直线与圆锥曲线相交的弦长公式

直线与圆锥曲线相交的弦长公式

若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：(1)求交点法：

把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．

(2)韦达定理法：

不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．

直线与圆相交弦长问题

二、直线与圆相交弦长问 题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直 线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2 ＜r ； 性质2：由????? Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞ 0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ????|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且 倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线 AB 的方程． 解析：法一： 法二： [练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析：

[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析： 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图1，直线 l 与圆C 交于A ，B 两点， 设弦心距为d ，圆的半 径为r ，弦长为|AB |， 则有? ????|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程 与圆的方程联立，设直线与圆的两交 点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB | ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问 题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直 线的距离d ＝A 2＋B 2＜r ； 性质2：由????? Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ??|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆 内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；

圆锥曲线弦长专题

圆锥曲线弦长专题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

弦 长 专 题 (A 组) 1，过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，若x 1+x 2=6，那么|AB|等于_______ 2，过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则ΔABO 重心的横坐标为_______ 3，已知椭圆2 2 221y x a b +=(0)a b >>的一个顶点为B (0,4)，离心率e =5 ，直线l 交椭圆于M 、N 两点．若直线l 的方程为4y x =-，求弦MN 的长； 4．已知椭圆C 的中心在坐标原点，左顶点()0,2-A ，离心率2 1= e ，F 为右焦点，过焦点F 的直线交椭圆C 于P 、Q 两点（不同于点A ）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）当724=PQ 时，求直线PQ 的方程； 5.设椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =. (I) 求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）如果|AB|=154 ，求椭圆C 的方程. 弦 长 专 题 (B 组) 1， 双曲线的中心为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点 F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向． （Ⅰ）求双曲线的离心率； （Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

圆锥曲线的综合问题(答案版)讲课教案

圆锥曲线的综合问题 【考纲要求】 1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入 和设而不求的思想． 2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向 量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】 本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题． 【基础梳理】 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时 为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或 变量y )的一元方程． 即?? ?==++0 ),(0y x F c By Ax ,消去y 后得02 =++c bx ax (1)当0≠a 时，设方程02 =++c bx ax 的判别式为Δ，则Δ＞0?直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0?直线与圆锥曲线C 相切；Δ＜0?直线与圆锥曲线C 无公共点． (2)当0=a ，0≠b 时，即得一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点， 此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线， 则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)定义：直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做 圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长． (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB | ＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝]4))[(1(212212x x x x k -++=a k ? ? +2 1=1＋1 k 2·|y 1－y 2|. (抛物线的焦点弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p sin 2 θ ，θ为弦AB 所在直线的倾斜角)． 3、一种方法 点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，

圆锥曲线弦长公式

圆锥曲线弦长公式 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为，半焦距为，焦点，设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点，求弦长。解：连结，设，由椭圆定义得，由余弦定理得 ，整理可得，同理可求得，则弦长 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为（a为长半轴，b为短半轴，c为半焦距） 结论：椭圆过焦点弦长公式： 二

. 双曲线的焦点弦长 设双曲线，其中两焦点坐标为 ，过的直线的倾斜角为，交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|。 。 解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上，连，设，由双曲线定义可得，由余弦定理可得 整理可得，同理，则可求得弦长

（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B在两支上，连，设，则，，由余弦定理可得， 整理可得，则 因此焦点在x轴的焦点弦长为 同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式 三

其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。. 抛物线的焦点弦长 若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点，若的倾斜角为，求弦长|AB|（图4） 解：过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足，设，，则点A的横坐标为，点B横坐标为，由抛物线定义可得 即 则 同理的焦点弦长为

的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为 由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长，非常简单明确，应予以掌握。 一

