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(完整版)导数综合练习题

导数练习题（B ）

1．（本题满分12分）

已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；

（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；

（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3

的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围． 2．（本小题满分12分）

已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．

（I ）求函数)(x f 的单调区间；

（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为

3若函数]2)('[31)(23m

x f x x x g ++=在区间

（1，3）上不是单调函数，求m 的取值范围．

3．（本小题满分14分）

已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值．（I ）求实数a 的取值范围；

（II ）若方程9

)32()(2

+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；

（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ． 4．（本小题满分12分）

已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=．

（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >；（II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数． 5．（本小题满分14分）

已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；

（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围； 6．（本小题满分12分）

已知2x =是函数2

()(23)x

f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）．

（I ）求实数a 的值；

（II ）求函数()f x 在]3,2

3[∈x 的最大值和最小值．

7．（本小题满分14分）

已知函数)0,(,ln )2(4)(2

≠∈-+-=a R a x a x x x f

（I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；

（II ）求函数)(x f 在区间],[2

e e 上的最小值． 8．（本小题满分12分）

已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．

单调性．（I ）求实数a 的取值范围；

（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设22

()()6g x f x x

'=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238

|()()|||27

g x g x x x ->

-恒成立． 9．（本小题满分12分）

已知函数.1,ln )1(2

1)(2

>-+-=

a x a ax x x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；

（II ）证明：若.1)

()(,),,0(,,52

1212121->--≠+∞∈

10．（本小题满分14分）

已知函数2

1()ln ,()(1),12

f x x a x

g x a x a =

+=+≠-．（I ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围；（II ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=L ，设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立．

11．（本小题满分12分）

设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =???），()f x '表示()f x 导函数．

（I ）求函数()f x 的极值；

（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '． 12．（本小题满分14分）

定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y

，

（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；

（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在

)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；

（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．

导数练习题（B ）答案

1．（本题满分12分）

已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所示．（I ）求d c ,的值；

（II ）若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ，求函数)(x f 的解析式；

（III ）在（II ）的条件下，函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3

的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．

解：函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分）（I ）由图可知函数)(x f 的图象过点（0，3），且0)1('=f

得 ?

??==???

?=--++=03

23233c d b a c b a d …………（4分）

（II ）依题意 3)2('-=f 且5)2(=f

?=+--+-=--+5346483

23412b a b a b a b a 解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分）

（III ）9123)(2

+-='x x x f ．可转化为：(

)

m x x x x x x +++-=++-5343962

有三个不等实根，

即：()m x x x x g -+-=872

与x 轴有三个交点；

42381432--=+-='x x x x x g ，

??? ?

∞-32,

??432， 4

()∞+，4

()x g ' + 0 - 0 + ()x g

增

极大值

减

极小值

增

()m g m g --=-=??

? ??164,273． …………（10分）当且仅当()0164027

32<--=>-=

??? ??m g m g 且时，有三个交点，故而，27

16<<-m 为所求． …………（12分）

2．（本小题满分12分）

已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=．（I ）求函数)(x f 的单调区间；

（II ）函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为,2

3若函数]2)('[31)(23m

x f x x x g ++=在区间（1，

3）上不是单调函数，求m 的取值范围．解：（I ）)0()

1()('>-=

x x

x a x f （2分）

当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a 当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞

当a=1时，)(x f 不是单调函数

（5分）

（II ）32ln 2)(,223

43)4('-+-=-==-

=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22

(31)(223-++=∴-++=∴x m x x g x x m

x x g （6分）

2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间Θ

?><∴.

0)3(',

0)1('g g （8分）??

