当前位置：文档库 › 二面角

二面角

20.如图，四棱锥P －ABCD 的底面是矩形，侧面P AD 是正三角形，且侧面P AD ⊥底面ABCD ，E 为侧棱PD 的中点．（1）证明：PB ∥平面EAC ；（2）求证：AE ⊥平面PCD ；

（3）若AD = AB ，试求二面角A －PC －D 的正切值.

11．(12分)(2011·天津)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝

(1) 求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值； (2) 求二面角A －A 1C 1－B 1的正弦值；

11．(12分)(2011·浙江省宁波市)一个多面体的直观图及三视图如图所示(其中M，N分别是AF，BC的中点)．

(1)求证：MN∥平面CDEF；

(2)求二面角A－CF－B的余弦值；

(3)求多面体A－CDEF的体积．

20．（本题满分14分）

四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为AD 的中点，ABCE 为菱形，∠BAD ＝120°，P A ＝AB ，G 、F 分别是线段CE 、PB 的中点．

(Ⅰ) 求证：FG ∥平面PDC ； (Ⅱ) 求二面角F －CD －G 的正切值．

20．如图在三棱柱ABC-111C B A 中，平面

，平面?=∠⊥90,11111BAA C C AA A ABB 212011===?=∠AA AC AB CAA ，，D 是棱的中心点1CC (1)求证：;1B A AD ⊥

(2)求二面角A B A D --1的正切值.

20．已知在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，ABCD PA 平面⊥，，1==AD PA 的中点、分别是、，PD AB F E AB 2=

（1）求证：AF ∥PEC 平面;

（2）求PC 与平面ABCD 所成角的正切值大小; （3）求二面角D EC P --的正切值大小.

怎样找二面角的平面角

6.怎样找二面角的平面角一、当图中明显给出二面角的棱时 1、利用定义在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，求平面BD A 1与平面BD C 1所成的二面角的余弦值。 2、利用三垂线定理和逆定理当图中给出或能作出二面角的一个面内一点垂直于另一个面的直线时，则可通过垂足（或这点）作棱的垂线，连结所得垂足与前平面内的点（或前垂足），根据三垂线定理或其逆定理就可得出二面角的平面角。在四棱锥P -ABCD 中，ABCD 是平行四边形，P A ⊥平面ABCD ， P A =AB =2， ∠ABC =30°，求二面角 P -BC -A 的大小。 3、借助垂直平面通过作两个平面的公垂面得到交线，这时棱与公垂面垂直，从而两交线所成的角就是二面角的平面角设在棱形ABCD 中，,3 A π ∠=P A ⊥平面ABCD ，且12 AP AB = =，求二面角B -PC -D 的大小。

二、当图中未给出二面角的棱时一、若给出了两个平面的公共点 ①若能找到分别含在两个平面内的互相平行的直线，则可通过两个平面的公共点作上述两直线的平行线，此直线即为二面角的棱。从而转化为给出棱时的二面角的问题。过正方形ABCD的顶点A，作线段P A 平面ABCD，若P A=AB。求平面ABP和平面CDP所成的二面角。 ②若在二面角的两个面内找不到含在两个面内的两平行直线，可设法找这两个平面的另一个公共点。可分别在两个平面内找能相交于另一点的直线，这两条直线的交点与前一个公共点的连线即为二面角的棱。从而转化为给出二面角的棱时的二面角的问题。已知正三棱柱ABC-A 1B 1 C 1 的侧棱BB 1 ，CC 1 上分别有点D,E使EC=BC=2DB 求截面ADE与底面ABC所成的二面角的大小。 ③补形法，其目的是使补形后两个平面有公共交线在四棱锥P-ABCD中，ABCD为正方形，P A⊥平面ABCD，P A＝AB＝a，求平面PBA 与平面PDC所成二面角的大小。

求二面角的五种方法

五法求二面角从全国19份高考试卷中我们知道，立体几何题中命有求二面角大小的试题共有12份，并都为分值是12分的大题，足以说明这一知识点在高考中的位置，据有关专家分析，它仍然是2010年高考的重点，因此，我们每位考生必须注意，学会其解题方法，掌握其解题技巧，是十分重要的。一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，AD =2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，26= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG F G

