江苏省苏北地区2020-2021学年高二上学期学情调研数学试题

江苏省苏北地区2020-2021学年高二上学期学情调研数学试

题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设a R ∈，则“1a >”是“12a >”的（ ）条件．

A ．必要不充分

B ．充分不必要

C ．既不充分也不必要

D ．充要 2．若数列的前4项分别是1111,,,2345

--，则此数列的一个通项公式为（ ） A ．1(1)n n -- B ．(1)n n

- C ．1

(1)1n n +-+ D ．(1)1n n -+ 3．在等差数列{}n a 中，若32a =，64a =，则等差数列{}n a 的公差d =（ ） A ．32 B ．1 C ．23 D ．13

4．已知等比数列{}n a 中，427a =，公比3q =-，则1a =（ ）

A ．1

B ．1-

C ．3

D ．3- 5．已知1x >，11y x x =+

-，则y 的最小值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

6．已知命题:p x m >，2:20q x x +-<，如果命题p 是命题q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．(],1-∞-

B ．()2,+∞

C ．[)1,+∞

D ．[)2,+∞ 7．在等比数列{}n a 中，332a =，392S =，则1a =（ ） A ．32或6 B ．3 C ．32

或3 D ．6 8．设a ，b ，c 为实数，且a >b >0，则下列不等式正确的是（ ） A ．22ac bc > B ．11a b < C ．b a a b > D ．2a ab <

9．我国古代用诗歌的形式提出一个数列问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共有三百八十一，试问塔顶几盏灯？”，请问塔顶一共（ ）盏灯.

A ．4

B ．3

C ．6

D ．2

10．观察下列一组数据

11a =

235a =+

37911a =++

413151719a =+++

…

则20a 从左到右第一个数是（ ）

A ．379

B ．383

C ．381

D ．377

11．等差数列{}n a 中，n S 为它的前n 项和，若10a >，200S >，210S <，则当n =（ ）

时，n S 最大.

A ．8

B ．9

C ．10

D ．11 12．设函数()221

x f x =+，利用课本（苏教版必修5）中推导等差数列前n 项和的方法，求得()()()()()54045f f f f f -+-+???++???++的值为（ ）

A ．9

B ．11

C ．92

D ．112

二、填空题

13．命题“0x ?>，210x -<.”的否定是______.

14．不等式220x kx k -+>对于任意的实数x 恒成立，则实数k 的取值范围是______. 15．数列{}n a 满足11a =，且11()n n a a n n N ++-=+∈，则数列1n a ??????

的前n 项和为___________ .

16．已知正数a 、b 满足2a b +=，则

12

a b a b +++的最大值为______.

三、解答题

17．解下列不等式：

（1）()()124x x -+>-； （2）2113

x x +≥-. 18．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且218S =-，110S =.

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若n n S b n

=，求证：数列{}n b 是等差数列. 19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21n n S a =-.

（1）求{}n a 的通项公式

（2）若21n b n =+，求数列{}n n a b 的前n 项和.

20．某工厂生产某种产品的年固定成本为200万元，每生产x 千件，需另投入成本为()C x ，当年产量不足80千件时，21()103

C x x x =+（万元）．当年产量不小于80千件时，10000()511450C x x x

=+-（万元）．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．

（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；

（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？

21．设函数()()()2

230f x ax b x a =+-+≠. （1）若不等式()0f x >的解集为()3,1-，求a 、b 的值；

（2）若=-b a ，求不等式()1f x ≤的解集.

22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221n S n n =-+，数列{}n b 中，213

3a b a =+，对任意正整数2n ≥，113n n n b b -??+= ???

. （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）是否存在实数μ，使得数列{}

3n n b μ+是等比数列？若存在，请求出实数μ及公比q 的值，若不存在，请说明理由；

（3）求数列{}n b 前n 项和n T .

参考答案

1．B

【分析】

根据充分条件与必要条件的概念，可直接得出结果.

【详解】

若1a >，则12a >，所以“1a >”是“12a >”的充分条件；

若12a >，则1a >或1a <-，所以“1a >”不是“12a >”的必要条件；

因此，“1a >”是“12a >”的充分不必要条件.

故选：B

【点睛】

本题主要考查充分不必要条件的判定，熟记概念即可，属于基础题型.

2．C

【分析】

根据数列的前几项的规律，可推出一个通项公式.

【详解】

设所求数列为{}n a ，可得出()11

1111a +-=+，()212121a

+-=+，()313131a +-=+，()414141a +-=+，

因此，该数列的一个通项公式为()111n n a

n +-=+.

故选：C.

【点睛】 本题考查利用数列的前几项归纳数列的通项公式，考查推理能力，属于基础题.

