2013级 微积分二 总复习答案

2013级微积分（二）总复习答案

一、单项选择题

1.定积分（积分变上限函数的导数）

a .设函数)(x f 为连续偶函数，dt t f x F x ?

=

)()(，则=-)(x F （ ）

（A ）0 （B ）)(x F （C ）)(x F - （D ）非零常数 【另附】设函数)(x f 为连续奇函数，dt t f x F x ?

=

)()(，则=-)(x F （ ）

（A ）0 （B ）)(x F （C ）)(x F - （D ）非零常数 b ．导数=??

?

???

'arcsin dx x b

a ( )

A. 0

B. 2

11

x

- C.x arcsin D.a b arcsin arcsin -

c.

2

sin d

tdt dx = ( ) A. 0 B. 2sin 2sin -x x C.x sin 2

1

D.x sin

答案： C B A C

2.多元函数的偏导数（具体二元函数的一阶偏导数）

a.

设z =，则z

x

??等于 ( )

A.

B.

C.

D.

b 、设y

x

y x z a r c s i n

)2(2-+=，那么

(1,2)

z x ?=? ( )

Ａ、２ Ｂ、１ Ｃ、π2 Ｄ、π4

c. 5.设x

y e x z )(+=，则=??)0,1(|x

z

（ ） A. 122-ln B. 1 C. 22ln D. 122+ln

答案：C A D

3.二重积分（交换积分次序）

a ．

()=?

?y

y

dx y x f dy ,10

( )

Ａ．()??

x x

dy y x f dx 2,1

Ｂ．()??1

,dy y x f dx y y

Ｃ．

()??2

,1

x x

dy y x f dx Ｄ．()??2

,1

x x

dx y x f dy b ．交换??-1010

),(y

dx y x f dy 的次序，则下列结果正确的是 （ ）

Ａ、?

?-y y y

dy y x f dx 10

1),( Ｂ、??-1010

),(y

dy y x f dx

Ｃ、??10

),(x dy y x f dx Ｄ、??

-10

10

),(x dy y x f dx

c 、交换+

?

?12

1

2

1),(x

dy y x f dx ?

?2

1

2

),(x dy y x f dx 的次序，

则下列结果正确的是 （ ） Ａ、

??211),(y

y

dx y x f dy Ｂ、??2

1

1

),(y y

dx y x f dy

Ｃ、

?

?31

1),(x x

dx y x f dy Ｄ、??1

3

11),(x x

dx y x f dy

答案：A D A

4.二阶常系数齐次线性微分方程的通解

a. 微分方程560y y y '''-+=的通解为( ), 其中1C ，2C 均为任意常数。

A. 2312x x y C e C e --=+

B. 2312x x y C e C e =-

C. 23x

x y e

e =- D. 23x x y e e =+

b .微分方程02

22=+y w dx

y d 的通解是（ ），其中C ，1C ，2C 均为任意常数。

Ａ、)cos(wx C y ?= Ｂ、)sin(wx C y ?= Ｃ、)sin()cos(21wx C wx C y ?+?= Ｄ、)sin()cos(wx wx y +=

c .微分方程022=+'-''y y y 的通解为( )，其中C ，1C ，2C 均为任意常数。

A.)sin cos (21x C x C e y x

+=- B.)sin 2

1cos (x C x C e y x +=

C.)cos sin (x x C e y x +=

D.)cos sin (21x C x C e y x

-=

答案： B D D

5.二阶常系数非齐次线性微分方程的特解形式

a.

微分方程2x y 的一个特解应具有形式(A)2Ax (B)C Bx Ax 2

(C)3Ax (D))(2C Bx Ax x ( ).;;;

.

b.

微分方程x

xe

y

y y 265的一个特解应具有形式(A)x Axe 2(B)x e B Ax 2)((C)x

e

C Bx Ax 22

)((D)x

e

B Ax

x 2)(( ).;;;.

c.

微分方程1x e y 的一个特解应具有形式B Ae x Bx Axe x Bx Ae x

B Axe x

( ).

;(A)(B)(C)(D);

;.

d.

微分方程x x y

y sin 的一个特解应具有形式( ).

(A)x B Ax sin )((B)x D Cx x x B Ax x cos )(sin )((C))sin )(cos (x x

B Ax x (D)).

cos sin )((x D x C B Ax

x ;

;

;

e.

设D C B A ,,,是待定常数x x y cos 特解应具有形式x C B Ax cos x D x C B Ax sin cos )sin cos (x D x

C x B Ax x Cx B Ax

cos 则微分方程,的一个

(A)(B)(C)(D);( ).;;.

