平均数与加权平均数 教案

23.1 平均数与加权平均数

教学目标

知识技能:

1．认识和理解数据的权及其作用；

2．通过实例了解加权平均数的意义，会根据加权平均数的计算公式进行有关计算．

数学思考:

1．通过加权平均数的学习，经历运用数据描述信息，作出推断的过程，形成和发展统计观念；

2．通过加权平均数的学习，进一步认识数据的作用，体会统计的思想方法．

解决问题:

会利用加权平均数解决实际问题．

情感态度:

通过加权平均数的学习，初步认识数学与人类生活的密切联系，感受数学结论的确定性，激发学生学好数学的热情．

教学重点

加权平均数的概念以及运用加权平均数解决实际问题．

教学难点

对数据的权及其作用的理解．

教学过程

一、复习引入

教师讲解：在日常生活中，我们经常会与平均数打交道，

但有时发现以前计算平均数的方法并不适用，例如老师在计

算学生每学期的总评成绩时，不是简单地将一个学生的平时

成绩与考试成绩相加除以2作为该学生的总评成绩，而是按照“平时成绩占40%，考试成绩占60%”的比例计算（如图20.1.3—1）.考试成绩更为重要.这样如果一个学生的平时成绩为70分，考试成绩为90分，那么他的学期总评成绩应该为70×40%＋90×60%＝82（分）

二、探究新知

（一）加权平均数概念的引入

教师讲解；一般来说，由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重，上例中的40%与60%就是平时成绩与考试成绩在学期总评成绩中的权重，最后计算得到的学期总评成绩82分就是上述两个成绩的加权平均数.

教师要求学生模仿上题计算下面问题：小青在初一年级第二学期的数学成绩分别为：第1次测验得89分，第二次测验得78分，第3次测验得85分，期中考试得90分，期末考试得87分.如果按照图20.1.3—2所显示的平时、期中、期末成绩的权重，那么小青该学期的总评成绩应该为多少分？

学生计算后教师给出答案.设置此题的目的主要是让学生熟悉按权重计算平均值的方法.

考

试

60%

平

时

40%

图21.1.3—1

期中

30%

平时

10%

期末

60%

图21.1.3—2

专业

知识工作

经验

仪表

形象

图21.1.3—3

（二）例题讲解

教师提出问题：某公司对应聘者A 、B 、C 、D 进行面试，并按三个方面给应聘者打分，最后打分结果如下表所示，如果你是人事主管，会录用哪一个应聘者？

四位应聘者的面试成绩

满分 A B C D 专业知识 20 14 18 17 16 工作经验 20 18 16 14 16 仪表形象

20

12

11

14

14

教师提出各种不同意见让学生分析：甲同学说：看谁的总分高就录用谁，通过计算可以发现D 的总分最高，应被录用.这时乙同学说：我有不同意见，三个方面满分都是20分，但按理这三个方面的重要性应该有所不同，比如专业知识就应该比仪表形象更重要.所以不能像甲同学所说的那样平均.

教师指出，显然乙同学的意见更为合理.教师再提出：假设上述三个方面的重要性之比为6∶3∶1（如图20.1.3—3），那么应该录用谁呢？

教师给出A 应聘者得分的计算方法：（见课本）

教师要求学生模仿上述计算方法算出另三位应聘者的最后得分.然后从计算结果来确定谁应被录用.

学生计算完后教师给出答案.

教师提出以下问题让学生计算：如果这三个方面的重要性之比为10∶7∶3，此时哪个方面的权重最大？哪一位应被录用呢？

学生计算后会发现，4个人的分数全改变了，得分最高的人也改变了.

通过这一题要让学生领会，权重的选择既要符合客观实际，又要带有人为的因素. 三、随堂练习 课本练习题 四、课时总结

本节课要让学生通过实际问题理解权重的概念（不要求学生掌握它的定义，能理解会用就行）并能计算加权平均数.

五、布置作业 六、板书设计

黑板分为左、中、右三部分，中间与右边用于教师板书课本例题等，写满后擦去更新.左边用于板书以下内容：

加权平均数的意义. “权”的含义. 加权平均数的计算.

作业优化设计

1、有m 个数的平均值是x ，n 个数的平均值是y ，则这m ＋n 个数的平均值是（ ） A 、

2x y + B 、x y m n ++ C 、mx ny

m n

++ D 、x y +

2、某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差为（）

A、35

B、3

C、0.5

D、－3

3、某校举行运动会，按年级设奖，第一名得5分，第二名得3分，第三名得2分，第四名得1分，某班派8名同学参加比赛，共得2个第一，1个第三，4个第四，则该班8名同学的平均得分为______________.

4、某班有40名学生，其中14岁的有10人，15岁的有20人，16岁的有10人，这个班学生的平均年龄为_____________岁.

5、小颖家去年的饮食支出为3600元，教育支出为1200元，其他支出为7200元，小颖家今年的这三项支出依次比去年增长了9%，30%，6%，小颖家今年的总支出与去相比增长的百分数是多少？

6、某班为了从甲、乙两位同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评，A、B、

C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评，结果如下表所示：

表1 演讲答辩得分表（单位：分）

A B C D E

甲90 92 94 95 88

乙89 86 87 94 91

表2 民主测评票统计表（单位：张）

“好”票数“较好”票数“一般”票数

甲40 7 3

乙42 4 4 规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评分＝“好”票数×2分＋“较好”票数×1分＋“一般”票数×0分；综合得分＝演讲答辩分×（1－a）＋民主测评分×a（0.5≤a≤0.8）.