??>-<∴,319

3m m （10分）)3,319(--∈m （12分）

3．（本小题满分14分）

已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在1=x 处取得极大值．（I ）求实数a 的取值范围；

（II ）若方程9

)32()(2

+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式；

（III ）对于（II ）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．解：（I ）,23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=?=320)1(--=?='a b f

),323)(1()32(23)(2++-=+-+='∴a x x a ax x x f

由3

210)(+-==?='a x x x f 或，因为当1=x 时取得极大值，

所以313

2-+-a a ，所以)3,(:--∞的取值范围是a ；

…………（4分）

（II

依题意得：9

)32()32(2762

=++a a a ，解得：9-=a 所以函数)(x f 的解析式是：x x x x f 159)(23+-=

…………（10分）

（III ）对任意的实数βα,都有,2sin 22,2sin 22≤≤-≤≤-βα

在区间[-2，2]有：230368)2(,7)1(,7430368)2(=+-==-=---=-f f f

,7)1()(=f x f 的最大值是7430368)2()(-=---=-f x f 的最小值是函数]2,2[)(-在区间x f 上的最大值与最小值的差等于81，所以81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．

…………（14分）

4．（本小题满分12分）

已知常数0>a ，e 为自然对数的底数，函数x e x f x -=)(，x a x x g ln )(2-=．

（I ）写出)(x f 的单调递增区间，并证明a e a >；（II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．

解：（I ）01)(≥-='x e x f ，得)(x f 的单调递增区间是),0(+∞， …………（2分）

∵0>a ，∴1)0()(=>f a f ，∴a a e a >+>1，即a e a >． …………（4分）

（II ）a x a x a x x g )22)(22(22)(-+

='，由0)(='x g ，得2a x =，列表

当2x 2

22( …………（6分）

由（I ）a e a >，∵??

???>

>22a a e e a

a ，∴22a e a

>，∴22a e a >

01)1(>=g ，0))(()(22>-+=-=a e a e a e e g a a a a …………（8分）（i ）当

122≤a

，即20≤a

，即2>a 时

若0)2ln 1(2>-a

a ，即e a 22<<时，函数)(x g y =在区间),1(a e 不存在零点

若0)2ln 1(2=-a

a ，即e a 2=时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在一个零点e x =；

若0)2

ln 1(2<-a

a ，即e a 2>时，函数)(x g y =在区间),1(a e 存在两个零点；

综上所述，)(x g y =在(1,)a

e 上，我们有结论：当02a e <<时，函数()

f x 无零点；当2a e = 时，函数()f x 有一个零点；当2a e >时，函数()f x 有两个零点．

…………（12分） 5．（本小题满分14分）

已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+．（I ）当1k =时，求函数()f x 的最大值；

（II ）若函数()f x 没有零点，求实数k 的取值范围；

解：（I ）当1k =时，2()1

f x x -'=-

)(x f 定义域为（1，+∞），令()0,2f x x '==得， ………………（2分） ∵当(1,2),x ∈时()0f x '>，当(2,),x ∈+∞时()0f x '<， ∴()(1,2)f x 在内是增函数，(2,)+∞在上是减函数

∴当2x =时，()f x 取最大值(2)0f = ………………（4分）（II ）①当0k ≤时，函数ln(1)y x =-图象与函数(1)1y k x =--图象有公共点，

∴函数()f x 有零点，不合要求； ………………（8分）

②当0k >时，1()

11()111

k k x k kx k f x k x x x +-+-'=-==---- ………………（6分）

令1()0,k f x x k +'==

得，∵1(1,),()0,k x f x k +'∈>时1

(1,),()0x f x k '∈++∞<时， ∴1()(1,1)f x k +在内是增函数，1

∵函数()f x 没有零点，∴ln 0k -<，1k >，

因此，若函数()f x 没有零点，则实数k 的取值范围(1,)k ∈+∞．………………（10分） 6．（本小题满分12分）

已知2x =是函数2()(23)x

f x x ax a e =+--的一个极值点（???=718.2e ）．（I ）求实数a 的值；

22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--……（4分）

∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '=

∴2

(5)0a e +=，解得5a =- ……………（6分）（II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增，在),2(+∞递增，