圆锥曲线中弦长问题的解决策略

圆锥曲线中弦长问题的解决策略 张秀梅 张建强 弦长问题在高考题及模拟题中经常出现，从理论上讲，利用弦长公式 a k x x k AB /1||1||2212?+=-+=就能解决问题。但实际中，除个别简单题（本文从略） 外，直接利用弦长公式会使问题变得非常繁琐。本文试图对此进行系统的总结，给出不同类型题目的解决策略。 一、两线段相等 类型I 有相同端点的不共线线段 例1、（2204，北京西城区二模） 已知定点)4,2(--A ，过点A 做倾斜角为? 45的直线L ，交抛物线)0(22>=p px y 于A 、 B 两点，且|||||| AC BC AB 、、成等比数列 （1）求抛物线方程； （2）问（1）中抛物线上是否存在D ，使得|||| DC DB =成立？若存在，求出D 的坐标。 策略分析：由于D 、B 、C 三点不共线，要使得|||| DC DB =成立，只需取BC 中点P ，满足BC DP ⊥。 由于这种类型题目的常见性与基础性，我们再举一个例子作为练习： 例2、（2005，孝感二模） 已知)2()2(),,1(),0,(b a b a y b x a -⊥+== （1）求点P(x,y)的轨迹方程C ； （2）若直线L ：b kx y +=（0≠k ）与曲线C 交与AB 两点，D(0,－1)，且有||||BD AD =，试求b 的取值范围。 类型II 共线线段 例3、直线L 与x 轴不垂直，与抛物线22+=x y 交于AB 两点，与椭圆2222=+y x 交于CD 两点， 与x 轴交于点M )0,(0x ，且|||| BD AC =，求0x 的取值范围。 策略分析：不妨设A ),(11y x 在B ),(22y x 下方，C ),(33y x 在D ),(44y x 下方，由于ABCD 共线，要使 ||||BD AC =,只需4213x x x x -=-，即4321x x x x ==+，结合韦达定理可得结果。 二、三线段相等 类型I 正三角形 例 4、（2003，北京春招） 已知动圆过定点P(1,0)且与定直线L ：x=－1相切，点C 在L 上 （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 总论：常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K 参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 （1）中点弦问题 （2）焦点三角形问题 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率) 4、弦长公式法 弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2 0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·| |12a k △ ·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来

直线与圆-韦达定理

1直线:m 360x y ++=,过)0,1(-A 的动直线l 与直线m 相两点,M 是PQ 中点. (Ⅰ)l 与m 垂直时,求证:l 过圆心 C ;(求直线l 的方程;(Ⅲ)设t =AN AM ?,试问t 是否为定值 2（Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与圆O 交于上是否存在一点Q ，使得OB OA OQ +=，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由． 3．圆2 2 :(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=（1） 求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A 、B ；（2） 求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3） 若定点P （1，1）满足2PB AP =，求直线l 的方程。

4．圆C 经过点A （－2,0），B （0,2），且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．（1）求圆C 的方程；（2）若2OP PQ ?=-，求实数k 的值； （3）过点(0,4)作动直线m 交圆C 于E ，F 两点．试问：在以EF 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P ，使得圆P 经过点(2,0)M 5．如图，圆C ：0)1(2 2 =+-++-a ay y x a x ．（Ⅰ）若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知1>a ，圆C 与x 轴相交于两点,M N （点M 在点N 的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O ：42 2 =+y x 相交于两点,A B ．问：是否存在实数a ，使得 BNM ANM ∠=∠？

6．（14分） 已知方程0422 2 =+--+m y x y x . （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围； （2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值； （3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程. 7．圆0122:2 2 =+--+y x y x C ，直线kx y l =:，直线l 与圆C 交于点M 的坐标为(0,)b ，且满足MA MB ⊥．（1）当1=b 时，求k 的值； （2时，求k 的取值范围． 8．圆C ：2 2 (3)(3)9x y -+-=，直线1:l y kx =与圆C 交于P 、Q 两个不同的点，M 为P 、Q 的中点．（Ⅰ）已知(3,0)A ，若0AP AQ ?=，求实数k 的值；（Ⅱ）求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若直线1l 与2:10l x y ++=的交点为N ，求证：||||OM ON ?为定值．