答案：D B D B C

6.无穷级数（正项级数的性质）

a.设

1

n n u ∞=∑，1

n

n v

∞

=∑都是正项级数，且(1,2,

)n n u v n ≤=，则下列结论正确的是 （ ）

A. 若级数1n

n u

∞

=∑发散，则

1n

n v

∞

=∑收敛 B. 若级数

1n

n u

∞

=∑收敛，则1n

n v

∞

=∑收敛 C. 若级数

1

n

n v

∞

=∑发散，则

1

n

n u

∞

=∑收敛 D. 若级数

1

n

n v

∞

=∑收敛，则

1

n

n u

∞

=∑收敛

b 、下列级数中发散的是 （ ）

Ａ、∑∞

=+1

131n n Ｂ、∑∞

=+1)2(1

n n n

Ｃ、∑∞=123n n n Ｄ、∑∞=++12)

3)(1(4n n n

c ．下列级数中，收敛的级数是 （ ） Ａ．∑

∞

=1

1n n

Ｂ．

∑

∞

=1

3

1

n n

Ｃ．

∑

∞

=1

3

2

1

n n Ｄ．∑∞

=11

n n

d. 设正项级数∑∞

=1

n n

u

收敛，则下列级数中，一定收敛的是 ( )

A.

∑∞

=+1

)(n n

a u

（10<≤a ） B.∑

∞

=1

n n u C. ∑∞

=11

n n

u D.∑∞

=-1)1(n n n u

e.设),2,1(1

0 =<

u n ，则下列级数中一定收敛的是 ( ) A.

∑∞

=1

n n

u

B.

∑∞

=-1

)1(n n

n

u

C.

∑

∞

=1

n n u D.∑∞

=-1

2)1(n n

n u

答案：D A B D D

二．填空题

1.反常积分的计算（无限区间）

a. =?

∞+-dx e x x 0

223

b.

?

∞-+＋0

x

x e e dx

=

c ．若广义积分20

=?

∞+dx kx e ，则=k

d. ?

∞+++1

252x x dx

=

答案：

61 4π 21- 8

π d.的过程

2.多元函数的全微分（具体的二元函数）

a.设y

x ye z +=，则d z ＝ 。

b. 函数y

x y x z +=2

的全微分=dz .

c ．已知2

2)(y x y x xy,f z +=-=，则=dz 。

答案：dy e y dx ye

y x y

x ++++1)(， dy y

x

x dx y xy )()1(222-++，ydy dx 22+

3.二重积分的计算（可化为极坐标）

a. Ｄ：12

2≤+y x ，则

σd e D

y x ??+2

2

＝ 。

b ．若D 是由2=r 围成的圆形区域，则=+??

D

dxdy y x 22 。

c. D ：x y x 22

2

≤+第一象限, 则

dxdy y x D

??

+22= 。

d. 设积分区域σ是：,0,0,122≥≥≤+y x y x 那么=??σ

σd 。

答案：1)(-e π，316π，916，4

π

4.定积分的几何应用（平面图形的面积）

a. 由x y sin =，x y cos =，0=x ，2

π

=x 围成的平面图形的面积为_________

b. 由连续曲线)(x f y =、直线a x =、b x =及x 轴所围成的平面图形的面积，用定积分表示为：=S

c. 书上6-7题目

答案：)12(2-，?=b

a

dx x f S |)(|，

5.无穷级数（幂级数的收敛半径）

a. 级数

∑∞

=-1

1

n n ax

（0≠a ）收敛的条件是 。

b ．幂级数∑∞

=+1

22n n

n x n 的收敛半径=R ____________

c. 幂级数∑∞

=-?-2

3

221)1(n n n

n

x n

的收敛半径是

答案：1||

1， 2

三．解答题

1.定积分的计算（三角代换）

a. dx x x ?

-10

221

b ．?

-+20

2

42x

dx

答案：

16π,1-2

π

2.定积分的计算（分部积分法） a. 求积分2

1ln(1)x dx +?.

b. 求积分1|ln |e

e

x dx ?.

c. ?20

sin π

xdx e x

d.

?

10

arctan xdx x

答案：12ln23ln3--，)e 1

2(1-，21212+π

e ，2

14-π

d.的解答: 原式2

14π1121)arctan 21()21d(arctan )2d(arctan 10221

021021

02???-=++-+=+==dx x x x x x x x x

3.二元函数的偏导数、高阶偏导数（抽象与具体的复合函数）

b. 设f (u,v )具有二阶连续偏导数，)ln (x y y,x f z -=，求y

x z

???2.

c. 已知f 具有二阶连续偏导数，且),(x y

xy f z =，求22y

z ??.

答案：a. 211

f y f x z +=??,22212112212f y

f y f x z ++=?? b. 21ln f f y x z

-?=??, 221211

12)(ln ln 1f f y

x y f y y x f y y x z --++?=??? c.

211f x f x y z +?=??,22212112

2212f x

f f x y z ++=??

4.隐函数的偏导数与全微分

a ． 设)(y x,f z =由方程x

z

z y ln =所确定，求dz

b.设),(y x f z =由方程2)sin(xy z y e z =++确定，求dz

c. 设函数),(y x f z =由方程042

2

2

=-++z z y x 所确定，求22x

z

??.

答案：

a.

b. [解] 令2)sin(),,(xy z y e z y x F z -++=

2y F x -= xy z y F y 2)cos(-+= )c o s (z y e F z z ++=

=-=??z x F F x z )cos(2z y e y z ++ =-=??z y F F y z

)

c o s ()c o s (2z y e z y xy z

+++-

c.

