【走向高考(新课标)高考数学一轮复习 不等式选讲 第讲 不等式的证明与栖西不等式习题 选修--课件
2017高考数学一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明与栖西不
等式习题选修4-5
A组基础巩固
一、选择题
1．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是导学号 25402910( ) A．(a＋3)2＜2a2＋6a＋11
B．a2＋1
a2≥a＋
1
a
C．|a－b|＋1
a－b
≥2
D.a＋3－a＋1＜a＋2－a
[答案] C
[解析] (a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2＜0，
故A恒成立；
在B项中不等式的两侧同时乘以a2，得a4＋1≥a3＋a?(a4－a3)＋(1－a)≥0?a3(a－1)－(a－1)≥0?(a－1)2(a2＋a＋1)≥0，所以B项中的不等式恒成立；
对C项中的不等式，当a＞b时，恒成立，当a＜b时，不恒成立；
由不等式
2
a＋3＋a＋1
＜
2
a＋2＋a
恒成立，知D项中的不等式恒成立．故选C.
2．a2＋b2与2a＋2b－2的大小关系是导学号 25402911( )
A．a2＋b2＞2a＋2b－2
B．a2＋b2＜2a＋2b－2
C．a2＋b2≤2a＋2b－2
D．a2＋b2≥2a＋2b－2
[答案] D
[解析] ∵a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，∴a2＋b2≥2a＋2b－2.
3．(2014·重庆)若log4(3a＋4b)＝log2ab，则a＋b的最小值是导学号 25402912 ( )
A．6＋2 3 B．7＋2 3
C．6＋4 3 D．7＋4 3
[答案] D
[解析] 由题意，得ab＞0，且3a＋4b＞0，所以a＞0，b＞0.
又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以3a ＋4b ＝ab ，所以4a ＋3
b ＝1，
所以a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋4b a ＋3a
b
≥7＋2
4b a ·3a b
＝7＋4 3.当且仅当4b a ＝3a b
，即
a ＝4＋23，
b ＝3＋23时，等号成立，故选D.
4．(2015·湖北八市3月联考)实数a i (i ＝1,2,3,4,5,6)满足(a 2－a 1)2
＋(a 3－a 2)2
＋(a 4
－a 3)2
＋(a 5－a 4)2
＋(a 6－a 5)2
＝1，则(a 5＋a 6)－(a 1＋a 4)的最大值为导学号 25402913( )
A ．3
B ．2 2 C. 6 D ．1
[答案] B
[解析] 因为[(a 2－a 1)2
＋(a 3－a 2)2
＋(a 4－a 3)2
＋(a 5－a 4)2
＋(a 6－a 5)2
](1＋1＋1＋4＋1)≥[(a 2－a 1)×1＋(a 3－a 2)×1＋(a 4－a 3)×1＋(a 5－a 4)×2＋(a 6－a 5)×1]2
＝[(a 6＋a 5)－(a 1＋a 4)]2
，
所以[(a 6＋a 5)－(a 1＋a 4)]2
≤8，即(a 6＋a 5)－(a 1＋a 4)≤2 2. 二、填空题
5．若a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为
________.导学号 25402914
[答案]
3
[解析] 方法一：(a ＋b ＋c )2
＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2bc ＋2ca ≤a ＋b ＋c ＋(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )＝3.
当且仅当a ＝b ＝c 时取等号成立．
方法二：栖西不等式：(a ＋b ＋c )2
＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2
≤(12
＋12
＋12
)(a ＋
b ＋
c )＝3.
6．(2015·沧州七校联考)若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值为________.导学号 25402915
[答案] 332
2
[解析] 由log x y ＝－2，得y ＝1
x
2其中x >0且x ≠1.
而x ＋y ＝x ＋1
x 2＝x 2＋x 2＋1
x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3322，当且仅当x 2＝1x
2即x ＝3
2时取
等号．所以x ＋y 的最小值为332
2
.
7．(2015·湖南长浏宁三县(市)一中5月仿真模拟考试)若正实数a 、b 、c 满足a ＋2b ＋3c ＝2，则当a 2
＋2b 2
＋3c 2
取最小值时，2a ＋4b ＋9c 的值为________.导学号 25402916
[答案] 5
[解析] 根据栖西不等式，有[a 2
＋(2b )2
＋(3c )2
][12
＋(2)2
＋(3)2
]≥(a ＋2b ＋3c )2
＝4，当且仅当a 1
＝
2b 2
＝
3c
3
时，即a ＝b ＝c ＝1
3时，取等号，此时2a ＋4b ＋9c ＝5.
三、解答题
8．(2015·湖南)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1
b
.证明：导学号 25402917
(1)a ＋b ≥2；
(2)a 2
＋a ＜2与b 2
＋b ＜2不可能同时成立．
[证明] 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b
ab
，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1.
(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．
(2)假设a 2
＋a ＜2与b 2
＋b ＜2同时成立，则由a 2
＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1; 同理0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1矛盾．故a 2
＋a ＜2与b 2
＋b ＜2不可能同时成立．
9．(2015·新课标全国Ⅱ)设a 、b 、c 、d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明：导学号 25402918 (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；
(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．
[证明] (1)因为(a ＋b )2
＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2
＝c ＋d ＋2cd ， 由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2
＞(c ＋d )2
. 因此a ＋b ＞c ＋d .
(2)(ⅰ)若|a －b |＜|c －d |，则(a －b )2
＜(c －d )2
，即(a ＋b )2
－4ab ＜(c ＋d )2
－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd . 由(1)得a ＋b ＞c ＋d .