专题5 圆锥曲线中的弦长问题(解析版)-2021年高考数学圆锥曲线中必考知识专练

1 专题5：圆锥曲线中的弦长问题（解析版） 一、单选题 1．椭圆2 214 x y +=的两个焦点为1F 、2F ，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一 个交点为P ，则2PF =（ ） A ． 3 B ．3 C ． 72 D ．4 【答案】C 【解析】 试题分析：，所以当时， ，而 , 所以 ,故选C. 考点：椭圆的性质 2．直线l 过抛物线22y x =的焦点F ，且l 与该抛物线交于不同的两点()11,A x y ， ()22,B x y ．若12 3x x +=，则弦AB 的长是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．8 【答案】A 【分析】 由题意得1p =，再结合抛物线的定义即可求解. 【详解】 由题意得1p =， 由抛物线的定义知：121231422 p p AB AF BF x x x x p =+=+++=++=+=， 故选：A 【点睛】 本题主要考查了抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，属于基础题. 3．焦点为F 的抛物线2:4C y x =的对称轴与准线交于点E ，点P 在抛物线C 上，在 EFP △中，sin 2EFP FEP ∠=∠，则||EP 的值是（ ） A ．2 B ．4 C ．2 D ．1 【答案】A

试卷第 2页，总18页 【分析】 过点P 作PH 垂直于准线于点H ，由双曲线的定义得cos PF PH m FEP ==∠，在 EFP △中利用正弦定理可求出FEP ∠，带入所给等式即可推出2 EFP π ∠= ，即可求 得PE 的值. 【详解】 如图所示，过点P 作PH 垂直于准线于点H ， 设PE m =，则cos PF PH m FEP ==∠， 在EFP △中，由正弦定理知 sin sin PF PE PEF EFP =∠∠，即 cos sin 2sin m FEP FEP FEP ∠=∠∠， 所以2 cos 2 FEP ∠= ，又()0,FEP π∠∈，所以4FEP π∠=， 则sin 21EFP FEP ∠= ∠=，又()0,EFP π∠∈，所以2 EFP π ∠= ， 在直角EFP △中，2EF =，4 FEP π ∠=，所以22PE =故选：A 【点睛】 本题考查抛物线的定义与几何性质、正弦定理解三角形，属于中档题. 4．椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，斜率为12的直线l 过左焦点1F 且交C 于A ，B 两点，且2ABF 的内切圆的周长是2π，若椭圆C 的离心率为13,24 e ??∈???? ，则线段AB 的长度的取值范围是（ ）

直线与双曲线的相交弦问题

直线与双曲线的相交弦问题 直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y = -+- ②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+= ③221121222 111(1)[()4]AB y y y y y y k k =+-=+?+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长 例1、 过双曲线1322 =-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6 π 的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2?的面积（2F 为双曲线的右焦点）。 1、求直线1y x =+被双曲线2 2 14 y x -=截得的弦长； 2、过双曲线1449162 2=-y x 的右焦点作倾斜角为 3 π 的弦AB ，求弦长AB ；

3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22 154 x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程； 4、过双曲线12 2 =-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3 π 的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB （2）△AB F 1?的周长（2F 为双曲线的右焦点） 二、已知弦长求双曲线方程 5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程． 6、已知倾斜角为4 π的直线l 被双曲线6042 2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．

例2、 已知双曲线方程为332 2 =-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程． 解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322 =-y x . 问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．

圆锥曲线三种弦长问题

圆锥曲线三种弦长问题的探究 一、一般弦长计算问题： 例1、已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为 且e = ，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度. 思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为2 2 8a b +=，………① 又e =，即2223c a =，所以22 3a b =………………………….② 联立①②得2 2 6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22 162 x y +=. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，2 51860x x -+= 由韦达定理知，1212186 ,55 x x x x +== 从而12x x -= = ， 由弦长公式，得12AB x =-== ， 即弦AB 点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数22,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。 二、中点弦长问题： 例2、过点()4,1P 作抛物线2 8y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦 AB 的长度。 思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦 的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ， 则有22 11228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=-

直线与圆相交弦长问题

二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2 ＜r ； 性质2：由???? ? Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2 ＋y －b 2 ＝r 2 消元得 到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心 距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ? ?|AB |22＋ d 2 ＝r 2 ， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2 ＝8，圆内有一点 P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一： 法二： [练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析： [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截 y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析： 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两 点，设弦心距为d ，圆的半径为r ， 弦长为|AB |，则有? ?? ??|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是 A (x 1 ，y 1 )，B (x 2 ，y 2 )，则|AB | ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)．

圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题 主讲：秦岭老师 9816秦岭数学18届群：307181356 9816秦岭数学19届群：151219471 9816秦岭数学20届群：481591151 一、知识回顾 1．圆锥曲线的定义 （1）平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．即：|MF1|＋|MF2|＝2a>2c＝|F1F2|； （2）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．即：||MF1|－|MF2||＝2a<2c=|F1F2|； （3）平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．即：|MF|=d . 2. 直线与圆锥曲线的位置关系 将直线与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)． (1)当a≠0，考虑一元二次方程的判别式Δ，有 ①Δ>0?直线与圆锥曲线相交； ②Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； ③Δ<0?直线与圆锥曲线相离． (2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点， ①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行； ②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 3．圆锥曲线的弦长 设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

圆锥曲线中的最值问题

圆锥曲线中的最值问题 一 重点：求圆锥曲线中的各种最值问题。 二 难点：题目中各种基本思想方法的灵活应用。 三 基本方法：本节所用到换元、数形结合、目标函数等数学思想和方法。 四 例题 １．几何法 （Ⅰ）有关点的最值问题 【练习１】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的点到原点距离的最大值是 ；最小值是 ；相应点的坐标是 ． 【练习２】双曲线22 221x y a b -=上的点到原点距离的最小值是 ；相应点的坐标是 ． 【练习３】椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上的点到焦点距离的最大值是 ；最小值是 ；相应点的坐标是 ． 【练习４】双曲线22 221x y a b -=上的点到焦点距离的最小值是 ；相应点的坐标是 ． 【练习５】抛物线22(0)y px p =>上的点到焦点距离的最小值是 ；相应点的坐标是 ． 【例１】点P 为抛物线上24x y =上一动点，定点(8,7)A ，则点P 到x 轴与到A 点的距离之和的最小值为 ，并求此时点P 的坐标 。 【解析】1019PB PA PC BC PA PF PA BC FA BC +=-+=+-≥-=-=，当且仅 当点P 是抛物线与FA 的交点时，9PB PA +=最小。此时，由243440x y x y ?=?-+=?解得(4,4) P 或1 (1,)4 P -（舍去．但，是PF PA -的最大值点．P 在线段外，有向线段方向问题。 PF PA -的最小值点即线段AF 的垂直平分线与抛物线的交点）。 【评析】（１）如何判断点A 的位置。参照区域判断方法。 （２）折线和化为直线段。 （３）此题无最大值。 （４）若点A 在抛物线内部，如何？（过A 作x 轴的垂线，垂线段长即为所求，垂线与抛物线的交点即为P 点。此情况也无最大值。）PF PA -的最大、最小值点？

直线与圆相交弦长问题

. - 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝A 2＋B 2＜r ； 性质2：由? ?? ?? Ax ＋By ＋C ＝0 x －a 2＋y －b 2＝r 2 消元得 到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦 心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ?? |AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点 P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一： 法二： [练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27， 求圆C 的方程． 解析： [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截 y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析： 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法

. - (1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ， 弦长为|AB |，则有? ?? ?? |AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2 r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将 直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝ x 1－x 2 2＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1 k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C | A 2＋B 2＜r ； 性质2：由??? ?? Ax ＋By ＋C ＝0 x －a 2＋y －b 2＝r 2 消元得 到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦 心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ?? |AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点 P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． [解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， ∴直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0. ∵圆心为(0,0)， ∴|OC |＝|－1|2 ＝2 2.∵r ＝2 2， ∴|BC |＝ 8－ ? ?? ??? 222＝302，∴|AB |＝2|BC |＝ 30. 法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8， 得 2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－7 2 ， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝ 1＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ， ∵k OP ＝－2，∴k AB ＝1 2， ∴直线AB 的方程为y －2＝1 2(x ＋ 1)，即x －2y ＋5＝0.

