高考数学难点突破专题辅导六13
2009年高考数学难点突破专题辅导六
难点6 函数值域及求法
函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一.本节主要帮助考生灵活掌握求值域的各种方法，并会用函数的值域解决实际应用问题.
●难点磁场
(★★★★★)设m 是实数，记M ={m |m >1},f (x )=log 3(x 2－4mx +4m 2+m +
1
1-m ). (1)证明：当m ∈M 时，f (x )对所有实数都有意义；反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则m ∈M .
(2)当m ∈M 时，求函数f (x )的最小值.
(3)求证：对每个m ∈M ,函数f (x )的最小值都不小于1. ●案例探究 ［例1］设计一幅宣传画，要求画面面积为4840 cm 2,画面的宽与高的比为λ(λ<1),画面的上、下各留8 cm 的空白，左右各留5 cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？如果要求λ∈［4
3
,
32］，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？
命题意图：本题主要考查建立函数关系式和求函数最小值问题，同时考查运用所学知识解决实际问题的能力，属★★★★★级题目.
知识依托：主要依据函数概念、奇偶性和最小值等基础知识.
错解分析：证明S (λ)在区间［4
3
,
32］上的单调性容易出错，其次不易把应用问题转化为函数的最值问题来解决.
技巧与方法：本题属于应用问题，关键是建立数学模型，并把问题转化为函数的最值问题来解决.
解：设画面高为x cm,宽为λx cm,则λx 2=4840,设纸张面积为S cm 2,则S =(x +16)(λx +10)=λx 2+(16λ+10)x +160,将x =
λ
10
22代入上式得：S =5000+4410 (8λ+
λ
5
),当8λ=
λ
5
,
即λ=8
5(85<1)时S 取得最小值.此时高：x =
λ
4840
=88 cm,宽：λx =
8
5
×88=55 cm. 如果λ∈［4
3,
32］可设32≤λ1<λ2≤43
,则由S 的表达式得：
)
5
8)((1044)
5
85
8(1044)()(2
1212
21
121λλλλλλλλλλ-
-=-
-+=-S S
又21λλ≥
8532>,故8－
2
15
λλ>0,
∴S (λ1)－S (λ2)<0,∴S (λ)在区间［4
3
,32］内单调递增. 从而对于λ∈［4
3,
32］,当λ=32
时，S (λ)取得最小值.
答：画面高为88 cm,宽为55 cm 时，所用纸张面积最小.如果要求λ∈［4
3,32］,当λ=
32
时，所用纸张面积最小.
［例2］已知函数f (x )=x
a
x x ++22,x ∈［1,+∞)
(1)当a =2
1
时，求函数f (x )的最小值.
(2)若对任意x ∈［1,+∞),f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.
命题意图：本题主要考查函数的最小值以及单调性问题，着重于学生的综合分析能力以及运算能力，属★★★★级题目.
知识依托：本题主要通过求f (x )的最值问题来求a 的取值范围，体现了转化的思想与分类讨论的思想.
错解分析：考生不易考虑把求a 的取值范围的问题转化为函数的最值问题来解决.
技巧与方法：解法一运用转化思想把f (x )>0转化为关于x 的二次不等式；解法二运用分类讨论思想解得.
(1)解：当a =
21时，f (x )=x +x
21+2 ∵f (x )在区间［1，+∞)上为增函数，
∴f (x )在区间［1，+∞)上的最小值为f (1)=
2
7. (2)解法一：在区间［1，+∞)上，f (x )=x
a
x x ++22 >0恒成立?x 2+2x +a >0恒成立.
设y =x 2
+2x +a ,x ∈［1,+∞)
∵y =x 2+2x +a =(x +1)2+a －1递增，
∴当x =1时，y min =3+a ,当且仅当y min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3. 解法二：f (x )=x +
x
a
+2,x ∈［1,+∞) 当a ≥0时，函数f (x )的值恒为正；
当a <0时，函数f (x )递增，故当x =1时，f (x )min =3+a ,
当且仅当f (x )min =3+a >0时，函数f (x )>0恒成立，故a >－3. ●锦囊妙计
本难点所涉及的问题及解决的方法主要有： (1)求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等.无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域.
(2)函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目. 此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力.在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强.
(3)运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决.此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力.
●歼灭难点训练 一、选择题
1.(★★★★)函数y =x 2+x
1 (x ≤－21
)的值域是( )
A.(－∞,－
4
7
] B.［－
4
7
,+∞) C.［2
233,+∞)
D.(－∞,－322
3
］
2.(★★★★)函数y =x +x 21-的值域是( ) A.(－∞,1]
B.(－∞,－1]
C.R
D.［1,+∞)
二、填空题
3.(★★★★★)一批货物随17列货车从A 市以V 千米/小时匀速直达B 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列货车间距离不得小于(
20
V )2
千米 ，那么这批物资全部运到B 市，最快需要_________小时(不计货车的车身长).
4.(★★★★★)设x 1、x 2为方程4x 2－4mx +m +2=0的两个实根，当m =_________时，x 12+x 22
有最小值_________.
