张永新__数学建模入门教材
在不允许缺货的情况下只考虑两种费用：定货时需付的一次性定货费，货物的储存费。至于货物本身的价格，下面将看到它与要讨论的优化问题无关。
建模目的：在单位时间的需求量为常数的情况下，制定最优储存策略，即多长时间订一次货，每次订多少货，使总费用最小。
模型假设 为了叙述的方便，设时间以天为单位，货物以吨为单位，每隔T 天订一次货（T 称为订货周期），订货量为Q ，定货费、储存费及单位时间需求量是确定和已知的，只要提前订货使得储存量为零时立即进货就行了，当然，储存量降到零不符合实际生产需要，应该有一个最低库存量，可以认为模型中的储存量是在这个最低量之上计算的。
模型建立 订货周期T 、订货量Q 与每天需求量r 之间满足
rT Q = （5.58）
订货后储存量由Q 均匀地下降，记任意时刻t 的储存量为q ,则()t q 的变化规律可以用图5—5表示.
考察一个订货周期的总费用： 订货费为1c ：
储存费是()dt t q c T
?01，因为积分值恰好是图中三角形面积A ，显然QT A 2
1=
.
由（5.58)式可知一个订货周期T 内的总费用为
2
212
1rT
c c c +
=-
, (5.59)
于是平均每天的费用为
()rT c T c T c T c 212
1+==
-
, (5.60)
所以制定最优储存策略可归结为：求订货周期T ，使()T c 最小。
思考：为什么不用-
c 作为目标函数？ 利用微分法，令
0=dt
dc ，得
2
12rc c T =
， (5.61)
再根据(5.58)式，有
2
12c r c Q =
， (5.62)
(5.62) 式是经济理论中著名的经济订货批量公式（简称Q O E ..公式）。
(5.63) 式表明：订货费1c 越高，需求量r 越大，订货批量Q 应越大；储存费2c 越高，则每次订货批量应越小，这些当然符合常识，但公式中平方根关系是凭常识难以得到的。
说明
货物本身的价格不影响最优储存策略，因为若记每吨货物价格为k ，则一周期T 的总费用-
c 中应添加一项kQ ，由于rT Q =.所以（5.60）式中增加一常数项kr 对求解
结果（5.61）式，（5.62）式或无影响。
例1 某商店有甲商品出售，每单位甲商品价格500元，其储存费每年为价格的20%，甲商品每次订购费需20元，顾客对甲商品的年需求量为365单位，而且需求率为常数（即顾客每天需求商品1单位），在不缺货的条件下，求最优策略。
解 以年为单位，则需求速度：365=r ，201=c ，100%205002=?=c ，于是订货批量
)(12100
3652222
1单位≈??=
=
c r c Q .
这与以年为单位结果相同。
5.5.2 模型2 允许缺货的储存模型
允许缺货就是企业或商店可以在储存降到零后，还可以再等一段时间订货。缺货时因失去销售机会而使利润减少，减少的利润可以视为因缺货而付出的费用，称缺货费。于是此类型的第（1）、（2）条假设与不允许缺货的储存模型相同，而第（3）条改为;
每隔T 天订货Q ，允许缺货，每天每吨货物缺货费为3c . 缺货时储存量视作负值，()t q 图形如图5—6所示。
货物在1T t =时售完，有一段时间缺货（这时需求量仍为r ），在1T t =时下一次订货量
Q 到达，于是
1rT Q =
一个订货周期T 内的总费用： 订货费1c ;
储存费()dt t q c T ?10
2，由图知()10
21
1
QT A dt t q T =
=?； 缺货费()dt t q c T ?0
3，由图知()()2
1211
T T r B dt t q T
T -==?
所以总费用 ()2
131212
12
1T T r c QT c c c -+
+=-
每天平均费用
()()
T
T T r c T
QT c T
c T
c Q T c 22,2
13121-+
+
=
=
-
()rT
Q rT c rT
Q c T
c 222
32
21-+
+=
下面问题是当T ，Q 为何值时，使()Q T C ,最小。 利用微分法，令
0=??T
C ，
0=??T
C ，求出T 、Q 的最优值，记为T '、Q '，所以有
3
2
3212c rc c c c T +=
'，3
22
312c c c c r c Q +=
'
若记 3
3
2c c c u += ()1>，
则与不允许缺货的储存模型相比
uT T ='，u
Q Q =
'.
显然 T T >'，Q Q <'.