圆锥曲线大题十个大招——弦或弦长为定值、最值问题

招式六：弦或弦长为定值、最值问题 1、已知△OFQ 的面积为26，OF FQ m ?= （1646m ≤≤，求OFQ ∠正切值的取值范围； （2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），26 ||,(1)OF c m c ==- 当 ||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程。 解析：（1）设OFQ θ∠= ||||cos()1 ||||sin 6 2 OF FQ m OF FQ πθθ??-=? ???=??46tan θ?= 646m ≤≤ 4tan 1θ-≤≤- （2）设所求的双曲线方程为22 1111221(0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b -= >> =-则 ∴11||||262OFQ S OF y ?= ?=146 y = 又∵OF FQ m ?=，∴21116 (,0)(,)()( 1OF FQ c x c y x c c c ?=?-=-?= ) 222 1112 6963,||12.8 c x OQ x y c ∴= ∴=+=+≥ 当且仅当4c =时，||OQ 最小，此时Q 的坐标是(6,6)或(6,6)

2222 2266 141216 a a b b a b ??-==?? ∴ ???=???+=? ，所求方程为22 1.412x y -= 2、已知椭圆14 22 2=+y x 两焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121=?PF PF ，过P 作 倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.（Ⅰ）求P 点坐标；（Ⅱ）求证直线AB 的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）由题可得)2,0(1F ，)20(2-F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P 则)2,(001y x PF --=， )2,(001y x PF ---=， ∴1)2(20 2 21=--=?y x PF PF ，∵点),(00y x P 在曲线上，则1422020=+y x ，∴2 42 02 0y x -=，从而1)2(2 4202 0=---y y ，得20=y .则点P 的坐标为)2,1(. （Ⅱ）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为)0(>k k ，则BP 的直线方程为：)1(2--x k y .由??? ??=+ -=-14 2)1(222y x x k y 得x k k x k )2(2)2(22-++ 04)2(2=--+k ，设),(B B y x B ，则 2222222212)2(2,2)2(21k k k k k k x k k k x B B +--=-+-=+-=+，同理可得2 22)222k k k x A +-+=，则2 224k k x x B A +=-，228)1()1(k k x k x k y y B A B A +=----=-.所以：AB 的斜率2=--=B A B A AB x x y y k 为定值. （Ⅲ）设AB 的直线方程：m x y +=2.由??? ??=+ +=14 2222y x m x y ，得0422422=-++m mx x ， 由0)4(16)22(22>--=?m m ，得2222<<-m P 到AB 的距离为3 | |m d = ， 则3 ||3)214(21||212m m d AB S PAB ? ?-=?=?2)28(81)8(812222 2=+-≤+-=m m m m 。 当且仅当() 22,222-∈±=m 取等号∴三角形PAB 面积的最大值为2。 3、已知椭圆2 212 x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切 的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交

高考数学竞赛圆锥曲线中与焦点弦相关的问题

与焦点弦相关的问题 8．椭圆、双曲线、抛物线的焦点弦性质（定值1） 问题探究8 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，是否存在实常数λ，使AB FA FB λ=?u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求∣AB ∣的最小值.（借用柯西不等式） 实验成果 动态课件 椭圆的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 11112 ||||AF BF ep += 备用课件 双曲线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 AB 在同支 11112 ||||AF BF ep += AB 在异支 11112 | |||||AF BF ep -= 备用课件 抛物线的焦点弦的两个焦半径倒数之和为常数 112 ||||AF BF ep += 备用课件

9．椭圆、双曲线、抛物线的正交焦点弦性质（定值2） 问题探究9 已知椭圆22 143 x y +=，1F 为椭圆之左焦点，过点1F 的直线12,l l 分别交椭圆于A ，B 两点和C ，D 两点，且12l l ⊥，是否存在实常数λ，使AB CD AB CD λ+=?u u u r u u u r u u u r u u u r 恒成立.并由此求 四边形ABCD 面积的最小值和最大值. 实验成果 动态课件 椭圆互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件 双曲线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 2| 2|||1||12-=+ 备用课件 抛物线互相垂直的焦点弦倒数之和为常数 ep e CD AB 22||1||12 -= + 备用课件