（1）当a＝0.6时，甲的综合得分是多少？

（2）在什么范围内，甲的综合得分高；在什么范围内，乙的综合得分高？

20.1.1《平均数》导学案1

第2课时 1.加深对加权平均数的理解,会根据频数分布表、频数分布直方图求加权平均数. 2.能正确有效地应用平均数知识解决问题,提高分析问题的能力. 3.经历探索利用平均数对数据进行处理的过程,体验对统计基本思想的理解过程. 4.重点:根据频数分布表和频数分布直方图求加权平均数. 问题探究一求n个数的加权平均数 请你阅读教材“例2”上面一段至“探究”上面的内容,回答下列问题. 1.在一个班的40名学生中,14岁的有5人,15岁的有30人,16岁的有4人,17岁的有1人.求这个班学生的平均年龄.(精确到1岁) 解:=≈15. 答:这个班学生的平均年龄约是15岁. 【归纳总结】在求n个数据的简单算术平均数时,如果有k个数据多次重复出现,求这n个数据的算术平均数可以看作是求k个数据的加权平均数. 【预习自测】一组数据中,2出现了f1次,3出现了f2次,4出现了f3次,则这组数据的平均数是. 问题探究二根据频数分布表求加权平均数 1.依据统计表可以读出哪些信息? 5路公共汽车载客量在1≤x<21之间的班次有3次;载客量在21≤x<41之间的班次有5次等. 2.表中的组中值31指什么,它是怎么确定的?频数(班次)5可以看作是相应组中值31的什么? 一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数.频数5可看作是相应组中值31的权. 3.如果每组数据在本组中分布比较均匀,每组数据的平均值和组中值有什么关系? 当每组数据在本组中分布比较均匀时,每组数据的平均值恰好近似等于它的组中值. 【归纳总结】在上面的频数分布表中,不知原始数据的情况下,如何根据分组数据求加权平均数? 常用各组的组中值代表各组的实际数据,把各组频数看作相应组中的权. 【预习自测】某中学为了了解本校学生的身体发育情况,抽测了同年龄的40名女学生的身高情况,统计人员将上述数据整理后,列出了频数分布表如图所示,根据以上信息回答下列问题: 身高(cm)频数 144.5

《加权平均数》教学设计

《加权平均数》教学设计

《加权平均数》教学设计 一、教学目标 知识与技能：（1）掌握算术平均数、加权平均数的概念。（2）会求一组数的算术平均数、加权平均数。 技能与方法：（1）经历情境探求过程，感悟提出“加权平均数”的概念的必要性及“加权平均数”与“算术平均数”的联系与区别。（2）经历解决问题的过程，深化对“权”的各种形式的认识及对“加权平均数”的本质认识。 情感态度与价值观：（1）感受算术平均数与加权平均数的联系与区别。（2）认识“各个数据的重要程度有所不同”的客观事实，体会“根据不同数据的权来计算其平均数”的合理性。（3）通过解决问题，让学生体会到数学与生活的紧密联系。二、教学重难点 教学重点:感受权的差异对平均数的影响，理解并会计算加权平均数。 教学难点: 加权平均数概念的形成；理解“权”的意义，会利用加权平均数解决实际问题。 三、教学方法

本节课采用教师引导、小组合作的教学模式，在教学中主要采用学生讨论、交流的教学方式，不仅注重了学科知识的获取，更注重学生参与获取知识的过程，从而调动学生积极、主动地参与教学过程，培养学生科学的思维方法。 四、教学过程 【环节一】情境引入，激发兴趣 师：光绪是一位心怀天下，忧国忧民的皇帝，只可惜他有心兴国，无力回天，因为当时的实际掌权者是慈禧。光绪大婚后慈禧将还政于光绪，所以在光绪选秀时，慈禧想找一个自己人继续监视光绪。而光绪则需要一个志同道合的伴侣。这是隆裕皇后，她相貌平平，性柔懦，是慈禧太后的亲侄女。这是后来的珍妃，她性格活泼开朗，工翰墨，善下棋，自小受西方思想影响，思想开明维新。

教师结合PPT中老照片予以简单的人物简介及事件背景介绍 设计意图：学生喜欢鲜活的，生动的例子，尤其是有故事背景的例子。此处老照片的逐张呈现，配合教师的讲解，成功地捕捉了学生的兴趣点，学生的积极性被调动起来。达到“课未始，兴已浓”的状态。 【环节二】合作探究、理解算术平均数与加权平均数 （一）算术平均数的引出 师：今天这节课我们就用数学的观点来戏说历史，若这是当时选秀时隆裕和珍妃的得分表。 思考：你能用什么方法来对两人的得分进行评价吗？ 预设学生1：用品貌志趣和政治背景两项成绩的和 预设学生2：求品貌志趣和政治背景两项成绩的平均数。

算数平均数与加权平均数

第六章数据的分析 １．平均数（第1课时） 本节课的教学目标是： 1. 知识与技能：掌握算术平均数、加权平均数的概念,会求一组数的算术平均数和加权平均数。 2. 过程与方法：经历数据的收集与处理的过程，发展学生初步的统计意识和数据处理的能力；通过有关平均数问题的解决，发展学生的数学应用能力。 3. 情感与态度：通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系。 第一环节：情境引入 内容：1. 投影展示课本第八章的章前文字、章前图和一组问题，引入本章主题。 2. 用篮球比赛引入本节课题： 篮球运动是大家喜欢的一种运动项目，尤其是男生们更是倍爱有加。下面播放一段CBA（中国篮球协会）2005—2006赛季“广东宏远队”和“八一双鹿队”的一场比赛片段，请同学们欣赏。 在学生观看了篮球比赛的片段后，请同学们思考： （1）影响比赛的成绩有哪些因素？（心理、技术、配合、身高、年龄等因素） （2）如何衡量两个球队队员的身高？怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”？要比较两个球队队员的身高，需要收集哪些数据呢？（收集两个球队队员的身高，并用两个球队队员身高的平均数作出判断） 在学生的议论交流中引入本节课题：“平均数”。 第二环节：合作探究 内容1：算术平均数