3．C

【分析】

由633a a d =+可解出d 的值.

【详解】

由题意可得633a a d =+，即234d +=，解得23

d =

. 故选：C.

【点睛】

本题考查等差数列公差的计算，考查运算求解能力，属于基础题.

4．B

【分析】

根据等比数列的通项公式可得结果》

【详解】

由数列{}n a 是等比数列，所以11n n a a q -=

则34127a a q ==，又3q =-，

所以11a =-

故选：B

【点睛】

本题考查等比数列的通项公式，属基础题.

5．C

【分析】 将函数解析式变形为1111

y x x =-+

+-，利用基本不等式可求出y 的最小值. 【详解】

1x >，则10x ->，由基本不等式得111131y x x =-++≥=-， 当且仅当2x =时，等号成立，因此，y 的最小值是3.

故选：C.

【点睛】

本题考查利用基本不等式求最值，同时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于基础题.

6．D

【分析】

解出命题q 中的不等式，根据题中条件得出两集合的包含关系，可得出关于实数m 的不等式，解出即可.

【详解】

解不等式220x x +-<，即220x x -->，解得1x <-或2x >.

命题p 是命题q 的充分不必要条件，{}{1x x m x x ><-或}2x >，2m ∴≥. 因此，实数m 的取值范围是

[)2,+∞.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用充分不必要条件求参数的取值范围，一般转化为集合的包含关系来求解，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.

7．A

【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意建立1a 和q 的方程组，即可求出1a 的值.

【详解】 设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得()

23123132912a a q S a q q ?==????=++=??，解得1321a q ?=???=?或1612a q =???=-??

，因此，132a =或6. 故选：A.

【点睛】

本题考查等比数列中基本量的计算，根据题意建立有关首项和公比的方程组是解答的关键，考查运算求解能力，属于基础题.

8．B

【分析】

由0a b >>，可判断选项的对错．

【详解】

选项A 中，若0c

，A 错； 选项B 中，因为10ab

>，所以1a b ab ab 1?>?，即11a b <，正确；

选项C 中，1b a a b

<<，C 错； 选项D 中，2a ab >，D 错；

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.

9．B

【分析】

设塔顶有x 盏灯，由等比数列的求和公式可得

()71238112x -=-，解方程即可. 【详解】

由题设知七层塔中，各层塔上灯的个数成等比数列，且公比为2q

， 设塔顶有x 盏灯，则

()71212738112x x -==-，解得3x =.

故选：B.

【点睛】

本题考查等比数列的前n 项和的应用，从实际问题中抽象出数列问题是解决本题的关键，属基础题．

10．C

【分析】

先计算前19行数字的个数，进而可得20a 从左到右第一个数．

【详解】 由题意可知，n a 可表示为n 个连续的奇数相加，从1a 到19a 共有()119191902

+?=个奇数， 所以20a 从左到右第一个数是第191个奇数，第n 个奇数为21n -，

所以第191个奇数为21911381?-=．

故选：C.

【点睛】

本小题主要考查归纳推理、等差数列求和公式等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题． 11．C

【分析】

根据等差数列的前n 项和公式与项的性质，得出100a >且110a <，由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 最大时n 的值．

【详解】

等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且200S >，210S <，

即()

()120201*********a a S a a +==+>，10110a a ∴+>，

()

1212111212102a a S a +==<，所以，110a <，则100a >，

因此，当10n =时，n S 最大.

故选：C.

【点睛】

本题考查了等差数列的性质和前n 项和最值问题，考查等差数列基本性质的应用，是中等题． 12．B

【分析】

先计算出()()f x f x +-的值，然后利用倒序相加法即可计算出所求代数式的值.

【详解】

()221

x f x =+，()()()22222212121221x x x x x x f x f x --?∴+-=+=+++++()

2122222211221x x x x x +?=+==+++， 设()()()()()54045S f f f f f =-+-+???++???++，

则()()()()()54045S f f f f f =+++++-+-，

两式相加得()()2115511222S f f ??=?+-=?=??，因此，11S =.

故选：B.

【点睛】

本题考查函数值的和的求法，注意运用倒序相加法，求得()()2f x f x +-=是解题的关键，考查化简运算能力，属于中档题．

13．0x ?>，210x -≥

【分析】

根据特称命题的否定：改变量词，否定结论，可得出结果.

【详解】

命题为特称命题，则命题的否定为“0x ?>，210x -≥”.

故答案为：0x ?>，210x -≥.

【点睛】

本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

14．()0,8

【分析】

由题意得出?<0，即可解出实数k 的取值范围.

【详解】

由于不等式220x kx k -+>对于任意的实数x 恒成立，则280k k ?=-<，解得08k <<. 因此，实数k 的取值范围是()0,8.