(完整版)二面角求解方法

二面角的作与求求角是每年高考必考内容之一，可以做为选择题，也可作为填空题，时常作为解答题形式出现，重点把握好二面角，它一般出现在解答题中。下面就对求二面角的方法总结如下： 1、定义法：在棱上任取一点，过这点在两个面内分别引棱的垂线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角。 2、三垂线定理及逆定理法：自二面角的一个面上的一点向另一个面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点。斜足与面上一点连线，和斜足与垂足连线所夹的角即为二面角的平面角。 3、作棱的垂面法:自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角的两条射线所成的角就是二面角的平面角。 4、投影法：利用s 投影面 =s 被投影面 θcos 这个公式对于斜面三角形，任意多边形都成立，是求二面角的好方法。尤其对无棱问题 5异面直线距离法： EF 2=m 2+n 2+d 2－2mn θcos 例1：若p 是ABC ?所在平面外一点，而PBC ?和ABC ?都是边长为2的正三角形， PA=6,求二面角P-BC-A 的大小。分析：由于这两个三角形是全等的三角形，故采用定义法解：取BC 的中点E ，连接AE 、PE Θ AC=AB ，PB=PC ∴ AE ⊥ BC ，PE ⊥BC ∴PEA ∠为二面角 P-BC-A 的平面角在PAE ?中AE=PE=3，PA=6 P C B A E

∴PEA ∠=900 ∴二面角P-BC-A 的平面角为900。例2：已知ABC ?是正三角形，⊥PA 平面ABC 且PA=AB=a,求二面角A-PC-B 的大小。 [思维]二面角的大小是由二面角的平面角来度量的，本题可利用三垂线定理（逆）来作平面角，还可以用射影面积公式或异面直线上两点间距离公式求二面角的平面角。解1：（三垂线定理法）取AC 的中点E ，连接BE ，过E 做EF ⊥PC,连接BF Θ⊥PA 平面ABC ，PA ?平面PAC ∴平面 PAC ⊥平面ABC, 平面PAC I 平面ABC=AC ∴BE ⊥平面 PAC 由三垂线定理知BF ⊥PC ∴BFE ∠为二面角A-PC-B 的平面角设PA=1,E 为AC 的中点，BE= 23,EF=4 2 ∴tan BFE ∠= 6=EF BE ∴BFE ∠=arctan 6 解2：（三垂线定理法）取BC 的中点E ，连接AE ，PE 过A 做AF ⊥PE, FM ⊥PC,连接FM ΘAB=AC,PB=PC ∴ AE ⊥BC,PE ⊥BC ∴ BC ⊥平面PAE,BC ?平面PBC ∴ 平面PAE ⊥平面PBC, 平面PAE I 平面PBC=PE 由三垂线定理知AM ⊥PC P C B A E F M E P C B A F 图1 图2

二面角的几种方法及例题

二面角大小的求法（例题）二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. O OA PA OB PAOB OA AOB AOB=120APB=60OB PB PB βαβ⊥⊥∴⊥⊥⊥∴⊥∴⊥∠∠?∠?做交线，交于点，连接平面交线同理交线又交线交线面交线即可得为面的二面角，所以例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。提示：PAB PCD ?，而且是直角三角形 P

二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的tag 大小。 A AH BC BC H PH ABCD PA AB PA BC PHA PHA H ABH=30AB=a AH=a/2 tag PHA 2 PA BC AB ⊥⊥∴⊥⊥∴⊥∴∠∠?∴∴∠=过做，交于，连接面，面为二面角在中，例：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 提示：CO ⊥DE ，而且是长方体！！！ p A B L H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O