投影教材提供的中国男子篮球职业联赛 2011—2012 赛季冠亚军球队队员身高、年龄的表格，提出问题： “北京金隅队”和“广东东莞银行队”两支篮球队中，哪支球队队员的身材更为高大？哪支球队队员更为年轻？你是怎样判断的？与同伴交流。 （1）学生先独立思考，计算出平均数，然后在小组交流。 （2）各小组之间竞争回答，答对的打上星，给予鼓励。 答案：北京金隅队队员的平均身高为1.98m，平均年龄为25.4 岁； 广东东莞银行队队员的平均身高为2.00 m，平均年龄为24.1岁。 所以，广东东莞银行队队员的身材更为高大，更为年轻。 教师小结：日常生活中我们常用平均数来表示一组数据的“平均水平”。 一般地，对于n个数x 1，x 2 ，…，x n ，我们把 n 1 （x 1 ＋x 2 ＋…＋x n ），叫做这n 个数的算术平均数，简称平均数，记为x。 内容2：加权平均数 想一想：小明是这样计算北京金隅队队员的平均年龄的： 1）÷（1+4+2+2+1+2+2+1）﹦25.4（岁） 你能说说小明这样做的道理吗？ 学生经过讨论后可知，小明的做法还是根据算术平均数的公式进行计算的，只是在求相同加数的和时用了乘法，因此这是一种求算术平均数的简便方法。 例1：某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A、B、C三名候选人进行了三项素质测试。他们的各项测试成绩如下表所示： （1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？ （2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4:3:1的

《加权平均数》教学案例与反思.docx

《加权平均数》教学案例与反思 临海中学应中伟 一、案例背景 《加权平均数》选H人教版的义务教冇课程标准实验教科书《数学》八年级下册的第二十章《数据的代表》的第一节。本章是初中数学“统计”部分的最后一章，主要学习分析数据集屮趋势和离散程度的知识与方法，这也是数据处理的最后一个环节。 “平均水平”是最为常用的一个评判指标，本节内容就是通过加权平均数的学习，使学生在原有知识基础上获取一定的评判能力，这既是对前面所学知识的深化与拓展，又为以后其他统计指标的出现奠定了基础，如方差，标准差等等。同时它在人们的生活和生产建设屮也有着广泛的应用。加权平均数知识的学习又是联系现实生活，培养学生应用数学意识和创新能力的良好素材。 《加权平均数》这节课是我参加学校举行的第四届百花奖评比的最后一轮选拔的上课内容，这次教研经历纟R内老师给了我很多的指点与帮助，我也对此次的教研经历作了认真的整理、记录与反思。 二、案例描述 【引言】 师：我们知道数学既來源于生活，又应用于生活，这节课我将与同学们一起來解决一些实际问题，在解决问题的过程屮需要同学们有足够的H信，主动的探索，大月n.的发言,-do）班的同学们你们准备好了吗! （学生跃跃欲试，对本节课充满期待） 在引言中，我重点关注了：利用简短的话语激发学生上课的激情，快速集屮学生的课堂注意力。 师：在数学上我们常说数据会说话，看着表格屮的这些数据，你能得到哪些信息？你对 这3位选手有何评价？ 生1： A选手语言表达能力强，综合知识水平较差，创新能力一般。 生2： B选手创新能力强，综合知识也最扎实，但语言表达能力最弟。 生3： C选手各方面都不突出，但索质比较均衡。 师：同学们分析的很好，从同学们的发言看，这三位选手各有特点，但该公司只要招聘一位员工，你你会选择谁？你的依据是什么？ 生：各有选择，依据有：①总分；②平均分；③想用加权平均数，但表达不完整。 师：同学们想的真好，下面我们就来逐一讨论同学们的方法，首先来分析如何用平均成绩决定选谁？ 投影上显示： 问题：（1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录取? 生：说出解法。

八年级数学上册 4.1 加权平均数导学案2(新版)青岛版

八年级数学上册 4.1 加权平均数导学案2（新 版）青岛版 4、1 加权平均数（第2课时）学习目标： 1、在具体情景中，进一步感受权数的意义，知道权数的差异对加权平均数的影响，并能用加权平均数解释一些现象; 2、知道权数有不同的形式、预习指导： （一）复习回顾：请写出x1, x2, x3, ,x k的加权平均数的公式，并指出它们的权各是什么？ （二）试着独立完成课本117页的例2和100页的例3，然后阅读课本上的解法，注意解题格式和解题步骤，并解答下面的问题： 1、数据的“权数”不同，说明数据的重要程度不同，数据的“权数”影响加权平均数的值吗？ 2、“权数”可以表示数据的频数，也可以表示、 3、“权数”可以有哪些形式？ （五）快速完成课本第118页的练习 1、2题、巩固提高： 1、要了解我地区八年级学生的视力情况，你认为合适的调查方式是，随机抽取调查了某县某中学八年级学生的视力情况，平均视力约为

3、8，请你估计我地区八年级学生的视力约为、2、已知5与7的平均数是6，若5的权为40%，8的权为60%，则5与8的加权平均数是_____________；若5的权为2，8的权为6，则5与8的加权平均数是_____________、3、小明所在班级的男同学的平均体重是45kg，小亮所在班级的男同学的平均体重是42kg，则下列判断正确的是（） A、小明体重是45kg B、小明比小亮重3kg C、小明体重不能确定 D、小明与小亮体重相等 4、从鱼塘捕得同时放养的草鱼240尾，从中任选9尾，称得每尾鱼的质量（单位：千克）分别是： 1、5, 1、6, 1、4, 1、6, 1、3 , 1、4 , 1、5 , 1、7 , 1、7、问：这9尾鱼的平均质量是多少千克？你估计这240尾鱼的总质量是多少千克？

《加权平均数》教案

《加权平均数》教案 教学目标 理解加权平均数的意义，会进行加权平均数的计算. 过程与方法 初步经历数据的收集、加工整理的过程，能利用加权平均数解决一些实际问题，发展学生的数学应用能力. 情感、态度与价值观 培养学生互相合作与交流的能力，增强学生的数学应用意识. 教学重点 加权平均数的意义与计算方法. 教学难点 加权平均数的计算. 教学设计 一、复习导入 教师讲解:在日常生活中，我们经常会与平均数打交道，但有时发现以前计算平均数的方法并不适用，例如老师在计算学生每学期的总评成绩时，不是简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以2作为该学生的总评成绩，而是按照“平时成绩占40%，考试成绩占6 0%”的比例计算(如P135图20.1.5).考试成绩更为重要.这样如果一个学生的平时成绩为76分，考试成绩为90分，那么他的学期总评成绩应该为70×40%+90×60%=82(分). 二、探究新知 (―)加权概念的引人 教师讲解；一般来说，由于各个指标在总结果中占有不同的重要性，因而会被赋予不同的权重，上例中的40%与60%就是平时成绩与考试成绩在学期总评成绩中的权重，最后计算得到的学期总评成绩82分就是上述两个成绩的加权平均数. 教师要求学生模仿上题计算下面问题:小青在初一年级第二学期的数学成绩分别为:第1次测验得89分，第二次测验得78分，第3次测验得85分，期中考试得90分，期末考试得87分.如果按照上图所显示的平时、期中、期末成绩的权重，那么小青该学期的总评成绩应该为多少分？ 学生计算后，教师给出答案.设置此题的目的主要是让学生熟悉按权重计算平均值的方法. (二)例题讲解 教师提出问题:某公司对应聘者A、B、C、D进行面试，并按三个方面给应聘者打分，