故答案为：()0,8.

【点睛】

本题是二次不等式恒成立问题，一般结合首项系数和判别式来分析，考查化归与转化思想的应用，属于基础题.

15．21

n n + 【解析】

∵()11n N n n a a n ++-=+∈，∴212a a -=，323a a -=，…1n n a a n --=，累加可得：1234n a a n -=++++，∴()12

n n n a +=，故()1211211n a n n n n ??==- ?++??，故数列

n 1a ??????的前n 项和为1111122122311n n n n ??=-+-+-= ?++??，故答案为21

n n +. 点睛：本题主要考查了累加法求数列的通项公式，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}n a 和{}n b 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =

+，错位相减法类似于n n n c a b =?，其中{}n

a 为等差数列，{}n

b 为等比数列等.

16．75

- 【分析】

由题意得出()()125a b +++=，将所求代数式变形为1221212a b a b a b ??+=-+ ?++++??，利用基本不等式求出

1212a b +++的最小值，即可得出12

a b a b +++的最大值. 【详解】 正数a 、b 满足2a b +=，()()125a b ∴+++=.

1122121211212121212a b a b a b a b a b a b +-+-??+=+=-+-=-+ ?++++++++??

， 由基本不等式得()()12125121212a b a b a b ????+=++++?? ? ???++++?

???

(

)21233321a b b a ++=++≥+

=+++1212

a b +≥++， 当且仅当)21

b a +=+

时，等号成立，

212a b a b ∴+≤=++，因此，

12a b a b +++

. 故答案为：

75

-. 【点睛】 本题考查了利用基本不等式求最值，考查基本不等式的性质、变形方法，考查了推理能力与

计算能力，属于中等题．

17．（1）()3,2-；（2）(]

(),43,-∞-+∞.

【分析】

（1）原不等式可化为260x x +-<，然后按一元二次不等式的解法解出即可； （2）原不等式可化为403x x +≥-，等价变形为()()43030x x x ?+-≥?-≠?

，解此不等式组即可. 【详解】

（1）原不等式可化为260x x +-<，解得32x -<<，所以原不等式的解集()3,2-；

（2）原不等式可化为403x x +≥-，等价于()()43030x x x ?+-≥?-≠?

，解得4x ≤-或3x >. 所以原不等式的解集为(](),43,-∞-?+∞.

【点睛】

本题考查一元二次不等式和分式不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题. 18．（1）212n a n =-；（2）见解析.

【分析】

（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，利用已知条件列出方程组求解数列{}n a 的首项与公差，即可得到数列{}n a 的通项公式；

（2）求出等差数列{}n a 的前n 项和n S ，化简n n S b n

=

，然后利用定义可证明出数列{}n b 是等差数列.

【详解】 （1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则2111121811550S a d S a d =+=-??=+=?，解得1102a d =-??=?

， ()()111021212n a a n d n n ∴=+-=-+-=-；

（2）()()()1102121122

n n n a a n n S n n +-+-===-，11n n S b n n ==-， 从而()()1111111n n b b n n +??-=+---=??（常数）

，所以数列{}n b 是等差数列.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式的求解，同时也考查了利用定义证明等差数列，考查计算能力与推理能力，属于基础题.

19．（1）12n n a （2）n (21)21n T n =-+ 【分析】

（1）先计算出1a ，然后由1(2)n n n a S S n -=-≥求出(2)n a n ≥，再看1a 是否与n a 相符，相符就是一个表达式，不相符就用分段函数形式表示；

（2）用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和．

【详解】

（1）由21n n S a =-得：1121S a =-，因为11S a =，解得11a =

由21n n S a =-知1121n n S a --=-(2)n ≥，

两式相减得1122n n n n S S a a ---=-

因为1n n n S S a --=，所以122n n n a a a -=-，即

12n n a a -= 因此{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列

所以12n n a

（2）由（1）知1(21)2n n n n a b -=+，所以数列{}n n a b 前n 项和为：

01221325272(21)2(21)2n n n T n n --=?+?+?++-++ …①

则12312325272(21)2(21)2n n n T n n -=?+?+?++-++ …②

②-①得1213222222(21)2n n n T n -=--?-?-

-?++ 23(222)(21)23n n n =-+++++-

1(24)(21)23n n n +=--++-

(21)21n n =-+

【点睛】

本题考查已知前n 项和n S 和n a 的关系求数列的通项公式，考查用错位相减法求数列的和．在已知n S 和n a 的关系求数列的通项公式时，要注意1a 与后面的n a （2n ≥）的求法是不相同的，即1n n n a S S -=-中2n ≥，而11a S =．

20．（1）2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ?-+-<

（2）100千件 【分析】

（1）根据题意，分080x <<，80x ≥两种情况，分别求出函数解析式，即可求出结果； （2）根据（1）中结果，根据二次函数性质，以及基本不等式，分别求出最值即可，属于常考题型.