二面角求法及经典题型归纳

- 1 - αβa O A B 二面角求法一：知识准备 1、二面角的概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面. 2、二面角的平面角的概念：平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。 3、二面角的大小范围：[0°，180°] 4、三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它就和这条斜线垂直 5、平面的法向量：直线L 垂直平面α，取直线L 的方向向量，则这个方向向量叫做平面α的法向量。（显然，一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量） 6、二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法：（1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角；（2）、垂面法：做垂直于棱的一个平面，这个平面与2个半平面分别有一条交线，这2条交线所成的角；（3）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A ）做另一个半平面的一条垂线，过这个垂足（记为B ）再做棱的垂线，记垂足为C ，连接AC ，则∠ACB 即为该二面角的平面角。 7、两个平面的法向量的夹角与这两个平面所成的二面角的平面角有怎样的关系？二：二面角的基本求法及练习 1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求（1）二面角11A B C A 的大小；（2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 C1

难点攻坚!如何寻找二面角的平面角

寻找二面角的平面角的方法二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型．一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例1 在ο60的二面角βα--a 的两个面内，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且线段10=AB ，试求：（1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值；（2）直线AB 与平面α所构成的角的正弦值．分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出ο60角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．根据题意，在平面β内作a AD ⊥；在平面α内作α⊥BE ，EB CD //，连结BC 、AC ．可以证明a CD ⊥，则由二面角的平面角的定义，可知ADC ∠为二面角βα--a 的平面角．以下求解略．二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2 如图，在平面β内有一条直线AC 与平面α成ο30，AC 与棱BD 成ο45，求平面α与平面β的二面角的大小．分析：找二面角的平面角，可过A 作BD AF ⊥； ⊥AE 平面α，连结FE ．由三垂线定理可证

EF BD ⊥，则AFE ∠为二面角的平面角．总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作BD AF ⊥”、“连结EF ”、“证明BD EF ⊥”．三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3 如图1，已知P 为βα--CD 内的一点，α⊥PA 于A 点， β⊥PB 于B 点，如果οn APB =∠，试求二面角βα--CD 的平面角．分析：⊥?⊥?⊥⊥?⊥CD CD PB PB CD PA PA βα平面PAB ．因此只要把平面PAB 与平面α、β的交线画出来即可．证明AEB ∠为βα--CD 的平面角，οοn AEB -=∠180（如图2）．注意：这种类型的题，如果过A 作CD AE ⊥，垂足为E ，连结EB ，我们还必须证明CD EB ⊥，及AEBP 为平面图形，这样做起来比较麻烦．例4 已知斜三棱柱111-C B A ABC 中，平面1AB 与平面1AC 构成的二图1 图2

五种方法求二面角及练习题

五种方法求二面角及练习题一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。 1．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：（1）二面角C 1—BD —C 的正切值（2）二面角11B BC D -- 2.如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，，点M 在侧棱上，=60，M 在侧棱的中点（1）求二面角的余弦值。二、三垂线法：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。 1. 如图，在直四棱柱ABCD-A B C D 中，底面ABCD 为等腰梯形，AB//CD ， AB=4, BC=CD=2, AA =2, E 、E 、F 分别是棱AD 、AA 、AB 的中点。（1）证明：直线EE //平面FCC ；（2）求二面角B-FC -C 的余弦值。 S ABCD -ABCD SD ⊥ ABCD AD 2DC SD ==SC ABM ∠SC S AM B --1111111111E A B C F E 1 A B 1 C 1 D D A B C D A D C B

2.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知 60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（Ⅰ）证明⊥AD 平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角A BD P --的大小．三．补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线的求二面角题目时，要将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的定义法与三垂线法解题。即当二平面没有明确的交线时，一般用补棱法解决 1.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的棱长都是a ，侧棱与底面成600的角，侧面BCC 1B 1⊥底面ABC 。（1）求证：AC 1⊥BC ；（2）求平面AB 1C 1与平面 ABC 所成的二面角（锐角）的大小。 2：如图5，E 为正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱CC 1的中点，求平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成锐角的余弦值. 3如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ; （Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小. 角的平面角（锐角）. A B C E D P A B B 1 C 1 A 1 L A 1 D 1 B 1 C 1 E D B C A 图5

二面角的求法(教师版)