【冀教版】九年级上册数学：第23章-数据分析导学案 23.1平均数与加权平均数(2)

23.1 平均数与加权平均数 学习目标： 1.理解平均数的实际意义，并且会运用平均数解决一些简单的实际问题. 2.会求加权平均数，并体会权的差异对结果的影响. 学习重点：理解加权平均数的意义. 学习难点：体会权的意义. 一、知识链接 1.数据2、3、4、5、6、7的平均数是____________. 2. 一次数学测验，3名同学的数学成绩分别是60，80和100分，则他们的平均成绩是多少？ 列式 :_________________; 算式中的分子、分母表示的含义分别是______________________. 二、新知预习 3.小学所学过的平均数称为算术平均数，请你回忆、归纳出算术平均数的计算公式：一般地，我们把n 个数x 1,x 2,x 3, …,x n 和与n 的比，叫做这n 个数的算术平均数，简称为平均数，记做x ，即x =___________________. 4.. （1）下述计算方法是否合理？若不合理，并说一说正确的计算方法. 解：x = 1 4 （70+75+80+85）=77.5(g). 答：__________(填：“正确”或“不正确”).应先分别计算每一种鸭蛋的总质量，再相加得出这20个鸭蛋的总质量，然后除以鸭蛋的个数，得出这20个鸭蛋的平均质量.即x =________________________________. (2)上述计算错误的原因是：因为每一种质量的______不同，即频数不同，它们对平均数的影响也不同，所以计算时应考虑每个数据的权重. （3）通过上述计算过程，归纳出含权重的平均数的计算公式：一般地，若n 个数x 1，x 2，…，x n 出现的次数分别是w 1，w 2，…，w n ，则x =_____________________________，此时的 平均数称为数据x 1，x 2，…，x n 的加权平均数，w 1，w 2，…，w n 分别叫做权重，简称权.如：此题中70,75，80,85的权分别____________. 三、自学自测 1.一次数学测验中，小强、小明、小月的考试成绩分别为110分、102分、91分，则他们的 平均成绩为_______. 2.一组数据：2、2、2、3、3、4、4、4、4，则2的权是______,3的权是________,4的权是 _______. 3.某人打靶，有1次中10环，2次中7环，3次中5环，则平均每次中靶________环. 四、我的疑惑

平均数第一课时教案

20.1数据的代表 20.1.1平均数（第一课时） 一、教学目标： 1、使学生理解数据的权和加权平均数的概念 2、使学生掌握加权平均数的计算方法 3、通过本节课的学习，还应使学生理解平均数在数据统计中的意义和作用：描述一组数据集中趋势的特征数字，是反映一组数据平均水平的特征数。 二、重点、难点和难点突破的方法： 1、重点：会求加权平均数 2、难点：对“权”的理解 3、难点的突破方法： 首先应该复习平均数的概念：把一组数据的总和除以这组数据的个数所得的商，叫做这组数据的平均数。复习这个概念的好处有两个：一则可以将小学阶段的关于平均数的概念加以巩固，二则便于学生理解用数据与其权数乘积后求和作为加权平均数的分子。 在教材P136“讨论”栏目中要讨论充分、得当，排除学生常见的思维障碍。讨论问题中的错误做法是学生常见错误，尤其是中差生往往按小学学过的平均数计算公式生搬硬套。在讨论过程中教师应注意提问学生平均数计算公式中分子是什么、分母又是什么？学生由前面复习平均数定义可答出分子是数据的总和、分母是数据的个数，这时教师可递进设疑：那么，题目中涉及的每个数据是每个占有耕地面积还是人均占有耕地面积呢？数据个数是指 A 、 B 、 C 三个县还是三个县的总人数呢？这样看来小明的做法有道理吗，为什么？ 通过以上几个问题的设计为学生充分思考和相互讨论交流就铺好了台阶。 要使学生更好的去理解权的意义，可以再举一些生活、学习中的例子。比如：初二.五班有4个小组，在一次测验中第一组有7名同学得了99分，1名同学得了61分，第二组有1名同学得到了 100分、7名同学得62分。能否由 2 6210026199+<+得出第二小组平均成绩这样的结论？为什 么？这个例子简单明了又便于学生想象理解，能够让学生从中体会到得99分的7个人比1个得61分的学生对平均成绩影响更大，从而理解权的意义。 在讨论栏目过后，引出加权平均数。最好让学生将公式与小学学过的平均数计算公式作比较看看意义上是否一致，这样做利于学生把新旧知识联系起来，利于对加权平均数公式的理解，也利于理解“权”的意义。 三、例习题意图分析 1、教材P136的问题及讨论栏目在教学中起到的作用。 （1）这个问题的设计和讨论栏目在此处安排最直接和最重要的目的是想引出权的概念和加权平均数的计算公式。 （2）这个讨论栏目中的错误解法是初学者常见的思维方式，也是已学者易犯的错误。在这里安排讨论很得当，起揭示思维误区，警示学生、加深认识的作用。 （3）客观上，教材P136的问题是一个实际问题，它照应了本节的前言——将在实际问题情境中，进一步探讨它们的统计意义，体会它们在解决实际问题中的作用，揭示了统计知识在解决实际问题中的重要作用。 （4）P137的云朵其实是复习平均数定义，小方块则强调了权意义。 2、教材P137例1的作用如下： （1）解决例1要用到加权平均数公式，所以说它最直接、最重要的目的是及时复习巩固公式，并且举例说明了公式用法和解题书写格式，给学生以示范和模仿。 （2）这里的权没有直接给出数量，而是以比的形式出现，为加深学生对权的意义的理解。 （3）两个问题中的权数各不相同，直接导致结果有所不同，这既体现了权数在求加权平均数的作用，又反映了应用统计知识解决实际问题时要灵活、体现知识要活学活用。 3、教材P138例2的作用如下： （1）这个例题再次将加权平均数的计算公式得以及时巩固，让学生熟悉公式的使用和书写步骤。 （2）例2与例1的区别主要在于权的形式又有变化，以百分数的形式出现，升华了学生