由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减

∴2)2(e f =是()f x 在]3,2

3[∈x 的最小值； ……………（8分）

2347)23(e f =，3)3(e f = ∵)2

3()3(,0)74(4147)23()3(232

33f f e e e e e f f >>-=-=- ∴()f x 在]3,2

[∈x 的最大值是3)3(e f =． ……………（12分）

7．（本小题满分14分）

已知函数)0,(,ln )2(4)(2

≠∈-+-=a R a x a x x x f （I ）当a=18时，求函数)(x f 的单调区间；

（II ）求函数)(x f 在区间],[2

e e 上的最小值．解：（Ⅰ）x x x x

由0)('>x f 得0)4)(2(>-+x x ，解得4>x 或2-x ，所以函数)(x f 的单调递增区间是（4，+∞）由0)('x ，所以函数)(x f 的单调递减区间是]4,0(. 综上所述，函数)(x f 的单调增区间是（4，+∞），单调减区间是]4,0(

6分

（Ⅱ）在],[2e e x ∈时，x a x x x f ln )2(4)(2

-+-=

所以x

x x x a x x f -+-=-+-=242242)('2，设a x x x g -+-=242)(2

当0

此时0)(>x g ，所以0)('>x f ，)(x f 在],[2

e e 上单调递增，

所以a e e e f x f -+-==24)()(2

min 8分

当0>a 时，△=08)2(2416>=-?-a a ，令0)('>x f ，即02422>-+-a x x ，解得221a x +>或2

2)1(2-e 时， )(x f 在区间],[2e e 单调递减，所以a e e e f x f 244)()(242min -+-==.

②若22

21e a

e <+

<，即222)1(2)1(2-<<-e a e 时间， )(x f 在区间]221,[a e +上单调递减，在区间],221[2

e a +上单调递增，所以min )(x

f )221(a f +=)2

21ln()2(322a a a a +-+--=. ③若2

21a +≤e ，即a <0≤22)1(-e 时，)(x f 在区间],[2

e e 单调递增，

所以a e e e f x f -+-==24)()(2

min

综上所述，当a ≥22

)1(-e 时，a e a x f 244)(2

min -+-=；

当2

)1(2)1(2-<<-e a e 时，)2

21ln()2(322)(min a

a a a x f +-+--=

；当a ≤2)1(2-e 时，a e e x f -+-=24)(2min 14分

8．（本小题满分12分）

已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．

单调性．（I ）求实数a 的取值范围；

（II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2

()()6g x f x x '=+-，试证明：对任意两个不相等正数12x x 、，不等式121238

|()()|||27

g x g x x x ->

-恒成立．解：（I ）226()26a x x a

f x x x x

-+'=-+=， ………………（2分）

∵()f x 在(2,)x ∈+∞上不具有．．．

单调性，∴在(2,)x ∈+∞上()f x '有正也有负也有0，即二次函数226y x x a =-+在(2,)x ∈+∞上有零点 ………………（4分）

∵226y x x a =-+是对称轴是3

x =

，开口向上的抛物线，∴222620y a =?-?+< 的实数a 的取值范围(,4)-∞ ………………（6分）

（II ）由（I ）22

()2a g x x x x =+-，

方法1：2222

()()62(0)a g x f x x x x x x

'=-+=+->，

∵4a <，∴323233

444244

()22a x x g x x x x x x -+'=-+>-+=，…………（8分）

设2344()2h x x x =-+，344

8124(23)