三、解答题
5.(★★★★★)某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R (x )=5x －
2
1x 2
(万元)(0≤x ≤5),其中x 是产品售出的数量(单位：百台) (1)把利润表示为年产量的函数；
(2)年产量多少时，企业所得的利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本？
6.(★★★★)已知函数f (x )=lg ［(a 2－1)x 2+(a +1)x +1］ (1)若f (x )的定义域为(－∞,+∞)，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为(－∞,+∞),求实数a 的取值范围.
7.(★★★★★)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按120个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台.已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表：
家电名称 空调器 彩电 冰箱
工时 2
1 3
1 4
1 产值(千元)
4
3
2
问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？(以千元为单位)
8.(★★★★)在Rt △ABC 中，∠C =90°，以斜边AB 所在直线为轴将△ABC 旋转一周生成两个圆锥，设这两个圆锥的侧面积之积为S 1，△ABC 的内切圆面积为S 2，记
AB
CA
BC +=x .
(1)求函数f (x )=
2
1
S S 的解析式并求f (x )的定义域. (2)求函数f (x )的最小值.
参考答案
难点磁场
(1)证明：先将f (x )变形：f (x )=log 3［(x －2m )2+m +1
1
-m ］, 当m ∈M 时，m >1,∴(x －m )2+m +
1
1
-m >0恒成立，故f (x )的定义域为R . 反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则只须x 2－4mx +4m 2+m +1
1
-m >0,令Δ＜0,即16m 2
－4(4m 2+m +1
1
-m )＜0,解得m >1,故m ∈M .
(2)解析：设u =x 2－4mx +4m 2+m +1
1
-m ,∵y =log 3u 是增函数，∴当u 最小时，f (x )最小.
而u =(x －2m )2+m +11-m ,显然，当x =m 时，u 取最小值为m +11-m ,此时f (2m )=log 3(m +1
1
-m )
为最小值.
(3)证明：当m ∈M 时，m +11-m =(m －1)+ 1
1
-m +1≥3,当且仅当m =2时等号成立. ∴log 3(m +
1
1
-m )≥log 33=1. 歼灭难点训练
一、1.解析：∵m 1=x 2在(－∞,－21）上是减函数，m 2=x
1在(－∞,－21
）上是减函数， ∴y =x 2+
x
1在x ∈(－∞,－21
)上为减函数,
∴y =x 2+x
1 (x ≤－21)的值域为［－47
，+∞).
答案：B
2.解析：令x 21-=t (t ≥0),则x =2
12
t -.
∵y =212t -+t =－21 (t －1)2+1≤1
∴值域为(－∞,1].
答案：A 二、3.解析：t =V 400+16×(20V )2/V =V 400+400
16V
≥216=8. 答案：8
4.解析：由韦达定理知：x 1+x 2=m ,x 1x 2=
42+m ,∴x 12+x 22=(x 1+x 2)2－2x 1x 2=m 2－2
2
+m =(m
－
41)2－1617,又x 1,x 2为实根，∴Δ≥0.∴m ≤－1或m ≥2，y =(m －41)2－16
17
在区间(－∞,1）上是减函数，在［2，+∞)上是增函数又抛物线y 开口向上且以m =4
1
为对称轴.故m =1时，
y min =2
1.
答案：－1 2
1
三、5.解：(1）利润y 是指生产数量x 的产品售出后的总收入R (x )与其总成本C (x ) 之差，由题意，当x ≤5时，产品能全部售出，当x >5时，只能销售500台，所以
y =?????>-≤≤--=???
????
>+-?-?≤≤+--)1( 25.012)50(5.02
175.4)5)(25.05.0()52155()50)(25.05.0(215222x x x x x x x x x x x (2）在0≤x ≤5时，y =－
21x 2+4.75x －0.5,当x =－a
b
2=4.75(百台）时，y max =10.78125(万元），当x >5(百台）时，y ＜12－0.25×5=10.75(万元），
所以当生产475台时，利润最大.
(3）要使企业不亏本，即要求???≥->???
??≥-+≤≤025.012505.075.42
15
02x x x x x 或 解得5≥x ≥4.75－5625.21≈0.1(百台）或5＜x ＜48(百台）时，即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本.
6.解：(1）依题意(a 2－1）x 2+(a +1)x +1>0对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要
条件是??
?
??-<>-<>?????<--+=?>-13511,0)1(4)1(012
22
a a a a a a a 或或即， ∴a ＜－1或a >
35.又a =－1时，f (x )=0满足题意，a =1时不合题意.故a ≤－1或a >为3
5
所求.
(2）依题意只要t =(a 2－1)x 2+(a +1)x +1能取到(0，+∞）上的任何值，则f (x )的值域为R ，
故有???≥?>-0
012a ,解得1＜a ≤35,又当a 2－1=0即a =1时，t =2x +1符合题意而a =－1时不合题
意，∴1≤a ≤
3
5
为所求. 7.解：设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为x 台、y 台、z 台，由题意得： x +y +z =360 ①
1204
1
3121=++z y x ②
x >0,y >0,z ≥60. ③ 假定每周总产值为S 千元，则S =4x +3y +2z ,在限制条件①②③之下，为求目标函数S 的最大值，由①②消去z ,得y =360－3x . ④
将④代入①得：x +(360－3x )+z =360,∴z =2x ⑤ ∵z ≥60,∴x ≥30. ⑥ 再将④⑤代入S 中，得S =4x +3(360－3x )+2·2x ,即S =－x +1080.由条件⑥及上式知，当x =30时，产值S 最大，最大值为S =－30+1080=1050(千元）.得x =30分别代入④和⑤得y =360－90=270,z =2×30=60.