5.二重积分的计算（在直角坐标系下计算）

a. 设D 是由2,,1===x x y x y 和所围的平面区域，求dxdy y

x D ??22

.

b. 设D 是由直线1x =，y x =及2y =围成的区域，求D

xydxdy ??.

c ．dxdy x x

D

??sin ，区域D ：x y =，2x y =，2=x 。 d ．

σd xe D

xy

??，区域(){}11,10,≤≤-≤≤=y x y x D 。

答案：a:49， b:211y D

xydxdy dy xydx =????22111[]2y y x dy =?3

21(

)22y y

dy =-?98=， C:()cos212

1

-=，d: 21-+=-e e

6.级数的敛散性（绝对收敛与条件收敛）(结合书上例题)

a. 讨论级数

∑∞

=-12

ln 1

n n

n

的敛散性

b. 判别级数

1

(1)n

n ∞=-∑的绝对收敛和条件收敛性

c ．讨论级数n

n n

a n

∑∞

=-)1(（0>a ）是绝对收敛，条件收敛，还是发散。 d. 判别级数

∑∞

=+1

1cos n n n π

是否收敛，若收敛说明是条件收敛还是绝对收敛。 答案：a: 绝对收敛 b: 由于

1

1

|(1)||n

n n ∞

∞

==-=∑

∑n ∞

==

而

n ∞

=为12p =的p 级数，所

以

1

n ∞

=发散. 又1

2111+>

++n n

n ，从

而

1

n ∞

=发散，所

以

1

(1)n

n ∞

=-∑不是绝对收敛. 但是交错级

数

1

1

(1)n

n

n n ∞

∞

==-=∑

1n n u u +=

>=，

lim 0n n n u →∞

==，

所以级数

1

(1)n

n ∞

=-∑条件收敛.

c: 解：1=a 时，级数

n n n

∑∞

=

-)1(显然发散；

d:条件收敛

7.一阶微分方程的求解

a ．求微分方程)

1(1

22-+=

x y y dx dy 的通解。 b ．求微分方程)2('22

2

3

y x y y x -=的通解。 c. 求微分方程02)3(2

2

=-+xydy dx y x 的通解. d. 求微分方程0'=-+x

e y xy 的通解。

e ．已知连续函数)(x

f 满足条件：x x t e dt f x f 230

3)()(+=

?

，求)(x f 。

答案：a:1)1(12

+-=+x x c y ,b: C

x x y +=ln 22

,

c:

d: )(1c e x y x

+= e: x

x e e 2323-=

8.初等函数的幂级数展开及收敛区间

a.将函数431

)(2--=x x x f 展开成1-x 的幂级数，并指出其收敛区间。

b.试将函数4

41

x y -=展开为x 的幂级数。 c. 将函数3

)(2

-=x x x f 展开为x 的幂级数。

d ．将函数2

23

)(x

x x f --=展开成x 的幂级数，并指出收敛域． 答案：

a. n n n n n x x f )1(2)1(3151)(011-???

???-+-=∑∞=++，)3,1(-∈x

b. 44

211

4141??

?

??-?=-=x x y ∑∑∞

=+∞==??? ??=014044

241n n n n n

x x ，)2,2(-∈x c. 3

2

-x x 3

1132x x -?-=

])3()3()3(31[3322 ++++++-=n x

x x x x

∑∞

=+<<-=1

1

33- 3n n n x ,x

d. 因为2211

2111211123)(x

x x x x

x x f +?+-=++-=--= 由于∑∞

==-0

11n n x x （1||

，用2x

-替换式中的x 得 ∑∑∞

=∞=-=-=+0022

)1()2(11n n

n n n n x

x x （2||

=+∞=∞

=-+=-+=0

100]2)1(1[2)1(21)(n n

n n n n n

n n n

x x x x f ，其收敛域为)1,1(- 四．应用题 二元函数的条件极值的应用

某公司通过电视和报纸两种形式做广告，已知销售收入R （万元）与电视 广告费x （万元），报纸广告费y （万元）关系为：

221028321415),(y x xy y x y x R ---++=，

1） 广告费不限下，求最佳广告策略；

2） 如果广告费为1.5万元，求最佳广告策略。

解：1）)(y x R L +-==y x y x xy y x -----++221028321415， 3分

解得25.39,4

5

,43max ===

L y x ； 5分

2）( 1.5)F L x y λ=++-， 7分

13840

3182001.50

x y F y x F x y F x y λλλ=--+=??

=--+=??=+-=?

9分 解得39,5.1,0max ===L y x 。 10分 （或将 1.5x y +=代人L 化为无条件极值。）

微积分 上 下 模拟试卷和答案

北京语言大学网络教育学院 《微积分（上、下）》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共20小题，每小题4分，共80分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、设函数()f x 的定义域是[]0,4 ，则函数1)f 的定义域是（ ） 2、数列n n n )211(lim + ∞ →的极限为（ ）。 [A] e 4 [B] e 2 [C] e [D] e 3 3 、函数y = ）。 [A] ()2 1,,y x x =+∈-∞+∞ [B] [ )21,0,y x x =+∈+∞ [C] (] 21,,0y x x =+∈-∞ [D] 不存在 4、1 arctan y x =， 则dy =（ ）。 [A] (1,1)- [B] (1,0)- [C](0,1) [D] [1,25] [A] 2 1dx x + [B] 2 1dx x -+ [C] 22 1x dx x + [D] () 22 1dx x x +