平均数与加权平均数

23.1 平均数与加权平均数（2） 第课时 1.理解加权平均数的意义,了解“权”的含义. 2.会计算一组数据的加权平均数. 3.能说出算术平均数和加权平均数的联系和区别,并能利用它们解决一些现实问题. 1.在实际问题情境中理解加权平均数的意义,体会数学与生活之间的密切联系. 2.通过利用平均数解决实际问题,发展数学应用能力. 3.通过探索算术平均数和加权平均数的联系和区别,发展求同和求异思维. 1.通过解决实际问题,体会数学与自然及人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心. 2.通过小组合作活动,培养学生的合作意识,激发学生学习兴趣,体验成功的快乐. 【重点】加权平均数的计算及算术平均数与加权平均数的区别和联系. 【难点】探索算术平均数和加权平均数的联系和区别. 【教师准备】多媒体课件. 【学生准备】预习教材P6~8.

导入一: 复习提问: 1.什么叫算术平均数? 2.如何求一组数据的平均数? 3.当一组数据中同一个数据出现多次时常采用什么简便方法计算? 【师生活动】学生思考回答,教师点评. 导入二: 【课件展示】在一次数学考试中,八年级(1)班和(2)班的考生人数和平均成绩如下表: 【问题】 1.表格中“86分”所反映的实际意义是什么? 2.求这两个班的平均成绩. 【师生活动】学生思考后小组合作交流,小组代表发言,教师展示学生可能出现的两种解法,引导学生对比、思考,得出正确的解法,教师导出新课. [设计意图]通过复习算术平均数的概念,做好新旧知识的衔接,以贴近学生实际生活的实例导入新课,渗透“权”的意义,激发学生的学习兴趣,体会数学与生活之间的密切联系,迈上从“算术平均数”到“加权平均数”的一个台阶,让学生顺利完成新知识的构建,为本节课的学习做好铺垫.

信息技术与课程整合教学设计案例《平均数教学设计》解析

《平均数教学设计》 一、教学内容分析 在七年级，学生已经经历过一些数据收集的过程，学会了对数据进行初步的整理，通过本节课希望学生学会对收集的数据进行加工处理，进而作出判断，而“平均水平”是最为常用的一个评判整体水平的指标，本节课将在算术平均数的基础上引领学生理解“权”和“加权平均数”的意义，为后面的众数、中位数和方差的学习打下基础。 二、教学对象分析 本班学生是我从初一年级就带上来的，从以往的教学过程中，孩子们已经养成了利用课练本进行课前预习、课中交流，课后反思的习惯，在小学的学习中已能计算权数相同的算术平均数。从情感上来说，孩子们认同我的人和课，沟通和配合的效果很好。 三、教学目标及教学重难点 （一）教学目标 1．通过分析数据处理结果让学生经历利用平均数描述数据集中趋势的过程，并能计算出算术平均数，当堂达标率为100%； 2．学生在啦啦操代表的选拔情境中理解一组数据中数据的重要程度未必相同，并用逻辑推理的方式将问题解决过程表达出来；3．在设计好的三种方案的计算过程中，通过问题驱动让学生理解权及加权平均数的概念，体验到概念所蕴含的基本思想方法，并能计算出加权平均数，当堂达标率为85%。

（二）教学重难点 教学重点：权及加权平均数的概念的理解，计算公式的掌握和应用教学难点：加权平均数概念的形成 四、教学方法、过程及整合点 （一）教学方法 为了让学生在课堂上学得愉快、练得有效，本节课我通过“信息技术与数学学科的整合、利用工作表的特点线性展示教学流程、致力于常态课下的信息技术与学科融合”的“集智”课堂“启、思、评”教学模式进行教学。 以情境教学法、任务驱动法、合作学习法、分层练习法为主，以生为本，基于生活，让学生在课堂生活中享受幸福和快乐。（二）教学过程及整合点

平均数与加权平均数 教学设计

平均数与加权平均数教学设计 教学目标 知识与技能 在实际情境中理解平均数的概念和意义，会计算一组数据的算术平均数； 过程与方法 初步经历数据的收集、加工整理的过程，能利用平均数、加权平均数解决一些实际问题，发展数学应用能力； 情感态度价值观 体会数学知识与现实生活的紧密联系，增强数学应用意识。 教学重难点 重点：平均数的概念和意义及其应用。 难点：能利用平均数解决一些实际问题。 教学方法 小组讨论 教学用具 多媒体 第一课时 “平均成绩”“平均年龄”“平均收入”“平均产量”……。打开报纸，翻开书本，“平均”一词随处可见。你知道平均的含义是什么吗？在实际问题中，怎样求平均数呢？ （一）观察与思考 将一块试验田分成面积相等的8块，每块100m2，在地力、肥料、管理等相同的条件下试种两个不同品种的小麦，产量如下表： 1.从图26—1的两幅统计图中，能看出哪个品种小麦的产量更高些吗?