即允许缺货时订货周期应增大，而订货批量应减少，当缺货费3c 越大时（相对于2c 而言）。 u 越小，T '和Q '越接近T 和Q .特别地，当3c ∞→时，1→u ，于是T T →'，Q Q →'。
因为这个结果是合理的，3c ∞→即缺货造成的损失无限变化大，相当于不允许缺货。
5.6森林救火的数学模型
问题 森林失火了，消防站接到报警后应派多少消防队员前去救火？
派的队员越多，森林损失越小，但是救援的开销会越大，所以需要综合考虑森林损失费和救援费与消防队员人数之间的关系，以总费用最小来决定派出队员的数目。
问题分析 森林损失费通常正比于森林烧毁的面积，而烧毁的面积与失火、灭火（指火被扑灭）的时间有关，灭火的时间又取决于消防队员数目，队员越多，灭火越快。
救援费与消防队员人数有关外，也与消防队员灭火时间的长短有关。
记失火时刻为0=t ，开始救火时刻为1t t =，将火扑灭的时刻为2t t =.设在t 时刻森林烧毁面积为()t B ，则造成损失的森林烧毁面积为()2t B ，建模时要对函数的形式作出合理的简单假设。
研究
dt
dB 比()t B 更为直接和方便，
dt
dB 是单位时间烧毁的面积，表示火势蔓延的程度。
在消防队员到达之前，即10t t ≤≤火势越来越大，
dt
dB 随t 的增加而增加；开始救火以后，
即21t t t ≤≤，如果消防队员救火能力足够强，火势会越来越小，dt
dB 应减少，并且当2
t t =时，
0=dt
dB .
救援费可以分为两部分：一部分是灭湖泊器材的消耗及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火所用的时间均有关，另一部分是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关。
模型假设 需要对烧毁森林的损失费、救援费及火势蔓延程度
dt
dB 的形式作出假设：
（1）森波损失费与森林烧毁面积()2t B 成正比，比例系数1c ，即烧毁单位面积的损失费。
（2）从失火到开始救火这段时间（10t t ≤≤）内，火势蔓延程度dt
dB 与时间t 成正比，
比例系数β称为火势蔓延速度。
（3）派出消防队员x 名，开始救火以后（1t t ≥）火势蔓延速度降为x λβ-，其中λ可视为每个队员的平均灭火速度，显然应有x λβ<.
（4）每个消防队员单位时间费用为2c ，于是每个队员的救火费用是()122t t c -；每个队员的一次性支出是3c .
第（2）条假设可作如下解释：
火势以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，所以蔓延的半径r 与时间t 成正比，又因为烧毁面积B 与2r 成正比，故B 与2
t 成正比,从而
dt
dB 与t 成正比。
模型构成 根据假设条件（1）、（3）、（4），森林损失费为()21t B c ，救援费为
()x c t t x c 3122+-，所以这个模型的目标函数即总费用（把它作为队员人数x 的函数）为
()()()x c t t x c t B c x c 312221+-+=，
（5.63） 为求解()x c 的极值问题，必须确定()t B 的形式及2t ，1t ，x 间的关系。
根据假设条件（2），（3），火势蔓延程度dt
dB 在110t t ≤≤线性地增加，在21t t t ≤≤线
性地减少，
dt
dB ～t 的图形如图5—7所示。
记1t t =时
b dt
dB =，烧毁的面积()dt dt
dB t B t ?
=
2
2恰是图中三角形的面积，显然有
()222
1bt t B =
，
而2t 满足
β
λ-=
-x b
t t 12 ， （5.64）
于是 ()()
β
λ-+
=
x b bt t B 22
212 ， （5.65）
将（5.64）式、（5.65）式代入（5.63）式，所以救火费总费用为
()()
x c x bx
c x b
c bt c x c 322
11122
+-+
-+
=
β
λβλ ，（5.66）
于是得到应派出的队员人数
λ
ββλλ
+
+=
3
22
1221
c b
c b c x . （5.67）
结果解释
（1）首先，应派出出队员数目由两部分组成，其中一部分
λ
β是为了把火扑灭必须的最
低限制。因为β是火势蔓延速度，而λ是每个队员的平均灭火速度，所以这个结果是明显
的。 从图5—7中也可看出，只有当λ
β
>
x 时，斜率为x λβ-的直线才会与t 轴有交点2t .