5、x x x x sin cos 1lim 0?-→=（ ） 6、设,ln x y =则'y ＝（ ）。 [A] [B] 1 x ； [C] 不存在 [D] 7、函数433 4 +-=x x y 的二阶导数是（ ）。 [A] 2x [B] 2 1218x x - [C] 3 2 49x x - [D] x 12 8、21lim 1x x x →∞ ?? -= ??? （ ） 9、已知()03f x '=-，则()() 000 3lim x f x x f x x x ?→+?--?=?（ ） 10、函数1()()2 x x f x e e -=+的极小值点是（ ） 11、函数()ln z x y =--的定义域为（ ） [A] (){},0x y x y +< [B] (){},0x y x y +≠ [C] (){},0x y x y +> [D] (){},,x y x y -∞<<+∞-∞<<+∞ 12、幂级数1 n n x n ∞ =∑的收敛域是（ ） [A] -1 [B] 0 [C] 1/2 [D] 不存在 [A] 2 e - [B] e [C]2e [D] 1 [A] 12 [B] -12 [C]3 [D] -3 [A] 1 [B] -1 [C]0 [D] 不存在

微积分2期末复习提纲答案

2015年6月微积分2期末复习提纲 1、 本学期期末考试考察的知识点如下: 第六章隐函数的偏导数求解P194例9-10，条件极值应用题（例10）求解，约占12% 第七章二重积分（二重积分的概念，比较大小P209课后习题，直角坐标系下的交换积分次序P212例题3&P213习题1（7），直角坐标与极坐标系下的二重积分计算）约占26%; 第八章无穷级数（无穷级数的概念,几何级数，P-级数，正项级数的比较判别法和比值判别法，任意项级数的敛散性，幂级数的收敛半径及收敛域，求幂级数的和函数，间接 展开以 1 ,,ln(1)1x e x x +-为主）约占35%; 第九章微分方程（微分方程及其解的概念，一阶分离变量,齐次和一阶线性微分方程求解(通解和特解），二阶常系数齐次，非齐次微分方程的通解(三角型的不要求）。约占27%. 2、样题供参考（难度、题型） 一、填空题：（14小题） 1、若D ：224x y y +≤，则 D d σ=??4π。(表示求解积分区域D 的面积——圆) ● 或D ：9122≤+≤y x ，则 ??=D dxdy 8π。(表示求解积分区域D 的面积——圆环) ● 或2 2 :4D x y y +≤，将 dxdy y D ??化为极坐标系下的累次积分4sin 20 sin d r dr π θ θθ? ? ． (判断θ的范围作为上下限，判断r 的范围作为上下限，y 用rsin θ代入) 7.3极坐标系下二重积分的计算 2、交换积分次序 1 1 (,)y dy f x y dx = ? ?1 (,)x dx f x y dy ? ?。 （依题得：010<

(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)

第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件

大学微积分复习题

0201《微积分(上)》20１5年0６月期末考试指导 一、考试说明 考试题型包括： 选择题(10道题，每题２分或者3分）。 填空题（５-10道题,每题2分或者3分)。 计算题（一般5-7道题,共4０分或者50分）。 证明题(2道题，平均每题10分）。 考试时间：90分钟。 二、课程章节要点 第一章、函数、极限、连续、实数的连续性 (一)函数 １．考试内容 集合的定义,集合的性质以及运算，函数的定义，函数的表示法,分段函数,反函数，复合函数,隐函数，函数的性质（有界性、奇偶性、周期性、单调性)，基本初等函数，初等函数。 2.考试要求 （１)理解集合的概念。掌握集合运算的规则。 （2）理解函数的概念。掌握函数的表示法,会求函数的定义域。 (3)了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。 (４)了解分段函数、反函数、复合函数、隐函数的概念。 (5)掌握基本初等函数的性质和图像，了解初等函数的概念。 (二)极限 １．考试内容 数列极限的定义与性质，函数极限的定义及性质,函数的左极限与右极限,无穷小与无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较,极限的四则运算，极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则),两个重要极限。 2.考试要求 (1）理解数列及函数极限的概念 （2)会求数列极限。会求函数的极限(含左极限、右极限)。了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 （3)了解极限的有关性质(惟一性，有界性）。掌握极限的四则运算法则。 (４）理解无穷小和无穷大的概念。掌握无穷小的性质、无穷小和无穷大的关系。了解高阶、同阶、等价无穷小的概念。 （5）掌握用两个重要极限求极限的方法。 (三)连续 １．考试内容 函数连续的概念，左连续与右连续，函数的间断点,连续函数的四则运算法则,复合函数的连续性，反函数的连续性,初等函数的连续性,闭区间上连续函数的性质（最大值、最小值定理，零点定理)。 2．考试要求 （1）理解函数连续性的概念(含左连续、右连续)。会求函数的间断点。

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

高等数学下册模拟试题2及答案.