2.用什么数代表A ，B 两个小麦品种的单位面积(以100m 2 为单位面积)的产量较合适？ 3.如果只考虑产量这个因素，哪个品种更适合本地种植? 由于同一品种的小麦在四块试验田上的产量有差异，要比较两个品种中哪个产量高，通常情况下是比较它们的平均产量。 品种A 和品种B 在四块试验田上的平均产量分别为 1 (95858290)88(kg)4+++= 1 (85100105110)100(kg)4+++= 由此可知，品种B 比品种A 的平均产量高，品种B 更适合本地种植。 注： 1.通过观察比较，品种B 的产量更高。 2.用小麦的平均产量代表较合适。 3.品种B 。 一般地，我们把n 个数x1，x2，…，xn 的和与n 的比叫做这n 个数的算术平均数(mean)，简称平均数，记作“x ”，读作“x 拔”。即 12n 1 x (x x ...x )n = +++ 95，85，82，90与其平均数88的差分别为7，－3，－6，2，它们的和为0。85，100， 105，110与其平均数100的差分别为－15，0，5，10，它们的和也为0。由此可以看出，平均数是将各数据之间的差异相互抵消的结果，它反映了数据的“一般水平”。 注：一组数据中的每个数据与这组数据平均数的差的和为0。即 12n 12n x x)+(x x)+...+(x x)x x ...x )nx nx nx=0---+++-=- （ =( （二）做一做 某年级20名学生在一次数学竞赛中的成绩如下：(单位：分)

平均数导学案

课题：《平均数》导学案 学习目标： 知识与技能：理解算术平均数、加权平均数的概念，掌握算术平均数、加权平均数的计算方法。 过程与方法：经历“问题引入-问题解决-引入新概念-巩固-提升”的学习过程，通过探究、合作、交流，培养学生观察、分析、比较-解决问题的能力。 情感态度与价值观：体验事物的多面性，学会全面分析问题的必要性，让学生感悟数学知识来源于现实生活，又为现实生活服务，激发学生学习数学的兴趣和热情。 学习过程 一、创设情境引入新课 2016年里约奥运会中国女排表现突出，勇夺冠军。每一个中国人都感到激情澎湃，为祖国的强大而无比自豪。同学们，你们知道吗？在排球比赛中，队员的身高、年龄都是影响球队实力的重要因素。中国女排之所以当之无愧的成为冠军，除了高超的技术外，队员的身高和年龄也占了很大优势。你试着研究一下女排身高、年龄的平均数吧。 二、自主探究、明确疑难 探究活动（一） 用5分钟左右的时间自主完成以下问题：请你计算一下女排队员身高、年龄的平均数。 探究活动（二） 奥运健儿奋力拼搏，为国争光。身为青少年的我们，又能做点什么呢？我们班的李明同学善于观察生活，他觉得治理环境污染应从身边的小事做起。李明经过课后实践调查，发现现在家庭的白色污染非常严重，为此他特地统计了本班50名同学家里一天使用塑料袋个数的情况：其中个数为0个的有5人，个数为1个的有12人，个数为2个的有15人，个数为3个的有10人，个数为4个的有6人，个数为5个的有2人。用3分钟时间解决以下问题： 1.求咱班同学家里一天使用塑料袋个数的平均数。 2.比较一下，同样是求平均数，问题1、2的计算方法有什么不同？ 探究活动（三） 为践行社会主义核心价值观，学校举办了“勤学修德，明辨笃实”的中学生主题辩论赛。甲、乙两 用5分钟时间解决以下问题： 1．思考：你能用什么方法来对两人的得分进行评价吗？以甲的得分为例，你能列式吗？ 2．如果你是评委，你能不能想一种方案，能体现出演讲技巧更重要，但也要兼顾仪表形象的得分？你能列出式子吗？ 三、合作交流、成果展示 1、小组交流上述问题的答案，有疑问的互相讨论。准备展示、点评。 2、算数平均数： 3、加权平均数： 4、权的形式： 5、教师点拨。 四、应用规律、巩固新知 A组1、莱阳梨产于莱阳，以其独特的清香甜脆著称于世。李大伯是种梨高手，他种的梨皮薄个大汁多，被政府选为对外宣传的代表。这天，李大伯选了一棵树上的6只梨，测了测重量：240g，230g，260g，270g，300g，340g。你帮李大伯算算它们的平均质量是 2、为了健身强国，切实提高学生的身体素质，学校规定学生的体育成绩由三部分组成：早锻炼及体 育课外活动占成绩的20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%。小颖的上述三项成绩依次为92分、80分、84分，则小颖这学期的体育成绩是多少？ B组一家广告公司欲招聘广告策划人员一名,对A、B、C三名候选人进行了三项素质测试，他们的 五、自我评价、检测反馈 1、本节课你有哪些收获，你还有哪些疑惑？ 2.当堂检测： （1）一组数据3，2，x，1，4的平均数是3，x是 (2)某校规定学生平时作业、期中考试、期末考试三项成绩分别按2：3：5的比例计入学期总评成绩， 李明的三项数学成绩依次是96分、84分、86分，则李明这学期的数学总评是多少分？ 六、课外自评： 必做题：练习册66- 70页 1--4 选做题：练习册70- 73页 5--8 1

加权平均数教案

加权平均数 课型：新授课 教学目标 知识与技能： 体会“权”的差异对于平均数的影响，算术平均数和加权平均数的联系与区别， 能 应用加权平均数解释现实生活中的一些简单现象，并能用它解决一些实际问题. 过程与方法： 通过独立思考和小组讨论获得基本数学活动经验和交流合作的能力。 情感态度与价值观： 进一步增强统计意识和数学应用能力，体会数学与自然及人类社会的密切联系， 了解数学的价值，加深数学的理解和学好数学的信心。 教学重难点：“权”的意义和加权平均数的计算。 教学过程： 一．回顾旧知 设置问题： 1. 数据2、3、4、1、5的平均数是________,这个平均数叫做________平均数. 2.一次数学测验，3名同学的数学成绩分别是60，80和100分，则他们的平均成绩是 多少？你怎样列式计算？算式中的分子分母分别表示什么含义？ 设计意图：通过回顾旧知让学生对将要学习的知识心理上产生亲近感，并做好接受新知识 的准备。 二．探究新知 设置问题： 问题 : 计算意大利队队员的平均年龄： 小A 求得意大利队员的平均年龄为 你认为小A 的做法正确吗？为什么？ 设计意图：通过此问题让学生意识到以前学的简单的算术平均数已经解决不了现在的问题， 从而需要学习新的知识来解决此问题。 问题：“权”的意义是什么？“权”可以是百分数或者分数吗？ 设计意图：通过此问题，让学生先独立思考从课本中寻求答案，之后小组讨论交流自 己的思考结果。从而突破本节课的难点。理解权的意义在于反应各个数据的相对“重要程度”。 三。推进新课 加权平均数：一般地，若n 个数 的权 分别是 ，我们把 叫做这n 个数的加权平均数。 5.28431262928=+++=x n x x x ,...,,21n ωωω...,21，，n n n x x x ωωωωωω++++++ (212211)

