的式子表示）

【考点】规律探索、同底数幂的乘法

【解答】解：观察分母，3，5，9，17，33，…，可知规律为2n+1，

观察分子的，1，3，6，10，15，…，可知规律为，

∴a n＝＝；

故答案为；

2. （2019年山东省枣庄市）观察下列各式：

＝1+＝1+（1﹣），

＝1+＝1+（﹣），

＝1+＝1+（﹣），

…

请利用你发现的规律，计算：

+++…+，

其结果为．

【考点】规律探索、二次根式的化简

【解答】解：+++…+

＝1+（1﹣）+1+（﹣）+…+1+（﹣）

＝2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣

＝2018，

故答案为：2018．

3.（2019年四川省广安市）如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为（1，0），以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以OA2为直角边作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以OA3为直角边作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4＝60°…按此规律进

行下去，则点A2019的坐标为．

【考点】解直角三角形、规律探索

【解答】解：由题意得，

A1的坐标为（1，0），

A 2的坐标为（1，），

A 3的坐标为（﹣2，2），

A4的坐标为（﹣8，0），

A 5的坐标为（﹣8，﹣8），

A 6的坐标为（16，﹣16），

A7的坐标为（64，0），

…

由上可知，A点的方位是每6个循环，

与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，

与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，

与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣2，与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，

与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣2，∵2019÷6＝336…3，

∴点A 2019的方位与点A 23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n ﹣2＝﹣22017，纵坐标为22017

，

故答案为：（﹣22017，22017

）．

4.（2019年江苏省扬州市）如图，在△ABC 中，AB=5，AC=4，若进行一下操作，在边BC 上从左到右一次取点D 1、D 2、D 3、D 4…；过点D1作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 与点E 1、F 1；过点D 2作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 2、F 2；过点D 3作AB 、AC 的平行线分别交于AC 、AB 于点E 3、F 3…，则

4（D 1E 1+D 2E 2+…+D 2019E 2019）+5（D 1F 1+D 2F 2+…+D 2019F 2019）= ． 【考点】相似三角形，比例性质、规律探索 【解答】∵D 1E 1∥AB D 1F 1∥AC

∴

CB CD AB E D 111= BC

BD AC F D 1

1= ∵AB=5 AC=4 ∴

CB CD E D 1115= BC BD F D 1

14= ∴

14511111==+=+BC

BC

BC BD CB CD F D E D ∴4D 1E+5D 1F=20

有2019组，即2019×20=40380

5. （2019年浙江省衢州市）如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形。

（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A位于x轴上，顶点B，D位于y轴上，O为坐标原点，则的值为________. （2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F1，摆放第三个“7”字图形得顶点F2，依此类推，…，摆放第a个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F2019的坐标为________.

【考点】探索图形规律、相似三角形

【解答】（1）依题可得，CD=1，CB=2，

∵∠BDC+∠DBC=90°，∠OBA+∠DBC=90°，

∴∠BDC=∠OBA，

又∵∠DCB=∠BOA=90°，

∴△DCB∽△BOA，

∴ ；

（2 ）根据题意标好字母，如图，

依题可得：

CD=1,CB=2，BA=1，

∴BD= ，

由（1）知，

∴OB= ，OA= ，

易得：

△OAB∽△GFA∽△HCB，

∴BH= ，CH= ，AG= ，FG= ，

∴OH= + = ，OG= + = ，

∴C（，），F（，），

∴由点C到点F横坐标增加了，纵坐标增加了，

……

∴F n的坐标为：（+ n，+ n），

∴F 2019的坐标为：（+ ×2019，+ ×2019）=（，405 ），故答案为：1

，（，405 ）.

2

6.（2019年甘肃省天水市）观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有个〇．

【考点】规律探索、图形的变化

【解答】解：由图可得，

第1个图象中〇的个数为：1+3×1＝4，

第2个图象中〇的个数为：1+3×2＝7，

第3个图象中〇的个数为：1+3×3＝10，

第4个图象中〇的个数为：1+3×4＝13，

……

∴第2019个图形中共有：1+3×2019＝1+6057＝6058个〇，

故答案为：6058．

7. （2019年甘肃省）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n ＝．

【考点】规律探索、图形的变化

【解答】解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．

第2幅图中有2×2﹣1＝3个．

第3幅图中有2×3﹣1＝5个．

第4幅图中有2×4﹣1＝7个．

…．

可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．

故第n幅图中共有（2n﹣1）个．

当图中有2019个菱形时，

2n﹣1＝2019，

n＝1010，

故答案为：1010．

8. （2019年甘肃省武威市）已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是．

【考点】规律探索、数字的变化规律

【解答】解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b，故答案为：13a+21b．

9. （2019年黑龙江省伊春市）如图，四边形OAA1B1是边长为1的正方形，以对角线OA1为边作第二个正方形OA1A2B2，连接AA2，得到△AA1A2；再以对角线OA2为边作第三个正方形OA2A3B3，连接A1A3，得到△A1A2A3；再以对角线OA3为边作第四个正方形，连接A2A4，得到△A2A3A4……记△AA1A2、△A1A2A3、△A2A3A4的面积分别为S1、S2、S3，如此下去，则S2019＝．

【考点】规律探索、正方形的性质、勾股定理

【解答】解：∵四边形OAA1B1是正方形，

∴OA＝AA1＝A1B1＝1，

∴S1＝＝，

∵∠OAA1＝90°，

∴AO12＝√12+12＝，

∴OA2＝A2A3＝2，

∴S2＝＝1，

同理可求：S3＝＝2，S4＝4…，

∴S n＝2n﹣2，

∴S2019＝22017，

故答案为：22017．

10. （2019年辽宁省本溪市）如图，点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，过B1作B1A1⊥1，交x轴于点A1，以A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x 轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3延长B4C3交x轴于点A4；…；按照这个规律进行下去，点?n的横坐标为（结果用含正整数n的代数式表示）

【考点】规律探索、相似三角形的性质

【解答】解：过点B1、C1、C2、C3、C4分别作B1D⊥x轴，C1D1⊥x轴，C2D2⊥x轴，C3D3⊥x轴，C4D4⊥x轴，……垂足分别为D、D1、D2、D3、D4……

∵点B1在直线l：y＝x上，点B1的横坐标为2，

∴点B1的纵坐标为1，

即：OD＝2，B1D＝1，

图中所有的直角三角形都相似，两条直角边的比都是1：2，

∴点C1的横坐标为：2++（）0，

点C2的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1＝+（）0×+（）1

点C3的横坐标为：2++（）0+（）0×+（）1+（）1×+（）2＝+（）0×+（）1×++（）2

点C4的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3

……

点?n的横坐标为：＝+（）0×+（）1×+（）2×+（）3×+（）

4×……+（）n﹣1

＝+[（）0+（）1×+（）2+（）3+（）4……]+（）n﹣1

＝

故答案为：

三、解答题

1. （2019年安徽省）观察以下等式:

第1个等式:211

+，

=

111

第2个等式:311

+，

=

226

第3个等式:211

+，

=

5315

第4个等式:211

+，

=

7428

第5个等式:211

=

+，

9545

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第6个等式：；

（2）写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明. 【考点】规律探索、分式的加减法

【解答】（1）211

+

=

11666

（2）211

=2n-1n n 2n-1+

（）

证明：∵右边112n-1+12

====n n 2n-1n 2n-12n-1

+（）（）左边.

∴等式成立