五法求二面角一、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角S —AM —B 中半平面ABM 上的一已知点（B ）向棱AM 作垂线，得垂足（F ）；在另一半平面ASM 内过该垂足（F ）作棱AM 的垂线（如GF ），这两条垂线（BF 、GF ）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面 ABCD ，2AD = 2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （I ）证明：M 在侧棱SC 的中点（II ）求二面角S AM B --的大小。证（I ）略解（II ）：利用二面角的定义。在等边三角形ABM 中过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，连结AC ，∵△ADC ≌△ADS ，∴AS-AC ，且M 是SC 的中点， ∴AM ⊥SC ， GF ⊥AM ，∴GF ∥AS ，又∵F 为AM 的中点， ∴GF 是△AMS 的中位线，点G 是AS 的中点。则GFB ∠即为所求二面角. ∵2= SM ，则2 2 = GF ，又∵6==AC SA ，∴2=AM ∵2==AB AM ，0 60=∠ABM ∴△ABM 是等边三角形，∴3= BF 在△GAB 中，2 6= AG ，2=AB ，0 90=∠GAB ，∴2 11423=+=BG 366 23 2 22211 32 12cos 2 2 2 -=-=??- +=?-+=∠FB GF BG FB GF BFG ∴二面角S AM B --的大小为)3 6arccos(- F G

专题二：二面角的五种方法

专题二：二面角的五种方法一、定义法：由图形的特殊条件按定义直接作出. 例1.如图, 过正方形ABCD的顶点A作P A⊥平面ABCD, 设P A=A B=a,求二面角B-PC-D 的大小. 例2.二面角α-BC-β大小为120°, A∈α,B∈β, 且AB⊥BC,BC⊥CD, AB=BC=CD=1, 求二面角A-BD-C的正切值. 二、垂面法：通过作二面角棱的垂面, 此垂面与二面角的两个面所交的两条射线构成的角就是这个二面角的平面角. 例3.⑴空间三条射线P A,PB,PC不共面, 若∠APC=∠APB=60°,∠BPC=90°, 则二面角B-P A-C的大小是______； ⑵已知∠AOB=90° , 过O点引∠AOB所在平面的斜线OC, 使它与OA,OB分别成45°,60°的角, 则二面角A-OC-B的余弦值为______. 例4.如图, 在△ABC中, AB⊥BC, SA⊥平面ABC, DE垂直平分SC, 且分别交AC,SC 于D,E, 又SA=AB, SB=BC, 求二面角E-BD-C的大小. 三、延伸法：若所求的两个面只有一个公共点是已知的, 所以要把两个面延伸面得到二面角的棱, 然后再求出它的平面角. 例5.直角梯形ABCD中, AB⊥AD, AD⊥CD, AB=2, CD=4, 平面P AD⊥平面ABCD, △PBC是边长为10的正三角形, 求平面P AD和平面PBC所成二面角的大小. 例6.设正方体ABCD-A1B1C1D1中, E为AA1中点, 求平面B1DE和底面ABCD所成二面角的大小. 四、垂线法：利用三垂线定理或其逆定理作出平面角. 例7.已知由O点出发的三条射线OA,OB,OC不共面,且∠AOB=∠AOC, 求证：二面角A-OB-C与二面角A-OC-B相等. 例8.二面角M-CD-N中, A为平面M上一定点, △ADC的面积为定值S, DC=a, B为平面N内一点, AB⊥CD, 若AB与平面N成30°角;求△BCD面积的最大值, 并求此时二面角M-CD-N的大小. 五、射影法：若多边形面积为S, 它在一个平面上的射影的面积为S0, 则多边形所在平面与这个平面

难点攻坚!如何寻找二面角的平面角

寻找二面角得平面角得方法二面角就是高中立体几何中得一个重要内容,也就是一个难点、对于二面角方面得问题,学生往往无从下手,她们并不就是不会构造三角形或解三角形,而就是没有掌握寻找二面角得平面角得方法. 我们试将寻找二面角得平面角得方法归纳为以下六种类型. 一、根据平面角得定义找出二面角得平面角例1 在得二面角得两个面内,分别有与两点.已知与到棱得距离分别为2与4,且线段,试求: (1)直线与棱所构成得角得正弦值; (2)直线与平面所构成得角得正弦值. 分析:求解这道题,首先得找出二面角得平面角,也就就是找出角在哪儿。如果解决了这个问题,这道题也就解决了一半. 根据题意,在平面内作;在平面内作,,连结、、可以证明,则由二面角得平面角得定义,可知为二面角得平面角。以下求解略、二、根据三垂线定理找出二面角得平面角例２如图,在平面内有一条直线与平面成,与棱成,求平面与平面得二面角得大小。分析:找二面角得平面角,可过作;平面,连结、由三垂线定理可证,则为二面角得平面角. 总结:(１)如果两个平面相交,有过一个平面内得一点与另一个平面垂直得垂线,可过这一点向棱作垂线,连结两个垂足。应用三垂线定