平均数教学设计课题

实用标准 第六章数据的分析 1．平均数（第1课时） 一、学情与教材分析 1.学情分析 学生在小学已经初步学习过算术平均数的概念，会简单地求一组数据的算术平均数，并会单一地用算术平均数理解一组数据的平均水平．在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些统计活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验，具备了一定的合作与交流的能力． 2.教材分析 本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《数据的分析》第一节第1课时．本节课的教学任务是：理解算术平均数、加权平均数的概念，会求一组数据的算术平均数和加权平均数，能解决有关平均数的实际问题，发展学生的数学应用能力，达成有关的情感态度目标． 二、教学目标 1.掌握算术平均数、加权平均数的概念，会求一组数的算术平均数和加权平均数． 2.经历数据的收集与处理的过程，发展学生初步的统计意识和数据处理的能力；通过有关平均数问题的解决，发展学生的数学应用能力． 3.通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系． 三、教学重难点 教学重点：求一组数的算术平均数和加权平均数． 教学难点：如何求一组数的算术平均数和加权平均数． 四、教法建议 总体思路是：实际问题→平均数的概念→解决实际问题． 先从学生熟悉的现实背景抽象出算术平均数、加权平均数的概念，然后在理解概念的基础上，解决有关平均数的实际问题． 五、教学设计 文档大全． 实用标准 （一）课前设计 1．预习任务 任务1：回忆平均数，还记得怎么求平均数吗？那什么又是算术平均数呢？ （观看《平均数与加权平均数》新知讲解00:00-01:42） 任务2：做一做课本p137例题，结合例题，你理解了什么是加权平均数吗？

加权平均数的实际意义和应用导学案湘教版七年级下.doc

钱粮湖镇中学“导学案”设计.3. 简明信息 课题内容：加权平均数的实际意义和应 用 年级：七执笔人：刘丽娥 课型：新授班级：: 授课人： 授课时间：科目：数学 审稿人：七年级数学 组 教学内容探究与预见性问题 操作方法与措 施 学生双色笔记 用 时 教学目标： 1、能灵活运用加权平均数解决实际问题 2、逐步培养学生运用数学科知识解决问题的能力o 3、体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价 值，数学的理解和学好数学的信心。 教学重点：运用加权平均数解决实际问题 教学难点：如何利用平均数在总体中的作用去设计一些活动。学习与探究过程： 一.、课前测评 1、若一组数据 m +0.1、m+0. 2、m -0.1、m-0.2、m+0.1, 则这组数据的平均数是 X = __________________________________________________ 一五检测反馈 1 5 1() 25 2、? 数为 则 x y = 3、匚孑1、2、3、x、y的平均数为2,且1、2、3、-x、y的平均0.8, 己知数据20、30、40、18, 、若取它们的份2： 3： 2： 3 ,则这时它们的数为

（2）、若取它们的百分比为10%、20%、40%、30%、，则它们的 平均数为X = ____________________________________________ 二，预习导学交流 1、阅读教材 P150例3 分析：例题中的问题可以看出10克棉花中随机抽取的，所以要 求这批纤维的平均长度就只要求出这10克棉花的平均长度。 因为长度为3cm、5cm、6cm的纤维所占的百分比分别为 即它们的权数分别是 故可以用的方法求这批纤维的均 长度。 解：方法1.歹= ___________________________________________ 方法2. X = _________________________________________ 答: 思考：权数对加权平均数有何影响？ 2、探究1：某乡镇皮革厂有50名职工，他们的月工资表如下: （单位：元） 工资300 350 400 450 500 550 1200 人数7 9 12 10 6 4 2 求该皮革』'50名职工月平均工资（精确到个位） 探究2：七年级某班学生50人，年龄为11岁、12岁、13岁的人数比是1： 3： 1,求这个班平均年龄。

初二数学平均数与加权平均数练习题

初二数学平均数与加权平均数练习题 初二数学平均数与加权平均数同步练习题 初二数学平均数1.一般地，如果有n个数，那么 _______________，叫做这几个数的平均数。 2.如果数据2，3，x，4的平均数是3，那么x等于____________。 3.数据5，3，2，1，4，的平均数是____________。 4.1，2，3，，，的平均数是8，那么，，的平均数是 ____________。 5.某次考试，5名学生的平均分是83，除学生甲外，其余4名学生的平均分是80，那么学生甲的得分是__________。 6.某校几名学生参加今年全国初中数学竞赛，其中8名男同学的平均成绩为85分，4名女同学的平均成绩为76分，那么该校12名同学的平均成绩为___________。 7.一跳高运动员在1次大型运动会上成绩的平均数为2.35米，假设选派参加亚运会，可以预料，他的成绩大约为______米。 8.经随机调查某校初三30名学生每天完成家庭作业时间为3小时，由可估计该校家庭作业约为___________小时。 9.数据a，a，b，c，a，c，d的平均数是 ( ) A. B. C. D. 10.某次考试，5名学生的平均分是82，除学生甲外，其余4名学生的平均分是80，那么学生甲的得分是( )

A.84 B.86 C.88 D.90 11.数据的平均数是，那么的平均数是 ( ) A. B.2 C.2 +1 D. 12.假设m个数的平均数为x，n个数的平均数为y，那么这(m+n)个数的平均数是 ( ) A. B. C. D. 13.一组数据23.02，22.99，22.98，23.01，a的平均数为23.01。求a的值。 14.数据，，的平均数是10，求数据的平均数。 15.一组数1，2，3，x，y，z的平均数是4 (1)求x，y，z三数的平均数。 (2)求4x+5，4y+6，4z+7的平均数。 16.从甲、乙、丙三个厂家生产的同一产品中，各抽出8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下：(单位：年) 甲：3，4，5，6，8，8，8，10 乙：4，6，6，6，8，9，12，13 丙：3，3，4，7，9，10，11，12 试计算三个厂这三批灯泡的平均寿命并比较哪个厂生产的产品寿命最长。 17.某地区前两周从星期一到星期五各天的最低气温依次是(单位：℃)：，，，，和，，，，，假设第一周这五天的