其次派出队员的另一部分，即在最低限度之上的人数与问题的各个参数有关。当队员灭火速度λ和队员的一次性支出3c 增大时，队员数减少；当火势蔓延速度β、开始救火时的火势b 及损失费用系数1c 变大时，队员数也增加（思考：这个结果是否合理？）
（2）实际应用这个模型时，1c 、2c 、3c 是已知常数，β，λ由森林类型、消防队员素质等因素决定，可以预先制成表格以备查用，较难掌握的是开始救火时的火势b ，它可以由失火到救火的时间1t 按1t b β=算出，或根据现场情况估计。
说明
建立这个模型的关键是对
dt
dB 的假设，比较合理而又简化的假设条件（2）（3）只能符
合无风的情况，有风势的影响应考虑另外的假设。再者，有人对队员灭火的平均速度λ是常数的假设提出异议，认为λ应与开始救火时的火势b 有关，b 越大，λ越小，这时要对函数λ（b ）做出合理的假设，再得到进一步的结果。
思考题
在有风的情况下如何建立数学模型？
5.7 冰山运输的数学模型
在以盛产石油著称的波斯湾地区，浩瀚的沙漠覆盖大地，水资源十分贫乏，不得不采用 淡化海水的办法为国民提供用水，淡水成本大约是每立方米0.1英镑。有些专家提出从相距9600km 只要的南极用拖船运送冰山到波斯湾，以取代淡化海水的办法，这个模型要从经济角度研究冰山运输的可行性。
为了计算拖船运送冰山获得每立方米所花的费用，我们需要关于拖船的租金、运输、燃料消耗及冰山运输过程中融化速率等方面的数据，以此作为建模的必须的准备工作。
建模准备：根据建模的需要搜集到以下数据。
（1）三种拖船的日租金和最大运量（表5—7）
表5—10 日租金和最大运量
船型 小 中 大 日租金/英镑 4
6.2
8
最大运量/2
m 5
105?
6
10
7
10
（2）燃料消耗（表5—8），主要依赖于船速和所运冰山的体积，船型的影响可以忽略。
表5—8 燃料消耗 单位：英镑/km
船速/1-?h km 冰山体积
510 610 710
1 8.4 10.5 12.6 3 10.8 13.5 16.
2 5
13.2 16.5 19.8
（3）冰山运输过程中的融化速率（表5—9），指在冰山与海水、大气接触处每天融化的深度、融化速率与船速有关，还和运输过程中冰山与南极的距离有关，这是由于冰山要从南极运往赤道的缘故。
表5—9 融化速率 单位：m /d
船速/1-?h km 与南极距离
0 1 000 大于4 000 1 0 0.1 0.3 3 0 0.15 0.45 5
0.2
0.6
建立模型的目的就是选择拖船的船型和船速，使冰山到达目的地之后，可得到的每立方米所花的费用最低，并与海水淡化的费用想比较。
根据建模的目的和搜集到的有限的资料，需要租作如下的简化假设。
模型假设
（1）拖船航行过程中的船速不变，航行不考虑天气等任何因素，总航行距离9600km （2）冰山形状为球形，球面各点的融化速率相同，这是相当无奈的假设，在冰山上各点融化速率相同的条件下，只有球形的形状不变，体积的变化才能简单地计算。 （3）冰山到达目的地后，31m 冰可融化成85.0水。
模型构成 首先需要知道冰山体积在运输过程中的变化情况，然后是计算航行中燃料消耗，由此可以算出到达目的地后的冰山体积和运费，在计算过程中需要根据搜集到的数据拟合出经验公式。模型构成可分为以下几点。
1.冰山融化规律
根据假设（2）先确定冰山球面半径的减小，就可以得到冰山体积的变化规律。 记冰山球面半径融化速率的r （m /d ），船速为u （km /h ），拖船与南极距离为d （km ）.根据表表5—9中融化速率的数据，可设r 是船速u 的线性函数，且当km d 40000≤≤时，
r
与d 成正比，而当km d 4000>时，r 与d 无关，假设
()()?
??>+≤≤+=4000,140000,121d bu a d bu d a r （5.68）
其中1a ，2a ，b 为待定参数，这可以解释为km d 40000≤≤相当于南极到赤道以南，海水温度随d 增加而上升，使融化速率r 也随d 的增加而变大，而km d 4000>后海水温度
变化较小，可以忽略。
利用表5—9所给数据确定出
5
110
5.6-?=a ，2.02=a ，4.0=b （5.69）
当拖船从南极出发航行到第t 天，与南极距离为
ut d 24= （5.70）
记第t 天冰山球面半径融化速率为t r 1r ，将（5.69）式、（5.70）式代入（5.68）式得
()()??
??