理可证明两个垂足得连线与棱垂直,那么就可以找到二面角得平面角. (2)在应用三垂线定理寻找二面角得平面角时,注意“作”、“连”、“证”,即“作"、“连结"、“证明”. 三、作二面角棱得垂面,垂面与二面角得两个面得两条交线所构成得角,即为二面角得平面角例3 如图１,已知为内得一点,于点,于点,如果,试求二面角得平面角. 分析:平面. 因此只要把平面与平面、得交线画出来即可.证明为得平面角,(如图2). 图1 图2 注意:这种类型得题,如果过作,垂足为,连结,我们还必须证明,及为平面图形,这样做起来比较麻烦、例4 已知斜三棱柱中,平面与平面构成得二面角得平面角为,平面与平面构成得二面角为.试求平面与平面构成得二面角得大小、分析:作三棱柱得直截面,可得△, 其三个内角分别为斜三棱柱得三个侧面两两构成得二面角得平面角、总结:对棱柱而言,其直截面与各个侧棱得交点所形成得多边形得各个内角,分别为棱柱相邻侧面构成得二面角得平面角。四、平移平面法例５如图,正方体中,为得中点,为上得点,且、设正方体得棱长为,

立体几何二面角5种常见解法

立体几何二面角大小的求法二面角的类型和求法可用框图展现如下：一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性；例、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。 A P H

二、三垂线定理法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；例、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。例、(2003北京春)如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. p A B L H A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O

例、ΔABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，平面ABC外一点P在平面ABC内的射影是AB中点M，二面角P—AC—B的大小为45°。求（1）二面角P—BC—A的大小；（2）二面角C—PB—A的大小例、(2006年陕西试题)如图4，平面α⊥平面β，α∩β=l，A∈α，B∈β，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：二面角A1－AB－B1的大小. 图4 B1 A α β A1 B L E F

找二面角的平面角的方法汇总

找二面角的平面角的方法汇总二面角是高中立体几何中的一个重要内容，也是一个难点．对于二面角方面的问题，学生往往无从下手，他们并不是不会构造三角形或解三角形，而是没有掌握寻找二面角的平面角的方法．我们试将寻找二面角的平面角的方法归纳为以下六种类型．一、根据平面角的定义找出二面角的平面角例 1 在 60的二面角βα--a 的两个面内，分别有A 和B 两点．已知A 和B 到棱的距离分别为2和4，且线段10=AB ，试求：（1）直线AB 与棱a 所构成的角的正弦值；（2）直线AB 与平面α所构成的角的正弦值．分析：求解这道题，首先得找出二面角的平面角，也就是找出 60角在哪儿．如果解决了这个问题，这道题也就解决了一半．根据题意，在平面β内作a AD ⊥；在平面α内作α⊥BE ，EB CD //，连结BC 、AC ．可以证明a CD ⊥，则由二面角的平面角的定义，可知ADC ∠为二面角βα--a 的平面角．以下求解略．二、根据三垂线定理找出二面角的平面角例2 如图，在平面β内有一条直线AC 与平面α成 30，AC 与棱BD 成 45，求平面α与平面β的二面角的大小．分析：找二面角的平面角，可过A 作BD AF ⊥；⊥AE 平面 α，连结FE ．由三垂线定理可证EF BD ⊥，则AFE ∠为二面角的平面角．总结：（1）如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足．应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角．（2）在应用三垂线定理寻找二面角的平面角时，注意“作”、“连”、“证”，即“作 BD AF ⊥” 、“连结EF ”、“证明BD EF ⊥”．三、作二面角棱的垂面，垂面与二面角的两个面的两条交线所构成的角，即为二面角的平面角例3 如图1，已知P 为βα--CD 内的一点，α⊥PA 于A 点，β⊥PB 于B 点，如果 n APB =∠，试求二面角βα--CD 的平面角．分析：⊥?⊥?⊥⊥?⊥CD CD PB PB CD PA PA βα平面PAB ．因此只要把平面PAB 与平面α、β的交线画出来即可．证明AEB ∠为βα--CD 的平面角， n AEB -=∠180（如图2）．注意：这种类型的题，如果过A 作CD AE ⊥，垂足为E ，连结EB ，我们还必须证明图1 图2