平均数和加权平均数-人教版八年级数学下册优秀教案设计

20.1数据的集中趋势 20.1.1平均数 第1课时平均数和加权平均数 1．知道算术平均数和加权平均数的意义，会求一组数据的算术平均数和加权平均数；(重点) 2．理解“权”的差异对平均数的影响，算术平均数与加权平均数的联系与区别，并能利用它们解决实际问题．(难点) 一、情境导入 在日常生活中，我们经常会与平均数打交道，但有时发现以前计算平均数的方法并不适用．你知道为什么要这样计算吗？例如老师在计算学生每学期的总评成绩时，不是简单地将一个学生的平时成绩与考试成绩相加除以2，作为该学生的总评成绩，而是按照“平时成绩占40%，考试成绩占60%”的比例计算(如图)． 二、合作探究 探究点一：平均数 【类型一】已知一组数据的平均数，求某一个数据 如果一组数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，则a的值是() A．8B．5C．4D．3 解析：∵数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，∴(3＋7＋2＋a＋4＋6)÷6＝5，解得a＝8.故选A. 方法总结：关键是根据算术平均数的计算公式和已知条件列出方程求解． 【类型二】已知一组数据的平均数，求新数据的平均数 已知一组数据x1、x2、x3、x4、x5的平均数是5，则另一组新数据x1＋1、x2＋2、x3＋3、x4＋4、x5＋5的平均数是() A．6B．8C．10 D．无法计算 解析：∵x1、x2、x3、x4、x5的平均数为5，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝5×5，∴x1＋1、x2＋2、x3＋3、x4＋4、x5＋5的平均数为(x1＋1＋x2＋2＋x3＋3＋x4＋4＋x5＋5)÷5＝(5×5＋15)÷5＝8.故选B. 方法总结：解决本题的关键是用一组数据的平均数表示另一组数据的平均数． 探究点二：加权平均数 【类型一】以频数分布表提供的信息计算加权平均数 某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如 锻炼时间是() A．6.2小时B．6.4小时 C．6.5小时D．7小时 解析：根据题意得(5×10＋6×15＋

算术平均数与加权平均数

https://www.wendangku.net/doc/bf997329.html, 21.1 算术平均数与加权平均数 同步练习 【基础知识训练】 1．如果一组数据5，x ，3，4的平均数是5，那么x=_______． 2．某班共有学生50人，平均身高为168cm ，其中30名男生平均身高为170cm ，?则20名女生的平均身高为________． 3．某校八年级（一）班一次数学考试的成绩为：100分的3分，90分的13人，80?分的17人，70分的12人，60分的2人，50分的3人，全班数学考试的平均成绩是_______．（? 结果保留到个位） 4一个最高分和一个最低分后的平均分是________分． 5．（2005，宁波市）在航天知识竞赛中，包括甲同学在内的6?名同学的平均分为74分，其中甲同学考了89分，则除甲以外的5名同学的平均分为_______分． 【创新能力应用】 6．如果一组数据x 1，x 2，x 3，x 4的平均数是x ，那么另一组数据x 1，x 2+1，x 3+2，x 4+3的平均数是（ ） A ．x B ．x +1 C ．x +1.5 D ．x +6 7．有m 个数的平均数是x ，n 个数的平均数是y ，则这（m+n ）个数的平均数为（ ） A ． . . . 2 2 x y x y mx ny mx ny B C D m n m n ++++++ 8．x 1，x 2，x 3，……，x 10的平均数是5，x 11，x 12，x 13，……，x 20的平均数是3，则x 1，x 2，x 3，……，x 20的平均数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．8 9．某居民院内月底统计用电情况，其中3户用电45度，5户用电50度，6户用电42度，则平均每户用电（ ） A ．41度 B ．42度 C ．45.5度 D ．46度 10．甲、乙、丙三种糖果售价分别为每千克6元，7元，8元，若将甲种8千克，?乙种10千克，丙种3千克混在一起，则售价应定为每千克（ ） A ．6.7元 B ．6.8元 C ．7.5元 D ．8.6元 11．为了增强市民的环保意识，某初中八年级（二）班的50名学生在今年6月5日（?世

信息技术与课程整合教学设计案例《平均数教学设计》

平均数教学设计》 一、教学内容分析 在七年级，学生已经经历过一些数据收集的过程，学会了对数据进行初步的整理，通过本节课希望学生学会对收集的数据进行加工处理，进而作出判断，而“平均水平”是最为常用的一个评判整体水平的指标，本节课将在算术平均数的基础上引领学生理解“权”和“加权平均数”的意义，为后面的众数、中位数和方差的学习打下基础。 二、教学对象分析 本班学生是我从初一年级就带上来的，从以往的教学过程中，孩子们已经养成了利用课练本进行课前预习、课中交流，课后反思的习惯，在小学的学习中已能计算权数相同的算术平均数。从情感上来说，孩子们认同我的人和课，沟通和配合的效果很好。 三、教学目标及教学重难点 （一）教学目标 1．通过分析数据处理结果让学生经历利用平均数描述数据集中趋势的过程，并能计算出算术平均数，当堂达标率为100% ； 2．学生在啦啦操代表的选拔情境中理解一组数据中数据的重要程度未必相同，并用逻辑推理的方式将问题解决过程表达出来；3．在设计好的三种方案的计算过程中，通过问题驱动让学生理解权及加权平均数的概念，体验到概念所蕴含的基本思想方法，并能计算出加权平均数，当堂达标率为85% 。 （二）教学重难点

教学重点：权及加权平均数的概念的理解，计算公式的掌握和应用 教学难点：加权平均数概念的形成 四、教学方法、过程及整合点 （一）教学方法 为了让学生在课堂上学得愉快、练得有效，本节课我通过“信息技术 与数学学科的整合、利用工作表的特点线性展示教学流程、致力于常态课下的信息技术与学科融合”的“集智”课堂“启、思、评”教学模式进行教学。 以情境教学法、任务驱动法、合作学习法、分层练习法为主，以生为 本，基于生活，让学生在课堂生活中享受幸福和快乐。 （二）教学过程及整合点