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《函数的单调性》教学设计

发表时间：2012-09-11T09:06:49.420Z 来源：《中小学教育》2012年11月总第115期供稿作者：符云波[导读] 使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握利用函数图像和定义判断、证明函数单调性的方法。符云波山东省邹平县长山中学256206 教材：人教版普通高中课程标准实验教科书数学A版（必修1）。

【教学目标】

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握利用函数图像和定义判断、证明函数单调性的方法。 2．渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。

3.通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程。

【重点】函数单调性的概念、判断及证明。

【难点】根据定义证明函数的单调性。

【教学过程】

一、创设情境，引入课题

在日常生活中，有“蒸蒸日上”、“每况愈下”、“波澜起伏”等成语，有“人多力量大”、“僧多粥少”等俗语，同学们能否在直角坐标系中用图像大致描述一下呢？

教师指出：在生活中，我们关心很多数据的变化规律，反映出这个关系，比如股票价格、水位高低、降雨量等。了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的。用函数观点看，其实这些例子反映的就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小（板书课题：函数的单调性）。

〖设计意图〗由生活情境引入新课，激发兴趣。

二、归纳探索，形成概念

对于自变量变化时，函数值变大还是变小，是函数的重要性质，称为函数的单调性。同学们在初中对函数的这种性质就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义。

1.借助图像，直观感知

问题1：分别作出函数y=x+2、y=-x+2、y=x2、y= 的图像，并且观察自变量变化时，函数值的变化规律。

问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数?

〖设计意图〗从图像直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识。

2.归纳探索，抽象思维

问题3：你能判断函数y=x+ (x＞0)分别在哪个区间为增函数和减函数吗？

〖设计意图〗使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性。

问题4：如何从解析式的角度，用准确的符号语言来说明f(x)=x2在[0,+∞）上为增函数？

〖设计意图〗把对单调性的认识由感性上升到理性的高度,完成对概念的第二次认识。事实上也给出了证明单调性的方法，为第三阶段的学习做好了铺垫。

3.抽象思维，形成概念

问题5：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗?

〖设计意图〗让学生由特殊到一般、从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识。

三、巩固概念，掌握证法

例1.课本P29例1。

教师强调三点：

①单调性是对定义域内某个区间而言的，孤立的点不影响区间的单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可，若无定义只能用小括号.

②有的函数在整个定义域内单调(如一次函数)，有的函数只在定义域内的某些区间单调(如二次函数)，有的函数根本没有单调区间(如常函数)。

③函数在定义域内的两个区间A、B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在AUB上是增（或减）函数，一般用“，”或“和”连接。

例2.用定义证明函数f(x)= 在(-∞,0)上是减函数。

1.分析解决问题

针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流。

2.归纳解题步骤

证明函数单调性的步骤：设值（任取）、作差、变形（通常是因式分解和配方）、定号、定论。

练习：证明函数f(x)=x+ 在（2,+∞）上是增函数。

〖设计意图〗初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤。通过练习巩固运用定义证明单调性的方法步骤。

四、归纳小结，提高认识

1.概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性。

2.证明方法和步骤：设值、作差、变形、定号、下结论。

3.数学思想方法：数形结合。

《3.3.1函数的单调性与导数》教学案

3.3.1《函数的单调性与导数》教学案教学目标： 1．了解可导函数的单调性与其导数的关系； 2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：一．创设情景函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．二．新课讲授 1．问题：图3.3-1(1)，它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现： (1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>． (2) 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．如图3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处，'0()0f x >，切线是“左下右上”式的，