∴每周应生产空调器30台，彩电270台，冰箱60台，才能使产值最大，最大产值为1050千元.
8.解：(1）如图所示：设BC =a ,CA =b ,AB =c ,则斜边AB 上的高h =c
ab
, ∴S 1=πah +πbh =,)2
(
),(2
2c b a S b a c
ab
-+=+ππ, ∴f (x )=
2
21)()(4c b a c b a ab S S -++=
①
又?
??
??-==+??????=+=+)1(22
2222x c ab cx
b a
c b a x c b a 代入①消c ，得f (x )=1
)
(22-+x x x .
在Rt △ABC 中，有a =c sin A ,b =c cos A (0＜A ＜2
π
),则 x =
c b a +=sin A +cos A =2sin(A +4π
).∴1＜x ≤2. (2)f (x )=
]12)1[(21)(22-+-=-+x x x x x +6,设t =x －1,则t ∈(0, 2－1),y =2(t +t 2
)+6在(0，2－1]上是减函数，∴当x =(2－1)+1=2时，f (x )的最小值为62+8.
2020高考数学专题复习----立体几何专题
空间图形的计算与证明 一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1， 侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是 （ ） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且 平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0 的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。 （1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°， 求这个四棱锥的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。 难点41 应用性问题 数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求. ●难点磁场 1.（★★★★★）一只小船以10 m/s 的速度由 南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上， 一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图）， 现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上 以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本 身的大小）. 2.（★★★★★）小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟. 3.（★★★★★）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足 R (x )=???>≤≤-+-)5( 2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律. （1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？ （2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？ ●案例探究 ［例1］为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水 中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料 60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该 杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？ 命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目. 知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式. 错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到. 技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决. 解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y = ab k (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ① 要求y 的最小值，只须求ab 的最大值. 由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b ) 难点 12 等差数列、等比数列的性质运用 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 高三数学知识点重难点梳理最新5篇 与高一高二不同之处在于，高三复习知识是为了更好的与高考考纲相结合，尤其水平中等或中等偏下的学生，此时需要进行查漏补缺，但也需要同时提升能力，填补知识、技能的空白。 高三数学知识点总结1 1.等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式 若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d. 3.等差中项 如果A=(a+b)/2，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n，m∈N_. (2)若{an}为等差数列，且m+n=p+q， 则am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N_. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N_是公差为md的等差数列. (4)数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列. (5)S2n-1=(2n-1)an. (6)若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2; 若n为奇数，则S奇-S偶=a中(中间项). 注意： 一个推导 利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+…+an，① Sn=an+an-1+…+a1，② ①+②得：Sn=n(a1+an)/2 两个技巧 已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法 等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数; (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N_都成立; (3)通项公式法：验证an=pn+q; (4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn. 注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明 难点34 导数的运算法则及基本公式应用 导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ●难点磁场 (★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标. ●案例探究 ［例1］求函数的导数： )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-= x f y x b ax y x x x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数. 错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 2222222222 22222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(]sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(] ))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+' +--+'-='解 (2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωx y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则 y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21 v －21·2x =f ′(12+x )·211 1 2+x ·2x =),1(122+'+x f x x 解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′ =f ′(12+x )·21(x 2+1)21- ·(x 2+1)′高考数学难点突破_难点41__应用问题
高考数学重点难点讲解十二等差数列等比数列的性质运用
等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前 n 项和公式的引申. 应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解 决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考 查这部分内容.
●难点磁场 (★★★★★)等差数列{an}的前 n 项的和为 30，前 2m 项的和为 100，求它的前 3m 项的 和为_________. ●案例探究
［例 1］已知函数 f(x)= 1 (x<－2). x2 4
(1)求 f(x)的反函数 f-－1(x);
(2)设 a1=1, 1 =－f－-1(an)(n∈N*),求 an; a n 1
(3)设 Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn 是否存在最小正整数 m,使得对任意 n∈N*,有 bn< m 25
成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由. 命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，
属★★★★★级题目. 知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单
调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题. 错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，
(2)问以数列{
1 an2
}为桥梁求
an,不易突破.
技巧与方法：(2)问由式子 1 an1
1 an2
4得
1
a
2 n1
1 an2
=4,构造等差数列{
1 an2
},从而
求得 an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想.
解：(1)设 y=
1 ,∵x<－2,∴x=－ x2 4
4
1 y2
,
即 y=f－-1(x)=－
4
1 y2
(x>0)
(2)∵ 1 an1
4
1 an2
,
1 an12
1 an2
4，
∴{
1 an2
}是公差为
4
的等差数列，高考数学大题练习
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