二面角的几种求法

二面角的几种求法河北省武安市第一中学李春杰056300 摘要：在立体几何学习中，求二面角的大小是一个重点，更是一个难点。在每年的高考中，求二面角的大小，几乎成了必考的知识点，但学生却对这个知识点不太熟练，不知从何入手，更不能站在一个高度去求二面角。因而我们将一些求角的方法加以归纳、总结，从而更好更准确地解决问题。关键词：二面角平面角三垂线定理空间向量在高考中，立体几何占的分值比较大，学生觉得在学习的过程中有一定的难度，他们觉得，立几中要记的定义，定理，方法和基本图形比较多，再加上还要运用空间想象和空间思维能力，因此，空间立体几何对他们来说，真的有一定的难度。我们将有关二面角大小的方法加以归纳，为的是在以往有关解答此类问题时能有一定的解题技巧、方法，以便得心应手地面对各种有关的题型。一：二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥, 1.利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。例1、如图,空间四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA=a ，对角线AC=a ,BD=.求二面角 A-BD-C 的大小。解: 取BD 的中点为O ，分别连接AO 、CO

2220 0,,,,2 ,,, 9090AB AD BC CD AO BD CO BD AOC A BD C AB AD a BD AO BC CD a BD OC OA AC a OA OC AC AOC A BD C ==∴⊥⊥∴∠--===∴====∴===+=∴∠=-- 为二面角的平面角在AOC 中，即二面角为的二面角 2.三垂线定理（逆定理）法由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。例2．如图,在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD -中//AD BC ，,90?=∠ABC 平面⊥PA ABC ， 32,2,4===AB AD PA ,BC =6。 (Ⅰ)求证：BD PAC ⊥平面；(Ⅱ)求二面角D BD P --的大小；解：（Ⅰ）PA ⊥平面A B C D ，BD ?平面A B C D ．BD PA ∴⊥．又tan AD ABD AB = = tan BC BAC AB == 30ABD ∴= ∠，60BAC = ∠，90AEB ∴= ∠，即BD AC ⊥．又PA AC A = ．BD ∴⊥平面PAC ．（Ⅱ）过E 作EF PC ⊥，垂足为F ，连接DF ． DE ⊥平面PAC ，EF 是DF 在平面PAC 上的射影，由三垂线定理知PC DF ⊥， EFD ∴∠为二面角A PC D --的平面角．又9030DAC BAC =-= ∠∠， sin 1DE AD DAC ∴==， sin AE AB ABE == 又AC = EC ∴=8PC =． A E D P C B F

立体几何中二面角的求法

专题五立体几何中二面角的求法 ★★★高考在考什么二面角的求法是立体几何中的重点，也是立体几何的难点，从近几年的高考试题来看，几乎每年都涉及到二面角的求法。二面角的常见求法：（1）定义法（2）垂线法（3）垂面法（4）延伸法（5）射影法一、定义法：例1:如图1，设正方形ABCD-A 1B 1C 1D ！中，E 为CC 1中点，求截面A 1BD 和EBD 所成二面角的度数。二、垂线法例2 如图3，设三棱锥V-ABC 中，VA⊥底面ABC ，AB⊥BC，DE 垂直平分VC ，且分别交AC 、VC 于D 、E ，又VA=AB ，VB=BC ，求二面角E-BD-C 的度数。三、垂面法：例3 如图6，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点。（1）求证：A 1、E 、C 、F 四点共面；（2）求二面角A 1-EC-D 的大小。