【详解】

解（1）因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.051000x ?万元，依题意得：

当080x <<时，2211()(0.051000)102004020033??=?-+-=-+- ???

L x x x x x x ． 当80x ≥时，10000()(0.051000)511450200L x x x x ?

?=?-+-- ??? 100001250??=-+ ??

?x x 所以2140200,0803()100001250,80x x x L x x x x ?-+-<

（2）当080x <<时，2

1()(60)10003L x x =--+．

此时，当60x =时，()L x 取得最大值(60)1000L =万元． 当80x ≥

时，10000()125012502L x x x ?

?=-+≤- ??? 12502001050=-=．

此时10000x x

=，即100x =时，()L x 取得最大值1050万元． 由于10001050<，

答：当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，

最大利润为1050万元

【点睛】

本题主要考查分段函数模型的应用，二次函数求最值，以及根据基本不等式求最值的问题，属于常考题型.

21．（1）10a b =-??

=?；（2）见解析. 【分析】

（1）由题意知，3-与1是方程()0f x =的两根，利用一元二次方程根与系数的关系可求出a 、b 的值；

（2）由=-b a ，将所求不等式变形为()()()2100ax x a --≤≠，然后对a 进行分类讨论，并比较2a

与1的大小关系，即可得出不等式()1f x ≤的解集. 【详解】

（1）由不等式()0f x >的解集为()3,1-，

可知方程()2

230ax b x +-+=的两根为3-和1，且0a <， 由根与系数的关系可得331231a b a ?-?=???-?-+=-??

，解得10a b =-??=?； （2）当=-b a ，不等式()1f x ≤即()()2

2200ax a x a -++≤≠， 即()()()2100ax x a --≤≠.

①0a <时，不等式可化为()210x x a ?

?--≥ ???，21a

<，所以2x a ≤或1≥x ； ②0a >时，原不等式可化为()210x x a ??--≤ ??

?.

∴当02a <<时，21a

<，所以21x a ≤≤； 当2a =时，原不等式可化为()210x -≤，所以1x =；

当2a >时，21a

>，所以21x a ≤≤. 综上：当0a <时，原不等式的解集为[)2,1,a

?

?-∞+∞ ???； 当02a <<时，原不等式的解集为21,a

??????

； 当2a =时，原不等式的解集为{}1； 当2a >时，原不等式的解集为2,1a ??????

. 【点睛】

本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，含参数的一元二次不等式的解法，注意分类讨论的思想方法的运用，属于中档题．

22．（1）*0,1

23,2,n n a n n n N =?=?-≥∈?

（2）存在，14μ=-

， 3q =- （3）51,21248311,2883n n n

n k T n k ?-=-???=??-=???（*k N ∈） 【分析】

（1）根据n S 与n a 的关系1112n n n S n a S S n -=?=?-≥?即可求出；

（2）假设存在实数μ，利用等比数列的定义列式，与题目条件1331n n n n b b -?+?=，比较

对应项系数即可求出μ，即说明存在这样的实数；

（3）由（2）可以求出1111(1)4312

n

n n b -??=?+?- ???，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．

【详解】

（1）因为221n S n n =-+，

当1n =时，110a S ==；

当2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+-----=-．

故*0,123,2,n n a n n n N =?=?-∈?

； （2）假设存在实数μ，使得数列{}3x n b μ?+是等比数列，数列{}n b 中，213

3a b a =+， 对任意正整数2n ，113n n n b b -??+= ???

.可得116b =，且1331n n n n b b -?+?=， 由假设可得()11333

n n n n b b μμ--?+=-?+，即1334n n n n b b μ-?+?=-， 则41μ-=，可得14μ=-

， 可得存在实数14μ=-

，使得数列{}3n n b μ?+是公比3q =-的等比数列； （3）由（2）可得11111133(3)(3)444n n n n b b --???-=-?-=?- ???，则1111(1)4312

n n n b -??=?+?- ???， 则前n 项和11111111(1)1236431212

12n n n T -??????=++?+?+-+?+?-?? ? ????????? 当n 为偶数时，111111*********

n n n T ??- ?????=+=- ???- 当n 为奇数时，11111115112311128312248313

n n n n T ??- ?????=+=-+=- ????- 则51,21248311,2883n

n n n k T n k ?-=-???=??-=???

（*k N ∈）． 【点睛】

本题主要考查n S与n a的关系的应用，等比数列定义的应用，以及分组求和法和分类讨论法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．