高等数学（下）模拟试卷二 一．填空题（每空3分，共15分） z= 的定义域为；（1 ）函数 xy （2）已知函数z=e，则在(2,1)处的全微分dz=； （3）交换积分次序， ? e1 dx? lnx0 f(x,y)dy 2 ＝； )点B(1,1)间的一段弧， 则（4）已知L是抛物线y=x上点O(0,0与之 ? = （5）已知微分方程y''-2y'+y=0，则其通解为 . 二．选择题（每空3分，共15分） ?x+y+3z=0? （1）设直线L为?x-y-z=0，平面π为x-y-z+1=0，则L与π的夹角为（）；πππ A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 ?z=33 z=f(x,y)z-3xyz=a（2）设是由方程确定，则?x（）； yzyzxzxy2222 A. xy-z B. z-xy C. xy-z D. z-xy （3）微分方程y''-5y'+6y=xe的特解y的形式为y=（）； A.(ax+b)e B.(ax+b)xe C.(ax+b)+ce D.(ax+b)+cxe （4）已知Ω是由球面x+y+z=a

三次积分为（）； A 2 2 2 2 2x 2x 2x 2x 2x * * dv???所围成的闭区域, 将在球面坐标系下化成Ω ? 2π0 π2 dθ?sin?d??rdr a 2 B. ? 2π0 π20 dθ?d??rdr a a0 C. ? 2π0 dθ?d??rdr 0∞ πa D. ?

2π0 dθ?sin?d??r2dr π 2n-1n x∑ n 2（5）已知幂级数n=1，则其收敛半径 （）. 2 B. 1 C. 2 D. 三．计算题（每题8分，共48分） 1、求过A(0,2,4)且与两平面π1:x+2z=1和π2:y-3z=2平行的直线方程 . ?z?z x+y 2、已知z=f(sinxcosy,e)，求?x，?y . 22 D={(x,y)x+y≤1,0≤y≤x}，利用极坐标计算3、设 ??arctan D y dxdyx . 22 f(x,y)=x+5y-6x+10y+6的极值. 4、求函数 5、利用格林公式计算 ? L (exsiny-2y)dx+(excosy-2)dy ，其中

《微积分》期末复习指导

《微积分》期末复习指导 一、复习要求和重点 函数 ⒈理解函数概念，了解函数的两要素 定义域和对应关系，会判断两函数是否相同。 ⒉掌握求函数定义域的方法，会求函数值，会确定函数的值域。 ⒊了解函数的属性，掌握函数奇偶性的判别，知道它的几何特点。 ⒋了解复合函数概念，会对复合函数进行分解，知道初等函数的概念。 ⒌了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法。 ⒍知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）。 ⒎了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润等经济分析中常见的函数。 ⒏会列简单应用问题的函数关系式。 本章重点：函数概念，函数的奇偶性，几类基本初等函数。 一元函数微分学 ⒈知道极限概念（数列极限、函数极限、左右极限），知道极限存在的充分必要条件： 且 ⒉了解无穷小量概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质，如有界变量乘无穷小量仍为无穷小量，即。 ⒊掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求极限的一般方法。 两个重要极限的一般形式是： ， ⒋了解函数在一点连续的概念，知道左连续和右连续的概念。知道函数在一点间断的概念，会求函数的间断点。 ⒌理解导数定义，会求曲线的切线。知道可导与连续的关系。 ⒍熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单隐函数的导数。 ⒎了解微分概念，即。会求函数的微分。 ⒏知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数。 本章重点：导数概念，极限、导数和微分的计算。 导数的应用 ⒈掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间。 ⒉了解函数极值的概念，知道极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法。知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值。

大学高等数学(微积分)下期末考试卷(含答案)

大学高等数学（微积分）<下>期末考试卷 学院： 专业： 行政班： 姓名： 学号： 座位号： ----------------------------密封-------------------------- 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末 的括号中，本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、设lim 0n n a →∞ =，则级数 1 n n a ∞ =∑（ ）； A.一定收敛，其和为零 B. 一定收敛，但和不一定为零 C. 一定发散 D. 可能收敛，也可能发散 2、已知两点(2,4,7),(4,6,4)A B -----，与AB 方向相同的单位向量是（ ）； A. 623(, , )777 B. 623(, , )777- C. 623( ,, )777-- D. 623(, , )777-- 3、设3 2 ()x x y f t dt = ? ，则dy dx =（ ）； A. ()f x B. 32()()f x f x + C. 32()()f x f x - D.2323()2()x f x xf x - 4、若函数()f x 在(,)a b 内连续，则其原函数()F x （ ） A. 在(,)a b 内可导 B. 在(,)a b 内存在 C. 必为初等函数 D. 不一定存在

二、填空题（将正确答案填在横线上, 本大题分4小题, 每小题4分, 共16分) 1、级数1 1 n n n ∞ =+∑ 必定____________（填收敛或者发散）。 2、设平面20x By z -+-=通过点(0,1,0)P ，则B =___________ 。 3、定积分1 21sin x xdx -=?__________ _。 4、若当x a →时，()f x 和()g x 是等价无穷小，则2() lim () x a f x g x →=__________。 三、解答题(本大题共4小题，每小题7分，共28分 ) 1、( 本小题7分 ) 求不定积分sin x xdx ? 2、( 本小题7分 ) 若()0)f x x x =+>，求2'()f x dx ?。