()x h x x x x -'=-= ()h x 在3(0,)2是减函数，在3(,)2+∞增函数，当32x =时，()h x 取最小值

∴从而()g x '3827>，∴38(())027g x x '->，函数38

()27

y g x x =-是增函数，

12x x 、是两个不相等正数，不妨设12x x <，则22113838

()()2727g x x g x x ->-

∴212138

()()()27

g x g x x x ->-，∵210x x ->，∴

1212()()3827g x g x x x ->- ∴

1212()()g x g x x x --3827>，即121238

|()()|||27

g x g x x x ->- ………………（12分）

方法2： 11(,())M x g x 、22(,())N x g x 是曲线()y g x =上任意两相异点，

121222

121212

()()2()2g x g x x x a

>，令32()244MN k u t t t ==+-，()4(32)u t t t '=-，由()0u t '>，得2,3t >

由()0u t '<得20,3

t << ()u t ∴在)32,0(上是减函数，在),3

2(+∞上是增函数，

)(t u ∴在3

2=t 处取极小值2738，38

()27u t ∴≥，∴所以1212()()g x g x x x --3827>

即121238

|()()|||27

g x g x x x ->

- ………………（12分） 9．（本小题满分12分）

已知函数.1,ln )1(2

1)(2

>-+-=

a x a ax x x f （I ）讨论函数)(x f 的单调性；

（1）)(x f 的定义域为),0(+∞，x

a x x x a ax x x a a x x f )

1)(1(11)('2-+-=

-+-=-+-= 2分

（i ）若2,11==-a a 即，则 .)1()('2

x x f -=

故)(x f 在),0(+∞单调增加．（ii ）若.0)(',)1,1(,21,1,11<-∈<<><-x f a x a a a 时则当故而

)1,1()(,0)(',),1()1,0(->+∞∈-∈a x f x f x a x 在故时及当单调减少，在（0，a-1）， ),1(+∞单调增加．

（iii ）若),1(),1,0(,)1,1()(,2,11+∞-->>-a a x f a a 在单调减少在同理可得即

单调增加．

（II ）考虑函数x x f x g +=)()( .ln )1(212

x x a ax x +-+-=

由 .)11(1)1(1

21)1()('2---=---?≥-+--=a a x

a x x a a x x g 由于单调增加在即故),0()(,0)(',5+∞>>x x 时有 ,0)()(,0)()(212121>-+->-x x x f x f x g x g 即

故

1)()(2121->--x x x f x f ，当210x x <<时，有1)

()()()(1

2122121->--=--x x x f x f x x x f x f 10．（本小题满分14分）

∵函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，

(1)()0a x a ++≥恒成立， ∴21a a x >-??≥-?在[1,3]x ∈时恒成立，或2

1a a x <-??≤-?

在[1,3]x ∈时恒成立， ∵91x -≤≤-，∴1a >-或9a ≤- ………………（6分）

（II ）21()ln ,(1)2F x x a x a x =

+-+，()(1)

()(1)a x a x F x x a x x

--'=+-+=

∵()F x 定义域是(0,)+∞，(1,]a e ∈，即1a >

∴()F x 在(0,1)是增函数，在(1,)a 实际减函数，在(,)a +∞是增函数

m F a a a a a ==--， ………………（8分）

∵12,[1,]x x a ∈，∴12|()()|||F x F x M m M m -≤-=- ………………（10分）

设211

()ln 22

G a M m a a a =-=--，则()ln 1G a a a '=--， ∴1

[()]1G a a

''=-

，∵(1,]a e ∈，∴[()]0G a ''> ∴()ln 1G a a a '=--在(1,]a e ∈是增函数，∴()(1)0G a G ''>=

∴211

()ln 22

G a a a a =--在(1,]a e ∈也是增函数 ………………（12分）

∴当12,[1,]x x a ∈时，不等式12|()()|1F x F x -<成立． ………………（14分）

11．（本小题满分12分）

设曲线C ：()ln f x x ex =-（ 2.71828e =???），()f x '表示()f x 导函数．

（I ）求函数()f x 的极值；

（II ）对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <，求证：存在唯一的0x 12(,)x x ∈，使直线AB 的斜率等于0()f x '．解：（I ）11()0ex f x e x x

