第14章 勾股定理
第14章勾股定理
1．一直角三角形的斜边长比一直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为()A ．4B ．8C ．10D ．12
2．已知△ABC 的三边长为a，b，c，且满足(a－2)2＋|b－2|＋|c－2|＝0，则此三角形一定是()
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．一般三角形
3．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m 处折断，倒下后树顶端着地点A 距树底端B 的距离为12m ，这棵大树在折断前的高度为()
A ．10m
B ．15m
C ．18m
D ．20m
4．如图，为修铁路需凿隧道AC，测得∠A＋∠B＝90°，AB＝130m ，BC＝120m ，若每天凿隧道5m ，则把隧道凿通需要()
A ．10天
B ．9天
C ．8天
D ．11天
5．一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为()
A ．5
B .7
C .5
D ．5或7
6．如图①，分别以Rt△ABC 三边为直径向形外作三个半圆，其面积分别为S 1，S 2，S 3；图②，分别以Rt△ABC 三边为边向形外作三个正方形，其面积分别为S 1，S 2，S 3；图③，分别以Rt△ABC
三边为边向形外作三个等边三角形，其面积分别为S 1，S 2，S 3.其中满足S 1＝S 2＋S 3的有()
A ．①
B ．②
C ．①②
D ．①②③
7．如图，在水塔O 的东北方向32m 处有一抽水站A，在水塔的东南方向24m 处有一建筑工地B，在AB 间建一条直水管，则水管的长为()
A ．45m
B ．40m
C ．50m
D ．56m
8．下列几组数：①7，24，25；②8，15，17；③9，40，41；④n 2－1，2n，n 2＋1(n 是大于1的正整数)．其中是勾股数的有()
A ．1组
B ．2组
C ．3组
D ．4组
9．如图是一块长，宽，高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是()
A ．(3＋213)cm
B .97cm
C .85cm
D .109cm
10．以下列各组数为三角形的边长：①62，82，102；②13，14，15；③1，2，3；④8，15，17；⑤300，400，500.其中能构成直角三角形的有________．(填序号)
11．在△ABC 中，a 2＋b 2＝25，ab＝12，且c＝5，则最大边上的高是________．
12．如图，在Rt △ABC 中，∠C＝90°，AC＝4cm ，BC＝3cm .现将△ABC 进行折叠，使顶点A，B 重合，则折痕DE＝________cm .
13．在Rt △ABC 中，∠C＝90°，BC＝6cm ，CA＝8cm ，动点P 从C 点出发，以每秒2cm
的速度沿CA，AB 方向运动到B 点，则从C 点出发，经过________秒时，可使S △BCP ＝12
S △ABC .14．观察下列各式：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262……，根据其中规律，写出下一个式子为______________．
15．如图，在一个高BC 为6米，长AC 为10米，宽为2.5米的楼梯表面铺设地毯，若每平方米地毯的价格为50元，你能算出铺设地毯至少需要花费多少钱吗？
16．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，D为AC边的中点，过点D作DE⊥DF，交AB于点E，交BC于点F.
(1)试判断线段DE与DF是否相等？并说明理由；
(2)若AE＝4，FC＝3，求线段EF的长．
17．如图，笔直的公路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15km，CB＝10km，现在要在公路的AB段上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到收购站E的距离相等，则收购站E应建在离A点多远处？
18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.
(1)线段BH与AC相等吗？若相等，给予证明；若不相等，请说明理由；
(2)求证：BG2－GE2＝EA2.
答案
1.C
2.C
3.C
4.A
5.D
6.D
7.B
8.D
9.C
10.③④⑤
11.2.4
12.15 8
13.2或6.5
14.352＋122＝372
15.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB2＝AC2－BC2＝102－62＝64，∴AB＝8米，根据楼梯表面的形状可知：铺设的地毯在楼梯的所有水平面上的长度之和等于AB，竖直面上的长度之和等于BC，故地毯的总长度为6＋8＝14(米)，所以铺设地毯的总面积为14×2.5＝35(平方米)，铺设地毯至少需要花费35×50＝1750(元)
16.(1)DE＝DF，理由如下：如图，连结BD.
∵等腰直角△ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC，BD＝CD＝AD，∠ABD＝45°，∴∠C＝45°，
∴∠ABD＝∠C.∵DE丄DF，∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF，∴∠FDC＝∠EDB.在△EDB[JP2]与△FDC中，
∵，∴△EDB≌△FDC(A.S.A.)，∴DE＝DF
∵△EDB≌△FDC，∴BE＝FC＝3，∴AB＝AE＋BE＝4＋3＝7，则BC＝AB＝[JP]7，∴BF＝BC－CF＝7－3＝4.在Rt△EBF中，∵∠EBF＝90°，∴EF2＝BE2＋BF2＝32＋42，∴EF＝5.故线段EF 的长为5
17.∵使得C，D两村到E站的距离相等，
∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2＋AD2＝DE2，
BE2＋BC2＝EC2，∴AE2＋AD2＝BE2＋BC2，设AE＝x，则BE＝AB－AE＝(25－x)，∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2＋152＝(25－x)2＋102，解得x＝10，∴AE＝10km，
∴收购站E应建在离A点10km处
18.(1)BH＝AC，证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∠A＋∠DCA＝90°，∠A＋∠ABE＝90°，∴DB＝DC，∠ABE＝∠DCA，在△DBH和△DCA 中，∵∠DBH＝∠DCA，∠BDH＝∠CDA，BD＝CD，∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC
(2)连接CG，∵F为BC的中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝CG，∵∠ABE＝∠CBE，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠CEB，在△ABE和△CBE中，∠AEB＝∠CEB，BE＝BE，∠CBE＝∠ABE，∴△ABE≌△CBE，∴EC＝EA，在Rt△CGE中，由勾股定理得：CG2－GE2＝EC2，即BG2－GE2＝
EA2