圆锥曲线中的面积最值问题

弦长和面积的最值问题 1.已知菱形ABCD 的顶点A C ,在椭圆2234x y +=上，对角线BD 所在直线的斜率为1． (1)当直线BD 过点(01)，时,求直线AC 的方程； (2)当60ABC ∠= 时,求菱形ABCD 面积的最大值． 2.设椭圆的中心在坐标原点,且(20)(01)A B ，,，是它的两个顶点,若直线(0)y kx k = >与线段AB 相交于点D ,与椭圆相交于,E F 两点.求四边形AEBF 面积的最大值． 3.已知PAB ?内接于椭圆2236x y +=,点P 的坐标为,且APB ∠的平分线为1x =. (1)求证:直线AB 的斜率为定值； (2)求PAB ?的面积的最大值. 4.已知PAB ?内接于焦点在y 轴上的椭圆22mx ny mn +=,且点P 的坐标为,椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线PA 与直线PB 的倾斜角互补,求PAB ?面积的最大值. 5.已知椭圆的两顶点为A ,(0,1)B ,其左右焦点分别是12,F F . (1)在线段AB 上是否存在点C ,使得12CF CF ⊥？若存在,请求出点C 的坐标；若不存在,请说明理由. (2)设过1F 的直线交椭圆于,P Q 两点,求2PQF ?面积的最大值.

6.已知抛物线2:E y x =与圆222:(4)(0)M x y r r -+=>相交于,,,A B C D 四个点. (1)求r 得取值范围； (2)设四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点P ,求ABCD 的面积最大时点P 的坐标. 7.设椭圆的左右焦点分别为12,F F ,离心率2 e =,右准线为l ,且l 上两动点,M N 使得120FM F N ?= . (1)若1 2||||FM F N == 求,a b 的值； (2)证明:当||MN 取最小值时,12FM F N + 与12F F 共线. 8.设椭圆E :22 221x y a b +=(,0)a b >过M ,N 两点,O 为坐标原点. (1)求椭圆E 的方程； (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点,A B ,且OA OB ⊥ ？若存 在,写出该圆的方程,并求||AB 的取值范围；若不存在,说明理由. 9.若,A B 是抛物线24y x =上的不同两点,不平行于y 轴的弦AB 的垂直平分线与x 轴相交于点P ,则称弦AB 是点P 的一条“相关弦”.已知当2x >时,点(,0)P x 存在无穷多条“相关弦”.现给定02x >. (1)证明:点0(,0)P x 的所有“相关弦”的中点的横坐标相同； (2)点0(,0)P x 的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在,求最大值(用0x 表示),若不存在,说明理由.

直线与圆锥曲线中的弦长问题

第四讲 直线与圆锥曲线中的弦长问题 【关卡1 一般弦的计算问题】 笔 记 1.直曲联立韦达定理法（优化的弦长公式） 2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 代数法 几何法 例 题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为，且 e =，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， （1）求椭圆的方程； （2）弦AB 的长度. 2.已知椭圆1422=+y x 以及直线m x y += （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围 （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程

3.已知直线3+=kx y 与椭圆12 22 =+y x ，试判断k 的取值范围，使得直线与椭圆分别有两个交点，一个交点和没有交点？ 4.已知椭圆1222=+y x ，),(00y x P ，1202020≤+>=+b a b y a x 的离心率为3 6，设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l 和椭圆交于A,B 两点,当|AB |= 3，求的b 值.

2.已知椭圆G:14 22 =+y x ，过点（m ，0）作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点 （1）求椭圆的焦点坐标和离心率； （2）将|AB |表示成m 的函数，并求|AB |的最大值 3.直线01=--kx y 与椭圆152 2=+m y x 恒有公共点，求m 的取值范围？ 4.若直线 2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，求k 的取值范围？ 【关卡2 中点弦问题】 笔 记

直线与圆相切、弦长问题(学生)

直线与圆的位置关系（复习） 复习要求 1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想． 直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. [难点正本疑点清源] 1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法” 是从不同的方面和思路来判断的． 2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． 1.．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________． 2．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________． 3．(2015·重庆)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________

题型一直线与圆的位置关系 例1已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12. (1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点； (2)求直线l被圆C截得的最短弦长． (2015·安徽改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是__________．

题型二圆的切线问题 例2已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值； (3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值． 探究提高求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．