-'=

-==，得1

x e =

当x 变化时，()f x '与()f x 变化情况如下表：

∴当1x e =时，()f x 取得极大值()2f e

=-，没有极小值； …………（4分）

（II ）（方法1）∵0()AB f x k '=，∴

2121021ln ln ()1x x e x x e x x x ----=-，∴21201

ln 0x x x

x x --= 即20211ln ()0x x x x x --=，设2211

()ln ()x

g x x x x x =--

211211()ln ()x g x x x x x =--，1

211

()ln 10x x g x x =->，1()g x 是1x 的增函数，

∵12x x <，∴2122222

()()ln ()0x

g x g x x x x x <=--=；

222211()ln ()x g x x x x x =--，2

221

()ln 10x x g x x =->，2()g x 是2x 的增函数，

∵12x x <，∴1211111

()()ln ()0x

g x g x x x x x >=--=，

∴函数2211

()ln ()x

g x x x x x =--在12(,)x x 内有零点0x ， …………（10分）

又∵22111,ln 0x x x x >∴>，函数2211

()ln ()x

g x x x x x =--在12(,)x x 是增函数，

∴函数2121

()ln x x x

g x x x -=-在12(,)x x 内有唯一零点0x ，命题成立…………（12分）（方法2）∵0()AB f x k '=，∴2121021

ln ln ()1

x x e x x e x x x ----=-，即020112ln ln 0x x x x x x -+-=，012(,)x x x ∈，且0x 唯一

设2112()ln ln g x x x x x x x =-+-，则1121112()ln ln g x x x x x x x =-+-，再设22()ln ln h x x x x x x x =-+-，20x x <<，∴2()ln ln 0h x x x '=-> ∴22()ln ln h x x x x x x x =-+-在20x x <<是增函数 ∴112()()()0g x h x h x =<=，同理2()0g x >

∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有解 …………（10分）

∵一次函数在12(,)x x 2112()(ln ln )g x x x x x x =-+-是增函数

∴方程2112ln ln 0x x x x x x -+-=在012(,)x x x ∈有唯一解，命题成立………（12分）

注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线C 不存在拐点，不给分． 12．（本小题满分14分）

定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y

，

（I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域；

（II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ，若存在实数b 使得曲线C 在

)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线，求实数a 的取值范围；

（III ）当,*x y ∈N 且x y <时，求证(,)(,)F x y F y x >．

解：（I ）22log (24)0x x -+>，即2241x x -+> ……………………（2分）

得函数()f x 的定义域是(1,3)-， ……………………（4分）（II ）22322()(1,log (1))1,g x F x ax bx x ax bx =+++=+++

设曲线00(41)C x x -<<-在处有斜率为－8的切线，

又由题设,23)(,0)1(log 2

232b ax x x g bx ax x ++='>+++

∴存在实数b 使得???

??>+++-<<--=++111482302

0300020bx ax x x b ax x 有解， ……………………（6分）

由①得,238020ax x b ---=代入③得08202

0<---ax x ，

2000280

x ax x ?++>?∴?

-<<-??由有解， ……………………（8分）方法1：0082()()a x x <-+-，因为041x -<<-，所以008

2()[8,10)()

x x -+∈-，

当10a <时，存在实数b ，使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－8的切线

………………（10分）

方法2：得08)1()1(208)4()4(22

>+-?+-?>+-?+-?a a 或，

1010,10.a a a ∴<<∴<或 ………………（10分）

方法3：是22

2(4)(4)802(1)(1)80

a a ??-+?-+≤???-+?-+≤??的补集，即10a < ………………（10分）（III ）令2

)

1ln(1)(,1,)1ln()(x

x x x

x h x x x x h +-+='≥+=由又令,0),1ln(1)(>+-+=x x x

x p 0)1(11)1(1)(22<+-=+-+=

'∴x x x x x p ， ),0[)(+∞∴在x p 单调递减. ……………………（12）分

0()(0)0,1()0,x p x p x h x '∴><=∴≥<当时有当时有

),1[)(+∞∴在x h 单调递减，

x y y x y x x y y

y x x y x )1()1(),1ln()1ln(,)

1ln()1ln(,1+>+∴+>+∴+>+<≤∴有时，

).,(),(,x y F y x F y x N y x ><∈∴*时且当 ………………（14分）

①②

③