语文二年级上册《风娃娃》教学设计教案和精彩片段对话

课题：24 风娃娃【教学要求】 1．会写本课的“车、得”等8个生字，认识本课的“助、使”等13个生字，理解词语的意思。 2．能正确、流利地朗读课文，能根据课后提示讲述故事。 3.理解课文内容，理解“做事情光有好的愿望还不行，还要看是不是真的对别人有用。” 【教学重点】 1.识字、写字，理解词语的意思，了解风娃娃都做了哪些事情。 2.能正确、流利地朗读课文，根据提示讲故事。【教学难点】理解课文内容，说说生活中风还能干什么。【课时安排】二课时。第一课时课时目标 1.会写本课的“车、得”等8个生字，认识本课的“助、阵”等13个生字，理解词语的意思。 2．能正确、流利地朗读课文，了解风娃娃都做了哪些事情。教具准备教学课件教学过程一、出示谜语，引入课题。 1.同学们，你们喜欢猜谜语吗?下面我出个谜面：（出示课件 2）禾苗见它弯腰，花儿见它点头，小树见它招手，云朵见它让路。 2.指名说谜底。(风) 3.同学们，你们有谁见过风吗 ? (指名见过风的同学说说风【设计意图：猜谜语导入课文，引起学生的学习兴趣，调动了学习的积极性。】

是怎样的)风是这样的神奇，你了解它吗？我们到课文中寻找答案吧！ 4.这节课，我们就来学习第24课《风娃娃》。（板书课题 24风娃娃）二、识字解词，读顺课文。 1.学生自读课文。提出要求：（出示课件3）（1）不认识的字可以看拼音，或者请教老师和同学。（2）读准每一个字的字音，圈出生字词。（3）读通每个句子，读不通顺的多读几遍。（4）给每个自然段标上序号。 2.检查自学情况。（1）出示生字（出示课件4） chē de yānɡ miáo hàn chǎnɡ shānɡ lù 车得秧苗汗场伤路Array ①各自拼读，读好前鼻音“汗”，后鼻音“秧、场、伤”，翘舌音“车、场、伤”，边音“路”。 ②指名认读，相机正音，并用生字口头组词。 ③识记生字记生字：开动脑筋记生字。学生各抒己见，然后教师总结：加一加：“氵”加“干”是“汗”；“亻”加“人”加“力”是“伤”，“?”加“各”是“路”。换一换：“扬”减“扌”换“土”就是“场”。“映”减“日”换“禾”就是“秧”。“碍”减“石”换“彳”，就是“得”。猜谜语：“花底离离弄日影”是“苗”。（2）出示新词（出示课件5）帮助．使劲．．哗．啦表示．．摇摇摆．摆责．怪栽．树拉．船 ①开展读词游戏。指名读，开火车读。 ②小老师领读，齐读。理解、记忆。借助形声字的构字规律来识记，如“哗、秧”。

高一数学函数单调性讲解

高中数学必修一函数——单调性考纲解读：了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。知识要点： 1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间 4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用一、单调性的定义（1）设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ? 如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说 )(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间（2）设函数)(x f y =的定义域为A 如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为 )(x f y =的最小值。二、函数单调性的证明重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；（1）定义法求单调性函数单调性定义中的1x ，2x 有三个特征：一是任意性；二是大小，即 )(2121x x x x <<；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可；

必修一函数的单调性专题讲解(经典)

第一章函数的基本性质之单调性一、基本知识 1．定义：对于函数)(x f y =，对于定义域内的自变量的任意两个值21,x x ，当 21x x <时，都有 ))()()(()(2121x f x f x f x f ><或，那么就说函数)(x f y =在这个区间上是增（或减）函数。重点 2．证明方法和步骤：（1）取值：设21,x x 是给定区间上任意两个值，且21x x <；（2）作差：)()(21x f x f -；（3）变形：（如因式分解、配方等）；（4）定号：即0)()(0)()(2121<->-x f x f x f x f 或；（5）根据定义下结论。 3．常见函数的单调性时，在R 上是增函数；k<0时，在R 上是减函数（2），在（—∞，0），（0，+∞）上是增函数，（k<0时），在（—∞，0），（0，+∞）上是减函数，（3）二次函数的单调性：对函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ，当0>a 时函数)(x f 在对称轴a b x 2- =的左侧单调减小，右侧单调增加；当0