大学微积分模拟试卷

一、单项选择题（本大题分5小题，每小题2分，共10分） （在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号内。） 1．当0→x 时，与x 相比较下列变量中是高阶无穷小量的是 （ ） A ．x sin B . x C . 1-x e D . x cos 1- 2．函数)(x f y =在点0x x =处连续且取得极大值，则)(x f 在0x 处必有 （ ） （A ）0)(0='x f （B ）0)(0<''x f （C ）0)(0='x f 且0)(0<''x f （D ）0)(0='x f 或不存在 3．2 2 11 011lim x x x e e +-→的极限为 （ ） （A ）1 （B ）－1 （C ）1或－1 （D ）不存在 补充：2=x 是函数x x f -=21 arctan )(的 （ ） A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 无穷间断点 4．已知函数)(x f 在1=x 处可导，且导数为2，则=--→x f x f x 2) 1()31(lim 0（ ） （A ）3 （B ）－3 （C ）－6 （D ）6 5．已知某商品的需求函数为5P e Q -=，当3=P 时，下列解释正确的是（ ） （A ）价格上升1％，需求增加0.6% （B ）价格上升1％，需求减少0.6% （C ）价格上升1％，需求增加60% （D ）价格上升1％，需求减少60% 二、填空题（将正确答案填在横线上） （本大题分5小题，每小题2分，共10分） 1．函数)1(arcsin )(+=x x x x f 的连续区间为 2．x x x e e x -→-0lim 的值等于 3．已知21212lim e x x x k x =? ?? ??-+∞→，则=k 4．)99()2)(1()(+++=x x x x x f ，则=)()100(x f x x sin -与3ax 是等价无穷小，则=a 三、计算题（必须有解题过程） （本大题分12小题，每小题5分，共60分） 1．求极限x x x 2cot ) 2(lim 2ππ -→ 2．x x x ln 1 )(cot lim +→

厦大14-15学年第二学期微积分I期末试卷

一、计算下列各题：（每小题5分，共20分） (1) 设函数222(,,)u x y z x y y z z x =++，求u grad 、div()u grad 和()u rot grad . (2) 计算L s ?，其中L 为上半圆周224,0x y y +=≥与x 轴围成的闭曲线. (3) 计算d L xy x ?，L 为曲线2y x =上由(1,1)A -到(1,1)B 的一段弧. (4) 讨论正项级数1sin 2n n n n ∞ =∑的敛散性. 厦门大学《微积分I-2》课程期末试卷 试卷类型：（理工类卷） 考试日期 2015.6.17

二、(8分)计算()d x z S ∑ +??，其中∑是平面1z x =+被圆柱面221x y +=所截的部 分. 三、（10分）计算22d d L y x x y x y -+? ，其中 L 为圆周22(1)2x y -+=，取逆时针方向.

四、(1)（2分）证明：在整个xOy 平面内，2(1)d (3)d x y x x y y +++-+为某个二元函数(,)u x y 的全微分； (2)（5分）求解全微分方程2(1)d (3)d 0x y x x y y +++-+=； (3)（3分）求2(1)d (3)d L x y x x y y +++-+?，其中曲线L ：22(1)4,0x y y -+=≥，L 的方向为逆时针方向.

五、(10分)求向量场{},0,0x 经过曲面∑指定侧的通量，其中∑为圆柱面221x y +=位于0z =上方及平面z y =的下方部分，取外侧. 六、(1)（8分）讨论级数21(1)4 n n n n ∞=-+∑的收敛性； (2)（2 分）判别级数21[(1)4n n n n ∞=-++∑的敛散性.

高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案(第2套)

高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案 一、填空题（将正确答案填在横线上）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分) 1、设函数(1)y z xy =+，则dz = 2、曲面2222223x y y z z x ++=在点(1,1,1)--处的切平面方程为____ 3、2 1122 2 0()x x I dx x y dy - =+??= . 4、曲面积分()()22 2x y z dydz y dzdx z z dxdy ∑ -++++?? ò= ，其中，∑ 为z 与()0z h h =>所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧. 5、幂级数()102n n n x ∞ -=-∑的收敛域为 . 二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分) 1、函数22z x y =+在（1,1）点沿()1,1l =--v 方向的方向导数为（ ）. (A) 0 (B) 1 (C) 最小 (D) 最大 2、函数24242 42,00,0x y x y z x y x y ?+≠?=+??+=? 在(0,0)处（ ）. (A)不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在 (C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在 3、计算22()()L x y dx x y dy x y +--+??=（ ），其中L 为222x y a +=（按逆时针方向绕行）． (A)0 (B)2π- (C) 2π (D) π 4、设(,)f x y 连续,且(,)(,)D f x y xy f u v dudv =+??,其中D 由 20,,1y y x x ===所围 成,则(,)f x y =（ ）. (A) xy (B) 2xy (C) 1xy + (D) 18 xy + 5、设级数1 n n a ∞ =∑收敛，其和为S ，则级数121 ()n n n n a a a ∞ ++=+-∑收敛于（ ）. （A ）1S a + （B ）2S a + （C ）12S a a +- （D ）21S a a +- 三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分) 1、设函数(,)z z x y =由方程0z e xyz -=所确定，计算z x ??，z y ??. 2、计算22 ()L x y ds +?，其中，L 为曲线(cos sin ),(sin cos )x a t t t y a t t t =+=-， (0,02)a t π>≤≤．