四、延伸法中点，例4. 如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D为CC 1 求平面A'BD与平面ABC所成二面角的度数。五、射影法例5如图12，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角。

参考答案例1、分析与解：本题可用定义法直接作出两截面A 1 BD、EBD所成二面角的平面角，设AC、BD交于O，连EO，A 1O，由EB=ED，A 1 B=A 1 D即知EO⊥⊥BD， A 1O⊥BD，故∠EOA 1 为所求二面角的平面角。例2、分析与解本题应用垂线法作出二面角的平面角，因 △VBC为等腰三角形，E为VC中点，故BE⊥VC，又因DE⊥VC，故VC⊥平面BED，所以BD⊥VC，又VA⊥平面ABC，故VA⊥BD，从而BD⊥平面VAC。例3 分析与证明（1）要证A 1 、E、C、F四点共面，可证：A、 F//EC，取DC中点H，连AH、FH，则AH EC，又FH A 1 A。故A 1F//AH，即A 1 F//EC，从而A、E、C、F四点共面。

利用空间向量求二面角的平面角

利用空间向量求二面角的平面角 1.二面角的概念：二面角的定义.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为 l αβ--. 2．二面角的平面角：过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线 ,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角l αβ--的平面角 3、二面角的大小（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 4、用法向量求二面角 5、面面角的求法（1）法向量法：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角（2）方向向量法：将二面角转化为二面角的两个面的方向向量（在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的夹角。 D C β α B A O m 2 m 1 n 2 n 1 D C β α l 如图所示，分别在二面角α－l －β的面α，β内，并且沿α，β延伸的方向，作向量1n ⊥l ，2n ⊥l ，则我们可以用向量1n 与2n 的夹角来度量这个二面角。如图，设 1m ⊥α，2m ⊥β，则角<12,m m >与该二面角相等或互补。 cos cos ,AB CD AB CD AB CD θ?== ?

小结： 1.异面直线所成角： 2.直线与平面所成角： 3.二面角: 二.求二面角的平面角: 例1：在正方体AC1中，求二面角D1—AC —D 的大小？例2：如图，三棱锥P-ABC 中，面PBC ⊥面ABC ，⊿PBC 是边长为a 的正三角形，∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC 。（1）求证： PB ⊥AC （2）二面角C-PA-M 的大小。 cos cos ,AB CD AB CD AB CD θ?==?

线面角及二面角的求法

第9节线面角及二面角的求法【基础知识】求线面角、二面角的常用方法： (1)线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解． (2）二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量．： ] 【规律技巧】平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法．注意利用等腰、等边三角形的性质．【典例讲解】【例1】如图，在四棱锥P。ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD,AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点． (1）求PB和平面PAD所成的角的大小； (2)证明:AE⊥平面PCD；（3)求二面角A－PD－C的正弦值．（1)解在四棱锥P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，故PA⊥AB。又AB⊥AD，PA∩AD＝A，从而AB⊥平面PAD, 故PB在平面PAD内的射影为PA, 从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA，故∠APB＝45°. 所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°. (2)证明在四棱锥P－ABCD中，因PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD, 故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，PA∩AC＝A,

∴CD⊥平面PAC。又AE?平面PAC，∴AE⊥CD。由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°，可得AC＝PA. ∵E是PC的中点，∴AE⊥PC。又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD. 【变式探究】如图所示，在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。 (1）证明PA∥平面EDB; (2)证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C－PB－D的大小．（1）证明如图所示,连接AC，AC交BD于O，连接EO. ∵底面ABCD是正方形， ∴点O是AC的中点．在△PAC中,EO是中位线， ∴PA∥EO. 而EO?平面EDB且PA?平面EDB， ∴PA∥平面EDB. 【针对训练】 1．如图,四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2错误!，PA＝2,E 是PC上的一点,PE＝2EC。

