IMC国际数学竞赛初一组详解(独家发布)

初一年级初赛试题

姓名_____________ 学校_____________ 得分____________

一、填空题Ⅰ（每小题6分，共60分） 1.

方程2015x x =+的解为___________； 答案：57

-

解答：1）当0x ≥时，2015x x =+，15

19x =-

（舍）； 2）当0x <时，2015x x -=+，57

x =-； 2.

按下面的程序计算： 若输入x

200，输出结果是803，若输入x 25，输出结果是1663．若开始输入的x 的值为正整数，最

后输出的结果为2015，则开始输入的x 的值可能为___________； 答案：503或125 解答：2015

3

4

503，

503

3

4

125．

3.

如果一个数能表示为两个连续奇数的平方差，则称这个数是“神秘数”．那么在1~2015中共有___________个“神秘数”； 答案：251

解答：22(21)(21)8k k k +--=（k 为整数），20158

251

7，共有251个．

4.

已知a 、b 、c 均为两位正整数，它们的最小公倍数是455，则a b

c 的最大值与最小值之差为___________；

答案：186 解答：4555

7

13，最大为91

91

65

247，最小为13

13

35

61，247

61

186．

5.

若x 满足

3113

82013201420152016

x x x x --+++++=，那么x =___________； 答案：4029

解答：3113222202013201420152016x x x x --++????????

-+-+-+-= ? ? ? ?????????

输入x

计算4x +3的值

>550 输出结果

是

否

1

111(4029)02013201420152016x ??-+++= ???

x 4029．

6.

化简多项式321223m n m n m n n m u v x y u v x y -++-的结果是三项式，则m 、n 的倒数之和___________； 答案：1

12

解答：由题意得12m n n m =-??=?，12

m n =??=?，所以11111

1122m n +=+=．

7.

已知

AOB 是锐角，OC 、OD 、OE 是三条射线，如果OC

OA ，OD 平分

AOB ，OE 平分

BOC ，则

DOE 的大小为___________； 答案：45° 解答：根据OA 在BOC 内、外两种情况，均可得到

DOE

45°

8.

若22m m n -+-=，m 、n 均为整数，则数对（m ，n ）共有___________个； 答案：8 解答：202m m n ?-=??-=??或211m m n ?-=??-=??或22

0m m n ?-=??-=??

，共2

428个．

9.

如

图

，

直

线

AB ∥CD

，

则

()()1351924618∠+∠+∠++∠-∠+∠+∠++∠L

L =_______；

答案：0

解答：过中间每个顶点作AB 的平行线，根据平行线性质，内错角相等，可以得到同向角之和相等，故原式0．

10. 若不等式

10x m n +>的解集是1

3x <-，则不等式0nx m -<的解集是___________； 答案：13

x >

解答：0

13

m m n

?=??3n m ?=30mx m ?-<，31x >，13x >．

A

B 1

3 5 2 4

19 M

二、填空题II （每小题8分，共40分） 11. 计算：

2349

34510

122232342892++++????????L =___________； 答案：

2303

4608

解答：一般地，11

211

(1)22(1)2

n n n n n n n n +++=-?+??+?， 原式=2233489

11111111

1222223232428292-+-+-++-????????L 911

1292-

?? 2303

4608

．

12. 已知不等式组5060

x a x b -≥??-≤?的整数解仅有1、2、3，则b

a 的所有整数值之和为___________；

答案：175

解答：解不等式组得56a b x ≤≤，01

5

346a b ?

<≤????

≤

，

1）当a =1时，b

a

的所有整数和为181920212223123；

2）当a =2时，b

a

的所有整数和为9101130；

3）当a =3时，b

a 的所有整数和为67

13；

4）当a =4时，b a 5； 5）当a =5时，b a

4；

所有b

a

的所有整数和共计12330

1354175；

13. 若201420151a a a -+-=+，那么22015a -=___________；

答案：2015

解答：∵2015a ≥，∴201420151a a a --+，

20152015a -，220152015a -=，

220152015a -=．

14. 已知数轴上从左至右三个点A 、B 、C ，且点B 是线段AC 的中点，依次对应的数为a 、b 、c ，且均不为0，

又知2220a c a b c b a c b ++---++-=，则a b c bc

a b c bc

+++

=___________； 答案：

2

解答：2b a c =+，a c a c +=-，a 、c 异号，且a c >，这说明中点B 在原点左侧，0a <，0b <，0c >．原式=-11

1

1

2．

15. 甲、乙分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，甲到达中点C 地时，乙开始把速度提高2倍，结果两车在

D 地相遇，相遇后各自继续前行，同时到达对方出发地B 、A ，相遇时乙行100千米，那么A 、B 两地的距离为___________千米；（250） 答案：250 解答：如图设元，

10010031001002b b a a b +==

-+， 1004100

3001002b b

+=

+ 25b =

AB 100

25

2

250．

B

a

100 a b

100

b

C D