高等数学基础模拟题答案

高等数学基础模拟题 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1.设函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，则函数)()(x f x f --的图形关于（ D ）对称． (A) x y = (B) x 轴 (C) y 轴 (D) 坐标原点 2.当0→x 时，变量（ C ）是无穷小量． (A) x 1 (B) x x sin (C) 1e -x (D) 2x x 3.设x x f e )(=，则=?-?+→?x f x f x ) 1()1(lim 0（ B ）． (A) e 2 (B) e (C) e 41 (D) e 21 4. =? x x xf x d )(d d 2 （ A ）． (A) )(2x xf (B) x x f d )(2 1 (C) )(2 1 x f (D) x x xf d )(2 5.下列无穷限积分收敛的是（ B ）． (A) ? +∞ d e x x (B) ? +∞-0 d e x x (C) ? +∞1d 1 x x (D) ? +∞ 1 d 1x x 二、填空题（每小题3分，共15分） 1.函数) 1ln(92 --=x x y 的定义域是 (1,2)U(2,3］ ． 2.函数? ??≤>-=0sin 0 1x x x x y 的间断点是 X=0 ． 3.曲线1)(+=x x f 在)2,1(处的切线斜率是 1/2 ． 4.函数1)1(2 ++=x y 的单调减少区间是 （－∞，－1） ． 5.='?x x d )(sin sinx + c ． 三、计算题（每小题9分，共54分）

1.计算极限x x x 5sin 6sin lim 0→． 2.设2 2sin x x y x +=，求y '． 3.设x y e sin 2=，求． 4.设 是由方程y x y e cos =确定的函数，求 ． 5.计算不定积分? x x x d 3cos ． 6.计算定积分? +e 1 d ln 2x x x ． 四、应用题（本题12分） 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为l ，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 五、证明题（本题4分） 当0>x 时，证明不等式x x arctan >．

微积分总复习题与答案

第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =） 解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++???

微积分(下)期末复习题完整版

期末复习题 一、填空题 1、=?→x t t x x 0 20 d cos lim . 2、若)(x f 在],[b a 上连续, 则=?b x x x f x 2d )(d d . 3、已知)(x F 是)(x f 的原函数，则?>+x x t a t f t )0( d )(1 等于 . 4、若2 e x -是)(x f 的一个原函数，则 ='? 10 d )(x x f . 5、 =++?-112d 1| |x x x x . 6、已知2 1)(x x x f +=，则)(x f 在]2,0[上的平均值为 . 7、设 ? =+π0 ),(sin d )(x f x x x f 且)(x f 连续， 则=)(x f . 8、设曲线k x y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为3 1 ，则=k . 9、设y x y y x y x f arcsin )1()2(),(22---=，则 =??) 1,0(y f . 10、设y x z 2e =，则 =???y x z 2 . 11、交换积分次序 =? ?x y y x f x ln 0e 1d ),(d . 12、交换积分次序 =? ? ---x x y y x f x 11 1 2 2d ),(d . 13、交换积分次序 ? ?-2 210 d ),(d y y x y x f y ＝ . 二、选择题 1、极限x t t x x cos 1d )1ln(lim 2sin 0 -+?→等于（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 2、设x x t t f x e d )(d d e 0=?-，则=)(x f （ ） (A) 2 1x (B) 21x - (C) x 2e - (D) x 2e -- 3、设)(x f 是连续函数，且C x F x x f +=?)(d )(，则必有（ ）B （A ）)(d )(x F t t f x a =? （B ）)(]d )([x F t t F x a ='? （C ） )(d )(x f t t F x a ='? （D ）)()(]d )([a f x f t t F x a -=''?

[考研类试卷]考研数学二(多元函数微积分学)模拟试卷11.doc

[考研类试卷]考研数学二（多元函数微积分学）模拟试卷11 一、选择题 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 设函数f(x，y)可微，且对任意x，y都有则使不等式f(x1，y1)＜f(x2，y2)成立的一个充分条件是( ) （A）x1＞x2，y1＜y2． （B）x1＞x2，y1＞y2． （C）x1＜x2，y1＜y2． （D）x1＜x2，y1＞y2． 2 交换积分次序∫1e dx∫0lnx f(x，y)dy为( ) （A）∫0e dy∫0lnx f(x,y)dx （B）∫ey e d y∫01f(x,y)dx （C）∫0lnx dy∫1e f(x,y)dx （D）∫01dy∫ey e f(x,y)dx 3 设f(x，y)连续，且其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f(x，y)等于( ) （A）xy． （B）2xy．

（C） （D）xy+1． 4 则积分域为( ) （A）x2+y2≤a2． （B）x2+y2≤a2(x≥0)． （C）x2+y2≤ax． （D）x2+y2≤ax(y≥0)． 5 设f(x，y)在D：x2+y2≤a2上连续，则( ) （A）不一定存在． （B）存在且等于f(0，0)． （C）存在且等于πf(0，0)． （D）存在且等于． 6 设区域D由曲线=( ) （A）π． （B）2． （C）一2．

