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3-1 复数的几何意义正式版

§3.1.2 复数的几何意义

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理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的,能根据复数的代数形式描出其对应的

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复习1:复数(4)(3)z x y i =++-,当,x y 取何值时z 为实数、虚数、纯虚数?

复习2:若(4)(3)2x y i i ++-=-,试求,x y 的值,((4)(3)2x y i ++-≥呢?)

二、问题展示,合作探究

探究任务一:复平面

问题:我们知道,实数与数轴上的点一一对应,因此,实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义,复数的几何意义是什么呢?

分析复数的代数形式,因为它是由实部a 和虚部b 同时确定,即有顺序的两实数,不难想到有序实数对或点的坐标.

结论:复数与平面内的点或有序实数一一对应

新知:

1.复平面:以x 轴为实轴, y 轴为虚轴建立直角坐标系,得到的平面叫复平面. 复数与复平面内的点一一对应.

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显然,实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.

2复数的几何意义:

复数z a bi =+←???

→一一对应复平面内的点(,)Z a b ; 复数z a bi =+←???

→一一对应平面向量OZ ; 复平面内的点(,)Z a b ←???

→一一对应平面向量OZ . 注意:人们常将复数z a bi =+说成点Z 或向量OZ ,规定相等的向量表示同一复数 3复数的模

向量OZ 的模叫做复数z a bi =+的模,记作||z 或||a bi +.如果0b =,那么z a bi =+是一个实数a ,它的模等于||a (就是a 的绝对值),由模的定义知:

||||0,)z a bi r r r R =+==≥∈

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试试:复平面内的原点(0,0)表示 ,实轴上的点(2,0)表示 ,虚轴上的点(0,1)-表示 ,点(2,3)-表示复数

反思:复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的.

例1在复平面内描出复数23i +,84i -,83i +,6,i ,29i --,7i ,0分别对应的点.

变式:若复数22(34)(56)z m m m m i =--+--表示的点(1)在虚轴上,求实数m 的取值;

(2)在右半平面呢?

三、达标训练,巩固提升

1. 下列命题(1)复平面内,纵坐标轴上的单位是i (2)任何两个复数都不能比较大小(3)任何数的平方都不小于0(4)虚轴上的点表示的都是纯虚数(5)实数是复数(6)虚数是复数(7)实轴上的点表示的数都是实数.其中正确的个数是( )

A .3

B .4

C .5

D .6

2. 对于实数,a b ,下列结论正确的是( )

A .a bi +是实数

B .a bi +是虚数

C .a bi +是复数

D .0a bi +≠

3. 复平面上有点A ,B 其对应的复数分别为3i -+和13i --,O 为原点,那么是AOB ?是( )

A .直角三角形

B .等腰三角形

C .等腰直角三角形

D .正三角形

4. 若1z =,则||z =

5. 如果P 是复平面内表示复数(,)a bi a b R +∈的点,分别指出下列条件下点P 的位置:

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(1)0,0a b >> (2)0,0a b <>

(3)0,0a b =≤ (4)0b >

四、知识梳理,归纳总结

1. 复平面的定义;

2. 复数的几何意义; 3.复数的模.

五、预习指导,新课链接

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1.实数取什么值时,复平面内表示复数22(815)(514)z m m m m i =-++--的点(1)位于第四象限?(2)位于第一、三象限?(3)位于直线y x =上?