高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第七节指数函数与对数函数 文

第七节指数函数与对数函数

1．理解指数函数和对数函数的概念，并理解指数函数和对数函数的单调性与

函数图象通过的特殊点．

2．知道指数函数和对数函数是两类重要的函数模型．

3．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a>0，a≠1)．

知识梳理

一、指数函数与对数函数的关系

同底的指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

二、指数函数与对数函数的图象所经过的定点

1．指数函数y＝a x的图象经过定点(0,1)，函数y＝a x－m的图象经过定点________，函数y＝a x－m＋n经过定点______．

2．对数函数y ＝log a x 的图象经过定点(1,0)，函数y ＝log a (x －m )的图象经过定点________，函数y ＝n ＋log a (x －m )经过定点________．

二、1.(m,1) (m,1＋n ) 2.(m ＋1,0) (m ＋1，n )

基础自测

1．(2013·温州八校联考)已知函数f (x )＝?

????

e x ，x ＜0，ln x ，x ＞0，则

f (f (e 1

))＝( )

A.1

e B ．e

C ．－1e

D ．－e

解析：由题意得，f (f (

e

1)) ＝f ????ln 1e ＝f (－1)＝e －1＝1e . 答案：A

2．(2013·山东滨州一模)“10a ＞10b ”是“lg a ＞lg b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：由10a ＞10b 得a ＞b ，由lg a ＞lg b 得a ＞b ＞0，所以“10a ＞10b ”是“lg a ＞lg b ”的必要不充分条件，故选B.

答案：B

3. 若函数f (x )＝a x (a ＞0且a ≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a ＝______. 解析：由于互为反函数的关系，f (x )过点(－1,2)，代入得a －1＝2?a ＝1

2.

答案：12

解析：由题意得?

????

log a (－1＋b )＝0，

log a b ＝1，∴a ＝b ＝2∴y ＝log 22x ＝1＋log 2x ，增区间

为(0，＋∞)．

答案：(0，＋∞)

1．(2012·天津卷)已知a ＝21.2，b ＝????12－0.8

，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )

A ．c ＜b ＜a

B ．c ＜a ＜b

C ．b ＜a ＜c

D ．b ＜c ＜a

解析：b ＝????12－0.8＝20.8＜21.2

＝a ，c ＝2log 52＝log 522＜log 55＝1＜20.8

＝b ，故c ＜b ＜a .

答案：A

2．(2013·湖南卷)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个

数为( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

解析： 二次函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象开口向上，在x 轴上方，对称轴为x ＝2，g (2) ＝ 1; f (2) ＝2ln 2＝ln 4>1.所以g (2)

答案： B

1．(2012·大连市双基测试)为了得到函数y ＝3????13x 的图象，可以把函数y ＝????13x

的图象( )

A ．向左平移3个单位长度

B ．向右平移3个单位长度

C ．向左平移1个单位长度

D ．向右平移1个单位长度

解析：因为y ＝3????13x ＝????13x －1，所以将y ＝????13x 的图象向右平移1个单位长度即可．故选D.

答案：D

2．(2013·揭阳一模)已知集合A ＝{x |y ＝log 2(x ＋1)}，集合B ＝?

???

??y ??

y ＝???

?12x ，x ＞0，则A ∩B ＝( )

A ．(1，＋∞)

B ．(－1,1)

C ．(0，＋∞)

D ．(0,1)

解析：由A ＝{x |y ＝log 2(x ＋1)}＝{x |x ＞－1}＝(－1，＋∞)，

B ＝?

???

??y ??

y ＝???

?12x ，x ＞0＝{y |0＜y ＜1}＝(0,1)，所以A ∩B ＝ (－1，＋∞)∩(0,1)＝(0,1)．故选D. 答案：D