高中立体几何中二面角经典求法

高中立体几何中二面角求法摘要：在立体几何中，求二面角的大小是历届高考的热点，几乎每年必考，而对于求二面角方面的问题，同学们往往很难正确地找到作平面角的方法，本文对求二面角的方法作了一个总结，希望对学生有帮助。（一）、二面角定义的回顾：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形就叫做二面角。二面角的大小是用二面角的平面角来衡量的。而二面角的平面角是指在二面角βα--l 的棱上任取一点O ，分别在两个半平面内作射线l BO l AO ⊥⊥,，则AOB ∠为二面角βα--l 的平面角。 (二)、二面角的通常求法 1、由定义作出二面角的平面角； 2、利用三垂线定理（逆定理）作出二面角的平面角； 3、作二面角棱的垂面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角。 4、空间坐标法求二面角的大小 5、平移或延长（展）线（面）法 6、射影公式S 射影=S 斜面cos θ 7、化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角 1、利用定义作出二面角的平面角，并设法求出其大小。例1、如图,已知二面角α-а-β等于120°,PA ⊥α,A ∈α,PB ⊥β,B ∈β. 求∠APB 的大小. 解: 设平面∩PAB α=OA,平面PAB ∩β=OB 。 ∵PA ⊥α, а?α ∴PA ⊥а 同理PB ⊥а ∴а⊥平面PAB 又∵OA ?平面PAB ∴а⊥OA 同理а⊥OB. ∴∠AOB 是二面角α-а-β的平面角. 在四边形PAOB 中, ∠AOB=120°,. ∠PAO=∠POB=90°, 所以∠APB=60°

2、三垂线定理（逆定理）法由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角。例2：如图,ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体,侧棱AA 1长为1,底面为正方体且边长为2,E 是棱BC 的中点,求面C 1DE 与面CDE 所成二面角的正切值. 解：在长方体ABCD —A 1B 1 C 1 D 1 中由三垂线定理可得： ∴ CD =2 CE=1, DE=5 3、找（作）公垂面法由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角。例5、如图，已知PA 与正方形ABCD 所在平面垂直，且AB ＝PA ，求平面PAB 与平面PCD 所成的二面角的大小。解: ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD ．P 又CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAD ． A D 而CD ?平面PCD ， B C 所以平面PCD ⊥平面PAD ．同理可证平面PAB ⊥平面PAD ．因为平面PCD ∩平面PAD ＝PD ，平面PAB ∩平面PAD ＝PA ，所以PA 、PD 与所求二面角的棱均垂直，即∠APD 为所求二面角的平面角，且∠APD ＝45°． A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 E O CO DE O C C ，连结，作过点⊥11DE CO ⊥的平面角为二面角C DE C OC C --∠∴11的正方形是边长为又2ABCD CO DE CE CD S CDE Rt CDE ?=?=??2 1 21中，在1 1=CC 又5 52tan 1= ∠∴OC C 5 52tan arg 1=∠∴OC C 5 5 2= ∴CO

二面角

怎样找二面角的平面角

求二面角的五种方法

(完整版)二面角求解方法

二面角的几种方法及例题

二面角求法及经典题型归纳

推荐-二面角求法大全精品精品

难点攻坚!如何寻找二面角的平面角

五种方法求二面角及练习题

二面角的求法(教师版)

专题二：二面角的五种方法

难点攻坚!如何寻找二面角的平面角

立体几何二面角5种常见解法

找二面角的平面角的方法汇总

最新版,二面角求法及经典题型归纳

二面角的几种求法

立体几何中二面角的求法

利用空间向量求二面角的平面角

线面角及二面角的求法

高中立体几何中二面角经典求法

二面角

怎样找二面角的平面角

求二面角的五种方法

(完整版)二面角求解方法

二面角的几种方法及例题

二面角求法及经典题型归纳

推荐-二面角求法大全 精品 精品

难点攻坚!如何寻找二面角的平面角

五种方法求二面角及练习题

二面角的求法(教师版)

专题二：二面角的五种方法

难点攻坚!如何寻找二面角的平面角

立体几何二面角5种常见解法

找二面角的平面角的方法汇总

最新版,二面角求法及经典题型归纳

二面角的几种求法

立体几何中二面角的求法

利用空间向量求二面角的平面角

线面角及二面角的求法

高中立体几何中二面角经典求法

推荐-二面角求法大全精品精品