?>
+≤≤+?=-u
t u u t t u u r t 61000,4.012.061000
0,4.011056.13
（5.71） 记第t 天冰山半径为t R ，体积为t V ，则
∑=-=t
k k
t r
R R 1
0， （5.72）
3
3
4t t R V π=，3
003
4R V π=
（5.73） 其中0R 和0V 分别为从南极启运冰山时的初始半径和体积，由（5.71）式～（5.73）式可知冰山体积是船速u 、初始体积0V 和航行天数t 的函数，记作V ()T V u
,,0
，有
V
()
T V u
,,0
3
11304334?
??
?
??-=∑=t
k r V ππ （5.74） 其中k r 由（5.71）式表示。
2.燃料消耗费用
分析表5—8所给的燃料消耗（记作-
q ）的数据可以看出，q 对船速u 和冰山体积V 的对数V lg 均按线性关系变化，所以可设
()()321lg c V c u c q ++=-
， （5.75）
其中1c ，2c ，3c 为待定参数，利用表5—8所给的数据可以确定
1c =0.3 ，2c =6，
3c =-1 （5.76） 由（5.74）式～（5.76）式可将拖船航行第t 天的燃料消耗记作q ()T V u ,,0
（英
镑/d ），且有
q ()T V u
,,0
()()[]3021,
,
lg 24c t V u V c u c u ++?=
()???????
?
-????
?
?-+=∑=14334lg
62.73
130t
k k r V u u ππ
()???
?
???
?
-?
??
?
??-+=∑=378.04334lg
362.7130t
k k r V u u ππ
（5.77）
3.运送冰山费用
费用由拖船的租金和燃料消耗两部分组成，由表5—10知船的日租金取决于船型，船型又由冰山的初始体积0V 决定，记日租金为()0V f ，显然有
()
0V f =??
?
??≤<<
01010,0.810105,2.6105,0.4V V V （5.78）
又因为当船速为u （km /h ）时冰山抵达目的地所需天数u
u
T 400249600=
=，所以租金
费用为
()u
V f 0400.而整个航程的燃料消耗为∑=T
t q 1
()T V u
,,0
，由（5.77）式，得到运
送冰山的总费用为
S （u ，V ）()()???
?
????-???? ??-
++=
∑∑==u r V u u u
V f T t t
k k 15143lg 362.74001130
0π
（5.79） 4. 冰山运抵目的地后可获得水的体积
将T t =代入（5.74）式知，冰山运抵目的地后的体积为
V
()
T V u
,,0
3
1
130
4334???
?
?
?-=∑
=T
t r V ππ
（5.80） 注意到假设（3），则得到水的体积为
W (u ，0V )3
1
130
4334.3???
?
?
?-=∑
=T
t r V ππ
（5.81） 5.每立方米水所需费用
记冰山运抵目的地后每立方米所需费用为y （u ，0V ），由（5.79）式，（5.81）式显然有
y （u ，
0V ）()()
00,
,V u W V u S = （5.82）
模型求解 这个模型归结为选择船速u 个冰山初始体积0V ，使（5.82）式表示的费用
Y （u ，0V ）最小，其中S (u ，0V )由（5.79）式，（5.71）式给出，W (u ，0V )由（5.81）
式，（5.71）式给出。由于是分段函数，只能固定一系列0V 值对u 求解.又因为由调查数据
（表5—7表5—8）得到的经验公式是非常粗糙的，以船速u 的选取也不用太精细，所以没有必要用微分法求解这个极值问题。表5—10是对几组 值的计算结果，可知若选取最大的冰山初始体积37010m V =（当然要租用大型拖船），船速km u 4=/h ，每立方米的水的费用约0.065英镑。
表5—10 不同0V 、u 下31m 水的费用 单位：英镑
0V u
3 3.5
4 4.
5 5 7
10 0.0723 0.0683 0.0649 0.0663 0.0658 6
105? 0.2251 0.2013 0.1834 0.1842 0.1790 610
78.9032
9.8220
6.2138
5.4647
4.5102
结果分析：得到的结果虽然小于海水淡化的费用（每立方米0.1英镑），但是模型中未考虑影响航行的种种不利因素，会拖长航行时间致使冰山抵达目的地后的体积显著地小于模型中的V
()T V u
,,0
.并且美哟普计算空船费等其他费用。专家们认为，只有当用这个
模型计算出来的费用显著地小于海水淡化的费用时（譬如小一个数量级），才有理由考虑采用冰山运输的方法获得淡水。
说明
这个模型的思路是简单的，建模方法有两点值得注意：一是根据有限的数据（表5-7和表5-8）建立了经验公式（5.68）、（5.69）和（5.74）、（5.75），为整个计算过程提供了基础；二是假定冰山呈球形，简化了计算，如果假定冰山为其他规则的形状，将如何处理？