(ⅱ)若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b )2
＞(c ＋d )2
，即
a ＋
b ＋2ab ＞
c ＋
d ＋2cd .
因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd .于是(a －b )2
＝(a ＋b )2
－4ab ＜(c ＋d )2
－4cd ＝(c －d )2
. 因此|a －b |＜|c －d |.
综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件．
10．(2015·福建福州一中上学期期末)已知函数f (x )＝|x ＋3|－m ，m ∈R ，且f (x －2)≤0的解集为[－3,1].导学号 25402919
(1)求m 的值；
(2)已知a 、b 、c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥94
. [答案] (1)2 (2)略
[解析] (1)方法一：f (x －2)＝|x －2＋3|－m ≤0，|x ＋1|≤m ， 所以m ≥0，且－m ≤x ＋1≤m ，所以－1－m ≤x ≤－1＋m ， 又不等式的解集为[－3,1]，故m ＝2.
方法二：|x ＋1|≤m ，即x 2
＋2x ＋1－m 2
≤0，且m ≥0，
不等式的解集为[－3,1]，所以方程x 2
＋2x ＋1－m 2
＝0的两个根为－3,1，故m ＝2. (2)证明：方法一：
1a ＋b ＋1b ＋c ＋1
c ＋a
＝12(a ＋b ＋c )(1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a
) ＝14[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ) ＝14(3＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b b ＋c ＋c ＋a a ＋b ＋a ＋b c ＋a ＋a ＋c b ＋c ＋b ＋c a ＋c ) ≥14(3＋2＋2＋2)＝94
， 当且仅当a ＝b ＝c ＝2
3时，等号成立．
方法二：
1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a
＝14[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a
)≥ 14×33
a ＋
b b ＋
c c ＋a ·33 1a ＋b 1b ＋c 1c ＋a ＝94. 此时，等号成立条件为a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ，即a ＝b ＝c ＝23
.
B 组 能力提升
1．(2015·江西名校学术联盟调研考试)已知a 、b 均为正实数，且4a ＋b ＋5＝ab ，则ab 的最小值为________.导学号 25402920
[答案] 25
[解析] ∵a ＞0，b ＞0，∴4a ＋b ＋5＝ab ≥24ab ＋5(当且仅当4a ＝b 时取等号)，即
ab －4ab －5≥0，解得ab ≤－1(舍去)或ab ≥5，∴ab 的最小值为25.
2．(2015·湖南长望浏宁四县3月调研)若2x ＋3y ＋4z ＝11，则x 2
＋y 2
＋z 2
的最小值为________.导学号 25402921
[答案]
12129
[解析] 由栖西不等式，得(x 2
＋y 2
＋z 2
)(22
＋32
＋42
)≥(2x ＋3y ＋4z )2
，所以x 2
＋y 2
＋z 2
≥ 2x ＋3y ＋4z 2
22＋32＋42
＝12129，当且仅当x 2＝y 3＝z 4，即x ＝2229，y ＝3329，z ＝4429
时等号成立，所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为
121
29
. 3．已知a 、b 、c 、d 均为正数，且a 2
＋b 2
＝4，cd ＝1，则(a 2c 2
＋b 2d 2
)(b 2c 2
＋a 2d 2
)的最小值为________.导学号 25402922
[答案] 16
[解析] (a 2c 2
＋b 2d 2
)(b 2c 2
＋a 2d 2
)＝(a 2c 2
＋b 2d 2
)·(a 2d 2
＋b 2c 2
)≥(a 2
cd ＋b 2
cd )2
＝(a 2
＋b 2)2
＝42
＝16.
4．已知实数m 、n 满足：关于x 的不等式|x 2
＋mx ＋n |≤|3x 2
－6x －9|的解集为R .导学号 25402923
(1)求m 、n 的值；
(2)若a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝m －n ，求证：a ＋b ＋c ≤ 3. [答案] (1)m ＝－2，n ＝－3 (2)略
[解析] (1)由于解集为R ，那么x ＝3，x ＝－1都满足不等式，有???
??
|9＋3m ＋n |≤0，
|1－m ＋n |≤0，即?
??
??
9＋3m ＋n ＝0，
1－m ＋n ＝0，解得m ＝－2，n ＝－3，
经验证当m ＝－2，n ＝－3时，不等式的解集是R .
(2)证明：a ＋b ＋c ＝1，a ＋b ≥2ab ，b ＋c ≥2bc ，c ＋a ≥2ca ， 所以(a ＋b ＋c )2
＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤3(a ＋b ＋c )＝3， 故a ＋b ＋c ≤3(当且仅当a ＝b ＝c ＝1
3
时取等号)．
5．(2015·陕西西安地区八校高三联考)已知函数f (x )＝|x －2|＋|x －4|的最小值为m ，实数a 、b 、c 、n 、p 、q 满足a 2
＋b 2
＋c 2
＝n 2
＋p 2
＋q 2
＝m .导学号 25402924
(1)求m 的值；
(2)求证：n 4a 2＋p 4b 2＋q 4
c
2≥2.
[答案] (1)m ＝2 (2)略
[解析] (1)f (x )＝|x －2|＋|x －4|≥|(x －2)－(x －4)|＝2，当且仅当2≤x ≤4时，等号成立，故m ＝2.
(2)证明：因为[(n 2a )2＋(p 2b )2＋(q 2c )2]·(a 2＋b 2＋c 2)≥(n 2a ·a ＋p 2b ·b ＋q 2c ·c )2
，
即(n 4a 2＋p 4b 2＋q 4c 2)×2≥(n 2＋p 2＋q 2)2
＝4， 所以n 4a 2＋p 4b 2＋q 4
c
2≥2.