（D）一π． 7 设平面D由及两条坐标轴围成， 则( ) （A）I1＜I2＜I3． （B）I3＜I1＜I2． （C）I1＜I3＜I2． （D）I3＜I2＜I1． 8 设D为单位圆x2+y2≤1， ，则( ) （A）I1＜I2＜I3． （B）I3＜I1＜I2． （C）I3＜I2＜I1． （D）I1＜I3＜I2． 9 设其中函数f可微，则=( ) （A）2yf'(xy)． （B）一2yf'(xy)．

微积分二期末复习

期末复习指导 第五章 不定积分 1.积分的概念、性质 若()()F x f x ' =，则称()F x 是()f x 的一个原函数。 不定积分与导数或微分互为逆运算。 （1） 不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）： / ()()()()f x dx f x d f x dx f x dx ????==??????或 （2） 对一个函数的导数（或微分）求不定积分，其结果与这个函数仅相差 一个积分常数： / ()()()()F x dx F x C dF x F x C =+=+??或。 2.不定积分和定积分的第一类换元法 ()()()()f x x dx f x d x ????'=? ????????? ()()()()()x t f t dt F t C t x F x C ???==+=+????? ()()()() b b a a f x x dx f x d x ????'=????????? ? ()()()()() x t f t dt F t F F β β αα ?βα===-? 注：（1）第一换元法又称为“凑微分法”（即“凑”复合函数的中间变量的导数），可以不设代换完成； （2）不定积分与积分变量有关，故需要“回代”变量；而定积分与积 分变量无关，运算时不需要“回代”； 3.不定积分、定积分的第二类换元法 a 、根式代换

解题思路：“去根号”； 解题方法：令 t =m m b dt x ct a -=-，有m m b dt dx dt ct a '??-= ?-??； 特别地，t =，解出n t b x a -=，有1n n dx t dt a -=； 代换原则：由左至右、依次代换、一次完成； b 、代换 二次函数） 解题思路：“去根号”； 解题方法： （1） 令sin x a t =，有cos dx a tdt =； （2） 令tan x a t =，有2 sec dx a tdt =； （3） 令sec x a t =，有sec tan dx a t tdt =； 代换原则：由左至右、依次代换、一次完成； 例题： 注：不定积分与积分变量有关；而定积分与积分变量无关。 4.不定积分、定积分的分部积分法

微积分下册期末试卷及问题详解

中南民族大学06、07微积分（下）试卷 及参考答案 06年A 卷 评分 阅卷人 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知,则= ?∞ +--dx e x x 21 ___________. π =? ∞ +∞ --dx e x 2 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=' )0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是 ____________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 评分 阅卷人 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与?-e p x x dx 1 1ln 均收敛, 则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >

7 数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 22 2y x y x y x x y x f 在原点间断, 是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若 2 2223 11 1x y I x y dxdy +≤= --?? ,22223212 1x y I x y dxdy ≤+≤=--??, 2 2223 324 1x y I x y dxdy ≤+≤= --?? ,则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 三、计算题(每小题6分,共60分) 评分 评分 评阅人 11、求由2 3x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.

2.《高等数学》(二)期末模拟试题(含答案)

2.《高等数学》(二)期末模拟试题(含答案)

电气092班 电气092班 2 【注】 高等数学考试时间：7月13日（第二十周周二） 地点：主教楼1601教室 以下题目供同学们复习参考用！！！！ 《高等数学》（二）期末模拟试题 一、填空题：（15分） 1．设,y x z =则=??x z .1-y yx 2. 积分=??D xydxdy .其中D 为40,20≤≤≤≤y x 。 16 3. L 为2x y =点(0,0)到(1,1)的一段弧，则=? ds y L .121 55- 4. 级数∑∞ =-1)1(n p n n 当p 满足 时条件收敛.10≤

电气092班 电气092班 3 （A ）???Ω +dv y x )(22; （B ）???1 1 2 0 r dz rdr d π θ； （C ）?? ?+----2 22 2 1 1 1 1 y x x x dz dy dx ； （D ）??? 1 1 0 2 0 dz rdr d π θ。 5．方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为 。B （A ）x e b ax )(+ （B ）x cxe b ax ++ （C ）x ce b ax ++ （D ）x xe b ax )(+ 三、),(2 2 x y f z -=其中)(u f 有连续的二阶偏导数，求22x z ??.（8分） 解：)2(x f x z -?'=?? )2()2(222-?'+-?''=??f x f x z f f x '-''=242 例、设)](,[2 xy y x f z ?-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，求x y z ???2. x f f y z ?'?'+-?'=???21)1( ]2[1211 2y f x f x y z ?'?''+?''-=????x y f x f ?'??'?''+?''+??]2[2221 ??' ?'+??''?'+22f x y f 11 22)(f x xy f ''-''+'?'=??222122)2(f xy f y x ''?'+''?'-+?? 四、计算?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (，L 为由点A(1,0)到B(0,1)，再到 C(-1,0)的有向折线。（8分） 解：2cos ,2sin -=-=y e Q y y e P x x y e x Q y e y P x x cos ,2cos =??-=?? .,,围成的区域为由设CA BC AB D 由格林公式 ?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (